唐山市 2019—2020 学年度高三年级第一学期期末考试
文科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的乘法法则可计算出 的值.
【详解】由复数的乘法法则可得 .
故选：A.
【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.
2.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用并集的定义可求出集合 .
【详解】 ， ， .
故选：D
【点睛】本题考查并集的计算，熟悉并集的定义是计算的关键，考查计算能力，属于基础题.
3.已知焦点在 轴上的双曲线 的渐近线方程为 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
1 2z i= − 2z =
3 4i− − 5 4i− 3 4i− + 5 4i+
2z
( )22 21 2 1 4 4 3 4z i i i i= − = − + = − −
{ }1A x x= ≥ { }2 4B x x= − < < A B =
{ }1 4x x≤ < { }2 1x x− < < { }2 4x x− < <
{ }2x x > −
A B
{ }1A x x= ≥ { }2 4B x x= − < < { }2A B x x∴ ∪ = > −
x C 2 0x y± = C
2 3 5 5【分析】
设双曲线 的标准方程为 ，焦距为 ，根据双曲线的渐近
线方程可得出 ，再利用公式 即可求出双曲线 的离心率.
【 详 解 】 设 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 ， 焦 距 为 ， 则
，
双曲线 的渐近线方程为 ， ，
因此，双曲线 的离心率为 .
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，在涉及双曲线的渐近线方程时，计算离心率时可利
用公式 ，考查计算能力，属于基础题.
4.已知实数 、 满足不等式组 ，则目标函数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线 ，观察该直线在 轴上截距最大和最小时对
应的最优解，代入目标函数即可得出函数 的取值范围.
【详解】作出不等式组 所表示的可行域，如下图中的阴影部分区域所示：
【
C ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > ( )2 0c c >
2b
a
=
2
1 be a
= + C
C ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > ( )2 0c c >
2 2 2c a b= +
C 2by x xa
= ± = ± 2b
a
∴ =
C
22 2
21 1 2 5c a b be a a a
+ = = = + = + =
2
1 be a
= +
x y
0
2 2 0
3 3 0
x
x y
x y
≥
+ − ≥
+ − ≤
z x y= +
[ ]0,4 [ ]1,3 [ ]2,3 [ ]1,4
z x y= + x
z x y= +
0
2 2 0
3 3 0
x
x y
x y
≥
+ − ≥
+ − ≤则 为直线 在 轴上的截距，平移直线 ，当直线 经过可行域的顶点
时，此时该直线在 轴上的截距最大，该函数取得最大值，即 ；
当直线 经过可行域的顶点 时，该直线在 轴上的截距最小，此时，该函数取
得最小值，即 .
因此，目标函数 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数取值范围的求解，考查数形结合
思想的应用，属于中等题.
5.图（ ）是某品牌汽车 年月销量统计图，图（ ）是该品牌汽车月销量占所属汽车公司
当月总销量的份额统计图，则下列说法错误的是（ ）
A. 该品牌汽车 年全年销量中， 月份月销量最多
B. 该品牌汽车 年上半年的销售淡季是 月份，下半年的销售淡季是 月份
z z x y= + x z x y= + z x y= +
( )0,3A x max 0 3 3z = + =
z x y= + ( )10B , x
min 1 0 1= + =z
z x y= + [ ]1,3
1 2019 2
2019 1
2019 5 10C. 年该品牌汽车所属公司 月份的汽车销量比 月份多
D. 该品牌汽车 年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳
【答案】C
【解析】
分析】
根据图（ ）中的条形统计图可判断出 A、B、D 选项的正误，结合图（ ）和图（ ）比较该
品牌汽车所属公司 月份和 月份销量的大小，可判断出 C 选项的正误.
【详解】根据图（ ）中的条形统计图可知，该品牌汽车 年全年销量中， 月份月销量最
多，A 选项正确；
该品牌汽车 年上半年销量最少的月份是 月份，下半年销量最少的月份是 月份，B 选
项正确；
由条形统计图中的波动性可知，该品牌汽车 年下半年月销量相对于上半年，波动性小，
变化较平稳，D 选项正确；
由图（ ）和图（ ）可知，该品牌汽车 月份和 月份的销量相等，但该品牌汽车 月份的
销量占该品牌汽车所属公司当月总销量的比例较 月份的大，所以， 年该品牌汽车所属
公司 月份的汽车销量比 月份少，C 选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查条形统计图与频率分布折线图的应用，考查学生数据处理的能力，属于中
等题.
6.已知 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分 析 出 函 数 是 上 的 减 函 数 ， 且 有 ， 将 所 求 不 等 式 化 为
，结合该函数的单调性与定义域得出关于 的不等式组，解出即可.
【
2019 7 8
2019
1 1 2
7 8
1 2019 1
2019 5 10
2019
1 2 7 8 7
8 2019
7 8
( ) 1
2
log 2f x x x= − ( )1 1f x + ≥ x
3, 4
−∞ −
31, 4
− −
3 ,4
− +∞
51, 4
( )y f x= ( )0, ∞+ 1 14f =
( ) 11 4f x f + ≥ x【详解】由于函数 为减函数，函数 为增函数，
所以，函数 是 上的减函数，且有 ，
由 可得 ， ，解得 .
因此，满足 的 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】本题考查函数不等式的求解，一般将不等式转化为 ，利用函数的单
调性求解，同时不要忽略函数定义域的限制，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7.如图为函数 的部分图象，将其向左平移 个单位长度后与函数 的
图象重合，则 可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用图象求出函数 的解析式，然后利用平移变换可得出函数 的解析式.
【详解】设函数 的最小正周期为 ，则 ， ，
所以， ，
由于 是函数 图象的一个对称中心，且函数 在 附近单调递减，
1
2
logy x= 2y x=
( ) 1
2
log 2f x x x= − ( )0, ∞+ 1 14f =
( )1 1f x + ≥ ( ) 11 4f x f + ≥
10 1 4x∴ < + ≤ 31 4x− < ≤ −
( )1 1f x + ≥ x 31, 4
− −
( ) ( )1 2f x f x<
( ) ( )sinf x xω ϕ= + 1
4
( )g x
( )g x
sin 2 xπ sin 2 xπ− sin xπ sin xπ−
( )y f x= ( )y g x=
( )y f x= T 5 12 24 4T = × − =
2
T
ω π∴ = = π
( ) ( )sinf x xπ ϕ= +
1 ,04
( )y f x= ( )y f x= 1
4x =所以 ， ，
则 ，
将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，
因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式，同时也考查了三角函数图象的相位变换，考
查推理能力与计算能力，属于中等题.
8.笛卡尔心形线的极坐标方程为 ，如图，笛卡尔心形线在半径为 的圆内.为
了测算该心形线围成的区域面积，某同学利用计算机随机模拟法向该圆内随机投掷了 个
点，其中落入心形线内的点有 个，则该心形线围成的区域面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设该心形线围成的区域面积为 ，根据几何概型的概率公式得出 ，由此可计算出
的值.
【详解】设该心形线围成的区域面积为 ，则圆的面积为 ，
由题意可得 ，解得 ，
因此，该心形线围成的区域面积约为 .
故选：A.
( )24 k k Z
π ϕ π π+ = + ∈ ( )3 24 k k Z
πϕ π∴ = + ∈
( ) 3 3sin 2 sin4 4f x x k x
π ππ π π = + + = +
( )y f x= 1
4
( )y g x=
( ) ( )3sin sin sin4 4 4g x f x x x x
π π ππ π π π = + = + + = + = −
( )1 sinaρ θ= − 2
1000
375
3
2
π 3
8
π
2π π
S 375
4 1000
S
π =
S
S 22 4π π× =
375 3
4 1000 8
S
π = = 3 348 2S
ππ= × =
3
2
π【点睛】本题考查利用随机模拟的思想求不规则区域的面积，解题的关键就是利用几何概型
的概率公式列等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.
9.若 ，则 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得出关于 和 的方程组，解出这两个量，然后利用 即可计算出
的值.
【详解】由题意可得 ，解得 或 ，
因此， 或 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，涉及平方关系与商数关系的应用，考
查方程思想的应用，属于中等题.
10.如图，三棱柱 中， 底面 ， ， ，则
直线 与平面 所成角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
cos 2sin 1θ θ− = tanθ =
4
3
3
4 0 4
3 0 3
4
sinθ cosθ sintan cos
θθ θ=
tanθ
2 2
cos 2sin 1
cos sin 1
θ θ
θ θ
− =
+ =
sin 0
cos 1
θ
θ
=
=
4sin 5
3cos 5
θ
θ
= −
= −
sintan 0cos
θθ θ= = 4
3
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC 90ACB∠ = 1AA AC CB= =
1BC 1 1ABB A
1
2
2
2
3
2
3
3【解析】
【分析】
设 ，取 的中点 ，证明出 平面 ，可知直线 与平
面 所成的角为 ，计算出 和 ，即可计算出直线 与平面 所
成角的正弦值.
【详解】如下图所示，设 ，取 的中点 ，连接 、 ，
在三棱柱 中， ， ，
为 的中点， ，
平面 ， 平面 ， .
， 平面 ，
则直线 与平面 所成的角为 ，
平面 ， 平面 ， ， ，
， ，且 ， ，
为 的中点， ，
平面 ， 平面 ， ，
在 中， .
因此，直线 与平面 所成角的正弦值是 .
故选：A.
1 2AA AC CB= = = 1 1A B D 1C D ⊥ 1 1ABB A 1BC
1 1ABB A 1C BD∠ 1C D 1BC 1BC 1 1ABB A
1 2AA AC CB= = = 1 1A B D 1C D BD
1 1 1ABC A B C− AC CB= 1 1 1 1AC C B∴ =
D 1 1A B 1 1 1C D A B∴ ⊥
1AA ⊥ 1 1 1A B C 1C D ⊂ 1 1 1A B C 1 1C D AA∴ ⊥
1 1 1 1AA A B A= 1C D∴ ⊥ 1 1ABB A
1BC 1 1ABB A 1C BD∠
1CC ⊥ ABC BC ⊂ ABC 1CC BC∴ ⊥ 2 2
1 1 2 2BC BC CC∴ = + =
90ACB∠ = 1 1 1 90AC B∴∠ =
1 1 1 1 2AC C B= = 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2A B AC C B∴ = + =
D 1 1A B 1 1 1
1 22C D A B∴ = =
1C D ⊥ 1 1ABB A BD ⊂ 1 1ABB A 1C D BD∴ ⊥
1Rt BC D∆ 1
1
1
1sin 2
C DC BD BC
∠ = =
1BC 1 1ABB A 1
2【点睛】本题考查直线与平面所成角正弦值的计算，解题的关键就是要找出线面垂直，结合
线面角的定义进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
11. 、 为椭圆 的左、右焦点， 为短轴的一个端点，连接 并延长交
椭圆于 点，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将直线 方程与椭圆 的方程联立，求出点 的坐标，然后利用三角形的面积公式可求
出 的面积.
【详解】如下图所示，设点 为椭圆 的上顶点，可知点 、 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
将直线 的方程与椭圆 的方程联立 ，消去 得 ，
解得 或 ，所以点 ，
因此， 的面积为 .
故选：A.
的
1F 2F
2 2
: 14 2
x yE + = A 2AF
B 1ABF∆
8
3
16
3 3 8
2AF E B
1ABF∆
A E ( )0, 2A ( )2 2,0F
2AF 1
2 2
x y+ = 2y x= −
2AF E 2 2
2
14 2
y x
x y
= −
+ =
y 23 4 2 0x x− =
0x = 4 2
3
4 2 2,3 3B
−
1ABF∆
1 1 2
1 2 1 4 2 82 2 22 3 2 3 3ABFS F F∆ = × + = × × =【点睛】本题考查椭圆中三角形面积的计算，解题的关键就是求出直线与椭圆的交点坐标，
考查计算能力，属于中等题.
12.已知直线 与曲线 和 分别相切于点 、 .有以下命
题：① （ 为原点）；② ；③ ，则正确命题的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求出直线 的方程，可得出 ，根据 的符号判断命题①
的 正 误 ， 由 结 合 指 数 与 对 数 的 互 化 可 判 断 命 题 ② 的 正 误 ， 由 题 中 条 件 得 出
，构造函数 ，利用导数说明函数 在区
间 和 上都不存在零点，从而可判断出命题③的正误.
【详解】 ， ，所以，直线 的方程为 ，
即 ，同理可知，直线 的方程为 ，
所以 ，
由 ，可得 ，则 ，命题②正确；
，
若 、 、 三点共线，则 ，解得 ，此时，等式 不成立，
矛盾；
l ( ) xf x e= ( ) lng x x= ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
90AOB∠ > O 1 2 0x y+ = ( )1 2,2x ∈ −
0 1 2 3
l
( )
1
1
2
1 2
1
1 ln 1
x
x
e x
e x x
=
− = −
OA OB⋅
1
2
1xe x
=
( )1
1 11 1xe x x− = − − ( ) ( )1 1xg x x e x= − − − ( )y g x=
( ], 2−∞ − [ )2,+∞
( ) xf x e= ( ) xf x e′∴ = l ( )1 1
1
x xy e e x x− = −
( )1 1
11x xy e x x e= + − l ( )2
2
1 ln 1y x xx
= + −
( )
1
1
2
1 2
1
1 ln 1
x
x
e x
e x x
=
− = −
1
2
1xe x
= 1 2 2
2
1ln lnx x yx
= = − = −
1 2 0x y+ =
( ) ( )1 1 1 1
1 2 1 2 1 1 1
x x x xOA OB x x y y x e e x x e e− −⋅ = + = + ⋅ − = −
A O B
( )1
1
2
1 0
ln 1 0
xe x
x
− =
− =
1
2
1x
x e
=
=
1
2
1xe x
=若 ，由 可得 ，此时等式 不成立，矛盾；
若 ，则 ，有 ，此时 ；
若 ，则 ，有 ，此时 .
所以， ，命题①正确；
由 ，可得 ，代入等式 ，可得
，所以， ，
构造函数 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，且 ；
当 时， ，此时函数 单调递增，且 .
所以，函数 在区间 和 上都不存在零点，则 ，命题③正
确.
故选：D.
【点睛】本题考查两函数 公切线问题，涉及角的判断以及函数的零点问题，解题时要充分
利用导数研究函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知 ， ， 与 夹角的余弦值为 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量数量积的运算律和定义求出 的值，即可求出 的值.
【详解】由平面向量数量积的定义可得 ，
，因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量模的计算，一般将模平方，借助平面向量数量积的定义和运算律
的
1 0x = 1
2
1xe x
=
2 1x = ( )1
1 21 ln 1xe x x− = −
1 0x < 1 10x x− > > 1 1 0x xe e− − > 0OA OB⋅ 0x 1 10x x− < < 1 1 0x xe e− − < 0OA OB⋅
1
2
1xe x
= 1 2
2
1ln lnx xx
= = − ( )1
1 21 ln 1xe x x− = −
( )1
1 11 1xe x x− = − − ( )1
1 11 1 0xe x x− − − =
( ) ( )1 1xg x x e x= − − − ( ) 1xg x xe′ = −
2x −≤ ( ) 0g x′ < ( )y g x= ( ) ( ) 2
32 1 0g x g e
≥ − = − >
2x ≥ ( ) 0g x′ > ( )y g x= ( ) ( ) 22 3 0g x g e≥ = − >
( )y g x= ( ], 2−∞ − [ )2,+∞ ( )1 2,2x ∈ −
2a = 3b =
a b 1
3
a b− =
3
( )2
a b− a b−
12 3 23a b⋅ = × × =
( )2 2 2 2 22 2 2 2 3 9a b a a b b∴ − = − ⋅ + = − × + = 3a b− =
3进行计算，考查计算能力，属于基础题.
14.已知函数 满足 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得出关于 和 的方程组，解出即可.
【详解】 ， ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查函数值的计算，解题时要结合等式的结构构造方程组求解，考查运算求解
能力，属于中等题.
15.已知两圆 、 和 轴正半轴， 轴正半轴及直线 都相切，则两圆圆心的距离
______.
【答案】4
【解析】
【分析】
设圆 、 的半径分别为 、 ，且 ，并作出图形，根据几何关系列出 、 满足的
关系式，即可求出 的值.
【详解】设圆 、 的半径分别为 、 ，且 ，如下图所示：
( )f x ( ) ( )2 3f x f x x+ − = ( )1f =
3−
( )1f ( )1f −
( ) ( )2 3f x f x x+ − =
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 3
1 2 1 3
f f
f f
+ − =∴ − + = −
( )1 3f = −
3−
1C 2C x y 2x y+ =
1 2C C =
1C 2C R r R r> R r
1 2C C R r= +
1C 2C R r R r>设两圆相切于点 ， ，易知直线 的倾斜角为 ，
由几何关系可得 ，解得 ；
，解得 ，
因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查两圆相切时圆心距的计算，解题时要充分利用几何关系列出有关圆的半径
所满足的等式，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
16.在 中， ， 、 为边 上的点，且 ， ，
若 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出图形，可知点 为边 的中点，由向量加法的三角形法则可得出 ，
从而可得出 ， 为 的角平分线，利用正弦定理可得出 ，并
A 2 2
2 2
1 1
OA = =
+ 1 2C C
4
π
1 12 2OC R OA C A R= = + = + 2 2 2
2 1
R = = +
−
2 22 2OC r OA C A r= = − = − 2 2 2
2 1
r = = −
+
1 2 4C C R r= + =
4
ABC∆ 120BAC∠ = D E BC BD CD= BAE CAE∠ = ∠
3AD = 2AE = BC =
2 15
D BC 2AD AB AC= +
2 2 36b c bc+ − = AE BAC∠ BE c
CE b
=设 ， ，其中 ，由余弦定理得出 ，从而得出
和 为关于 的方程 的两根，利用韦达定理可得出 ，
结合等式 可求出 的值，再利用余弦定理即可得出 .
【详解】设 ， ，如下图所示：
由于 ，则点 为 的中点，
，
即 ，所以， ，
整理得 ，即 ，①
，
在 中，由正弦定理 ，得 ，
在 中，由正弦定理 ，
得 ， ，设 ，
由 ，可得 ，可知 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，即 ，同理可得 ，
所以， 和 为关于 的方程 的两根，
BE ct= CE bt= 0 1t< <
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
b t b b
c t c c
= − +
= − +
b
c x ( )2 21 2 2 0t x x− + − = ( )2bc b c= +
2 2 36b c bc+ − = bc BC
AB c= AC b=
BD CD= D BC
( ) ( )1 1 1
2 2 2AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC∴ = + = + = + − = +
2AD AB AC= + ( )2 2 22
4 2 cos120AD AB AC AB AC AB AC= + = + + ⋅
2 2 36b c bc+ − = ( )2 3 36b c bc+ − =
1 602BAE CAE BAC∠ = ∠ = ∠ =
ACE∆
sin 60 sin
CE b
AEC
= ∠
sin 60
sin
CE
b AEC
= ∠
ABE∆ ( )sin 60 sin sinsin 180
BE c c c
AEB AECAEC
= = =∠ ∠− ∠
sin 60
sin
BE
c AEC
= ∠
CE BE
b c
∴ = CE BE tb c
= =
BC AB AC< + ( )b c t b c+ < + 0 1t< <
ACE∆ 2 2 2 2 cos60CE AC AE AC AE= + − ⋅
2 2 2 2 2b t b b= + − ( )2 21 2 2 0t b b− + − = ( )2 21 2 2 0t c c− + − =
b c x ( )2 21 2 2 0t x x− + − =由韦达定理得 ， ， ，
代入①式得 ，整理得 ，
，解得 ，
由余弦定理得
，
因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查三角形边长的计算，涉及余弦定理、正弦定理的应用，考查了三角形中线
和角平分线的几何性质，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第（22），（23）题为选考题，考生根据要求作
答.
（一）必考题：共 60 分.
17.已知 是公差不为 的等差数列，且前 项和为 . 是等比数列，且 ， ，
.
（1）求 ；
（2）求 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意得出关于 和 的方程组，解出这两个量，然
后利用等差数列的通项公式可求出 ；
（2）根据题意求出等比数列 的通项公式，然后利用等比数列的前 项和公式可求出 .
【详解】（1）设 的公差为 ，则 ，则 ，得 .①
2
2
1b c t
+ = − − 2
2
1bc t
= − − ( )2bc b c∴ = +
( )22 2 2 2136 3 32b c bc b c bc b c bc= + − = + − = − 2 2 6 72 0b c bc− − =
0bc > 12bc =
2 2 2 2 22 cos120BC AC AB AC AB b c bc= + − ⋅ = + +
( )2 2 2 36 2 12 60b c bc bc= + − + = + × =
2 15BC =
2 15
{ }na 0 3 9 { }nb 1 2b a= 2 5b a=
3 11b a=
na
{ }nb n nT
1na n= + 33 2n
nT = × −
{ }na d 1a d
na
{ }nb n nT
{ }na d 0d ≠ 1 2 3 13 3 9a a a a d+ + = + = 1 3a d+ =因为 是等比数列，且 ， ， ，
由 ，可得 ，化简得 ，
因为 ，所以 .②
由①②解得， ， ，故 ；
（2）由（1）得 ， ，
设等比数列 的公比为 ，则 ，故 ，
则 .
【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的求解，同时也考查了等比数列前 项和的计
算，考查运算求解能力，属于基础题.
18.河北省高考综合改革从 年秋季入学的高一年级学生开始实施，新高考将实行“ ”
模式，其中 表示语文、数学、外语三科必选， 表示从物理、历史两科中选择一科， 表示
从化学、生物、政治、地理四科中选择两科.某校 级入学的高一学生选科情况如下表：
选
科
组
合
物化
生
物化
政
物化
地
物
生
政
物
生
地
物
政
地
史
政
地
史
政
化
史
生
政
史
地
化
史
地
生
史
化
生
合计
男
女
合
计
（1）完成下面的 列联表，并判断是否在犯错误概率不超过 的前提下，认为“选择
物理与学生的性别有关”？
（2）学校按性别用分层抽样的方式，从选择“史地化”组合的同学中抽取了 名同学.现要从
{ }nb 1 2b a= 2 5b a= 3 11b a=
2
2 1 3b b b= ( )( ) ( )2
1 1 110 4a d a d a d+ + = + 2
1 2a d d=
0d ≠ 1 2a d=
1 2a = 1d = ( )1 1 1na a n d n= + − = +
1 2 3b a= = 2 5 6b a= =
{ }nb q 2
1
2bq b
= = 1 1
1 3 2n n
nb b q − −= = ×
1 3 3 2 3 22 31 1
n
nn
n
b b qT q
− − ×= = ×− − −=
n
2018 3 1 2+ +
3 1 2
2018
130 45 55 30 25 15 30 10 40 10 15 20 425
100 45 50 35 35 35 40 20 55 15 25 20 475
230 90 105 65 60 50 70 30 95 25 40 40 900
2 2× 0.01
5这 名同学中随机抽取 名同学参加某项活动，则抽取的 名同学中，恰有 名男生的概率.
选择物理 不选择物理 合计
男
女
合计
附表及公式：
【答案】（1）不能在犯错误概率不超过 的前提下认为“选择物理与学生的性别有关”；填
表见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据题中信息完善 列联表，并计算出 的观测值，结合临界值表可对题中结论进
行判断；
（2）可知抽取的 名学生中，男生有 人，分别记为 、 ，女生有 人，分别记为 、
、 ，列举出所有的基本事件，确定基本事件总数，并列举出事件“恰有一名男生”所包
含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率.
【详解】（1）依题意可得列联表
选择物理 不选择物理 合计
男
5 3 3 1
425
475
900
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
( )2
0P K k≥ 0.150 0.100 0.050 0.010
0k 2.072 2.706 3.841 6.635
0.01
3
5
2 2× 2K
5 2 1A 2A 3 1B
2B 3B
300 125 425女
合计
将列联表中的数据代入公式计算得
，
所以，不能在犯错误概率不超过 的前提下认为“选择物理与学生的性别有关”；
（2）该学校选择“史地化”组合的男生、女生的比为 ，
所以从选择“史地化”组合的同学中按性别用分层抽样的方式抽取 名同学，其中男生 名，
女生 名.
记男生分别为 、 ，女生分别为 、 、 ，
从 名同学中随机抽取 名同学，所有的基本事件有： 、 、
、 、 、 、 、 、
、 ，共 种等可能的结果.
其中，恰有一名男生包含的基本事件有： 、 、 、
、 、 ，共 种等可能的结果，
所以恰有 名男生的概率 .
【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算
事件的概率，一般列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的基本原则，考查学生数据处理的
能力，属于中等题.
19.如图， 是圆的直径， 是圆上的点， 垂直圆所在的平面， 、 分别是 、
的中点.
300 175 475
600 300 900
( )2
2 900 300 175 300 125 5.573 6.635600 300 425 475K
× × − ×= ≈
1
5,6 6x
π π ∈ 2
5 ,26x
π π ∈
( ) ( )1 2 0f x f x′ ′= =
x ( )f x′ ( )f x
x [ )10, x 1x ( )1 2,x x 2x ( ]2 ,2x π
( )f x′ + 0 − 0 +
( )f x
( ) ( )1 0 0f x f> = ( ) ( ) 2
2 04f x f
ππ π< = − < ( ) 22 2 0f π π π= − >
( )y f x= ( )0,π ( ],2π π ( )0 0f =所以 在 内有 个零点.
当 时， ， 单调递减，所以 ，
所以 在 上没有零点；
当 时， ，
所以 在 上没有零点.
综上， 在 上仅有三个零点.
【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性，同时也考查了利用导数研究函数的零点问题，
一般利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的
能力，属于中等题.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，
则按所做的第一题记分.
[选修 4－4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 中，圆 ，直线 .以坐标原点 为极点， 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆 和直线 的极坐标方程；
（2）设 、 分别为圆 和直线 上的点，且满足 ，设 ，求 的
最小值.
【答案】（1）圆 ，直线 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将圆 的方程化为 ，即可将圆 的方程化为极坐标方程，由 可
将直线 的方程化为极坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 ，点 的极坐标为 ，分别代入相应曲线的极坐
标方程，化简得出 ，然后利用二次函数的基本性质可求出 的
最小值.
( )y f x= [ ]0,2π 3
( ),0x∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )y f x= ( ) ( )0 0f x f> =
( )y f x= ( ),0−∞
( )2 ,x π∈ +∞ ( ) 2 22 sin 2 1 0f x xπ π π π> − + − − >
( )y f x= ( )2 ,π +∞
( )y f x= R
xOy ( )2 2: 1 1C x y− + = : 2l y = O x
C l
A B C l AO AB⊥ AOB α∠ = tanα
2: cosC ρ θ= : sin 2l ρ θ = 3
4
C 2 2 2x y x+ = C sin yρ θ =
l
A ( ),AA ρ θ B ( ),B
ρ θ α+
21 3tan tan 2 4
α θ = − + tanα【详解】（1）圆 的方程为 ，即 ，
因为 ， ， ，
所以圆 ，直线 ；
（2）设 、 ， .
依题意可得， ， ， .
所以 ，从而 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 .
【点睛】本题考查普通方程与极坐标方程的互化，同时也考查了利用极坐标方程解决实际问
题，考查运算求解能力，属于中等题.
[选修 4－5：不等式选讲]
23.已知 、 、 、 是正实数，且 ， .
（1）证明： ；
（2）当 为何值时， 取得最大值？
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可证明出 ；
（2）将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可求出 的最大值，
利用等号成立的条件可求出 的值.
【详解】（1）因为 ，
C 2 2 2 0x y x+ − = 2 2 2x y x+ =
2 2 2x y ρ+ = cosx ρ θ= siny ρ θ=
2: cosC ρ θ= : sin 2l ρ θ =
( ),AA ρ θ ( ),BB ρ θ α+
2 2
π πθ− < <
2cosA
ρ θ= ( )sin 2B
ρ θ α+ = cosB A
ρ α ρ=
( )2cos sin 2cosθ θ α α+ = 2cos sin cos cos sin cosθ θ α θ α α+ =
2
2
2
1 cos sin 1 3tan tan tan 1 tancos 2 4
θ θα θ θ θθ
− = = − + = − +
1tan 2
θ = tanα 3
4
a b c d 2 3a b+ = 1c d+ =
2 1 3a b
+ ≥
a
c 2ac bd+
3
2
2a b+ 2 1
a b
+ 2 1 3a b
+ ≥
2a b+ +c d 2ac bd+
a
c
( )2 1 2 2 2 22 5 2 5 9b a b aa ba b a b a b
+ + = + + ≥ ⋅ + = 又 ，故 ，当且仅当 时，即 时等号成立；
（2）因为
，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
此时 ，故当 时， 取得最大值.
【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式成立，同时也考查了利用基本不等式求代数式
的最值，在利用基本不等式时要满足“一正、二定、三相等”三个条件，考查推理能力与计
算能力，属于中等题.
2 3a b+ = 2 1 3a b
+ ≥ b a
a b
= 1a b= =
( )( )3 2 2 2 2 2 2a b c d ac bd bc ad ac bd acbd= + + = + + + ≥ + +
( )2
2ac bd= +
2 3ac bd+ ≤ 2bc ad=
2 2 3a b a b
c d c d
+= = =+
3
2
a
c
= 2ac bd+
微信/支付宝扫码支付