2019—2020 学年度上学期高三年级二调考试
数学（文科）试卷
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 I 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120
分钟．
第 I 卷
一．选择题（从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项
涂黑）
1.若集合 ， ，则 =( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据并集的定义求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以，根据并集的定义： 是属于 或属于 的元素所组成的集合，
可得 ，故选 C.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足 属性.研究两集合的关系时，关键
是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 或属于集合 的元素的
集合.
2.设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小.
的
}{ 1 2A x x= − ≤ ≤ { }1 0B x x= − < A B
}{ 1x x < }{ 1 1x x− ≤ < { }2x x ≤
{ }2 1x x− ≤ <
}{ 1 2A x x= − ≤ ≤ { } { }1 0 1B x x x x= − < = <
A B∪ A B
{ }2A B x x∪ = ≤
A B
30.2a = 2log 0.3b = 3log 2c =
a b c> > a c b> >
b a c> > c a b> >【详解】由于 ，
，
，
则 ，即 .
故选 D.
【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常
用手段，属基础题.
3.函数 的图象大致为( )
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对称性排除 A，C；利用单调性排除 D，从而得到结果.
【详解】由于 为偶函数，所以 关于直线 轴对称，
从而可排除 A，C；
在 上为增函数，所以 在 上为增函数，排
30 0.2 0.2< <
2 2log 0.3 log 1 0< =
3 3
1log 2 log 3 2
> =
3
2 3log 0.3 0.2 log 2< < c a b> >
( )2ln 1 1y x x= − + −
2lny x x= + ( )2ln 1 1y x x= − + − x 1=
2lny x x= + ( )0 ∞+， ( )2ln 1 1y x x= − + − ( )1 ∞+，除 D;
故选 B
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）
从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4.在 中，角 ABC 的对边分别为 a,b,c,且 则 a 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 得到角 C，又 ，故 A= ，利用正弦定理即可得到结果.
【详解】由 可得： ,即 tanC=1,故 C= A=
由正弦定理：
可得： ,
∴
故选 D
【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关
键．
5.已知 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解法一：由题意求出 的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果
ABC∆ sin 22, 1, ,1 cos2 6
cb Bc
π= = =−
3 1− 2 3 2+ 2 3 2− 6 2+
sin2 11 cos2
c
c
=− 6B
π= 7
12
π
sin2 11 cos2
c
c
=− 2
2 12
sinCcosC
sin C
= ,4
π 7
12
π
a b
sinA sinB
=
7
12 6
a b
sin sin
π π=
7a 4s 6 212in
π= = +
1sin( )6 2
πθ − = 0 2
πθ ∈ ， cos( )3
πθ − =
0 1
2 1 3
2
θ【详解】解法一：由 ，且 得， ，代入 得，
= ，故选 C．
解法二：由 ，且 得， ，
所以 ，故选 C．
【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础
6.已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b 等于( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 5
【答案】D
【解析】
详解】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,
即 cos2A= ,
又因△ABC 为锐角三角形,
所以 cosA= .
△ABC 中由余弦定理知 72=b2+62-2b×6× ,
即 b2- b-13=0,
即 b=5 或 b=- (舍去),故选 D.
【此处有视频，请去附件查看】
7.已知奇函数 满足 ，当 时， ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【
π 1sin 6 2
θ − =
π0, 2
θ ∈
π
3
θ = πcos 3
θ −
πcos 3
θ − cos0 1=
π 1sin 6 2
θ − =
π0, 2
θ ∈
π 3cos 6 2
θ − =
π π π π π π πcos cos cos cos sin sin 13 6 6 6 6 6 6
θ θ θ θ − = − − = − + − =
1
25
1
5
1
5
12
5
13
5
( )f x ( ) ( )4f x f x= + ( )0,1x∈ ( ) 4xf x = ( )4log 184 (f =
)
32
23
− 23
32
3
4
3
8
−【分析】
根 据 函 数 的 周 期 性 结 合 奇 偶 性 推 导 出
， 利 用 时 ，
能求出结果．
【详解】 奇函数 满足 ，
因为 ，
所以
所以
又因为当 时， ，
所以
,故选 A．
【点睛】本题考查对数的运算法则，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解
能力，属于中档题．解答函数周期性、奇偶性、解析式相结合的问题，通常先利用周期性与
奇偶性转化自变量所在的区间，然后根据解析式求解.
8.已知 ，则 =( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将 两边平方，求出 ，利用诱导公式可得结果.
【详解】因为 ，
( ) ( )4 4 4 4
23 32log 184 log 184 4 32 23f f f log f log = − = = −
( )0,1x∈
( ) 4xf x =
( )f x ( ) ( )4f x f x= +
( ) ( )4 4 4
23log 184 log 184 4 32f f f log ∴ = − =
4
231 032log− < <
4 4
23 320 132 23log log< − = <
4 4 4
23 32 32
32 23 23f log f log f log = − = −
( )0,1x∈ ( ) 4xf x =
4
32log 23
4
32 423f log − = −
32
23
= −
1cos sin 5
α α− = cos 2 2
πα −
24
25
− 4
5
− 24
25
4
5
1cos sin 5
α α− = 24sin2 25
α =
1cos sin 5
α α− =所以 ，
所以 ， ，故选 C.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来
看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，
结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的
三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种
关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定
角．
9.在 中，角 所对的边分别为 ，若 则 的面积
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知式子和正弦定理可得 B，再由余弦定理和基本不等式可得 ac≤16，代入三角形的面积
公式可得最大值．
详解】∵在△ABC 中，
∴（2a﹣c）cosB＝bcosC，
∴（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，
约掉 sinA 可得 cosB＝ ，即 B＝ ，
由余弦定理可得 16＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，
∴ac≤16，当且仅当 a＝c 时取等号，
∴△ABC 的面积 S＝ acsinB＝ ac≤
故选 A．
【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档
【
2 2cos 2sin cos sin 1 sin 2α α α α α− + = − = 1
25
24sin2 25
α = cos 2 2
πα − =
24sin2 25
α =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cos , 4,cos
a c C bb B
− = = ABC∆
4 3 2 3 2 3
2 cos
cos
a c C
b B
− =
1
2 3
π
1
2
3
4 4 3题．
10.已知函数 ，对于实数 ，“ ”是“ ”
的( ).
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分
也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断出函数为奇函数，且为 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条
件的定义判断即可.
【详解】因为 ，
所以 为奇函数，
时， ， 在 上递增，
所以函数 在 上为单调增函数，
对于任意实数 和 ，
若 ，则 ，
函数 为奇函数， ，
，充分性成立；
若 ，则 ，
函数在 上为单调增函数， ，
，必要性成立，
对于任意实数 和 ，“ ”，是“ ”的充要条件，
故选 C.
【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题.
判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、
定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想
( ) ( )x xf x x e e−= − a b， 0a b+ > ( ) ( ) 0f a f b+ >
R
( ) ( ) ( ) ( )x x x xf x x e e x e e f x− −− = − − = − − = −
( )f x
0x > ( ) 1x
xf x x e e
= −
( )f x ( )0, ∞+
( )f x R
a b
0a b+ > ( ) ( ),a b f a f b> − ∴ > −
( )f x ( ) ( )f a f b∴ > −
( ) ( ) 0f a f b∴ + >
( ) ( ) 0f a f b+ > ( ) ( ) ( )f a f b f b> − = −
R a b∴ > −
0a b∴ + >
∴ a b 0a b+ > ( ) ( ) 0f a f b+ >
p q
,p q q p⇒ ⇒化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的
等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
11.如图是函数 在区间 上的图像，将该图像向
右平移 个单位长度后，所得图像关于直线 对称，则 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数图像可得函数解析式为： ，由三角函数图像的平移变换可得平移后
的 解 析 式 为 ， 再 结 合 三 角 函 数 图 像 的 对 称 性 可 得
，再求解即可.
【详解】解：由题意可知， ，所以 ，
根据五点作图法可得 ，解得 ，
所以 ，将该函数图像向右平移 个单位长度后，
得到 的图像，
又 的图像关于直线 对称，
( )siny xω ϕ= + 0,0 2
πω ϕ > < a ( )
1
2
1
e
e
a
( )1,+∞
( ) ( ) 21 ( 0)f x ln x ax ax
= − + − >
( ) ( ) 21 0f x ln x axx
= − + − =
( ) 21ln x axx
− + =
( ) 21y ln x x
= − + y ax=
0a > y ax= ( ) 21y ln x x
= − +
( ) ( ) 21g x ln x x
= − + ( ),m n ( ) 21ln m nm
− + =
( ) 2
2 2
1 2 2 2 01 x 1
x xg x x x x
− += − = >− −
′ ( ) 2
1 2' 1k g m am m
= = − =−
( )2
1 2
1y n x mm m
− = − − −
( )2
1 2 21 01m ln mm m m
∴− − + − + = − 即 ，
因为
所以 ，此时 ，
故选 ．
【点睛】本题考查函数零点以及导数几何意义，考查综合分析求解能力，属中档题.
第 II 卷（非选择题共 90 分）
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意求出 和 ，然后再利用倍角公式求解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符
号，属于简单题．
( ) 41 01
mln m m m
− + − =−
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )
2 22 2 2241 1 11 1 1
m m mmmln m mm m m m m m
− − +−− + − ≤ − − − =− − −
2m = 2
1 2 1 2 1 111 2 1 4 2 2a m m
= − = − = − =− −
A
3sin( ) (0 )2 5
π α α π− = − < < sin 2α =
24
25
−
sinα cosα
3sin cos (0 )2 5
π α α α π − = = − < ( ) ( )1 2 1xe f x f x− < −
(1, )+∞
( )
x
f x
e
=
( )
x
f x
e
=
( ) ( )'
x
f x f x
e
−=∵ ，
∴F′（x）＞0，即函数 F（x）在定义域上单调递增．
∵
∴ ，即 F（x）＜F（2x ）
∴ ，即 x＞1
∴不等式 的解为
故答案为
【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．
16.设 的内角 的对边长 成等比数列， ，延
长 至 ，若 ，则 面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由 ，可得 ，由 成等比数列，结合正弦定理
可得 ，两式相减，可求得 ，从而得 为正三角形，
设正三角形边长为 ， ，利用基本不等式可得结果.
【详解】 ，
，①
又 成等比数列， ，
由正弦定理可得 ，②
①-②得
，
( ) ( )f x f x′ >
( ) ( )1 2 1xe f x f x− < −
( ) ( )
2 1
2 1
x x
f x f x
e e −
−
＜ 1−
x 2x 1−＜
( ) ( )1 2 1xe f x f x− < − ( )1,+∞
( )1,+∞
ABC∆ A B C， ， a b c， ， ( ) 1cos cos 2A C B− − =
BC D 2BD = ACD∆
3
4
( ) 1cos cos 2A C B− − = 1cos cos 4A C = , ,a b c
2sin sin sinB A C=
3B
π= ABC∆
a ACDS∆ ( )3 24 a a= −
( )cos cosA C B− − ( ) ( ) 1cos cos 2A C A C= − + + =
1cos cos 4A C∴ =
, ,a b c 2b ac∴ =
2sin sin sinB A C=
21 sin cos cos sin sin4 B A C A C− = −
( )cos cosA C B= + = −，解得 ，
由 ，
得 ，
， 为正三角形，
设正三角形边长为 ，
则 ，
， 时等号成立．
即 面积的最大值为 ，故答案为 .
【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题.
利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，
首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最
小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义
域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.
三．解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图像，设函数
.
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 ，求 的值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
【分析】
21 cos 1 cos4 B B∴ + − = − 1cos ,2 3B B
π= =
( ) 1cos cos 2A C B− − =
( ) 1cos cos 12A C B− = + =
0,A C A B− = = ABC∆
a
2CD a= − 1 sin1202ACDS AC CD ∆ = ⋅
( ) ( )1 3 32 22 2 4a a a a= − × = −
( ) 223 3
4 4 4
a a + − ≤ × = 1a =
ACD∆ 3
4
3
4
≥ ≤
( ) sin2f x x=
6
π ( )g x
( ) ( ) ( )h x f x g x= −
( )h x
1
6 3g
πα + =
( )h α
( )5
12 12k k k Z
π ππ π − + + ∈ ， 1
3
−(Ⅰ) 由已知可得 ，则 , 由
， 解 不 等 式 即 可 得 结 果 ； (Ⅱ) 由 得
， 从 而 可 得
.
【详解】(Ⅰ)由已知可得 ，
则
.
令 ，解得 .
∴函数 的单调递增区间为 .
(Ⅱ)由 得 ，
∴ ，即 .
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的单调性，属于中档题.函数
的单调区间的求法：若 ,把 看作是一个整体，由
求得函数的减区间，
求得增区间.
18.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，
．
（1）证明： 为等腰三角形．
( ) sin 2 3g x x
π = +
( ) sin2 sin 2 sin 23 3h x x x x
π π = − + = −
2 2 22 3 2k x k
π π ππ π− + ≤ − ≤ + 1
6 3g
πα + =
2 1sin 2 sin 26 3 3 3
π π πα α + + = + =
( ) 2 1sin 2 23 3 3h sin
π πα α α = − = − + = −
( ) sin 2 3g x x
π = +
( ) sin2 sin 2 3h x x x
π = − +
1 32 2 sin 22 2 3sin x cos x x
π = − = −
2 2 22 3 2k x k k Z
π π ππ π− + ≤ − ≤ + ∈， 5
12 12k x k k Z
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈，
( )h x ( )5
12 12k k k Z
π ππ π − + + ∈ ，
1
6 3g
πα + =
2 1sin 2 sin 26 3 3 3
π π πα α + + = + =
2 2 1sin 2 2 23 3 3 3sin sin
π π πα α π α − = + − = − + = −
( ) 1
3h α = −
sin( )y A xω ϕ= + 0, 0A ω> > xω ϕ+
22 k x
π π ω ϕ+ ≤ + ≤ ( )3 22 k k Z
π π+ ∈
2 22 2k x k
π ππ ω ϕ π− + ≤ + ≤ +
ABC A B C a b c 5b = ( )a b+
( )sin 2 sinA b A C= +
ABC（2）设点 在 边上， ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理 ，化角为边可得 ，再运算可得证；
（2）设 ，余弦定理可得 ，再运算可得解.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以由正弦定理 ，可得 ，整理可得 ．
因为 ，所以 ， 为等腰三角形，得证．
（2）解：设 ，则 ，
由余弦定理可得 ， ．
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了解斜三角形及运算能力，属中档题.
19.已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）对 求导得到 ，代入切点横坐标 得到斜率，再写出切线方程；
D AB 2AD BD= 17CD = AB
6
sin sin
a b
A B
= ( ) 22a a b b+ =
BD x=
2 24 17 25 17 25
2 2 17 2 17
x x
x x
+ − + −= −
× × × ×
( ) ( )sin 2 sin 2 sina b A b A C b B+ = + =
sin sin
a b
A B
= ( ) 22a a b b+ = ( )( )2 0a b a b+ − =
2 0a b+ > a b= ABC
BD x= 2AD x=
24 17 25cos
2 2 17
xCDA
x
+ −∠ =
× ×
2 17 25cos
2 17
xCDB
x
+ −∠ =
× ×
CDA CDBπ∠ = − ∠
2 24 17 25 17 25
2 2 17 2 17
x x
x x
+ − + −= −
× × × × 2x =
6AB =
2( )f x x xlnx= −
( )y f x= (1, (1))f
2
( ) 2
xf x k− > (1, )+∞ k
0x y− = 1( , ]2
−∞
( )f x ( )f x′ 1x =（2）令 ，证明其导函数在 上恒为正，即 在
上恒增，而 要满足 在 上恒成立，从而得到 的取值范围
【详解】（1） ， ，
（1） ，又 （1） ，即切线的斜率 ，切点为 ，
曲线 在点 处的切线方程 ；
（2）令 ， ，则 ，
令 ，则 ．
当 时， ，函数 在 上为增函数，故 （1） ；
从而，当 时， （1） ．
即函数 在 上为增函数，故 （1） ．
因此， 在 上恒成立，必须满足 ．
实数 的取值范围为 ， ．
【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问
题，属于常规题.
20.已知 （m，n 为常数），在 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 的解析式并写出定义域；
（Ⅱ）若 ，使得对 上恒有 成立，求实数 的
取值范围；
（Ⅲ）若 有两个不同的零点 ，求证： .
【答案】（Ⅰ） ，x∈（0，+∞）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
( ) ( ) 2 2
2 2
x xg x f x xlnx= − = − ( )1,+∞ ( )g x
( )1,+∞ k ( )k g x< ( )1,+∞ k
( ) 2f x x xlnx= − ( )' 2 1f x x lnx∴ = − −
'f 1= f 1= 1k = ( )1,1
∴ ( )y f x= ( )( )1, 1f 0x y− =
( ) ( ) 2 2
2 2
x xg x f x xlnx= − = − ( )1,x∈ +∞ ( )' 1g x x lnx= − −
( ) 1h x x lnx= − − ( ) 1 1' 1 xh x x x
−= − =
( )1,x∈ +∞ ( )' 0h x > ( )h x ( )1,+∞ ( )h x h> 0=
( )1,x∈ +∞ ( )' 'g x g> 0=
( )g x ( )1,+∞ ( )g x g> 1
2
=
( ) 2
2
xf x k− > ( )1,+∞ 1
2k
∴ k (−∞ 1]2
( ) ln1
mf x n xx
= ++ 1x = 2 0x y+ − =
f（x)
1 ,1x e
∀ ∈
1 ,22t ∀ ∈
3 2) 2 2f x t t at≥ − − +（ a
2( ) ( ) ( )1g x f x ax a Rx
= − − ∈+ 1 2,x x 2
1 2x x e⋅ >
2 1( ) ln1 2f x xx
= −+
5[ , )4
+∞【分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得 m，n 的值，根据对数函数的定义得到函数定义域；
（Ⅱ）f（x）在[ ，1]上的最小值为 f（1）＝1，只需 t3﹣t2﹣2at+2≤1，即 对
任意的 上恒成立，构造函数 m（t），利用导数求出 m（t）的最大值，即可求得结论；
（Ⅲ）不妨设 x1＞x2＞0，得到 g（x1）＝g（x2）＝0，根据相加和相减得到
，再利用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最小值，问
题得以证明．
详解】解：（Ⅰ）由 f（x）= +nlnx 可得 ，
由条件可得 ，把 x=-1 代入 x+y=2 可得，y=1，
∴ ，∴m=2， ，∴ ，x∈（0，+∞），
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f（x）在 上单调递减，∴f（x）在 上的最小值为 f（1）=1，
故只需 t3-t2-2at+2≤1，即 对任意的 上恒成立，
令 ，
易求得 m（t）在 单调递减，[1，2]上单调递增，
而 ， ，∴2a≥m（t）max=g（2），∴ ，即 a 的取值范围为
（Ⅲ）∵ ，不妨设 x1＞x2＞0，
∴g（x1）=g（x2）=0，
∴ ， ，相加可得 ，相减可得
，
【
1
e
2 12a t t t
≥ − +
1 22t ∈ ，
1 2 1
1 2
1 2 2
x x xlnx lnx lnx x x
++ = −
1
m
x +
( ) ( )21
m nf x xx +
′ = − +
( )1 14
mf n= − + = −′
( )1 12
mf = = 1
2n = − ( ) 2 1 ln1 2f x xx
= −+
1 ,1e
1 ,1e
2 12a t t t
≥ − + 1 ,22t ∈
( ) 2 1m t t t t
= − + ( ) ( )2 2 2
1 1 12t 1 2 2 1 1 2 tm t t tt t t
+ = − − = − + − = − +
′
1 ,12
1 7
2 4m =
( ) 52 2m = 5
4a ≥ 5 ,4
+∞
( ) 1 ln2g x x ax= − −
1 1
1 ln2 x ax− = 2 2
1 ln2 x ax− = ( ) ( )1 2 1 2
1 ln ln2 x x a x x− + = +
( ) ( )1 2 1 2
1 ln ln2 x x a x x− − = −由两式易得： ；要证 ，即证明 ，即证：
，需证明 成立，令 ，则 t＞1，于是要证明
，构造函数 ，∴ ，故 ϕ
（t）在（1，+∞）上是增函数，
∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0，∴ ，故原不等式成立．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化
方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中
档题.
21.已知函数 ( ， 是自然对数的底数).
（1）设 (其中 是 的导数)，求 的极小值；
（2）若对 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)求出 ，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得
的范围，可得函数 的减区间，结合单调性可求得函数的极值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知， 在
上单调递增，在(0，1)上单调递减， .讨论当 时，当
时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实
数 的取值范围.
【详解】(Ⅰ) ， .
令 ，∴ ，
∴ 在 上为增函数， .
1 2 1
1 2
1 2 2
ln ln lnx x xx x x x x
++ = −
2
1 2x x e> 1 2ln ln 2x x+ >
1 2 1
1 2 2
ln 2x x x
x x x
+ >−
1 1 2
2 1 2
ln 2x x x
x x x
−> +
1
2
x tx
=
( )2 1ln 1
tt t
−> + ( ) ( )2 1ln 1
tt t t
ϕ −= − +
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
11 4 0
1 1
tt t t t t
ϕ −= − =
+
′ >
+
( )2 1ln 1
tt t
−> +
( ) ( )1 1 lnxf x e a x x−= − − + a R∈ e
( )g x = ( )f x′ ( )f x′ ( )f x ( )g x
[ )1,x∈ +∞ ( ) 1f x ≥ a
2 a− ( ] 2−∞，
( )g x′ ( )' 0g x > x ( )g x ( )' 0g x < x
( )g x ( )f x′
( )1 + ∞， ( ) ( )1 2f x f a′ ′≥ = − 2a ≤ 2a >
a
( ) ( ) ( )1 1 0xg x f x e a xx
−= + −′= > ( ) 1
2
1xg x e x
− −′ =
( ) ( ) ( )1
2
1 0xx g x e xx
ϕ −= −′= > ( ) 1
3
2 0xx e x
ϕ −′ = + >
( )g x′ ( )0 + ∞， ( )1 0g′ =∵当 时， ；当 时， ，
∴ 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为 ，
∴ .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， 在 上单调递增，在(0，1)上单调递减，
∴ .
当 时， ， 在 上单调递增， ，满足条件；
当 时， .
又∵ ，∴ ，使得 ，
此时， ， ； ， ，
∴ 在 上单调递减， ，都有 ，不符合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒
成立问题常见方法：① 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立
（ 即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值
或 恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题
意的参数范围.
22.已知函数 （ 为自然对数的底数）．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明：当 时，不等式 成立．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
( )01x∈ ， ( ) 0g x′ < ( )1x∈ + ∞， ( ) 0g x′ >
( )g x ( )1 + ∞，
( ) ( )1 2g x g a= = −
极小
( )f x′ ( )1 + ∞，
( ) ( )1 2f x f a′ ′≥ = −
2a ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x [ )1 + ∞， ( ) ( )1 1f x f≥ =
2a > ( )1 2 0f a=′ − <
( ) ln 1 1ln 1 0ln 1 ln 1
af a e a a a
+ = − + = >+ +
′ ( )0 1 ln 1x a，∃ ∈ + ( )0 0f x′ =
( )01x x∈ ， ( ) 0f x′ < ( )0 ln 1x x a∈ +， ( ) 0f x′ >
( )f x ( )01 x， ( )01x x∈ ， ( ) ( )1 1f x f< =
a ( ]2−∞，
( )a f x≥ ( )maxa f x≥ ( )a f x≤
( )mina f x≤ ( )y f x= ( )y g x=
( )min 0f x ≥ ( )max 0f x ≤
( ) 2 2 1 ln2 xf x x ax e e x
= − + + − e
a e= ( )y f x= ( )( ),e f e
a e≤ 3 2 2 12 lnx ax x e xe
− ≥ − +
0y =（1）先求函数的导函数为 ，再由导数的几何意义可得，所求切线
的斜率即为 ，再求切线方程即可；
（2）先构造函数 ， ，结合导数的应用判断函数
的单调性求出函数 的最小值，函数 的最大值，再比较大小即可得证.
【详解】（1）解：由题意知，当 时， ，解得 ，
又 ，
所以 ．则曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）证明：当 时，得 ，
要证明不等式 成立，
即证 成立，
即证 成立，
即证 成立，
令 ， ，
易知 ，
由 ，知 在区间 内单调递增，
在区间 内单调递减，
则 ，
所以 成立．即原不等式成立．
【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数证明不等式，重点考查了函数与不等式的相
互转化，属综合性较强的题型.
( )'
2
1 ln2 2 xf x x e x
−= − −
( ) 0f e′ =
( ) 2 2 12g x x ex e e
= − + + ( ) ( )ln 0xh x xx
= >
( )g x ( )h x
a e= ( ) 2 2 1 ln2 xf x x ex e e x
= − + + − ( ) 0f e =
( )'
2
1 ln2 2 xf x x e x
−= − −
( ) 0k f e′= = ( )y f x= ( )( ),e f e 0y =
a e≤ 2 22 2ax ex− ≥ −
3 2 2 12 lnx ax x e xe
− ≥ − +
3 2 2 12 lnx ex x e xe
− ≥ − +
2 2ln 12 xx ex ex e
− ≥ − +
2 2 1 ln2 xx ex e e x
− + + ≥
( ) 2 2 12g x x ex e e
= − + + ( ) ( )ln 0xh x xx
= >
( ) ( ) 1g x g e e
≥ =
( ) 2
1 ln xh x x
−′ = ( )h x ( )0,e
( )0, ∞+
( ) ( ) 1h x h e e
≤ =
( ) ( )g x h x≥
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