衡水中学2020届高三数学文科第一次联考试题（附解析Word版）

河北衡水中学 2020 届全国高三第一次联合考试 文科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合 ， ，则 中元素的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 用列举法依次表示出集合 ，再求出交集，再判断元素个数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ，有 3 个元素， 故选：C． 【点睛】本题主要考查用列举法表示集合，考查集合的交集运算，属于基础题． 2.已知复数 z 满足 z（1+i）＝1+3i，其中 i 是虚数单位，设 是 z 的共轭复数，则 的虚部是 （ ） A. i B. 1 C. ﹣i D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据复数代数形式的除法运算求出 ，再根据共轭复数的定义写出 ，从而得出 的虚 部． 【详解】解：∵ ， { }6A x N x= ∈ < { }2 ,xB y y x A= = ∈ A B ,A B { }6A x N x= ∈ < { }0,1,2,3,4,5A = { }2 ,xB y y x A= = ∈ { }1,2,4,8,16,32B = { }1,2,4A B = z z z z z ( )1 1 3z i i+ = +∴ ， ∴ ，则 虚部为 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查共轭复数的定义及复数的虚部，属于 易错题． 3.等差数列{an}中，Sn 为{an}的前 n 项和，若 a2，a4 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+2＝0 的 两个根，则 S5＝（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】 由韦达定理得 ，再利用等差数列的性质即可得出结论． 【详解】解：∵ 是关于 的一元二次方程 的两个根， ∴由韦达定理得 ， 由等差数列的性质得， ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与前 项和的计算，属于基础题． 4.若 f（x）＝ex+ae﹣x 是定义在 R 上的奇函数，则曲线 y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方 程是（ ） A. y＝﹣x B. y＝x C. y＝﹣2x D. y＝2x 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数 是定义在 上的奇函数得 ，求出函数 的解析式，再求出 ， 的 1 3 1 iz i += =+ ( )( ) ( )( ) 1 3 1 1 1 i i i i + − + − 4 2 2 i+= 2 i= + 2z i= − z 1− 2 4 4a a+ = 2 4,a a x 2 4 2 0x x− + = 2 4 4a a+ = 1 5 2 4 32 4a a a a a+ = + = = 5 4 4 2 10S = + + = n ( )f x R (0) 0f = ( )f x '( )f x从而可求出切线方程． 【详解】解：∵函数 是定义在 上的奇函数， ∴ ，得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴曲线 在点 处的切线方程为 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查奇函数的定义及性质，考查利用函数的导数求曲线在某点处的切线方 程，属于基础题． 5.已知⊙O 的半径为 1，A，B 为圆上两点，且劣弧 AB 的长为 1，则弦 AB 与劣弧 AB 所围成图 形的面积为（ ） A. sin1 B. cos1 C. sin D. cos 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意先求出圆心角，再求出扇形的面积和△ 的面积，从而得出结论． 【详解】解：设 的半径为 ，劣弧所对的圆心角为 ，弧长为 ， 由弧长公式 得 ， ∴弦 与劣弧 所围成图形的面积 ， ( )f x R (0) 1 0f a= + = 1a = − ( ) x xf x e e−= − '( ) x xf x e e−= + (0) 0f = '(0) 2f = ( )y f x= ( )0, (0)f 2y x= 1 1 2 2 − 1 1 2 2 − 1 1 2 2 − 1 2 1 1 2 2 − 1 2 OAB O r α l l rα= 1 11 l r α = = = AB AB 21 1 sin2 2S lr r α= − 1 1 sin12 2 = −故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，考查三角形的面积公式，属于基础题． 6.某校为提高学生的身体素质，实施“每天一节体育课”，并定期对学生进行体能测验在一次体 能测验中，某班甲、乙、丙三位同学的成绩（单位：分）及班内排名如表（假定成绩均为整 数）现从该班测验成绩为 94 和 95 的同学中随机抽取两位，这两位同学成绩相同的概率是（ ） 成绩/分 班内排名 甲 95 9 乙 94 11 丙 93 14 A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得出成绩为 95 分的有 2 人，94 分的有 3 人，本题是古典概型，求出事件包含的基本 事件数以及基本事件的总数，从而求出答案． 【详解】解：由表格可知，该班成绩为 95 分的有 2 人，94 分的有 3 人， ∴从这 5 名同学中随机抽取 2 名同学， 基本事件总数为 ， 这两位同学成绩相同包含的基本事件数是 ， ∴这两位同学成绩相同的概率 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，考查排列、组合问题，属于基础题． 7.已知双曲线 的左，右焦点分别为 F1，F2，若以 F1F2 为直径的圆 和曲线 C 在第一象限交于点 P，且△POF2 恰好为正三角形，则双曲线 C 的离心率为（ ） 2 5 5 4 102C ×= = 2 2 2 3 1 3 4C C+ = + = 4 2 0.410 5p = = = ( )2 2 2 2 1 0, 0x yC a ba b − = > >：A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先设 ，由题意知△ 是直角三角形，利用且 恰好为正三角形，求出 、 ，根据双曲线的定义求得 ， 之间的关系，则双曲线的离心率可得． 【详解】解：连接 ， 设 ， 则由题意可得 是直角三角形， 由 恰好为正三角形得， ， ∴ ，∴ ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质．考查数形结合的思想的运用，属于基础题． 8.某校高一组织五个班的学生参加学农活动，每班从“农耕”“采摘““酿酒”野炊”“饲养”五项活动 中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同．已知 1 班不选“农耕”“采摘”；2 班不选“农耕”“酿 酒”；如果 1 班不选“酿酒”，那么 4 班不选“农耕”；3 班既不选“野炊”，也不选“农耕”；5 班选 择“采摘”或“酿酒”则选择“饲养”的班级是（ ） A. 2 班 B. 3 班 C. 4 班 D. 5 班 【答案】B 1 3 2 + 1 5 2 + 1 3+ 1 5+ 1 2| | 2F F c= 1 2F F P 2POF∆ 1| |PF 2| |PF a c 1PF 1 2| | 2F F c= 1 2PF F∆ 2POF∆ 2 1 60PF F °∠ = 2| |PF c= 2 2 1| | 4 3PF c c c= − = 1 2| | | | 3 2PF PF c c a∴ − = − = 2 3 1 3 1 ce a ∴ = = = + −【解析】 【分析】 本题的关键是找出 1，2，3，5 班都不选农耕，则只有 4 班选农耕，再根据逆否命题的真假性， 可得 1 班选酿酒，所以 5 班只有选采摘，逐一选择可得出结果． 【详解】解：由题意，1，2，3，5 班都不选农耕，则只有 4 班选农耕， 根据逆否命题，1 班选酿酒，所以 5 班只有选采摘， 只剩下“野炊”和“饲养”， 因 3 班既不选“野炊”， 故选择“饲养”的班级是 3 班． 故选：B． 【点睛】本题主要考查合情推理能力，以及逆否命题的真假性的判断能力，属于基础题． 9.下列关于函数 的说法，正确的是（ ） A. 是函数 f（x）的一个极值点 B. f（x）在区间[0， ]上是增函数 C. 函数 f（x）在区间（0，π）上有且只有一个零点 D. 函数 f（x）的图象可由函数 y＝2sin2x 的图象向左平移 个单位长度得到 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简函数解析式，然后再逐一判断选项即可． 【详解】解：函数 ， 当 时， ，所以 不是函数 的一个极值点，所以 A 不正确； 当 时，函数 取得最大值，所以函数在区间 上不是增函数，所以 B 不正确； 由 得 ，则 ，所以在区间 上有 两个零点 ， ，所以 C 不正确； ( ) 22 3 2 1f x cos x sin x= + − 3x π= 2 π 5 12 π 12 π 2( ) 2cos 3sin 2 1f x x x= + − cos2 3sin 2x x= + 2sin(2 )6x π= + 3x π= 12sin(2 )6 2x π+ = 3x π= ( )f x 6x π= ( )f x [0, ]2 π 2sin(2 ) 06x π+ = 2 ,6x k k Z π π+ = ∈ ,2 12 kx k Z π π= − ∈ (0, )π 5 12 π 11 12 π由函数 的图象向左平移 个单位长度得到 ，所以 正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的简单性质的应用，属于基础题． 10.瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含 在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数 V、棱数 E 及面数 F 满足 等式 V﹣E+F＝2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之 一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，它是 由 12 块黑色正五边形面料和 20 块白色正六边形面料构成的．20 世纪 80 年代，化学家们成功 地以碳原子为顶点组成了该种结构，排列出全世界最小的一颗“足球”，称为“巴克球 （Buckyball）”．则“巴克球”的顶点个数为（ ） A. 180 B. 120 C. 60 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】 设巴克球顶点数 、棱数 及面数 ，计算出面数和棱数即可求出顶点数． 【详解】解：依题意，设巴克球顶点数 、棱数 及面数 ， 则 ， 每条棱被两个面公用，故棱数 ， 所以由 得： ，解得 ． 故选：C． 【点睛】本题为阅读型题目，计算出棱数是解决问题的关键，属于基础题． 11.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1，E，F 是线段 AC1 上的点，且 AE＝EF＝FC1，分别过点 E， F 作与直线 AC1 垂直的平面 α，β，则正方体夹在平面 α 与 β 之间的部分占整个正方体体积的 （ ） 2sin 2y x= 12 π 2sin(2( )) 2sin(2 )12 6y x x π π= + = + D V E F V E F 20 12 32F = + = 5 12 6 20 902E × + ×= = 2V E F− + = 90 32 2V − + = 60V =A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 构造平面 ，平面 ，设正方体边长为 1，根据等体积法计算 到平面 的距离 ，从而可得出 ， 分别为 与平面 和平面 的交点，计算中间几何体的 体积得出答案． 【详解】解： 构造平面 ，平面 ，则 平面 ， 平面 ， 设正方体边长为 1，则 ， ， ， ， 设 到平面 的距离为 ，则 ，解得 ， 平面 ，同理可得 平面 ， 正方体夹在平面 与 之间的部分体积为 ， ∴体积之比是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，属于中档题． 1 3 1 2 2 3 3 4 1A BD 1 1CB D A 1A BD 3 3h = E F 1AC 1A BD 1 1CB D 1A BD 1 1CB D 1AC ⊥ 1A BD 1AC ⊥ 1 1CB D 1 1 2A B A D BD= = = 1 3AC = 1 3 3AE EF FC∴ = = = 1 1 1 1 1 1 113 2 6A ABD C B C DV V− −∴ = = × × = A 1A BD h 1 1 21 3 1( 2)3 4 6A AB DV h− = =   3 3h = E∴ ∈ 1A BD F ∈ 1 1CB D ∴ α β 1 21 26 3 − × = 2 312.已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上且异于长轴端点．点 M， N 在△PF1F2 所围区域之外，且始终满足 ， ，则|MN|的最大值为 （ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】 设 ， 的中点分别为 ， ，则 ， 在分别以 ， 为圆心的圆上，直线 与 两圆的交点 △ 所围区域之外）分别为 ， 时， 的最大，可得 的最大 值为 即可． 【详解】解：设 ， 的中点分别为 ， ， ， ，则 ， 在分别以 ， 为圆心的圆上， ∴直线 与两圆的交点 △ 所围区域之外）分别为 ， 时， 最大， ∴ 的最大值为 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.已知非零向量 满足 ， ，则 与 的夹角为__________． 【答案】 2 2 116 12 x yC + =： 1 0MP MF⋅ =  2 0NP NF⋅ =  1PF 2PF C D M N C D CD ( 1 2PF F M N | |MN | |MN 1 2 2 PF PF CD a c + + = + 1PF 2PF C D  1 0MP MF =   2 0NP NF =   M N C D CD ( 1 2PF F M N | |MN | |MN 1 2 4 2 62 PF PF CD a c + + = + = + = ,a b  | | | |a b=  3a b b− =  a b 120°【解析】 由题意， ，得 ，所以 ， 所以夹角是 ． 14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】 由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥 ，其中， 底面 ， 是正方形，边长为 3， ，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长． 【详解】解：由题意几何体的直观图如图， 其中， 底面 ， 是正方形， 边长为 3， ， ， 所以 ， ， 所以最长的棱长为 4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的直观图，考查四棱锥中最长棱的求法，属于基 础题． 15.已知在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝4，且 2 2 22 3a b a b b   + − ⋅ = 2 2 2 cos ,b a b b− =   1cos , 2a b = −  120° P ABCD− PO ⊥ ABCD ABCD 2PO = PO ⊥ ABCD ABCD 2PO = 1 2AO AC= 24 (2 2) 4PC = + = 2 2 22 2 1 3PB PD= = + + =，则 b+c 的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知等式和余弦定理，可推出 ，即 ， ，又知 ，所以 ； 因 为 三 角 形 是 锐 角 三 角 形 ， 所 以 角 为 锐 角 ， ； 由 ，设 ，用 表示出 ，并求出 的取值范围，进而得 的取值范围． 【详解】解： ，且 ， ，即 ， 又 由余弦定理可得 ， 可得 ，即 ， ， ，又 为锐角， ， ， ， 设 ，由余弦定理知 ， ， ， ， ， 故 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想，转化思想，属于中档题． 16.已知曲线 y＝|lnx|与直线 y＝m 有两个不同的交点 P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1＜x2），设直 线 l1，l2 分别是曲线 y＝|lnx|在点 P1，P2 处的切线，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B．△P2AB 为等边三角形，则实数 m 的值为_____． 【答案】 【解析】 2 22 2 aa bcosB b c − + =   (4 2, )+∞ cos cosB C= B C= b c= 4a = 4b c+ > ABC A cos (0,1)A∈ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − b c x= = cos A x x 2b c x+ = 4a = 2 22 ( cos )2 aa b B b c− + = 2 2 22 cosa ab B b c∴ − + = 2 2 2 2 cosa b c ab B+ − =  2 2 2 2 cosa b c ab C+ − = ∴ 2 cos 2 cosab B ab C= cos cosB C= B C∴ = b c= A cos (0,1)A∴ ∈ 4a = 4b c∴ + > b c x= = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 216 2 2 cos 2 (1 cos )x x A x A∴ = − = − ∴ 2 8 81 cosx A = >− ∴ 2 2x > 2 4 2x > 4 2b c+ > (4 2, )+∞ ln 3【分析】 由对数的运算性质可得 ， ，分别求得 和 的导数，可得切 线的斜率和切线的方程，以及 ， 的坐标，可得等边三角形的边长，可得 ，进而得到 的值． 【详解】解：由曲线 与直线 有两个不同的交点，可得 ，即有 ， ， 由 的导数为 ，可得切线 的斜率为 ，切线的方程为 ， 令 得 ，即 ， 由 的导数为 ，可得切线 的斜率为 ，切线的方程为 ， 令 得 ，即 ，则 ， 由△ 为等边三角形，可得 ， 则 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，考查直线方程的运用，属于中档题． 三、解答題：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作 答. （一）必考题：共 60 分． 17.端午节是中国传统节日之一节日期间，各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响．某记者 走访市场发现，各大商场粽子种类繁多，价格不一根据数据统计分析，得到了某商场不同种 类的粽子销售价格（单位：元/千克）的频数分布表，如表一所示． 表一： 价格/（元/千克） [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） 种类数 4 12 16 6 2 1 2 1=x x 1 20 1x x< < < y lnx= y lnx= − A B 2x m | ln |y x= y m= 1 2ln lnx x- = 1 2 1=x x 1 20 1x x< < < lny x=− 1y x ′ = − 1l 1 1 x − 1 1 1 1( ln ) ( )y x x xx − − = − − 0x = 11 lny x= − 1(0,1 ln )A x− lny x= 1y x ′ = 2l 1 2 1 xx = 2 1 2ln ( )y x x x x− = − 0x = 2 1 2 1ln ln 1y x x x x= − = − − 1(0, ln 1)B x− − | | 2AB = 2P AB 2 3 2 32x = = 2| ln | ln 3m x= = ln 3在调查中，记者还发现，各大品牌在馅料方面还做足了功课，满足了市民多样化的需求除了 蜜枣、豆沙等传统馅料粽，很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内， 记者随机对 100 名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查，结果如表二． 表二： 喜欢传统馅料粽 喜欢特色馅料粽 总计 40 岁以下 30 15 45 40 岁及以上 50 5 55 总计 80 20 100 （1）根据表一估计该商场粽子的平均销售价（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据表二信息能否有 95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关？ 参考公式和数据： （其中 为样本容量） P（K2≥k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）该商场粽子的平均销售价为21.25 元/千克（2）有 95%的把握认为顾客的粽子口 味偏好与年龄有关 【解析】 【分析】 （1）根据表一的数据计算平均数即可； （2）根据表二信息计算观测值，对照临界值即可得出结论． 【详解】解：（1）根据表一的数据， ， 估计该商场粽子的平均销售价为 21.25； ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ， n a b c d= + + + 1 (12.5 4 17.5 12 22.5 16 27.5 6 32.5 2) 21.2540x = × × + × + × + × + × =（2）根据表二信息， ， 所以有 的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关． 【点睛】本题主要考查平均数的计算问题、列联表与独立性检验问题，属于基础题． 18.已知{an}是等比数列， ，且 成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 【答案】（1）an＝（ ）n（2） 【解析】 【分析】 （1）设等比数列的公比为 ，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，可得首项和 公比 的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式； （2）求得 ，再由数列的裂项相消求和． 【详解】解：（1）设 是公比为 的等比数列， ，且 成等差数列， 可得 ， ，即 ， 解得 ， 则 ； （2） ， ∴ ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和， 以及化简运算能力，属于中档题． 19.如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠ABC＝60°，AC 与 BD 交于 点 O，PO⊥平面 ABCD，E 为 CD 的中点连接 AE 交 BD 于 G，点 F 在侧棱 PD 上，且 DF PD． 2 2 100 (30 5 50 15) 100 9.091 3.84180 20 45 55 11K × × − ×= = ≈ >× × × 95% 3 1 8a = 1 2 3 1 16a a a+， ， 1 2 1 1 2 1 2 2 2 n n n b log a log a− + =          1 2 2 2 1 n n + q q 2 (2 1)(2 1)nb n n = − + 1 1 2 1 2 1n n = −− + { }na q 3 1 8a = 1 2 3 1, ,16a a a+ 2 1 1 8a q = 1 3 2 12( )16a a a+ = + 2 1 1 1 12( )16a a q a q+ = + 1 1 2a q= = 1 1 1( )2 n n na a q −= = 1 2 1 1 2 1 2 2 2 (log )(log )n n n b a a− + = 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1( ) ( )2 2 n nlog log− + =  2 (2 1)(2 1)n n = − + 1 1 2 1 2 1n n = −− + 1 1 11 3 3 5nT = − + − +… 1 1 2 1 2 1n n + −− + 11 2 1n = − + 2 2 1 n n = + 1 3 =（1）求证：PB∥平面 AEF； （2）若 ，求三棱锥 E﹣PAD 的体积． 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量 法证明 平面 ； （2）求出 ， ，由 ，求出 ，三棱锥 的体积 ，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ， 与 交于点 ， 平面 ， 为 的中点连接 交 于 ，点 在侧棱 上，且 ， 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 2 4cos BPA∠ = 3 6 O OB x OC y OP z //PB AEF (0, 1, )PA a= − − ( 3,0, )PB a= − 2cos 4BPA∠ = 1PO = E PAD− E PAD P ADEV V− −= P ABCD− ABCD 60ABC∠ = ° AC BD O PO ⊥ ABCD E CD AE BD G F PD 1 3DF PD= O OB x OC y OP z设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，取 ，得 ， ， 平面 ， 平面 ； （2）解： ， ， ， ， 由 ，解得 ， ， 三棱锥 的体积： ． 【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 20.已知函数 （ 为自然对数的底数）. (1)求函数 的极值； (2)问：是否存在实数 ,使得 有两个相异零点？若存在,求出 的取值范围；若不存在, 请说明理由. 【 答 案 】 (1) ① 当 时 ， 函 数 无 极 值 .② 当 时 , 函 数 有 极 小 值 为 ,无极大值；(2)存在, 【解析】 【分析】 (1)对函数 求导,根据 的不同取值范围,进行分类讨论,求出函数 的极值； PO a= (0,0, )P a (0, 1,0)A − ( 3,0,0)B (0,1,0)C ( 3,0,0)D − 3 1( , ,0)2 2E − 2 3( ,0, )3 3 aF − ( 3,0, )PB a= − 3 3( , ,0)2 2AE = − 2 3( ,1, )3 3 aAF = − AEF ( , , )n x y z= 3 3· 02 2 2 3· 03 3 n AE x y an AF x y z  = − + =  = − + + =   3x = 3( 3,1, )n a =  3 0 3 0PB n = + − =  PB ⊂/ AEF //PB∴ AEF (0, 1, )PA a= − − ( 3,0, )PB a= −  2cos 4BPA∠ = ∴ 2 2 2 | | 2 4| | | | 1 3 PA PB a PA PB a a = = + +       0a > 1a = 1PO∴ = E PAD− 1 3E PAD P ADE ADEV V S PO− − ∆= = × × 1 1 1 3 2 2CD AE AO= × × × × × 1 12 4 1 16 2 = × × − × × 3 6 = ( ) xf x ae x a= − − e ( )f x a ( )f x a 0a ≤ ( )f x 0a > ( )f x ( ln ) ln 1f a a a− = − + (0,1) (1, )a∈ +∞ ( )f x a ( )f x(2)根据 的不同取值范围,进行分类讨论,结合 、函数的极值的大小、(1)中的结论,最 后求出 的取值范围. 【详解】解：(1)因为 ,所以 . ①当 时， ， 所以 时, ,所以函数 在 上单调递减. 此时，函数 无极值. ②当 时,令 ，得 , 当 时, ,所以函数 上单调递减； 当 时, ,所以函数 在 上单调递增. 此时,函数 有极小值为 ,无极大值. (2)存在实数 ,使得 有两个相异零点. 由(1)知：①当 时,函数 在 上单调递减； 又 ,所以此时函数 仅有一个零点； ②当 时， 因为 ,则由（1）知 ； 取 ,令 , 易得 ,所以 在 单调递减, 所以 ,所以 . 此时,函数 在 上也有一个零点. 所以,当 时,函数 有两个相异零点. ③当 时, , ， 此时函数 仅有一个零点. ④当 时, ,因为 ,则由(1)知 ； 在 a (0) 0f = a ( ) xf x ae x a= − − ( ) 1xf x ae′ = − 0a ≤ ( ) 1 0xf x ae′ = − < ( , )x∈ −∞ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( , )−∞ +∞ ( )f x 0a > ( ) 1 0xf x ae′ = − = lnx a= − ( , ln )x a∈ −∞ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( , ln )a−∞ − ( ln , )x a∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ln , )a− +∞ ( )f x ( ln ) ln 1f a a a− = − + a ( )f x 0a ≤ ( )f x ( , )−∞ +∞ (0) 0f = ( )f x 0 1a< < ln 0a− > (0) 0f = ( ln ) 0f a− < 1( 2ln ) 2ln (0 1)f a a a aa − = + − < < 1( ) 2lng a a aa = + − 2 2 2 1 2 ( 1)( ) 1 0ag a a a a −′ = − + − = − < ( )g a (0,1) ( ) (1) 0g a g> = 1( 2ln ) 2ln 0f a a aa − = + − > ( )f x ( ln , 2ln )a a− − 0 1a< < ( )f x 1a = ln 0a− = ( ) (0) 0f x f≥ = ( )f x 1a > ln 0a− < (0) 0f = ( ln ) 0f a− 1( ) 1 0( 1)h a aa ′ = − > > ( ) (1) 0h a h> = lna a> lna a− < − ( ) 0af a ae−− = > ( )f x ( , ln )a a− − 1a > ( )f x (0,1) (1, )a∈ +∞ ( )f x l y x t= + y 1(A x 1)y 2(B x 2 )y p 2 2 xy p = A B A B A B S l y x t= + 2: 2 ( 0)C x py p= > 2 2 2 0x px pt− − = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 2x x p+ = (1,2)M AB 2 2p = 1p = 2 2x y= 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y (1,2)M AB可得 ， ， 由 的导数为 ，可得抛物线在 处的切线斜率为 ，切线方程为 ， 由 ，可得 ，① 同理可得 ，② ① ②可得 ， 即为 ，即 ． 可得交点 在一条定直线 上． 【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查计算能力， 属于中档题． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 2223 题中任选一题作答．如果多做则按所 做的第一题计分． 22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点 O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为（ρ﹣2cosθ）2＝5﹣4sin2θ． （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 相切，求 m 的值． 【答案】（1）直线l 的普通方程为 x+2y﹣4﹣2m＝0；曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2﹣4x﹣1 ＝0（2）m 或 【解析】 【分析】 （1）由消参法可得直线的普通方程；由 ， ， ，代入化 简可得曲线 的直角坐标方程； （2）求得曲线 表示的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件： ，运用点到直线的 距离公式，解方程可得所求值． 1 2 2x x+ = 1 2 4y y+ = 2 2 xy p = xy p ′ = A 1x p 1 1 1( )xy y x xp − = − 2 1 12x py= 1 1( )x x p y y= + 2 2( )x x p y y= + + 1 2 1 2( ) (2 )x x x p y y y+ = + + 2 (2 4)x p y= + 2 0x py p− − = S 2 0x py p− − = 4 1 2 x t y m t = − = + 3 2 = 7 2 − 2 2 2x y ρ+ = cosx ρ θ= siny ρ θ= C C d r=【详解】解：（1）直线 的参数方程为 ， 为参数）， 可得 ， 即直线 的普通方程为 ， 曲线 的极坐标方程为 ， 即为 ， 由 ， ， ， 可得 ； （2）由（1）可得曲线 表示以 为圆心， 为半径的圆， 由直线 与曲线 相切，可得圆心到直线的距离为半径， 即为 ，解得 或 ． 【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化，考查直线和圆相切的条件， 考查化简运算能力，属于中档题． 23.已知函数 f（x）＝|x+4m|+|x+2m+1﹣3|． （1）当 m＝1 时，求不等式 f（x）≥7 的解集； （2）试证明 f（x）≥2． 【答案】（1）{x|x≥1 或 x≤﹣6}（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）将 代入 中，然后将 写为分段函数的形式，再根据 分别解不等式 可得解集； （2）由绝对值三角不等式可得 ，从而证明结 论． 【详解】解：（1）当 时， ． l 4 1 2 x t y m t = − = + (t 2 4 2 4 2x y t m t m+ = − + + = + l 2 4 2 0x y m+ − − = C 2 2( 2cos ) 5 4sinρ θ θ− = − 2 2 24 cos 4cos 5 4sinρ ρ θ θ θ− + = − 2 2 2x y ρ+ = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 4 1 0x y x+ − − = C (2,0) 5 l C | 2 0 4 2 | 5 1 4 m+ − − = + 3 2m = 7 2 − 1m = ( )f x ( )f x ( ) 7f x  1 2( ) | ( 4 ) ( 2 3) | | (2 1) 2 | 2m m mf x x x ++ − + − = − +  1m = 2 5, 1 ( ) 4 1 3, 4 1 2 5, 4 x x f x x x x x x + > − = + + + = − − − − < −  因为 ，所以 或 ， 所以 或 ， 所以不等式的解集为 或 ； （2）证明： ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和 转化思想，属于中档题． ( ) 7f x  2 5 7 1 x x +  > −  2 5 7 4 x x − −  < −  1x 6x − { | 1x x 6}x − 1 1( ) | 4 | | 2 3| | ( 4 ) ( 2 3) |m m m mf x x x x x+ += + + + − + − + − 1 2| 4 2 3| | (2 1) 2 | 2m m m+= − + = − +  2 1m = 0m = ( ) 2f x 