衡水中学2020届高三数学(理)上学期期中试题(附解析Word版)
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衡水中学2020届高三数学(理)上学期期中试题(附解析Word版)

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资料简介
2019-2020 学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(理科) 一、选择题 1.已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则实数 的值为(  ) A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出 在点 处的切线斜率,然后利用两直线垂直的条件可求出 的值. 【详解】由题意, , ,则曲线 在点 处的切线斜率为 4,由于切线与直线 垂直,则 ,解得 . 故选 C. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了两直线垂直的性质,考查了计算能力,属于基 础题. 2.已知各项不为 0 的等差数列 满足 ,数列 是等比数列且 , 则 等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意可得: , ,则: . 本题选择 C 选项. 3.对于函数 ,若存在区间 使得 则称函数 为“同域 函数”,区间 A 为函数 的一个“同城区间”.给出下列四个函数: ① ;② ;③ ;④ . 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是( ) ( ) cos 3f x x x x= + ( )( )0, 0f 4 1 0ax y+ + = a ( )f x ( )( )0, 0f a ( ) cos sin 3f x x x x′ = − + ( )0 cos0 3 4f ′ = + = ( )f x ( )( )0, 0f 4 1 0ax y+ + = 4 14 a− × = − 1a = { }na 2 5 7 82 2 0a a a− + = { }nb 7 7b a= 2 12b b 4 9 3 2 9 4 2 3 ( ) ( )2 2 2 5 7 8 7 7 7 7 72 2 2 2 2 3 2 0a a a a d a a d a a− + = − − + + = − = 7 7 30, 2a a≠ ∴ = 2 2 2 12 7 7 9 4b b b a= = = ( )f x [ , ]A m n= { | ( ), }y y f x x A A= ∈ = ( )f x ( )f x ( ) cos 2f x x π= 2( ) 1f x x= − 2( ) | 1|f x x= − 2( ) log ( 1)f x x= −A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 ① , x∈[0 , 1] 时 , f ( x ) ∈[0 , 1] , 所 以 ① 存 在 同 域 区 间 ; ② , x∈[-1 , 0] 时 , f ( x ) ∈[-1 , 0] , 所 以 ② 存 在 同 域 区 间 ; ③ , x∈[0 , 1] 时 , f ( x ) ∈[0 , 1] , 所 以 ③ 存 在 同 域 区 间 ; ④ ,判断该函数是否有同域区间,即判断该函数和函数 y=x 是否有两个交 点;而根据这两个函数图象可以看出不存在交点,所以该函数不存在同域区间.故答案为 ①②③. 点睛:本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解,涉及到二次函数、余弦函数的值域的 求解,函数图像的相交等,属于难题.本题在判断邻域时,需要知道通过判断函数 f(x)和函 数 y=x 图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法. 4.设 为两个非零向量 的夹角,已知对任意实数 , 的最小值为 1,下列说法正确 的是( ) A. 若 确定,则 唯一确定 B. 若 确定,则 唯一确定 C. 若 确定,则 唯一确定 D. 若 确定,则 唯一确定 【答案】B 【解析】 【分析】 对式子 平方转化成关于 的二次函数,再利用最小值为 1,得到 ,进 而判断 与 之间的关系. 【详解】 . 因为 ,所以 . 所以 ,所以 ,即 .所以 确定, 唯一确定. ( ) cos 2f x x π= ( ) 2 1f x x= − ( ) 2 1f x x= − ( ) ( )2log 1f x x= − θ ,a b  t b ta+  θ a θ b a θ b θ b ta+  t ( )2 21 cos 1b θ− = θ b 2 2 22 22 22 2 cosb ta b ta b t a a t a b t bθ+ = + ⋅ + = + ⋅ ⋅ +          min 1b ta+ =  ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 cos 1 cos 1 4 a b a b b a θ θ ⋅ − ⋅ = − =       2 2sin 1b θ = sin 1b θ = 1 sinb θ= θ b故选 B. 【点睛】本题考查向量模的最值、数量积运算、向量夹角等知识,考查与二次函数进行交会, 求解时不能被复杂的表达式搞晕,而是要抓住问题的本质,始终把 看成实数. 5.已知点 是直线 上一动点, 与 是圆 的两 条切线, 为切点,则四边形 的最小面积为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用当 与直线 垂直时, 取最小值,并利用点到直线的距离公式计算出 的最小值,然后利用勾股定理计算出 、 的最小值,最后利用三角形的面积公 式可求出四边形 面积的最小值. 【详解】如下图所示: 由切线的性质可知, , ,且 , , 当 取最小值时, 、 也取得最小值, 显然当 与直线 垂直时, 取最小值,且该最小值为点 到直线 2 2| | ,| |a b  ( ),P x y 2 2 4y x= − PM PN ( )22: 1 1C x y+ − = ,M N PMCN 4 3 2 3 5 3 5 6 CP 2 2 4y x= − PC PC PM PN PMCN CM PM⊥ CN PN⊥ PCM PCN∆ ≅ ∆ 2 2 2 1PM PN PC CM PC= = − = − PC PM PN CP 2 2 4y x= − PC ( )0,1C的距离,即 , 此时, , 四边形 面积的最小值为 ,故选 A. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查切线长的计算以及四边形的面积,本题在求解 切线长的最小值时,要抓住以下两点: (1)计算切线长应利用勾股定理,即以点到圆心的距离为斜边,切线长与半径为两直角边; (2)切线长取最小值时,点到圆心的距离也取到最小值. 6.已知函数 的部分图象如图所示,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据图像最低点求得 ,根据函数图像上两个特殊点求得 的值,由此求得函数 解 析式,进而求得 的值. 【 详 解 】 根 据 图 像 可 知 , 函 数 图 像 最 低 点 为 , 故 , 所 以 2 2 4y x= − ( ) ( )min 2 2 1 4 5 32 2 1 PC − −= = + − 2 2 min min min 5 41 13 3PM PN PC  = = − = − =   ∴ PMCN min 1 1 4 42 2 12 2 3 3PM CM× ⋅ = × × × = ( ) sin( )( 0, 0,0 )2f x A wx A πϕ ω ϕ= + > > < < 3( )4f π = 2 2 − 1 2 − 1− 2 2 A ,ω ϕ ( )f x 3π 4f      7π , 212  −   2A =,将点 代入 解析式得 , 解得 ,故 ,所以 ,故选 C. 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式,并求三角函数值,属于中档 题. 7.已知函数 ,若 恒成立,则实数 a 的最小正值 为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简 f(x),分析出 f(x)本身的最小正周期 T,再根据 分析出用 a 表示 f(x) 的最小正周期,最后根据两者相等,求得 a 的最小正值. 【详解】由 ,则 ,所以 f(x) 最小正周期 T= 因为 ,则 ,这 f(x)的最小正周期 T= ,所以 = ,所以实数 a 的最小正值是 ,故答案选 D 【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的的周期,同时要会通过函数满足的关系式,分析 函数周期 8.设 为数列 的前 项和, , ,则数列 的前 20 项和为( ) A. B. C. D. 的 ( ) 2sin( )f x xω ϕ= + ( ) 7π0, 3 , , 212  −   ( )f x 2sin 3 7π2sin 212 ϕ ω ϕ  =  + = −    2 π 3 ω ϕ = = ( ) π2sin 2 3f x x = +   3π 3π π2sin 2 14 4 3f    = × + = −       1( ) 4sin cos2f x x x= − ( ) ( )f x a f x a− = − + 2π π 2 π 4 π ( ) ( )f x a f x a− = − + 1( ) 4sin cos2f x x x= − 1( ) 2sin 22f x x= − π ( ) ( )f x a f x a− = − + ' , ( ) ( 2 )x x a f x f x a= + = − +‘ ,令 则 , 4 a 4 a π 4 π nS { }na n 1 1a = 1 2n na S+ = 1{ } na 19 3 1 2 2 3 − × 19 7 1 4 4 3 − × 18 3 1 2 2 3 − × 18 7 1 4 4 3 − ×【答案】D 【解析】 , 相减得 由 得出 , = = 故选 D 点睛:已知数列的 与 的等量关系,往往是再写一项,作差处理得出递推关系,一定要注 意 n 的范围,有的时候要检验 n=1 的时候,本题就是检验 n=1,不符合,通项是分段的. 9.椭圆 的左右焦点分别是 、 ,以 为圆心的圆过椭圆的中心,且 与椭圆交于点 P,若直线 恰好与圆 相切于点 P,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义可知 ,又 恰好与圆 相切于点 P,可知 且 ,即可列出方程求椭圆的离心率. 【详解】由 恰好与圆 相切于点 P,可知 ,且 , 又 ,可知 , 在 中, , 1 2n na S+ = ∴ 12n na S −= ( )1 3 2n na a n+ = ≥ 1 1a = 2 2 12, 3a a a= ≠ ( ) 2 1, 1 2 3 , 2nn n a n− ==  ≥ 1 na 2 1, 1 1 1 , 22 3 n n n − =    ≥    0 1 18 1 2 20 1 1 1 1 1 1 1...... 1 ......2 3 3 3a a a       ∴ + + + = + + + +              19 19 111 1 3 131 1 112 2 2 31 3   −       = + = + ⋅ −       −    18 7 1 4 4 3 − × na nS 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F 2F 1PF 2F 3 1 2 + 3 1− 2 2 5 1 2 − 1 2| || | 2PF PF a+ = 1PF 2F 2| |PF c= 1 2PF PF⊥ 1PF 2F 2| |PF c= 1 2PF PF⊥ 1 2| || | 2PF PF a+ = 1| | 2PF a c= − 1 2Rt PF F∆ 2 2 2(2 ) 4a c c c− + =即 所以 , 解得 , 故选:B 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义,椭圆的简单几何性质,圆的切线的性质,属于中档题. 10.已知函数 的图像的一条对称轴为直线 ,且 ,则 的最小值为( ) A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 运用辅助角公式,化简函数 的解析式,由对称轴的方程,求得 的值,得出函数 的解析式,集合正弦函数的最值,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,函数 为辅助角 , 由于函数的对称轴的方程为 ,且 , 即 ,解得 ,所以 , 又由 ,所以函数必须取得最大值和最小值, 所以可设 , , 所以 , 当 时, 的最小值 ,故选 D. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质,其中解答中利用三角恒等变换的公式,化 简函数的解析式,合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键,着重考查了分析问题和 解答问题的能力,属于中档试题. 2 22 2a ac c− = 2 2 2 0, (0,1)e e e+ − = ∈ 2 12 3 12e − += = − ( ) sin 3 cosf x a x x= − 5 6x π= 1 2( ) ( ) 4f x f x⋅ = − 1 2x x+ 3 π− 3 π 2 3 π ( )f x a ( )f x 2( ) sin 3 cos 3sin( )(f x a x x a x θ θ= − = + + ) 5 6x π= 5 3( )6 2 2 af π = + 23 32 2 a a+ = + 1a = ( ) 2sin( )3f x x π= − 1 2( ) ( ) 4f x f x⋅ = − 1 1 1 52 ,6x k k Z ππ= + ∈ 2 2 22 ,6x k k Z ππ= − ∈ 1 2 1 2 22 2 ,3x x k k k Z ππ π+ = + + ∈ 1 2 0k k= = 1 2x x+ 2 3 π11.若函数 只有一个极值点,则 k 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数求导函数 f′(x)=ex(x﹣2)﹣kx2+2kx=(x﹣2)(ex﹣kx),只有一个极值点时 f′ (x)=0 只有一个实数解,有 ex﹣kx≥0,设新函数设 u(x)=ex,v(x)=kx,等价转化数 形结合法即可得出结论, 【详解】解:函数 f(x)=ex(x﹣3)﹣ kx3+kx2 只有一个极值点, f′(x)=ex(x﹣2)﹣kx2+2kx=(x﹣2)(ex﹣kx), 若函数 f(x)=ex(x﹣3)﹣ kx3+kx2 只有一个极值点,f′(x)=0 只有一个实数解, 则:ex﹣kx≥0, 从而得到:ex≥kx, 当 k=0 时,成立. 当 k≠0 时,设 u(x)=ex,v(x)=kx 如图: 当两函数相切时,k=e,此时得到 k 的最大值,但 k<0 时不成立. 故 k 的取值范围为:(0,e] 综上:k 的取值范围为:[0,e] 故选 B. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法,数 3 21( ) ( 3) 3 xf x e x kx kx= − − + () ( , )e−∞ (0, ]e ( ,2)−∞ (0,2] 1 3 1 3形结合法,考查了推理能力,属于中档题. 12.双曲线 左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交曲线左支于 A, B 两点,△F2AB 是以 A 为直角顶点的直角三角形,且∠AF2B=30°.若该双曲线的离心率为 e,则 e2=(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 ,根据 是以 为直角顶点的直角三角形,且 ,以及双曲线 的性质可得 ,再根据勾股定理求得 的关系式,即 可求解. 【详解】由题意,设 ,如图所示, 因为 是以 为直角顶点的直角三角形,且 , 由 ,所以 , 由 ,所以 , 所以 ,即 , 所以 , 所以 , , 在直角 中, ,即 , 整理得 ,所以 , 故选 D. 的( )2 2 2 2 1 0 0x y a ba b − = > , > 11 4 3+ 13 5 3+ 16 6 3− 19 10 3− 2 2BF m= 2F AB∆ A 2 30AF B∠ =  2 12 (3 3), 2 (2 3)AF a AF a= − = − ,a c 2 2BF m= 2F AB∆ A 2 30AF B∠ =  2 1 2AF AF a− = 1 3 2AF m a= − 2 1 2BF BF a− = 1 2 2BF m a= − 1 1AF BF AB+ = 3 2 2 2m a m a m− + − = 2 ( 3 1)m a= − 2 3 2 ( 3 1) 2 (3 3)AF a a= ⋅ − = − 1 2 (3 3) 2 2 (2 3)AF a a a= − − = − 1 2F AF∆ 2 2 2 1 2 4AF AF c+ = 2 2 2 2 24 (3 3) 4 (2 3) 4a a c− + − = 2 2(19 10 3)a c− = 2 2 2 19 10 3ce a = = − 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义,以及双曲线的几何性质——离心率的求解,其中求 双曲线的离心率(或范围),常见有两种方法:①求出 ,代入公式 ;②只需要根据一 个条件得到关于 的齐次式,转化为 的齐次式,然后转化为关于 的方程,即可得 的值(范围).. 二、填空题 13.已知向量 ,且 ,则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】 把 平方,将 代入,化简即可得结果. 【详解】因为 , 所以 , ,故答案为 . 【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式,属于中档题.平面向量数量积公式有 两种形式,一是 ,二是 ,主要应用以下几个方面:(1)求向 量的夹角, (此时 往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投 影是 ;(3) 向量垂直则 ;(4)求向量 的模(平方后需求 ). 14.已知抛物线 E: 的焦点为 F,准线为 l,过 F 的直线 m 与 E 交于 A,B 两点,过 A ,a c ce a = , ,a b c ,a c e e , , 1, 2a b a b= =   2 10a b+ =  a b⋅ =  1 2 2 10a b+ =  1, 2a b= =  1, 2a b= =  2 22 4 4 8 4 10a b a a b b a b+ = + ⋅ + = + ⋅ =       1 2a b∴ ⋅ = 1 2 cosa b a b θ⋅ =    1 2 1 2a b x x y y⋅ = +  cos a b a b θ =      a b   a b a b b ⋅   ,a b  0a b⋅ =  ma nb+  a b⋅  2 12y x=作 ,垂足为 M,AM 的中点为 N,若 ,则 ___________. 【答案】16 【解析】 【分析】 由题意画出图形,得到直线 的斜率,进一步求得直线 的方程,与抛物线方程联立求解 即可得答案. 【详解】 , 为 的中点,且 , ,则直线 的倾斜角为 ,斜率为 . 由抛物线 ,得 ,则直线 的方程为 . 联立 ,得 . 则 , . 故答案为:16. 【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用, 属于中档题. 15.已知函数 ,若当 时, 有解,则 m 的取值 范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】 先求导数,判断函数 的单调性,可得 时大致图象,利用数形结合 AM l⊥ AM FN⊥ AB = AB AB AF AM= N AM FN AM⊥ 30AFN∴∠ = ° AB 60° 3 2 12y x= (3,0)F AB 3( 3)y x= − 2 3( 3) 12 y x y x  = − = 2 10 9 0x x− + = 10A Bx x+ = | | 16A BAB x x p∴ = + + = 2 1( ) ( )2 xf x x x e −= − 1x > ( ) 1 0f x mx m− + + ≤ ( 1, )− +∞ 2 1( ) ( )2 xf x x x e −= − 1x >求解. 【详解】 过定点 当 时, 有解 当 时,存在 在 的下方, 令 ,解得 , 当 时, ,当 时, , 在 上递减,在 上递增, 当 时, , 又 , 作函数 , 的大致图象: 由图象可知: 时满足条件, 故答案为: 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值、图象,直线过定点,数形结合, 属于难题. 16.数列 为 1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4,…,首先给出 ,接 着复制该项后,再添加其后继数 2,于是 , ,然后再复制前面所有的项 1,1,2, 再添加 2 的后继数 3,于是 , , , ,接下来再复制前面所有的项 1, ( ) 1 0f x mx m− + +  ( ) ( 1) 1f x m x∴ − − ( 1) 1y m x= − − (1, 1)−  1x > ( ) 1 0f x mx m− + + ≤ ∴ 1x > ( )y f x= ( 1) 1y m x= − − ( )2 1( ) 2 xf x x e −′ = − ( ) 0f x′ = 2x = 1 2x< < ( ) 0f x′ < 2x > ( ) 0f x′ > ( )f x∴ (1, 2) ( 2, )+∞  2x > ( ) 0f x > (1) 1, ( 2) 1, (2) 0f f f= − < − = ( )y f x= ( 1) 1y m x= − − 1m > − ( 1, )− +∞ { }na 1 1a = 2 1a = 3 2a = 4 1a = 5 1a = 6 2a = 7 3a =1,2,1,1,2,3,再添加 4,…,如此继续,则 ______. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据数列构造方法可知: ,即 ;根据变化规律可得 ,从而得到结果. 【详解】由数列 的构造方法可知 , , , ,可得: 即: 本题正确结果: 【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项,关键是能够根据构造特点得到数列 各项之间的关系,考查学生的归纳总结能力. 三、解答题 17.如图为一块边长为 的等边三角形地块 ,为响应国家号召,现对这块地进行绿化 改造,计划从 的中点 出发引出两条成 角的线段 和 ,与 和 围成四边 形区域 ,在该区域内种上草坪,其余区域修建成停车场,设 . (1)当 时,求绿化面积; (2)试求地块的绿化面积 的取值范围. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 2019a = 2 1na n− = ( )2 1 1 2 1n n kka a k− + = ≤ < − 2019 2a a= { }na 1 1a = 3 2a = 7 3a = 15 4a = 2 1na n− = ( )2 1 1 2 1n n kka a k− + = ≤ < − 2019 996 485 230 103 40 9 2 1a a a a a a a a∴ = = = = = = = = 1 2km ABC BC D 60 DE DF AB AC AEDF BDE α∠ = 60α =  ( )S α 23 2 km 3 3 3,8 2     【分析】 (1)根据角度可确定四边形 为平行四边形,则 和 均为边长为 的等 边三角形;利用 即可求得结果;(2)利用正弦定理,用 表示出 和 , 利 用 两 角 和 差 公 式 、 二 倍 角 公 式 和 辅 助 角 公 式 可 将 化 简 为 ,利用 可求得 的范围;从而将所求面积表示为 ,进而得到所求范围. 【详解】(1)当 时, , 四边形 为平行四边形,则 和 均为边长为 的等边三角形 又 , 绿化面积为: (2)由题意知: 在 中, ,由正弦定理得: 在 中, , 由正弦定理得: AEDF BDE∆ CDF∆ 1km ABC BDE CDFS S S∆ ∆ ∆− − α BE CF BE CF+ ( ) 31 2sin 2 30 1α + − + 30 90α< 0 1x< < ( ) 0h x′ < ( )h x 1x ≥ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x ( )h x 3(1) 1 0h e = − < 1x e = 1 1 1 3 ( 1) 2( ) ( 1)( 1) ( 1) 0m e eh me e e e e − + −= − − + − − − = > ( )h x 1( ,1)e x e= 3( ) ( 1) 1 0h e m e e e = − + − − > ( )h x (1, )e 2 1 1x x e e − < − 1 2 1x e x e + > +用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范 围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题. 22.已知椭圆 : 的离心率为 ,且过定点 . (1)求椭圆 的方程; (2)已知直线 与椭圆 交于 两点,试问在 轴上是否存在定点 , 使得以弦 为直径的圆恒过点 ?若存在,求出点 的坐标和 的面积的最大值;若 不存在,请说明理由. 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 【分析】 (1)本问考查了椭圆的离心率公式,以及椭圆的方程、性质,通过条件构建关于基本量 的方程组,求解即可. (2)本题考查了直线与椭圆的位置关系,利用条件以弦 为直径的圆 恒过点 ,将几何关系代数化,利用韦达定理建立方程,判断方程是否有解. 【详解】解:(1)由已知 ,椭圆 的方程为 . (2)由 得 .① 设 ,则 方程①的两根, C 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b + = > > 2 2 2(1, )2M C 1: ( )3l y kx k R= − ∈ C ,A B y P AB P P PAB∆ 2 22 4 15 5 y x+ = , ,a b c AB P 2 2 2 2 2 2 2 2 52 2 51 1 1 42 ce a a b c a b a b  = =  =  + = ⇒    = + =   C 2 22 4 15 5 y x+ = 2 2 1 3 2 4 15 5 y kx y x  = −  + = 2 29(2 4) 12 43 0k x kx+ − − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2,x x 1 2 1 22 2 12 43,9(2 4) 9(2 4) kx x x xk k ∴ + = = −+ +设 ,则 , 假设在 y 轴上存在定点 P,使得以弦 为直径 圆恒过点 P, 则 ,即 , 即 对任意 恒成立, 此方程组无解,∴不存在定点满足条件. 【点睛】本题的关键是将条件“以弦 为直径的圆恒过点 ”,几何关系代数化,和联立方 程组得到的韦达定理联系起来,建立关于参数 的方程. 的 (0, )P p 1 1 2 2( , ), ( , )PA x y p PB x y p= − = −  2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2( ) ( )( ) ( )3 3 3 pPA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p⋅ = + − + + = + − − − + + +  2 2 2 2 (18 45) 36 24 39 9(2 4) p k p p k − + + −= + AB PA PB⊥  0PA PB⋅ =  2 2 2(18 45) 36 24 39 0p k p p− + + − = k ∈R 2 2 18 45 0 36 24 39 0 p p p  − =∴ + − = AB P p

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