2019-2020 学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(文科)
一、选择题
1.下列函数中,既是偶函数又在 上单调递增的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义,可得 A,B,D 是偶函数,再利用函数单调性的性质,即可得出结论.
【详解】根据偶函数的定义 ,可得 A,B,D 是偶函数,B 在 上单调递
减,D 在 上有增有减,A 在 上单调递增,
故选 A.
【点睛】本题考查函数单调性的性质,考查函数的奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,
比较基础.
2.等差数列 的前 项和为 ,已知 .则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设等差数列 的公差为 ,又 ,
所以 ,解得 ,
所以 ,故选 C.
3.已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则实数
的值为( )
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
【答案】C
【解析】
( )0,+∞ ( )
lny x= 2y x= − xy e=
cosy x=
( ) ( )f x f x= − ( )0,+∞
( )0,+∞ ( )0,+∞
{ }na n nS 1 7 5100,5 7 70a S S= − − = 101S
100 50 0 50−
{ }na d 1 100a = −
7 5
7 6 5 45 7 5( 700 ) 7( 500 ) 702 2S S d d
× ×− = − + − − + = 2d =
101
101 100101 ( 100) 2 02S
×= × − + × =
( ) cos 3f x x x x= + ( )( )0, 0f 4 1 0ax y+ + =
a【分析】
先求出 在点 处的切线斜率,然后利用两直线垂直的条件可求出 的值.
【详解】由题意, , ,则曲线 在点
处的切线斜率为 4,由于切线与直线 垂直,则 ,解得 .
故选 C.
【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了两直线垂直的性质,考查了计算能力,属于基
础题.
4.在 中, 是 边上一点, ,且 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 ,用基向量 表示 ,然后与题目条件对照,即可求出.
【详解】由在 中, 是 边上一点, ,
则 ,
即 ,故选 .
【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用及向量的线性运算.
5.已知双曲线离心率 ,与椭圆 有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
( )f x ( )( )0, 0f a
( ) cos sin 3f x x x x′ = − + ( )0 cos0 3 4f ′ = + = ( )f x
( )( )0, 0f 4 1 0ax y+ + = 4 14
a− × = − 1a =
ABC∆ D AB 2AD DB= 2
3CD AC CBλ= + λ
1
4
1
4
− 1
3
1
3
−
2AD DB= ,AC CB CD
ABC∆ D AB 2AD DB=
1 1 1 2( )3 3 3 3CD CB BD CB BA CB CA CB AC CB= + = + = + − = − +
1
3
λ = − D
2e =
2 2
124 8
x y+ =
1
3y x= ± 3
3y x= ± 3y x= ±
2 3y x= ±先求出椭圆 的焦点 和 ,所以双曲线方程可设为 ,所以
其渐近线方程为 ,由题意得双曲线的 ,再根据其离心率 ,求出 ,根据
,得到 ,从而得到双曲线的渐近线方程,求出答案.
【详解】因为椭圆 ,其焦点为 和 ,
因为双曲线与椭圆有相同的焦点,
所以设双曲线的方程为 ,则其渐近线方程为 ,
且双曲线中
因为双曲线的离心率 ,所以 ,
又因双曲线中
所以 ,即 ,
所以双曲线的渐近线方程为
故选 C 项.
【点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求 ,双曲线的渐近线,属于简单题.
6.已知角 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知利用诱导公式可求 , ,再由二倍角公式
化简,即可得结果.
【详解】 ,
2 2
124 8
x y+ = ( )4,0 ( )4,0− 2 2
2 2 1x y
a b
− =
by xa
= ± 4c = 2e = a
2 2 2c a b= + b
2 2
124 8
x y+ = ( )4,0 ( )4,0−
2 2
2 2 1x y
a b
− = by xa
= ±
4c =
2ce a
= = 2a =
2 2 2c a b= +
2 2 2 12b c a= − = 2 3b =
3y x= ±
, ,a b c
α 1cos( )6 3
πα + = sin(2 )6
πα − =
4 2
9
− 4 2
9
7
9
− 7
9
1
3 3sin
π α − = sin 2 26 3cos
π πα α − = −
1
6 2 6 3 3cos sin sin
π π π πα α α + = − + = − =
.
故选 D.
【点睛】本题主要考查了诱导公式,二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础
题.三角函数求值有三类,(1)“给角求值”;(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的
值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种系;(3)“给
值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.
7.已知函数 的部分图象如图所示,则
( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像最低点求得 ,根据函数图像上两个特殊点求得 的值,由此求得函数 解
析式,进而求得 的值.
【 详 解 】 根 据 图 像 可 知 , 函 数 图 像 最 低 点 为 , 故 , 所 以
,将点 代入 解析式得 ,
2sin 2 cos 2 cos 2 26 2 6 3 3cos
π π π π πα α α α ∴ − = − − = − = −
2 21 71 2 1 2 ( )3 3 9sin
π α = − − = − × =
( ) sin( )( 0, 0,0 )2f x A wx A
πϕ ω ϕ= + > > < < 3( )4f
π =
2
2
− 1
2
− 1− 2
2
A ,ω ϕ ( )f x
3π
4f
7π , 212
− 2A =
( ) 2sin( )f x xω ϕ= + ( ) 7π0, 3 , , 212
−
( )f x
2sin 3
7π2sin 212
ϕ
ω ϕ
= + = − 解得 ,故 ,所以 ,故选 C.
【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式,并求三角函数值,属于中档
题.
8.已知各项不为 0 的等差数列 满足 ,数列 是等比数列且 ,
则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可得: ,
,则: .
本题选择 C 选项.
9.已知点 P 为双曲线 右支上一点,点 F1,F2 分别为双曲线的左右焦点,
点 I 是△PF1F2 的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有 成立,则双
曲线的离心率取值范围是( )
A. (1, ) B. (1,2 )
C. (1,2 ] D. (1, ]
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件和三角形的面积公式,求得 的关系式,从而得出离心率的取值范围,得到答
案.
【 详 解 】 设 的 内 切 圆 的 半 径 为 , 则
,
2
π
3
ω
ϕ
= =
( ) π2sin 2 3f x x = +
3π 3π π2sin 2 14 4 3f = × + = −
{ }na 2
5 7 82 2 0a a a− + = { }nb 7 7b a=
2 12b b
4
9
3
2
9
4
2
3
( ) ( )2 2 2
5 7 8 7 7 7 7 72 2 2 2 2 3 2 0a a a a d a a d a a− + = − − + + = − =
7 7
30, 2a a≠ ∴ =
2 2
2 12 7 7
9
4b b b a= = =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
1 2 1 2
2
2IPF IPF IF FS S S− ≥
2 2
2 2
,a c
1 2PF F∆ r
1 2 1 21 2 1 2
1 1 1, ,2 2 2IPF IPF IF FS PF r S PF r S F F r∆ ∆ ∆= ⋅ = ⋅ = ⋅因为 ,所以 ,
由双曲线 定义可知 ,
所以 ,即 ,
又由 ,所以双曲线的离心率的取值范围是 ,
故选 D.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中求双曲线的离心率(或范围),
常见有两种方法:①求出 ,代入公式 ;②只需要根据一个条件得到关于 的齐
次式,转化为 的齐次式,然后转化为关于 的方程,即可得 的值(范围).
10.函数 向右平移 个单位后得到函数 ,若 在
上单调递增,则 的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求函数 ,再求函数的单调递增区间,区间 是函数单调递增区间的子集,
建立不等关系求 的取值范围.
【详解】 ,
令
解得 ,
若 上单调递增,
的
在
1 2 1 2
2
2IPF IPF IF FS S S∆ ∆ ∆− ≥ 1 2 1 2
2
2PF PF F F− ≥
1 2 1 22 , 2PF PF a F F c− = =
2
2a c≥ 2c
a
≤
1ce a
= > (1, 2]
,a c ce a
= , ,a b c
,a c e e
( ) sin 2 3f x x
π = +
( )0ϕ ϕ π≤ ≤ ( )g x ( )g x
,6 6
π π −
ϕ
0, 4
π 20, 3
π
2,4 3
π π
,12 4
π π
( )g x ,6 6
π π −
ϕ
( ) ( )sin 2 3g x x
πϕ = − +
2 2 2 22 3 2k x k
π π ππ ϕ π− + ≤ − + ≤ +
5
12 12k x k
π πϕ π ϕ π− + + ≤ ≤ + + k Z∈
( )g x ,6 6
π π − ,解得:
时, .
故选 D.
【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换,属于中档题型.
11.已知函数 ,若当 时, 有解,则 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求得函数的导数 ,得到函数 的单调性,以及 的
取值,再由导数的几何意义,即可求解.
【详解】由题意,函数 ,则导数 ,
所以函数 在 上递减,在 上递增,
当 时, ,又由 , , ,
当 时, 有解,即函数 和 的图象有交点,
如图所示,
又因为在点 的切线的斜率为 ,所以 .
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及方程的有解问题,着重考查了转化与
化归思想、数形结合思想和推理、运算能力,对于方程的有解问题,通常转化为两个函数图
12 6{ 5
12 6
k
k
π πϕ π
π πϕ π
+ + ≥
− + + ≤ − 12 4k k
π ππ ϕ π− ≤ ≤ −
( )0,ϕ π∈
0k∴ =
12 4
π πϕ≤ ≤
2 1( ) ( 2 )exf x x x −= − 1x > ( ) 1 0f x mx m− + + ≤ m
1m £ 1m < − 1m > − m 1≥
2 1( ) ( 2)exf x x −′ = − ( )f x ( ) ( )1 , ( 2), 2f f f
2 1( ) ( 2 )exf x x x −= − 2 1( ) ( 2)exf x x −′ = −
( )f x (1, 2) ( 2, )+∞
2x > ( ) 0f x > (1) 1f = − ( 2) 1f < − (2) 0f =
1x > ( ) 1 0f x mx m− + + ≤ ( )y f x= ( 1) 1y m x= − −
(1, (1))f (1) 1f ′ = − 1m > −象的交点个数,结合图象求解.
12.在平面直角坐标系 中,圆 : ,圆 : ,点 ,动点
, 分别在圆 和圆 上,且 , 为线段 的中点,则 的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由 得 ,根据向量的运算和两点间的距离公式,求得点 的轨迹方程,
再利用点与圆的位置关系,即可求解 的最小值,得到答案.
【详解】设 , , ,
由 得 ,即 ,
由题意可知,MN 为 Rt△AMB 斜边上的中线,所以 ,
则
又由 ,则 ,
可得 ,化简得 ,
∴点 的轨迹是以 为圆心、半径等于 的圆 C3,
∵M 在圆 C3 内,∴ MN 的最小值即是半径减去 M 到圆心 的距离,
即 ,故选 A.
【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用,以及点圆的最值问题,其中解答中根据圆
的性质,求得 点的轨迹方程,再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键,着重考查了推
理与运算能力,属于中档试题.
xOy 1C 2 2 4x y+ = 2C 2 2 6x y+ = (1,0)M
A B 1C 2C MA MB⊥ N AB MN
MA MB⊥ 0MA MB⋅ = N
MN
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 0 0( , )N x y
MA MB⊥ 0MA MB⋅ =
1 2 1 2 1 2 1x x y y x x+ = + −
1
2
MN AB=
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) 2 2AB x x y y x x x x y y y y= − + − = − + + − +
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 0( ) ( ) 2( ) 10 2( 1) 12 4x y x y x x y y x x x= + + + − + = − + − = −
1
2
MN AB= 2 24AB MN=
2 2
0 0 012 4 4[( 1) ]x x y− = − + 2 2
0 0
1 9( )2 4x y− + =
0 0( , )N x y 1( ,0)2
3
2
1( ,0)2
min
3 1 12 2MN r d= − = − =
N二、填空题
13.已知向量 , ,则 在 方向上的投影为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据 , ,得 在 上的投影为 , ,求出 ,
代入投影的公式计算即可.
【详解】 向量 , , , ,
, ,
在 方向上的投影为 , .
故答案为:1.
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义,属于基础题.
14.若函数 只有一个极值点,则 k 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利 用 函 数 求 导 函 数 , 只 有 一 个 极 值 点 时
只有一个实数解有 ,设新函数设 , ,等价转化数形
结合法即可得出结论,
【详解】函数 只有一个极值点,
,
若函数 只有一个极值点, 只有一个实数解,
则: ,
从而得到: ,
( 3, 1)a = − ( 3,1)b = a b
| || | cosa b a b a⋅ = a b | | cosa a=
a b⋅
( 3a = 1)− ( 3b = 1)
∴ 3 1 2a b⋅ = − = | | 2b =
∴ a b | | cosa a= = =
3 21( ) ( 3) 3
xf x e x kx kx= − − +
[0, ]e
2( ) ( 2) 2 ( 2)( )x xf x e x kx kx x e kx′ = − − + = − −
( ) 0f x′ = 0xe kx− ≥ ( ) xu x e= ( )h x kx=
3 21( ) ( 3) 3
xf x e x kx kx= − − +
2( ) ( 2) 2 ( 2)( )x xf x e x kx kx x e kx′ = − − + = − −
3 21( ) ( 3) 3
xf x e x kx kx= − − + ( ) 0f x′ =
0xe kx− ≥
xe kx≥当 时,成立.
当 时,设 , ,
当两函数相切时, ,此时得到 的最大值,但 时不成立.
故 的取值范围为: ,
综上: 的取值范围为: .
故答案为: .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式问题的等价转化方法,考查数形结合
思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,属
于中档题.
15.已知抛物线 E: 的焦点为 F,准线为 l,过 F 的直线 m 与 E 交于 A,B 两点,过 A
作 ,垂足为 M,AM 的中点为 N,若 ,则 ___________.
【答案】16
【解析】
【分析】
由题意画出图形,得到直线 的斜率,进一步求得直线 的方程,与抛物线方程联立求解
即可得答案.
【详解】 , 为 的中点,且 ,
,则直线 的倾斜角为 ,斜率为 .
由抛物线 ,得 ,则直线 的方程为 .
联立 ,得 .
0k =
0k ≠ ( ) xu x e= ( )h x kx=
k e= k k 0<
k (0 ]e
k [0, ]e
[0, ]e
2 12y x=
AM l⊥ AM FN⊥ AB =
AB AB
AF AM= N AM FN AM⊥
30AFN∴∠ = ° AB 60° 3
2 12y x= (3,0)F AB 3( 3)y x= −
2
3( 3)
12
y x
y x
= − =
2 10 9 0x x− + =则 ,
.
故答案为:16.
【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用,
属于中档题.
16.数列 为 1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4,…,首先给出 ,接
着复制该项后,再添加其后继数 2,于是 , ,然后再复制前面所有的项 1,1,2,
再添加 2 的后继数 3,于是 , , , ,接下来再复制前面所有的项 1,
1,2,1,1,2,3,再添加 4,…,如此继续,则 ______.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据数列构造方法可知: ,即 ;根据变化规律可得
,从而得到结果.
【详解】由数列 的构造方法可知 , , , ,可得:
即:
本题正确结果:
【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项,关键是能够根据构造特点得到数列
各项之间的关系,考查学生的归纳总结能力.
10A Bx x+ =
| | 16A BAB x x p∴ = + + =
{ }na 1 1a =
2 1a = 3 2a =
4 1a = 5 1a = 6 2a = 7 3a =
2019a =
2 1na n−
= ( )2 1 1 2 1n
n
kka a k− +
= ≤ < −
2019 2a a=
{ }na 1 1a = 3 2a = 7 3a = 15 4a =
2 1na n−
=
( )2 1 1 2 1n
n
kka a k− +
= ≤ < −
2019 996 485 230 103 40 9 2 1a a a a a a a a∴ = = = = = = = =
1三、解答题
17.已知 的面积为 ,且 且 .
(1)求角 的大小;
(2)设 为 的中点,且 , 的平分线交 于 ,求线段 的长度.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件求出角的正切值,再结合角的范围即可求解;
(2)先根据条件求出 , , ;再借助于面积之间的关系求出 , 之间的比例关系,
结合题中条件即可求解.
【详解】(1) ,
又 ,即 ,
∴ ,
又 ,∴ .
(2)如下图所示:
在 中, 为中线,∴ ,
∴
∴ .
由(1)知: ,
又 , ∴ , ,
由余弦定理可得: ,
ABC∆ 3
2 1AB AC⋅ = − AB AC>
A
M BC 3
2AM = BAC∠ BC N AN
2
3
π 2
3
b c a CN BN
1AB AC⋅ = − | | | | cos cos 1AB AC A bc A⇒ ⋅ ⋅ = = −
1 3sin2 2ABCS bc A∆ = = sin 3bc A =
sin sin tan 3cos cos
bc A A Abc A A
= = = −
(0, )A π∈ 2
3A
π=
ABC∆ AM 2AM AB AC= +
2 2 2 2 2 24 | | ( ) | | 2 | |AM AB AC AB AB AC AC c b= + = + ⋅ + = +
2 2 5b c+ =
sin 3bc A = 2bc⇒ =
c b> 2c = 1b =
2 2 2 2 cos 5 2 7a b c bc A= + − = + = ⇒ 7a =,
,
又 ,
∴ ,又 ,∴ ,
在 中,有:
,
所以 .
【点睛】本题考查向量的数量积的应用、正余弦定理的应用,考查函数与方程思想、数形结
合思想,考查运算求解能力,属于中档题.
18.已知等差数列 的前 项和为 ,等比数列 的前 项和为 ,且 , ,
.
(1)若 ,求 的通项公式;
(2)若 ,求
【答案】(1) ;(2)5 或 .
【解析】
【分析】
(1)设等差数列 公差为 ,等比数列 公比为 ,由已知条件求出 ,再写
出通项公式;(2)由 ,求出 的值,再求出 的值,求出 .
【详解】设等差数列 公差为 ,等比数列 公比为 有 ,即
.
(1)∵ ,结合 得 ,
∴ .
1 1sin sin2 2ANCS AN b CAN AN CAN= ⋅ ∠ = × ∠
1 csin sin2BANS AN BAN AN BAN= × ∠ = × ∠
CAN BAN∠ = ∠
1
2BAN
ANCS CN
S BN
= = 7CN BN a+ = = 7
3CN =
ACN∆
2 2 2 2 cosAN b CN b CN ACB= + − × × ∠
7 7 1+7 41 2 19 3 2 1 7
−= + − × × ×
× ×
7 4 41 9 3 9
= + − =
2
3AN =
{ }na n nS { }nb n nT 1 1a = 1 1b =
2 2 4a b+ =
3 3 7a b+ = { }nb
3 13T = 5S
12n
nb −= 75
{ }na d { }nb ( )0q q ≠ q
13 13T = q d 5S
{ }na d { }nb ( )0q q ≠ ( )1 4d q+ + =
3d q+ =
( ) 21 2 7d q+ + = 3d q+ = 2q =
12n
nb −=(2)∵ ,解得 或 3,
当 时, ,此时 ;
当 时, ,此时 .
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式,属于中
档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基本量
一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,另外,解等差
数列问题要注意应用等差数列的性质 ( )与前
项和的关系.
19.已知点 为抛物线 的焦点,点 在抛物线 上,且
.
(Ⅰ)求抛物线 方程;
(Ⅱ)已知点 ,延长 交抛物线 于点 ,证明:以点 为圆心且与直线 相
切的圆,必与直线 相切.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)详见解析.
【解析】
解法一:(Ⅰ)由抛物线的定义得 .
因为 ,即 ,解得 ,所以抛物线 的方程为 .
的
2
3 1 13T q q= + + = 4q = −
4q = − 7d = 5
5 45 7 752S
×= + × =
3q = 0d = 5 15 5S a= =
n
1, , , , ,n na d n a S
2p q m n ra a a a a+ = + = 2p q m n r+ = + = n
F 2: 2 ( 0)E y px p= > (2, )A m E
3AF =
E
( 1,0)G − AF E B F GA
GB
2 4y x=
F 2 2
pΑ = +
F 3Α = 2 32
p+ = 2p = Ε 2 4y x=(Ⅱ)因为点 在抛物线 上,
所以 ,由抛物线的对称性,不妨设 .
由 , 可得直线 的方程为 .
由 ,得 ,
解得 或 ,从而 .
又 ,
所以 , ,
所以 ,从而 ,这表明点 到直线 , 的距离相等,
故以 为圆心且与直线 相切的圆必与直线 相切.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设以点 为圆心且与直线 相切的圆的半径为 .
因为点 在抛物线 上,
所以 ,由抛物线的对称性,不妨设 .
由 , 可得直线 的方程为 .
由 ,得 ,
解得 或 ,从而 .
又 ,故直线 的方程为 ,
从而 .
又直线 的方程为 ,
( )2,mΑ :Ε 2 4y x=
2 2m = ± ( )2,2 2Α
( )2,2 2Α ( )F 1,0 FΑ ( )2 2 1y x= −
( )
2
2 2 1{
4
y x
y x
= −
=
22 5 2 0x x− + =
2x = 1
2x = 1 , 22
Β −
( )G 1,0−
( )G
2 2 0 2 2
2 1 3k Α
−= =− − ( )G
2 0 2 2
1 312
k Β
− −= = −
− −
G G 0k kΑ Β+ = GF GF∠Α = ∠Β F GΑ GΒ
F GΑ GΒ
F GΑ r
( )2,mΑ :Ε 2 4y x=
2 2m = ± ( )2,2 2Α
( )2,2 2Α ( )F 1,0 FΑ ( )2 2 1y x= −
( )
2
2 2 1{
4
y x
y x
= −
=
22 5 2 0x x− + =
2x = 1
2x = 1 , 22
Β −
( )G 1,0− GΑ 2 2 3 2 2 0x y− + =
2 2 2 2 4 2
8 9 17
r
+
= =
+
GΒ 2 2 3 2 2 0x y+ + =所以点 到直线 的距离 .
这表明以点 为圆心且与直线 相切的圆必与直线 相切.
考点:1、抛物线标准方程;2、直线和圆的位置关系.
【此处有视频,请去附件查看】
20.已知数列 的各项均为正数,对任意 ,它的前 项和 满足
,并且 , , 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 , 为数列 的前 项和,求 .
【答案】(1) , (2)
【解析】
【分析】
(1)根据 与 的关系,利用临差法得到 ,知公差为 3;再由 代入递推
关系求 ;
(2)观察数列 的通项公式,相邻两项的和有规律,故采用并项求和法,求其前 项和.
【详解】(1) 对任意 ,有 ,①
当 时,有 ,解得 或 .
当 时,有 .②
①-②并整理得 .
而数列 的各项均为正数, .
当 时, ,
F GΒ 2 2 2 2 4 2
8 9 17
d r
+
= = =
+
F GΑ GΒ
{ }na *n∈N n nS
( )( )1 1 26n n nS a a= + + 2a 4a 9a
{ }na
( ) 1
11 n
n n nb a a+
+= − nT { }nb n 2nT
3 2na n= − *n∈N 218 6n n− −
na nS 1 3n na a −− = 1n =
1a
{ }nb 2n
*n∈N ( )( )1 1 26n n nS a a= + +
∴ 1a = ( )( )1 1 1 1
1 1 26S a a a= = + + 1 1a = 2
2n ≥ ( )( )1 1 1
1 1 26n n nS a a− − −= + +
( )( )1 1 3 0n n n na a a a− −+ − − =
{ }na 1 3n na a −∴ − =
1 1a = ( )1 3 1 3 2na n n= + − = −此时 成立;
当 时, ,此时 ,不成立,舍去.
, .
(2)
.
【点睛】已知 与 的递推关系,利用临差法求 时,要注意对下标与 分两种情况,即
;数列求和时要先观察通项特点,再决定采用什么方法.
21.已知函数 , .
(Ⅰ)求函数 的单调区间;
(Ⅱ)令 两个零点 ,证明: .
【答案】(Ⅰ) 在 上单调递减,在 上单调递增.(Ⅱ)见证明
【解析】
【分析】
(Ⅰ)求得函数的导数 ,且 ,进而利用导数的符号,即可求得
函数单调区间;
(Ⅱ)由 有两个零点,利用导数求得函数 的单调性与
最值,结合图象,即可得出证明.
【详解】(Ⅰ)由题意,函数 ,则 ,且 ,
当 时, ,函数 单调递减;
当 时, ,函数 单调递增;
2
4 2 9a a a=
1 2a = ( )2 3 1 3 1na n n= + − = − 2
4 2 9a a a=
3 2na n∴ = − *n∈N
2 1 2 2n nT b b b= + + + = 1 2 2 3 3 4 4 5 2 2 1n na a a a a a a a a a +− + − + −
( ) ( ) ( )2 1 3 4 3 5 2 2 1 2 1n n na a a a a a a a a− += − + − + + −
2 4 26 6 6 na a a= − − − −
( )2 4 26 na a a= − + + +
( ) 24 6 26 18 62
n n n n
+ −= − × = − −
nS na na n
1, 2n n= ≥
( ) ( 1)lnf x x x= − 3( ) ln eg x x x= − −
( )f x
( ) ( ) ( )( 0)h x mf x g x m= + > 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2
1
ex e x+ > +
( )f x (0,1) [1, )+∞
1( ) ln 1f x x x
= + −′ ( ) 01f ′ =
3( ) ( 1)ln lnh x m x x x x e
= − + − − ( )h x
( ) ( 1)lnf x x x= − 1( ) ln 1f x x x
= + −′ ( ) 01f ′ =
0 1x< < ( ) 0f x′ < ( )f x
1x ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
(Ⅱ)由 有两个零点可知
由 且 可知,
当 时, ,函数 单调递减;
当 时, ,函数 单调增;
即 的最小值为 ,
因此当 时, ,
可知 在 上存在一个零点;
当 时, ,
可知 在 上也存在一个零点,
因此 ,即 .
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化
归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利
用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范
围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
22.在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的焦距为 4,且过点
.
(1)求椭圆 的方程
(2)设椭圆 的上顶点为 ,右焦点为 ,直线 与椭圆交于 、 两点,问是否存在直
线 ,使得 为 的垂心,若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1) ;(2)存在直线 满足题设条件,详见解析
【解析】
分析】
(1)由已知列出关于 , , 的方程组,解得 , , ,写出结果即可;
【
( )f x (0,1) [1, )+∞
3( ) ( 1)ln lnh x m x x x x e
= − + − −
1 1( ) (1 ln ) 1h x m x x x
−′ = + + − 0m >
0 1x< < ( ) 0h x′ < ( )h x
1x ≥ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x
( )h x 3(1) 1 0h e
= − <
1x e
= 1 1 1 3 ( 1) 2( ) ( 1)( 1) ( 1) 0m e eh me e e e e
− + −= − − + − − − = >
( )h x 1( ,1)e
x e= 3( ) ( 1) 1 0h e m e e e
= − + − − >
( )h x (1, )e
2 1
1x x e e
− < − 1 2
1x e x e
+ > +
xOy
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
(2, 2)
C
C B F l M N
l F BMN∆ l
2 2
18 4
x y+ = 8: 3l y x= −
a b c a b c(2)由已知可得, , .所以 ,因为 ,所以可设直线 的方程
为 ,代入椭圆方程整理,得 .设 , , ,
,由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式,再由垂心的性质列出方程求解即
可.
【详解】(1)由已知可得,
解得 , , ,所以椭圆 的方程为 .
(2)由已知可得, ,∴ .∵ ,
∴可设直线 的方程为 ,代入椭圆方程整理,
得 .设 ,
则 ,∵ .
即
∵
即 ,∵
∴ 或 .
由 ,得
又 时,直线 过 点,不合要求,∴ ,
故存在直线 满足题设条件.
(0,2)B (2,0)F 1BFk = − BF l⊥ l
y x m= + 2 23 4 2 8 0x mx m+ + − = 1(M x 1)y 2(N x
2 )y
2 2
2 2 2
2 4
4 2 1
c
a b
a b c
=
+ =
= +
2 8a = 2 4b = 2c = C
2 2
18 4
x y+ =
(0 2) (2 0)B F, , , 1BFk = − BF l⊥
l y x m= +
2 23 4 2 8 0x mx m+ + − = ( ) ( )1 1 2 2M x y N x y, , ,
2
1 2 1 2
4 2 8
3 3
m mx x x x
−+ = − =, 1 2
1 2
2 12
y yBN MF x x
−⊥ ∴ ⋅ = −−,
1 2 1 2 1 22 2 0y y x x y x+ − − =
( )( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2, 2 2 0y x m y x m x m x m x x x m x= + = + ∴ + + + − + − =,
( ) 2
1 2 1 22 ( 2) 2 0x x m x x m m+ − + + − = 2
22 8 42 ( 2) 2 03 3
m mm m m
− −⋅ + − ⋅ + − =
2 83 2 16 0 3m m m+ − = ∴ = −, 2m =
( )2 2 2(4 ) 12 2 8 96 8 0m m m∆ = − − = − > 2 12m <
2m = l B 8
3m = −
8: 3l y x= −【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系应用,以及垂心的定义应
用.意在考查学生的数学运算能力.