2019—2020 学年度上学期期中考试
高三年级理科数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先解不等式得集合 A 与 B，再根据交集定义得结果.
【详解】根据题意：集合 ，集合 ，
故选： ．
【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能
力，属基础题.
2.复数 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析： ,所以复数 的共轭复数为 ,故选 B.
考点：复数的运算与相关概念.
3.已知平面向量 满足 ， ，且 与 垂直，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
与 垂 直 ， ，
， 与 的夹角为 ，故选 D.
2{ | 1}A x x= < 2{ | log 0}B x x= < A B =
(0,1) ( 1,0)− ( 1,1)− ( ,1)−∞
{ | 1 1}A x x= − < < { | 0 1}B x x= < < (0,1)A B∴ =
A
5( 3 )z i i i= − + i z
2 i− 2 i+ 4 i− 4 i+
5( 3 ) 2z i i i i= − − = − z 2 i+
,a b | | 3a = 2 3b = a b+ a a b
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
a b+
a ( ) 0, 9, 9a b a a a b a b a∴ + ⋅ = ∴ ⋅ = − ⋅ = ⋅ = −
9 3cos , 23 2 3
a ba b
a b
⋅ −∴ = = = −
× a∴ b 5
6
π4.下列命题中，说法正确的个数是（ ）
（1）若 p q 为真命题，则 p，q 均为真命题
（2）命题“∃x0∈R， 0”的否定是“∀x∈R，2x 0”
（3）“ ”是“∀x∈[1，2]，x2﹣ 恒成立”的充分条件
（4）在△ABC 中，“ ”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件
（5）命题“若 x2＝1，则 x＝1”的否命题为：“若 x2＝1，则 x≠1”
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
(1)根据真值表判断,(2)(3)(4)根据充分必要条件的用法以及特称全称量词的用法进行判断(5)根
据否命题的形式判断即可.
【详解】对(1),p q 为真命题只需 p,q 中一真即可满足,故(1)不正确.(2)正确.
对(3),“∀x∈[1,2],x2﹣ 恒成立”,则 恒成立,即 ,又 为 的充分条件,
故(3)正确.
对(4),三角形正弦定理 ,故 ,即“ ”是“sinA＞sinB”的充要
条件,故(4)错误.
对(5),命题“若 x2＝1,则 x＝1”的否命题为：“若 ,则 x≠1”,故 (5)错误.
故选：B
【点睛】本题主要考查命题真假的判断,充分必要条件的关系以及否命题,属于基础题型.
5.设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点 处的
切线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得 ，进而得到 的解析式，再对 求
导得出切线的斜率 ，进而求得切线方程.
∨
02x ≤ >
5a ≥ 0a ≤
a b>
∨
0a ≤ 2x a≤ 4a ≥ 5a ≥ 4a ≥
sin sin
a b
A B
= sin sina b A B> ⇔ > a b>
2 1x ≠
( ) ( )3 21f x x a x ax= + − + ( )f x ( )y f x= ( )0 0，
2y x= − y x= − 2y x= y x=
1a = ( )f x ( )f x
k详解：因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
化简可得 ，故选 D.
点睛：该题考查的是有关曲线 在某个点 处的切线方程的问题，在求解的
过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，
偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ，借助于导数
的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
6.已知函数 ，先将 图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵
坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移 个单位长度，得到的图象关于 轴对
称，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利 用 辅 助 角 公 式 整 理 出 ； 由 三 角 函 数 图 象 的 平 移 得
，由图象关于 轴对称，知函数为偶函数，则 ，
，进一步得到 的最小值．
【详解】由题意得：
将 图象上所有点的横坐标缩小到原来的 得：
( )f x 1 0a − = 1a =
3( )f x x x= + 2( ) 3 1xf ' x= +
'(0) 1, (0) 0f f= =
( )y f x= (0,0) (0) '(0)y f f x− =
y x=
( )y f x= 0 0( , ( ))x f x
'( )f x
( ) sin 3cosf x x x= + ( )f x 1
2
( )0θ θ > y
θ
6
π
3
π 5
12
π 7
12
π
( ) 2sin 3f x x
π = +
2sin 2 2 3y x
πθ = − + y 2 3 2 k
π πθ π− + = +
k Z∈ θ
( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x
π = + = +
( )f x 1
2
2sin 2 3y x
π = + 所有点向右平移 个单位长度得：
关于 轴对称 函数 为偶函数
， ，
当 时， 的最小值为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查了三角函数图象的平移及三角函数图象的性质，关键是根据函数关于 轴
对称可得函数为偶函数，属中档题.
7.已知 ，函数 在区间 上单调递减, 则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：当 ， 单调递减，故
所以 ， ，所以 .
考点：三角函数的单调性.
8.已知双曲线 C： （a＞b＞0） 两条渐近线与圆 O：x2＋y2＝5 交于 M，N，P，Q
四点，若四边形 MNPQ 的面积为 8，则双曲线 C 的渐近线方程为
A. y＝± x B. y＝± x C. y＝± x D. y＝±
x
【答案】B
【解析】
的
( )0θ θ > 2sin 2 2 3y x
πθ = − +
2sin 2 2 3y x
πθ = − + y ∴ 2sin 2 2 3y x
πθ = − +
2 3 2 k
π πθ π∴− + = + k Z∈
12 2
kπ πθ∴ = − − k Z∈
0θ > ∴ 1k = − θ 5
12
π
C
y
0ω > ( ) sin( )4f x x
πω= + ,2
π π
ω
1 3,2 4
10, 2
1 5,2 4
( ]0,2
2 2
2 2 1x y
a b
－ ＝
1
4
1
2
2
2
2
4【分析】
求出交点坐标，利用四边形 为矩形面积为 8，且根据双曲线的对称性， ，
结合 可得 ，从而可得结果.
【详解】依题意，不妨设点 在第一象限，
联立 解得 （其中 ），
可知四边形 为矩形且面积为 8，且根据双曲线的对称性， ，
即 ，又因为 ，
所以可得 ，
解得 （ 舍去），
故所求渐近线方程为 ，故选 B.
【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的渐近线，属于中档题.求解与双曲线
性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及
顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它
们之间的内在联系.求双曲线的渐近线方程，关键是得到关于 的齐次方程.
9.若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
MNPQ 5 5 2a b
c c
⋅ =
2 2 2c a b= + 1
2
b
a
=
( ),M x y
2 2 5,
,
x y
by xa
+ = =
5 ,
5 ,
ax c
by c
=
=
2 2 2c a b= +
MNPQ 5 5 2a b
c c
⋅ =
22 5c ab= 2 2 2c a b= +
( ) 2
2 2
22 5 2 5 2 0b ba b ab a a
+ = ⇒ × − × + =
1
2
b
a
= 2b
a
=
1
2y x= ±
,a b
( ) 1 sin 2 sin3f x x x a x= − + R a
[ ]1,1− 11, 3
−
1 1,3 3
−
11, 3
− − 试题分析： 对 恒成立，
故 ，即 恒成立，
即 对 恒成立，构造 ，开口向下的二次函数
的最小值的可能值为端点值，故只需保证 ，解得 ．故选
C．
【考点】三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调
性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值
域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.
【此处有视频，请去附件查看】
10.已知 是双曲线 上的三个点， 经过原点 ， 经过右
焦点 ，若 且 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，连接 ，构造矩形 ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三
( ) 21 cos2 cos 03f x x a x= − +′ x R∈
( )221 2cos 1 cos 03 x a x− − +
24 5cos cos 03 3a x x− +
24 5 03 3t at− + + [ ]1,1t ∈ − ( ) 24 5
3 3f t t at= − + +
( )f t
( )
( )
11 03{ 11 03
f a
f a
− = −
= +
1 1
3 3a−
, ,A B C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > AB O AC
F BF AC⊥ 2 AF CF=
5
3
17
3
17
2
9
4
', 'AF CF 'FAF B角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率。
【详解】
设左焦点为 ， ，连接
则 ， ， ，
因为 ，且 经过原点
所以四边形 为矩形
在 Rt△ 中， ，代入
化简得
所以在 Rt△ 中， ，代入
化简得 ，即
所以选 B
【点睛】本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题。
11.已知函数 在 上都存在导函数 ，对于任意的实数都有 ，当
时， ，若 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
a c、
'F AF m= ', 'AF CF
2FC m= ' 2AF a m= + ' 2 2CF a m= + ' 2FF c=
BF AC⊥ AB O
'FAF B
'AF C 2 2 2' + 'AF AC F C=
( ) ( ) ( )2 2 22 + 3 = 2 2a m m a m+ +
2
3
am =
'AF F 2 2 2' + 'AF AF F F=
( )2 2
22 22 23 3
a aa c + + =
2
2
17
9
c
a
= 17
3e =
( )f x R ( )f x′ 2( ) e( )
xf x
f x
− = 0x <
( ) ( ) 0f x f x′+ > e (2 1) ( 1)a f a f a+ ≥ + a
20, 3
2 ,03
− [0, )+∞ ( ,0]−∞【解析】
【分析】
先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.
【详解】令 ，则当 时， ，
又 ，所以 为偶函数，
从而 等价于 ，
因此 选 B.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
12.已知函数 ，关于 的不等式 只有 1 个整数解，则实数 的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由 得 。
∴当 时， 单调递增；当 时， 单调递减。
∴当 时， 有最大值，且 ，
且 x→+∞时，f(x)→0；x→0 时，x→−∞；f(1)=0。
故在(0,1)上， ，在(1,+∞)上， ，
作出函数 f(x)的图象如下：
①当 时，由 得 ，解集为(0,1)∪(1,+∞)，
所以不等式的整数解有无数多个，不合题意；
( ) ( )xg x e f x= 0x < ( ) [ ( ) ( )] 0xg x e f x f x′ ′= + >
( ) ( ) ( ) ( )x xg x e f x e f x g x−− = − = = ( )g x
( ) ( )2 1 1ae f a f a+ ≥ + 2 1 1(2 1) ( 1), (2 1) ( 1)a ae f a e f a g a g a+ ++ ≥ + + ≥ +
2 2( | 2 1|) ( | 1|), | 2 1| | 1|,3 2 0 0.3g a g a a a a a a− + ≥ − + − + ≥ − + + ≤ ∴− ≤ ≤
( ) ln xf x x
= x ( ) ( )2 0f x af x− > a
1 1ln 2, ln32 3
1 1ln 2, ln32 3
1 1ln 2, ln32 3
1 1ln 2, ln32 3
ln( ) xf x x
= 2
1 ln( ) xf x x
−=
0 x e< < ( ) 0, ( )f x f x′ > x e> ( ) 0, ( )f x f x′ <
x e= ( )f x max
1( ) ( )f x f e e
= =
( ) 0f x < ( ) 0f x >
0a = ( ) ( )2 0f x af x− > ( ) 0f x ≠②当 时，由 得 或 。
当 时，解集为(1,+∞)，有无数个整数解；
当 时，解集为(0,1)的子集，不含有整数解。
故 不合题意。
③当 时，由 得 或 ，
当 时，解集为(0,1)，不含有整数解；
当 时，由条件知只有一个整数解。
∵ 在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ，
∴满足条件的整数解只能为 3，
∴ ，
∴ 。
综上，选 D。
点睛：函数图象在研究零点个数、解的个数中的应用
（1）研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；
（2）确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方
程 f(x)＝0 的根就是函数 f(x)图象与 x 轴的交点的横坐标，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数 f(x)与
g(x)图象交点的横坐标；
（3）研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常
将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知点 P（x，y）是抛物线 y2＝4x 上任意一点，Q 是圆（x+2）2+（y﹣4）2＝1 上任意一点，
则|PQ|+x 的最小值为_____．
【答案】3
【解析】
分析】【
0a < ( ) ( )2 0f x af x− > ( ) 0f x > ( ) 0f x a< <
( ) 0f x >
( ) 0f x a< <
0a <
0a > ( ) ( )2 0f x af x− > ( )f x a> ( ) 0f x <
( ) 0f x <
( )f x a>
( )f x (0, )e ( , )e +∞
ln 22 3, (2) (4) 2e f f< < = =
(2) (3)f a f≤ <
ln 2 ln3
2 3a≤ x e> ( )' 0h x <
( )h x∴ ( )0,e ( ),e +∞
( )h x∴ ( ) 2 1h e e e
= +
2 1a e e
≥ + a 2 1[ , )e e
+ +∞
2 1[ , )e e
+ +∞
( )a f x≥ ( )maxa f x≥ ( )a f x≤
( )mina f x≤ ( )y f x= ( )y g x=
( )min 0f x ≥ ( )max 0f x ≤
ABC∆ , ,A B C , ,a b c (2 )cos cosa c B b C− =
B
3a = ABC∆ 3 3
2 BA AC⋅
3B
π=
(2sin sin )cos sin cosA C B B C− =，由于 ，所以 ，最后得 ；（2）先由 且
得 ， 再 由 余 弦 定 理 得 ， ， 进 而 得
．
试题解析：（1）∵ ，由正弦定理得：
，
∴
∵ ，∴ ∴ ， 又 ∴ ．
（2）∵ ， 的面积为 ，∴ ∴ ，
，即 ， ，
∴ ．
考点：1、正弦余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦公式及平面向量的数量积公
式．
18.已知函数 f(x)＝2sinxcosx＋2 cos2x－ .
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调减区间；
(2)已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中 a＝7，若锐角 A 满足
，且 ，求 bc 的值．
【答案】（1）f(x)的最小正周期为 T＝ ，f(x)的单调递减区间为
（2）40
【解析】
2sin cos sinA B A= sin 0A > 1cos 2B =
3B
π= 3a =
1 3 3sin2 3 2ac
π× = 2c = 7b = 7cos 14A =
7cos( ) 2 7 ( ) 114BA AC bc Aπ⋅ = − = × × − = −
(2 )cos cosa c B b C− =
(2sin sin )cos sin cosA C B B C− =
2sin cos sin cos cos sin sin( ) sinA B C B C B B C A= + = + =
0 A π< < sin 0A > 2cos 1B = 1cos 2B = 0 B π< <
3B
π=
3a = ABC∆ 3 3
2
1 3 33 sin2 3 2c
π× = 2c =
2 2 22 3 2 2 3cos 73b
π= + − × × = 7b =
2 2 22 ( 7) 3 7cos 142 2 7
A
+ −= =
× ×
7cos( ) 2 7 ( ) 114BA AC bc Aπ⋅ = − = × × − = −
3 3
π 32 6
Af − =
13 3sin sin 14B C+ =
π 7, ( Z)12 12k k k
π ππ π + + ∈ 【分析】
（1）先利用二倍角公式和辅助角公式得到 ，再利用三角函数的周期公
式和单调性进行求解；（2）先利用 求得角 ，再利用正弦定理和余弦定理
进行求解．
【详解】(1) ，
因此 f(x)的最小正周期为 T＝ ＝π.
．
即 f(x)的单调递减区间为 ．
(2)由 ，又 A 为锐角，则 A＝ .
由正弦定理可得 ，
则 b＋c＝ ＝13，
又 ，可求得 bc＝40.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用以及三角恒等变换，意在考查学生的逻辑
思维能力和基本运算能力，属于中档题．解决本题的关键在于恰当利用正弦定理的变形进行
边角转化，正弦定理“ （ 是 外接圆的直径）”的变形
主要有：
（1） ；
（2） ；
π( ) 2sin 2 3f x x = +
π 32 6
Af − = A
2 π( ) 2sin cos 2 3 cos 3 sin 2 3 cos2 2sin 2 3f x x x x x x x = + − = + = +
2
2
π
π π 3π2 π 2 2 π ( )2 3 2k x k k+ + + ∈Z
π 7ππ , π ( Z)12 12k k k + + ∈
π π π2sin 2 2sin 32 6 2 6 3
A Af A
− = − + = =
π
3
7 14 13 32 ,sin sinsin 2 143 3
2
a b cR B CA R
+= = = + = =
13 3 14
14 3
×
2 2 2 2 2( ) 2 1cos 2 2 2
b c a b c bc aA bc bc
+ − + − −= = =
2sin sin sin
a b c RA B C
= = = 2R ΔABC
2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C= = =
sin ,sin ,sin2 2 2
a b cA B CR R R
= = =（3） ；
（4） .
19.已知抛物线 C：x2＝2y，过点（－2，4）且斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 相交于 M，N 两
点．
（1）若 k＝2，求｜MN｜的值；
（2）记直线 l1：x－y＝0 与直线 l2：x＋y－4＝0 的交点为 A，求 kAM·kAN 的值．
【答案】（1）20；（2） .
【解析】
【分析】
（1）联立 得 ，由韦达定理与弦长公式可得结果；（ 2）求得
，
设直线 的方程为： ，联立抛物线 消去 得 ，
由斜率公式求得 ， ，利用韦达定
理化简可得 .
【详解】（1）依题意，直线 ： ，
联立 故 ，
设 ，
则 ， ，
故 .
（2）联立 解得 ，故 ，
设直线 的方程为： ， ， ，
所以联立抛物线 与直线 的方程消去 得 ，
: : sin :sin :sina b c A B C=
sin sin,sinsin
a B b Ab BA a
= =
1AM ANk k⋅ = −
2 2 ,
2 8,
x y
y x
=
= +
2 4 16 0x x− − =
( )2,2A
l ( )4 2y k x− = + 2 2x y= y 2 2 4 8 0x kx k− − − =
( )11
1 1
2 22
2 2AM
k xyk x x
+ +−= =− −
( )22
2 2
2 22
2 2AN
k xyk x x
+ +−= =− −
1AM ANk k⋅ = −
l 2 8y x= +
2 2 ,
2 8,
x y
y x
=
= +
2 4 16 0x x− − =
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
1 2 4x x+ = 1 2 16x x = −
( )22 2
1 2 1 2 1 21 1 4 20MN k x x k x x x x= + − = + + − =
0,
4 0,
x y
x y
− =
+ − = 2x y= = ( )2,2A
l ( )4 2y k x− = + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
2 2x y= ( )4 2y k x− = + y 2 2 4 8 0x kx k− − − =则 ， ，
，
可得 ， ，代入 可得 .
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析
判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直
线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问
题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
20.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ， 为椭
圆上一动点（异于左右顶点）， 面积的最大值为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 相交于点 两点，问 轴上是否存在点 ，使得
是以 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由面积最大值可得 ，又 ，以及 ，解得 ，即可得到椭圆
的方程，（2）假设 轴上存在点 ， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，设
， ，线段 的中点为 ，根据韦达定理求出点 的坐标，再
根据 ， ，即可求出 的值，可得点 的坐标.
【详解】（1） 面积的最大值为 ，则：
又 ， ，解得： ，
( )11
1 1
2 22
2 2AM
k xyk x x
+ +−= =− −
( )22
2 2
2 22
2 2AN
k xyk x x
+ +−= =− −
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 4 2 4 4
2 2 2 4AM AN
k x k x k x x x x k x x
k k x x x x x x
+ + + + + + + + + + + = =− − − + +
1 2 2x x k+ = 1 2 4 8x x k= − − AM ANk k⋅ 1AM ANk k⋅ = −
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F 3
2
A
1 2AF F∆ 3
C
:l y x m= + C ,A B y M ABM∆
M M
2
2 14
x y+ =
3bc = 3
2
c
a
= 2 2 2a b c= + ,a b
y ( )0,M t ABM∆ M
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB ( )0 0,N x y N
AM BM⊥ MN l⊥ m M
1 2AF F∆ 3 3bc =
3
2
ce a
= = 2 2 2a b c= + 2 4a = 2 1b =椭圆 的方程为：
（2）假设 轴上存在点 ， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形
设 ， ，线段 的中点为
由 ，消去 可得：
，解得：
∴ ，
，
依题意有 ，
由 可得： ，可得：
由 可得：
，
代入上式化简可得：
则： ，解得：
当 时，点 满足题意；当 时，点 满足题意
故 轴上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形
【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转
化能力，属于中档题.
∴ C
2
2 14
x y+ =
y ( )0,M t ABM∆ M
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB ( )0 0,N x y
2
2 14
x y
y x m
+ =
= +
y 2 25 8 4 4 0x mx m+ + − =
( ) ( )2 2 264 20 4 4 16 5 0m m m∆ = − − = − > 2 5m <
1 2
8
5
mx x∴ + = − 2
1 2
4 4
5
mx x
−=
1 2
0
4
2 5
x x mx
+∴ = = − 0 0 5
my x m= + = 4 ,5 5
m mN ∴ −
AM BM⊥ MN l⊥
MN l⊥ 5 1 140 15
mt
m
−
× = − − − ×
3
5
mt = −
AM BM⊥ 1 2
1 2
1y t y t
x x
− −⋅ = −
1 1y x m= + 2 2y x m= +
( )( ) ( )2
1 2 1 22 0x x m t x x m t+ − + + − =
( )2 2 22 4 4 8 8 05 5 5
m m m− − + = 1m = ±
1m = 30, 5M − 1m = − 30, 5M
y 30, 5M ± ABM∆ M21.已知函数
（1）当 时， 取得极值，求 的值并判断 是极大值点还是极小值点；
（2）当函数 有两个极值点 且 时，总有 成立，
求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ， 为极大值点（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出函数的导数，求出 a 的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；
（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为 [2lnx1 ]＞0，根据 0＜x1＜1 时，
0.1＜x1＜2 时， 0．即 h（x）＝2lnx （0＜x＜2），通过讨论 t 的
范围求出函数的单调性，从而确定 t 的范围即可．
【详解】（Ⅰ） ， ，则
从而 ，所以 时， ， 为增函数；
时， ， 为减函数，所以 为极大值点.
（Ⅱ）函数 的定义域为 ，有两个极值点
， ，则 在 上有两个不等的正实根，所以
，
由 可得
从而问题转化为在 ，且 时 成立.
2( ) 8 ln ( ).f x x x a x a R= − + ∈
1x = ( )f x a 1x =
( )f x 1 2 1 2, ( ),x x x x< 1 1x ≠ 21
1 1
1
ln (4 3 )1
a x t x xx
> + −−
t
6a = 1x = 1t ≤ −
1
11
x
x−
2
1
1
( 1)t x
x
−+
1
11
x
x− ＞ 1
11
x
x− ＜
2( 1)t x
x
−+
( ) 22 8 ( 0)x x af x xx
− += >′ ( )1 0f ′ = 6a =
( ) ( )( )2 1 3 ( 0)x xf x xx
− −= >′ ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )1,3x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 1x =
( )f x ( )0,+∞
1x 2 1 2( )x x x< ( ) 22 8 0t x x x a= − + = ( )0,+∞
0 8a< <
1 2
1 2
1 2
4
2
x x
ax x
x x
+ =
=
+ −−
( )1 1
1
1
2 ln 11
x x t xx
> +− ( )1 1
1
1
2 ln 1 01
x x t xx
− + >−
( )2
11
1
1 1
1
2ln 01
t xx xx x
−
+ >−
( ) ( )2 1
2ln (0 2)
t x
h x x xx
−
= + < < ( ) 2
2
2 (0 2)tx x th x xx
+ + < ( )h x ( )0,2 ( )1 0h = ( )1,2
0t < 24 4t∆ = −
0∆ ≤ 1t ≤ − ( ) 0h x′ ≤ ( )h x ( )0,2 ( )1 0h =
1
11
x
x−
( )2
1
1
1
1
2ln
t x
x x
−
+ ( )0,1 ( )1,2
0∆ > 1 0t− < < 2 2y tx x t= + + 1 1x t
= − >
1min ,2a t
= − 1 x a< < ( ) 0h x >
1t ≤ −
xOy l
1 cos2
sin
x t
y t
α
α
= +
=
t 0 α π< <
x C 2
2cos
sin
θρ θ=
C
l C ,A B 8AB = α
2 2=y x 6
πα = 5
6
π分析】
（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐
标 方 程 ， 可 求 得 和 ， 根 据 直 线 参 数 方 程 参 数 的 几 何 意 义 可 知
，代入可求得结果.
【详解】（1）由 ，得
，即
（2）将直线 的参数方程代入曲线 的方程得：
设 是方程 根，则： ，
∴
，又
或
【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够
根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于 的方程，属中档题．
23.已知函数 f（x）＝|2x﹣1|+|x+a|，g（x）＝x+2．
（1）当 a＝﹣1 时，求不等式 f（x） g（x）的解集：
（2）设 ，且当 x∈[﹣a， ），f（x）≥g（x），求 a 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
(1)当 时对 进行分类讨论去掉绝对值符号,再每种情况下分别解出不等式的解集即可.
(2)根据 的范围化简 ,将问题转化不等式中的恒成立问题即可.
【详解】 当 时, ,
【
的
1 2t t+ 1 2t t
( )2
1 2 1 2 1 24AB t t t t t t= − = + −
2
2cos
sin
θρ θ= 2sin 2cosρ θ θ=
2 2sin 2 cosρ θ ρ θ∴ = 2 2y x=
l C 2 2sin 2 cos 1 0t tα α− − =
( )2 22cos 4sin 4 0α α∆ = − + = >
1 2,t t 1 2 2
2cos
sint t
α
α+ = 1 2 2
1
sint t α= −
( ) 2
2
1 2 1 2 1 2 4 2 2
4cos 4 24 8sin sin sinAB t t t t t t
α
α α α= − = + − = + = =
2 1sin 4
α∴ = 0 α π< <
1sin 2
α∴ =
6
πα∴ = 5
6
π
α
<
1
2a > − 1
2
{ | 0 2}x x< < [ )2,+∞
1a = − x
x ( )f x
( )1 1a = − ( ) 2 1 1f x x x= − + −①当 时 ,此时 ,即 ．
解得 故 ；
②当 时, ,此时 ,即 恒成立．
此时解即为 ；
③当 时, ,此时 ,即 ．
解得 故 ．
综上所述,可得不等式 的解集为： ．
由题意, , ,
则 ．
此时 在 上恒成立．
即 在 上恒成立．令 ,很明显 在 上单调递增．
． ．
故 a 的取值范围为： ．
【点睛】本题主要考查解绝对值不等式和不等式中的恒成立问题,同时也考查了分类讨论的思
想,属于中等难度问题.
1
2x < ( ) 2 1 1 3 2f x x x x= − + − + = − + ( ) ( )f x g x< 3 2 2x x− + < +
0.x > 10 2x< <
1 12 x≤ < ( ) 2 1 1f x x x x= − − + = ( ) ( )f x g x< 2x x< +
1 12 x≤ <
1x ≥ ( ) 2 1 1 3 2f x x x x= − + − = − ( ) ( )f x g x< 3 2 2x x− < +
2.x < 1 2x≤ <
( ) ( )f x g x< { | 0 2}x x< <
( )2 1
2a > − 1
2a− <
( ) 2 1 2 1 1f x x x a x x a x a= − + + = − + + + = − + +
( ) ( ) 1 2 2 1 0f x g x x a x a x− = − + + − − = − − ≥ 1, 2a −
2 1a x≥ + 1, 2a −
( ) 2 1h x x= + ( )h x 1, 2a −
1 1( ) 2 1 22 2maxh x h ∴ = = × + = 2a∴ ≥
[ )2,+∞
微信/支付宝扫码支付