衡水中学2020届高三数学(文)上学期期中试题(附解析Word版)
加入VIP免费下载

衡水中学2020届高三数学(文)上学期期中试题(附解析Word版)

ID:420454

大小:1.05 MB

页数:20页

时间:2020-12-23

加入VIP免费下载
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天资源网负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。
网站客服:403074932
资料简介
2019-2020 学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(文科) 一、选择题 1.下列函数中,既是偶函数又在 上单调递增的是    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义,可得 A,B,D 是偶函数,再利用函数单调性的性质,即可得出结论. 【详解】根据偶函数的定义 ,可得 A,B,D 是偶函数,B 在 上单调递 减,D 在 上有增有减,A 在 上单调递增, 故选 A. 【点睛】本题考查函数单调性的性质,考查函数的奇偶性,考查学生分析解决问题的能力, 比较基础. 2.等差数列 的前 项和为 ,已知 .则 等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设等差数列 的公差为 ,又 , 所以 ,解得 , 所以 ,故选 C. 3.已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则实数 的值为(  ) A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 ( )0,+∞ ( ) lny x= 2y x= − xy e= cosy x= ( ) ( )f x f x= − ( )0,+∞ ( )0,+∞ ( )0,+∞ { }na n nS 1 7 5100,5 7 70a S S= − − = 101S 100 50 0 50− { }na d 1 100a = − 7 5 7 6 5 45 7 5( 700 ) 7( 500 ) 702 2S S d d × ×− = − + − − + = 2d = 101 101 100101 ( 100) 2 02S ×= × − + × = ( ) cos 3f x x x x= + ( )( )0, 0f 4 1 0ax y+ + = a【分析】 先求出 在点 处的切线斜率,然后利用两直线垂直的条件可求出 的值. 【详解】由题意, , ,则曲线 在点 处的切线斜率为 4,由于切线与直线 垂直,则 ,解得 . 故选 C. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了两直线垂直的性质,考查了计算能力,属于基 础题. 4.在 中, 是 边上一点, ,且 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 ,用基向量 表示 ,然后与题目条件对照,即可求出. 【详解】由在 中, 是 边上一点, , 则 , 即 ,故选 . 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用及向量的线性运算. 5.已知双曲线离心率 ,与椭圆 有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 ( )f x ( )( )0, 0f a ( ) cos sin 3f x x x x′ = − + ( )0 cos0 3 4f ′ = + = ( )f x ( )( )0, 0f 4 1 0ax y+ + = 4 14 a− × = − 1a = ABC∆ D AB 2AD DB=  2 3CD AC CBλ= +   λ 1 4 1 4 − 1 3 1 3 − 2AD DB=  ,AC CB  CD ABC∆ D AB 2AD DB=  1 1 1 2( )3 3 3 3CD CB BD CB BA CB CA CB AC CB= + = + = + − = − +          1 3 λ = − D 2e = 2 2 124 8 x y+ = 1 3y x= ± 3 3y x= ± 3y x= ± 2 3y x= ±先求出椭圆 的焦点 和 ,所以双曲线方程可设为 ,所以 其渐近线方程为 ,由题意得双曲线的 ,再根据其离心率 ,求出 ,根据 ,得到 ,从而得到双曲线的渐近线方程,求出答案. 【详解】因为椭圆 ,其焦点为 和 , 因为双曲线与椭圆有相同的焦点, 所以设双曲线的方程为 ,则其渐近线方程为 , 且双曲线中 因为双曲线的离心率 ,所以 , 又因双曲线中 所以 ,即 , 所以双曲线的渐近线方程为 故选 C 项. 【点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求 ,双曲线的渐近线,属于简单题. 6.已知角 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知利用诱导公式可求 , ,再由二倍角公式 化简,即可得结果. 【详解】 , 2 2 124 8 x y+ = ( )4,0 ( )4,0− 2 2 2 2 1x y a b − = by xa = ± 4c = 2e = a 2 2 2c a b= + b 2 2 124 8 x y+ = ( )4,0 ( )4,0− 2 2 2 2 1x y a b − = by xa = ± 4c = 2ce a = = 2a = 2 2 2c a b= + 2 2 2 12b c a= − = 2 3b = 3y x= ± , ,a b c α 1cos( )6 3 πα + = sin(2 )6 πα − = 4 2 9 − 4 2 9 7 9 − 7 9 1 3 3sin π α − =   sin 2 26 3cos π πα α   − = −       1 6 2 6 3 3cos sin sin π π π πα α α      + = − + = − =             . 故选 D. 【点睛】本题主要考查了诱导公式,二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础 题.三角函数求值有三类,(1)“给角求值”;(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的 值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种系;(3)“给 值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角. 7.已知函数 的部分图象如图所示,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据图像最低点求得 ,根据函数图像上两个特殊点求得 的值,由此求得函数 解 析式,进而求得 的值. 【 详 解 】 根 据 图 像 可 知 , 函 数 图 像 最 低 点 为 , 故 , 所 以 ,将点 代入 解析式得 , 2sin 2 cos 2 cos 2 26 2 6 3 3cos π π π π πα α α α        ∴ − = − − = − = −                 2 21 71 2 1 2 ( )3 3 9sin π α = − − = − × =   ( ) sin( )( 0, 0,0 )2f x A wx A πϕ ω ϕ= + > > < < 3( )4f π = 2 2 − 1 2 − 1− 2 2 A ,ω ϕ ( )f x 3π 4f      7π , 212  −   2A = ( ) 2sin( )f x xω ϕ= + ( ) 7π0, 3 , , 212  −   ( )f x 2sin 3 7π2sin 212 ϕ ω ϕ  =  + = −   解得 ,故 ,所以 ,故选 C. 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式,并求三角函数值,属于中档 题. 8.已知各项不为 0 的等差数列 满足 ,数列 是等比数列且 , 则 等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意可得: , ,则: . 本题选择 C 选项. 9.已知点 P 为双曲线 右支上一点,点 F1,F2 分别为双曲线的左右焦点, 点 I 是△PF1F2 的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有 成立,则双 曲线的离心率取值范围是(  ) A. (1, ) B. (1,2 ) C. (1,2 ] D. (1, ] 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件和三角形的面积公式,求得 的关系式,从而得出离心率的取值范围,得到答 案. 【 详 解 】 设 的 内 切 圆 的 半 径 为 , 则 , 2 π 3 ω ϕ = = ( ) π2sin 2 3f x x = +   3π 3π π2sin 2 14 4 3f    = × + = −       { }na 2 5 7 82 2 0a a a− + = { }nb 7 7b a= 2 12b b 4 9 3 2 9 4 2 3 ( ) ( )2 2 2 5 7 8 7 7 7 7 72 2 2 2 2 3 2 0a a a a d a a d a a− + = − − + + = − = 7 7 30, 2a a≠ ∴ = 2 2 2 12 7 7 9 4b b b a= = = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2 1 2 2 2IPF IPF IF FS S S− ≥    2 2 2 2 ,a c 1 2PF F∆ r 1 2 1 21 2 1 2 1 1 1, ,2 2 2IPF IPF IF FS PF r S PF r S F F r∆ ∆ ∆= ⋅ = ⋅ = ⋅因为 ,所以 , 由双曲线 定义可知 , 所以 ,即 , 又由 ,所以双曲线的离心率的取值范围是 , 故选 D. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中求双曲线的离心率(或范围), 常见有两种方法:①求出 ,代入公式 ;②只需要根据一个条件得到关于 的齐 次式,转化为 的齐次式,然后转化为关于 的方程,即可得 的值(范围). 10.函数 向右平移 个单位后得到函数 ,若 在 上单调递增,则 的取值范围是() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求函数 ,再求函数的单调递增区间,区间 是函数单调递增区间的子集, 建立不等关系求 的取值范围. 【详解】 , 令 解得 , 若 上单调递增, 的 在 1 2 1 2 2 2IPF IPF IF FS S S∆ ∆ ∆− ≥ 1 2 1 2 2 2PF PF F F− ≥ 1 2 1 22 , 2PF PF a F F c− = = 2 2a c≥ 2c a ≤ 1ce a = > (1, 2] ,a c ce a = , ,a b c ,a c e e ( ) sin 2 3f x x π = +   ( )0ϕ ϕ π≤ ≤ ( )g x ( )g x ,6 6 π π −   ϕ 0, 4      π 20, 3 π     2,4 3 π π     ,12 4 π π     ( )g x ,6 6 π π −   ϕ ( ) ( )sin 2 3g x x πϕ = − +   2 2 2 22 3 2k x k π π ππ ϕ π− + ≤ − + ≤ + 5 12 12k x k π πϕ π ϕ π− + + ≤ ≤ + + k Z∈ ( )g x ,6 6 π π −   ,解得: 时, . 故选 D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换,属于中档题型. 11.已知函数 ,若当 时, 有解,则 的取值 范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求得函数的导数 ,得到函数 的单调性,以及 的 取值,再由导数的几何意义,即可求解. 【详解】由题意,函数 ,则导数 , 所以函数 在 上递减,在 上递增, 当 时, ,又由 , , , 当 时, 有解,即函数 和 的图象有交点, 如图所示, 又因为在点 的切线的斜率为 ,所以 . 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及方程的有解问题,着重考查了转化与 化归思想、数形结合思想和推理、运算能力,对于方程的有解问题,通常转化为两个函数图 12 6{ 5 12 6 k k π πϕ π π πϕ π + + ≥ − + + ≤ − 12 4k k π ππ ϕ π− ≤ ≤ − ( )0,ϕ π∈ 0k∴ = 12 4 π πϕ≤ ≤ 2 1( ) ( 2 )exf x x x −= − 1x > ( ) 1 0f x mx m− + + ≤ m 1m £ 1m < − 1m > − m 1≥ 2 1( ) ( 2)exf x x −′ = − ( )f x ( ) ( )1 , ( 2), 2f f f 2 1( ) ( 2 )exf x x x −= − 2 1( ) ( 2)exf x x −′ = − ( )f x (1, 2) ( 2, )+∞ 2x > ( ) 0f x > (1) 1f = − ( 2) 1f < − (2) 0f = 1x > ( ) 1 0f x mx m− + + ≤ ( )y f x= ( 1) 1y m x= − − (1, (1))f (1) 1f ′ = − 1m > −象的交点个数,结合图象求解. 12.在平面直角坐标系 中,圆 : ,圆 : ,点 ,动点 , 分别在圆 和圆 上,且 , 为线段 的中点,则 的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 由 得 ,根据向量的运算和两点间的距离公式,求得点 的轨迹方程, 再利用点与圆的位置关系,即可求解 的最小值,得到答案. 【详解】设 , , , 由 得 ,即 , 由题意可知,MN 为 Rt△AMB 斜边上的中线,所以 , 则 又由 ,则 , 可得 ,化简得 , ∴点 的轨迹是以 为圆心、半径等于 的圆 C3, ∵M 在圆 C3 内,∴ MN 的最小值即是半径减去 M 到圆心 的距离, 即 ,故选 A. 【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用,以及点圆的最值问题,其中解答中根据圆 的性质,求得 点的轨迹方程,再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键,着重考查了推 理与运算能力,属于中档试题. xOy 1C 2 2 4x y+ = 2C 2 2 6x y+ = (1,0)M A B 1C 2C MA MB⊥ N AB MN MA MB⊥ 0MA MB⋅ =  N MN 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 0 0( , )N x y MA MB⊥ 0MA MB⋅ =  1 2 1 2 1 2 1x x y y x x+ = + − 1 2 MN AB= 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) 2 2AB x x y y x x x x y y y y= − + − = − + + − + 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 0( ) ( ) 2( ) 10 2( 1) 12 4x y x y x x y y x x x= + + + − + = − + − = − 1 2 MN AB= 2 24AB MN= 2 2 0 0 012 4 4[( 1) ]x x y− = − + 2 2 0 0 1 9( )2 4x y− + = 0 0( , )N x y 1( ,0)2 3 2 1( ,0)2 min 3 1 12 2MN r d= − = − = N二、填空题 13.已知向量 , ,则 在 方向上的投影为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据 , ,得 在 上的投影为 , ,求出 , 代入投影的公式计算即可. 【详解】 向量 , , , , , , 在 方向上的投影为 , . 故答案为:1. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义,属于基础题. 14.若函数 只有一个极值点,则 k 的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 利 用 函 数 求 导 函 数 , 只 有 一 个 极 值 点 时 只有一个实数解有 ,设新函数设 , ,等价转化数形 结合法即可得出结论, 【详解】函数 只有一个极值点, , 若函数 只有一个极值点, 只有一个实数解, 则: , 从而得到: , ( 3, 1)a = − ( 3,1)b = a b | || | cosa b a b a⋅ =  a b | | cosa a=   a b⋅   ( 3a = 1)− ( 3b = 1) ∴ 3 1 2a b⋅ = − = | | 2b = ∴ a b | | cosa a= = =   3 21( ) ( 3) 3 xf x e x kx kx= − − + [0, ]e 2( ) ( 2) 2 ( 2)( )x xf x e x kx kx x e kx′ = − − + = − − ( ) 0f x′ = 0xe kx− ≥ ( ) xu x e= ( )h x kx= 3 21( ) ( 3) 3 xf x e x kx kx= − − + 2( ) ( 2) 2 ( 2)( )x xf x e x kx kx x e kx′ = − − + = − − 3 21( ) ( 3) 3 xf x e x kx kx= − − + ( ) 0f x′ = 0xe kx− ≥ xe kx≥当 时,成立. 当 时,设 , , 当两函数相切时, ,此时得到 的最大值,但 时不成立. 故 的取值范围为: , 综上: 的取值范围为: . 故答案为: . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式问题的等价转化方法,考查数形结合 思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,属 于中档题. 15.已知抛物线 E: 的焦点为 F,准线为 l,过 F 的直线 m 与 E 交于 A,B 两点,过 A 作 ,垂足为 M,AM 的中点为 N,若 ,则 ___________. 【答案】16 【解析】 【分析】 由题意画出图形,得到直线 的斜率,进一步求得直线 的方程,与抛物线方程联立求解 即可得答案. 【详解】 , 为 的中点,且 , ,则直线 的倾斜角为 ,斜率为 . 由抛物线 ,得 ,则直线 的方程为 . 联立 ,得 . 0k = 0k ≠ ( ) xu x e= ( )h x kx= k e= k k 0< k (0 ]e k [0, ]e [0, ]e 2 12y x= AM l⊥ AM FN⊥ AB = AB AB AF AM= N AM FN AM⊥ 30AFN∴∠ = ° AB 60° 3 2 12y x= (3,0)F AB 3( 3)y x= − 2 3( 3) 12 y x y x  = − = 2 10 9 0x x− + =则 , . 故答案为:16. 【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用, 属于中档题. 16.数列 为 1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4,…,首先给出 ,接 着复制该项后,再添加其后继数 2,于是 , ,然后再复制前面所有的项 1,1,2, 再添加 2 的后继数 3,于是 , , , ,接下来再复制前面所有的项 1, 1,2,1,1,2,3,再添加 4,…,如此继续,则 ______. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据数列构造方法可知: ,即 ;根据变化规律可得 ,从而得到结果. 【详解】由数列 的构造方法可知 , , , ,可得: 即: 本题正确结果: 【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项,关键是能够根据构造特点得到数列 各项之间的关系,考查学生的归纳总结能力. 10A Bx x+ = | | 16A BAB x x p∴ = + + = { }na 1 1a = 2 1a = 3 2a = 4 1a = 5 1a = 6 2a = 7 3a = 2019a = 2 1na n− = ( )2 1 1 2 1n n kka a k− + = ≤ < − 2019 2a a= { }na 1 1a = 3 2a = 7 3a = 15 4a = 2 1na n− = ( )2 1 1 2 1n n kka a k− + = ≤ < − 2019 996 485 230 103 40 9 2 1a a a a a a a a∴ = = = = = = = = 1三、解答题 17.已知 的面积为 ,且 且 . (1)求角 的大小; (2)设 为 的中点,且 , 的平分线交 于 ,求线段 的长度. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)根据已知条件求出角的正切值,再结合角的范围即可求解; (2)先根据条件求出 , , ;再借助于面积之间的关系求出 , 之间的比例关系, 结合题中条件即可求解. 【详解】(1) , 又 ,即 , ∴ , 又 ,∴ . (2)如下图所示: 在 中, 为中线,∴ , ∴ ∴ . 由(1)知: , 又 , ∴ , , 由余弦定理可得: , ABC∆ 3 2 1AB AC⋅ = −  AB AC> A M BC 3 2AM = BAC∠ BC N AN 2 3 π 2 3 b c a CN BN 1AB AC⋅ = −  | | | | cos cos 1AB AC A bc A⇒ ⋅ ⋅ = = −  1 3sin2 2ABCS bc A∆ = = sin 3bc A = sin sin tan 3cos cos bc A A Abc A A = = = − (0, )A π∈ 2 3A π= ABC∆ AM 2AM AB AC= +   2 2 2 2 2 24 | | ( ) | | 2 | |AM AB AC AB AB AC AC c b= + = + ⋅ + = +       2 2 5b c+ = sin 3bc A = 2bc⇒ = c b> 2c = 1b = 2 2 2 2 cos 5 2 7a b c bc A= + − = + = ⇒ 7a =, , 又 , ∴ ,又 ,∴ , 在 中,有: , 所以 . 【点睛】本题考查向量的数量积的应用、正余弦定理的应用,考查函数与方程思想、数形结 合思想,考查运算求解能力,属于中档题. 18.已知等差数列 的前 项和为 ,等比数列 的前 项和为 ,且 , , . (1)若 ,求 的通项公式; (2)若 ,求 【答案】(1) ;(2)5 或 . 【解析】 【分析】 (1)设等差数列 公差为 ,等比数列 公比为 ,由已知条件求出 ,再写 出通项公式;(2)由 ,求出 的值,再求出 的值,求出 . 【详解】设等差数列 公差为 ,等比数列 公比为 有 ,即 . (1)∵ ,结合 得 , ∴ . 1 1sin sin2 2ANCS AN b CAN AN CAN= ⋅ ∠ = × ∠ 1 csin sin2BANS AN BAN AN BAN= × ∠ = × ∠ CAN BAN∠ = ∠ 1 2BAN ANCS CN S BN = = 7CN BN a+ = = 7 3CN = ACN∆ 2 2 2 2 cosAN b CN b CN ACB= + − × × ∠ 7 7 1+7 41 2 19 3 2 1 7 −= + − × × × × × 7 4 41 9 3 9 = + − = 2 3AN = { }na n nS { }nb n nT 1 1a = 1 1b = 2 2 4a b+ = 3 3 7a b+ = { }nb 3 13T = 5S 12n nb −= 75 { }na d { }nb ( )0q q ≠ q 13 13T = q d 5S { }na d { }nb ( )0q q ≠ ( )1 4d q+ + = 3d q+ = ( ) 21 2 7d q+ + = 3d q+ = 2q = 12n nb −=(2)∵ ,解得 或 3, 当 时, ,此时 ; 当 时, ,此时 . 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式,属于中 档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基本量 一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,另外,解等差 数列问题要注意应用等差数列的性质 ( )与前 项和的关系. 19.已知点 为抛物线 的焦点,点 在抛物线 上,且 . (Ⅰ)求抛物线 方程; (Ⅱ)已知点 ,延长 交抛物线 于点 ,证明:以点 为圆心且与直线 相 切的圆,必与直线 相切. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)详见解析. 【解析】 解法一:(Ⅰ)由抛物线的定义得 . 因为 ,即 ,解得 ,所以抛物线 的方程为 . 的 2 3 1 13T q q= + + = 4q = − 4q = − 7d = 5 5 45 7 752S ×= + × = 3q = 0d = 5 15 5S a= = n 1, , , , ,n na d n a S 2p q m n ra a a a a+ = + = 2p q m n r+ = + = n F 2: 2 ( 0)E y px p= > (2, )A m E 3AF = E ( 1,0)G − AF E B F GA GB 2 4y x= F 2 2 pΑ = + F 3Α = 2 32 p+ = 2p = Ε 2 4y x=(Ⅱ)因为点 在抛物线 上, 所以 ,由抛物线的对称性,不妨设 . 由 , 可得直线 的方程为 . 由 ,得 , 解得 或 ,从而 . 又 , 所以 , , 所以 ,从而 ,这表明点 到直线 , 的距离相等, 故以 为圆心且与直线 相切的圆必与直线 相切. 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设以点 为圆心且与直线 相切的圆的半径为 . 因为点 在抛物线 上, 所以 ,由抛物线的对称性,不妨设 . 由 , 可得直线 的方程为 . 由 ,得 , 解得 或 ,从而 . 又 ,故直线 的方程为 , 从而 . 又直线 的方程为 , ( )2,mΑ :Ε 2 4y x= 2 2m = ± ( )2,2 2Α ( )2,2 2Α ( )F 1,0 FΑ ( )2 2 1y x= − ( ) 2 2 2 1{ 4 y x y x = − = 22 5 2 0x x− + = 2x = 1 2x = 1 , 22  Β −   ( )G 1,0− ( )G 2 2 0 2 2 2 1 3k Α −= =− − ( )G 2 0 2 2 1 312 k Β − −= = − − − G G 0k kΑ Β+ = GF GF∠Α = ∠Β F GΑ GΒ F GΑ GΒ F GΑ r ( )2,mΑ :Ε 2 4y x= 2 2m = ± ( )2,2 2Α ( )2,2 2Α ( )F 1,0 FΑ ( )2 2 1y x= − ( ) 2 2 2 1{ 4 y x y x = − = 22 5 2 0x x− + = 2x = 1 2x = 1 , 22  Β −   ( )G 1,0− GΑ 2 2 3 2 2 0x y− + = 2 2 2 2 4 2 8 9 17 r + = = + GΒ 2 2 3 2 2 0x y+ + =所以点 到直线 的距离 . 这表明以点 为圆心且与直线 相切的圆必与直线 相切. 考点:1、抛物线标准方程;2、直线和圆的位置关系. 【此处有视频,请去附件查看】 20.已知数列 的各项均为正数,对任意 ,它的前 项和 满足 ,并且 , , 成等比数列. (1)求数列 的通项公式; (2)设 , 为数列 的前 项和,求 . 【答案】(1) , (2) 【解析】 【分析】 (1)根据 与 的关系,利用临差法得到 ,知公差为 3;再由 代入递推 关系求 ; (2)观察数列 的通项公式,相邻两项的和有规律,故采用并项求和法,求其前 项和. 【详解】(1) 对任意 ,有 ,① 当 时,有 ,解得 或 . 当 时,有 .② ①-②并整理得 . 而数列 的各项均为正数, . 当 时, , F GΒ 2 2 2 2 4 2 8 9 17 d r + = = = + F GΑ GΒ { }na *n∈N n nS ( )( )1 1 26n n nS a a= + + 2a 4a 9a { }na ( ) 1 11 n n n nb a a+ += − nT { }nb n 2nT 3 2na n= − *n∈N 218 6n n− − na nS 1 3n na a −− = 1n = 1a { }nb 2n  *n∈N ( )( )1 1 26n n nS a a= + + ∴ 1a = ( )( )1 1 1 1 1 1 26S a a a= = + + 1 1a = 2 2n ≥ ( )( )1 1 1 1 1 26n n nS a a− − −= + + ( )( )1 1 3 0n n n na a a a− −+ − − = { }na 1 3n na a −∴ − = 1 1a = ( )1 3 1 3 2na n n= + − = −此时 成立; 当 时, ,此时 ,不成立,舍去. , . (2) . 【点睛】已知 与 的递推关系,利用临差法求 时,要注意对下标与 分两种情况,即 ;数列求和时要先观察通项特点,再决定采用什么方法. 21.已知函数 , . (Ⅰ)求函数 的单调区间; (Ⅱ)令 两个零点 ,证明: . 【答案】(Ⅰ) 在 上单调递减,在 上单调递增.(Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】 (Ⅰ)求得函数的导数 ,且 ,进而利用导数的符号,即可求得 函数单调区间; (Ⅱ)由 有两个零点,利用导数求得函数 的单调性与 最值,结合图象,即可得出证明. 【详解】(Ⅰ)由题意,函数 ,则 ,且 , 当 时, ,函数 单调递减; 当 时, ,函数 单调递增; 2 4 2 9a a a= 1 2a = ( )2 3 1 3 1na n n= + − = − 2 4 2 9a a a= 3 2na n∴ = − *n∈N 2 1 2 2n nT b b b= + + + = 1 2 2 3 3 4 4 5 2 2 1n na a a a a a a a a a +− + − + − ( ) ( ) ( )2 1 3 4 3 5 2 2 1 2 1n n na a a a a a a a a− += − + − + + − 2 4 26 6 6 na a a= − − − − ( )2 4 26 na a a= − + + + ( ) 24 6 26 18 62 n n n n + −= − × = − − nS na na n 1, 2n n= ≥ ( ) ( 1)lnf x x x= − 3( ) ln eg x x x= − − ( )f x ( ) ( ) ( )( 0)h x mf x g x m= + > 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2 1 ex e x+ > + ( )f x (0,1) [1, )+∞ 1( ) ln 1f x x x = + −′ ( ) 01f ′ = 3( ) ( 1)ln lnh x m x x x x e = − + − − ( )h x ( ) ( 1)lnf x x x= − 1( ) ln 1f x x x = + −′ ( ) 01f ′ = 0 1x< < ( ) 0f x′ < ( )f x 1x ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增. (Ⅱ)由 有两个零点可知 由 且 可知, 当 时, ,函数 单调递减; 当 时, ,函数 单调增; 即 的最小值为 , 因此当 时, , 可知 在 上存在一个零点; 当 时, , 可知 在 上也存在一个零点, 因此 ,即 . 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化 归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利 用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范 围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题. 22.在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的焦距为 4,且过点 . (1)求椭圆 的方程 (2)设椭圆 的上顶点为 ,右焦点为 ,直线 与椭圆交于 、 两点,问是否存在直 线 ,使得 为 的垂心,若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由. 【答案】(1) ;(2)存在直线 满足题设条件,详见解析 【解析】 分析】 (1)由已知列出关于 , , 的方程组,解得 , , ,写出结果即可; 【 ( )f x (0,1) [1, )+∞ 3( ) ( 1)ln lnh x m x x x x e = − + − − 1 1( ) (1 ln ) 1h x m x x x −′ = + + − 0m > 0 1x< < ( ) 0h x′ < ( )h x 1x ≥ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x ( )h x 3(1) 1 0h e = − < 1x e = 1 1 1 3 ( 1) 2( ) ( 1)( 1) ( 1) 0m e eh me e e e e − + −= − − + − − − = > ( )h x 1( ,1)e x e= 3( ) ( 1) 1 0h e m e e e = − + − − > ( )h x (1, )e 2 1 1x x e e − < − 1 2 1x e x e + > + xOy 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > (2, 2) C C B F l M N l F BMN∆ l 2 2 18 4 x y+ = 8: 3l y x= − a b c a b c(2)由已知可得, , .所以 ,因为 ,所以可设直线 的方程 为 ,代入椭圆方程整理,得 .设 , , , ,由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式,再由垂心的性质列出方程求解即 可. 【详解】(1)由已知可得, 解得 , , ,所以椭圆 的方程为 . (2)由已知可得, ,∴ .∵ , ∴可设直线 的方程为 ,代入椭圆方程整理, 得 .设 , 则 ,∵ . 即 ∵ 即 ,∵ ∴ 或 . 由 ,得 又 时,直线 过 点,不合要求,∴ , 故存在直线 满足题设条件. (0,2)B (2,0)F 1BFk = − BF l⊥ l y x m= + 2 23 4 2 8 0x mx m+ + − = 1(M x 1)y 2(N x 2 )y 2 2 2 2 2 2 4 4 2 1 c a b a b c =  + =  = + 2 8a = 2 4b = 2c = C 2 2 18 4 x y+ = (0 2) (2 0)B F, , , 1BFk = − BF l⊥ l y x m= + 2 23 4 2 8 0x mx m+ + − = ( ) ( )1 1 2 2M x y N x y, , , 2 1 2 1 2 4 2 8 3 3 m mx x x x −+ = − =, 1 2 1 2 2 12 y yBN MF x x −⊥ ∴ ⋅ = −−, 1 2 1 2 1 22 2 0y y x x y x+ − − = ( )( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2, 2 2 0y x m y x m x m x m x x x m x= + = + ∴ + + + − + − =, ( ) 2 1 2 1 22 ( 2) 2 0x x m x x m m+ − + + − = 2 22 8 42 ( 2) 2 03 3 m mm m m − −⋅ + − ⋅ + − = 2 83 2 16 0 3m m m+ − = ∴ = −, 2m = ( )2 2 2(4 ) 12 2 8 96 8 0m m m∆ = − − = − > 2 12m < 2m = l B 8 3m = − 8: 3l y x= −【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系应用,以及垂心的定义应 用.意在考查学生的数学运算能力.

资料: 29.3万

进入主页

人气:

10000+的老师在这里下载备课资料