张家口市 2019~-2020 学年度第一学期期末教学质量监测
高三数学（文科）
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，集合 ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先用列举法求出集合 ，然后根据交集法则求出 的结果。
【详解】解：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以
故选：C.
【点睛】本题考查了集合的运算—交集，解题的关键是正确理解交集的定义，属简单题．
2.已知 是虚数单位, 是复数 的共轭复数,复数 满足 ,则复数 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据复数运算规则求出 ，再根据共轭复数的定义求出 .
【详解】解：因为
{ }5 1A x Z x= ∈ − ≤ ≤ { }2, 1,0,1,2B = − − A B =
{ }5, 4,0,1− − { }2, 1,0,1,2− − { }2, 1,0,1− −
{ }2, 1,0− −
A A B
{ }5 1A x Z x= ∈ − ≤ ≤
{ }5, 4, 3, 2, 1,0,1A = − − − − −
{ }2, 1,0,1,2B = − −
{ }2, 1,0,1A B∩ = − −
i z z z ( )1 2 3 4zi i− = − z
11 2
5 5 i− − 11 2
5 5 i− + 11 2
5 5 i+ 11 2
5 5 i−
z z
( )1 2 3 4i z i− = −所以 ，
故 ，
所以
故选:D.
【点睛】本题考查了复数的运算及共轭复数的定义，正确使用复数的运算规则是解题的关键，
属简单题．
3.矩形 中, 为 的中点,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先确定基底为 、 ，然后将向量 、 用基底表示，根据数量积定义求解。
【详解】解：由题意得：
，
所以
故选:B.
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理以及数量积的运算，解题的关键是要能将目标向量
转化为基底向量.
4.已知函数 的图象在点 处的切线方程为 ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
3 4
1 2
iz i
−= −
(3 4 )(1 2 ) 11 2
(1 2 )(1 2 ) 5
iz i i
i i
− + += =− +
11 2
5z i−=
ABCD 2, 4,AB AD E= = DC AE BC⋅ =
12 16 18 20
AB AD AE BC
1
2AE AD DE AD AB= + = +
BC AD=
21 1( ) 162 2AE BC AD AB AD AD AB AD⋅ = + ⋅ = + ⋅ =
( ) 2 1f x sin x ax= − + ( )0,1 1y x= + a =
0 1 1− 2−对函数 求导，根据导数的几何意义得到 ，从而得出 的值.
【详解】解：
因为函数 的图象在点 处的切线方程为 ,
所以 ，
即 ，
解得： ，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，解题的关键是理解函数在某点处的导数即为切线
的斜率，属于基础题。
5.已知偶函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
要求 ，只要先求出 ，而 ，从而可以得出结果.
【详解】解：因为 ，且 为偶函数
所以 ，
故 ，
故选:A.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，根据偶函数的定义有 ，这是解决本题的关
键.
6.在下列四个函数，① ② ③ ④ 中，
最小正周期为 的所有函数为（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③④
( ) 2 1f x sinx ax= − + ( )0 1f ′ = a
( ) 2cosf x x a=′ −
( ) 2 1f x sinx ax= − + ( )0,1 1y x= +
( )0 1f ′ =
( )0 2 1f a′ = − =
1a =
( )
( )
1
2
log 1, 0
2, 0
x x
f x
g x x
+ >=
− > ( )0,2 ,B b O OB α
2 2 2 2: x y a bβ + = + ,J K JK OB= C
1
2y x= ± y x= ± 2y x= ±
3y x= ±
α JK JK y M
Rt OMK∆
2
2 2 2( )2
c b cb
+ = b
a
( )0,2 ,B b O
OB α 2 2 2( )x y b b+ − =
α 2 2 2 0x y by+ − =
2 2 2 2: x y a bβ + = +
2 2 2: x y cβ + =
2
: 2
cJK y b
=设直线 与 轴的交点为 ，
则 ，
因 ，
所以 ，
在 中，
可得 ，
即 ，
解得： ，
所以双曲线的渐近线为
故选:B.
【点睛】双曲线渐近线方程的问题，其本质是求解 与 的关系，解决的关键是要能根据条件
构建出 与 的等式（不等式）.
第Ⅱ卷（共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答
第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.已知实数 满足条件 ,则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先将题中 ， 满足的约束条件 对应的可行域画出，目标函数 的几何
意义为一条斜率为 的直线，通过平移求解出最值.
为
JK y M
2
2
cOM b
=
JK OB=
MK b=
Rt OMK∆
2 2 2OM MK OK+ =
2
2 2 2( )2
c b cb
+ =
1b
a
=
y x= ±
a b
a b
,x y 3 3
2
1
x
y
x
y
x− ≥
≤
≤
−
2 3z x y= +
0
x y
2
3 3
1
y x
y x
x
− ≤
− ≥
≤
2 3z x y= +
2
3
−【详解】解：如图， ， 满足约束条件 对应的可行域为五边形 内部（含
边界），
目标函数 的几何意义为一条斜率为 、截距为 的直线，
当直线经过点 时，直线的截距最小， 最小，
故 .
故答案为：0
【点睛】代数问题转化为几何问题解决，往往能简化计算，但必须要将每一个代数形式的几
何意义分析到位，这个是数形结合的必要前提.
14.我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节,每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、
小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院安排甲、乙两位同学绘制春、夏、秋、冬四个
季节的彩绘,每位同学绘制两个季节，则甲同学绘制春、夏两个季节的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出甲同学绘制两个季节的所有可能，然后根据古典概型公式得出结果。
【详解】解：一年共有 4 个季节，
甲同学绘制两个季节的所有可能为（春、夏），（春、秋），（春、冬），（夏、秋），（夏、冬），
（秋、冬），
故甲同学绘制春、夏两个季节的概率为 。
故答案为：
【点睛】本题考查是古典概型，当所有事件数比较少时，可采用列举的方法解题，解题的难
x y
2
3 3
1
y x
y x
x
− ≤
− ≥
≤
ABCD
2 3z x y= + 2
3
−
3
z
( , )2B 1 3
− z
min 0z =
1
6
1
6
1
6点在于，在列举过程中要做到 “不重不漏”。
15. 中, 若成等差数列,并且 ,则 的三个内角中,
最大的角的大小为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由 成等差数列可得 ，与 联立方程组，用 表示出 、
，判断出最大角，然后运用余弦定理求解出最大角的大小.
【详解】解：因为 成等差数列，
所以 ，
可得方程组 ，
解得： ，
故 的最大角为角 ，
由余弦定理可得：
故答案为：120°.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合使用，同时还考查了等差数列的等差中项知
识，解三角形的本质其实是边与角的互化，如何转化是解三角形的关键.
16.四面体 中， 则四面体
外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题中提供的数据可以得出 和 为直角三角形，取 的中点为 ，可以得出
ABC , , sin A sin B sin C 2 3 3a b c+ = ABC
120
, ,sinA sinB sinC 2b a c= + 2 3 3a b c+ = b a
c
, ,sinA sinB sinC
2b a c= +
2
2 3 3
b a c
a b c
= +
+ =
3
5
7
5
a b
c b
=
=
ABC∆ C
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= = −
ABCD 2 2 , 2, 2 3BC CD BD AB AD AC= = = = = =
ABCD
12π
ABC∆ ADC∆ AC E， ，由此可以得到球心与半径，从而得出外接球的表面积。
【详解】解：取 的中点为 ，
在 中，
故 ，
所以 为直角三角形，
同理可得 为直角三角形，
则能得到 ,
同时 ， 为中点，
所以 ,
所以 为外接球的球心，且半径为 ，
所以四面体 外接球的表面积为 .
故答案为：
【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积问题，解题的关键是找准外接球的球心，解出外
接球的半径，解题的途径是根据外接球的球心到四个顶点的距离相等这一条件来解题。
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17.随着我国人民生活水平的提高,居民家庭教育投资观念不断加强,从整个社会到单个居民家
庭都非常重视教育投入.为了了解单个居民家庭教育投入占家庭收入的百分比,现对某小区
户人家进行了调查,得到的频率分布直方图如下:
（1）求教育投入占家庭收入的百分比在 的户数;
3BE DE= = 3AE CE= =
AC E
ABC∆ 2 2 , 2, 2 3BC AB AC= = =
2 2 2BC AB AC+ =
ABC∆
ADC∆
3BE DE= =
2 3AC = E
3AE CE= =
E 3
ABCD 24 ( 3) 12π π=
12π
200
[ )20% ,30%（2）估计教育投入占家庭收入的百分比的平均数.
【答案】（1） （户）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据概率之和为 1，求解出 的值，进而求解出教育投入占家庭收入的百分比在
的户数；
（2）使用组中值，借助 进行求解。
【详解】解:（1） ,
解得 ,
故教育投入占家庭收入的百分比在 的户数有 （户）.
（2）
，
所以估计教育投入占家庭收入的百分比的平均数为 .
【点睛】本题考查了频率分布直方图，认识频率分布直方图是解题的关键，求平均值有时也
采用 公式进行求解。
18.已知数列 的各项均为正数,且 ,正项等比数列
的前 项和为 ,且 .
（1）求数列 的通项公式;
（2）若 为数列 前 项和,求
【答案】（1） ； （2）
【解析】
【分析】
（1）对条件 进行因式分解可得 ，由于 是正项等比数列，
解出基本量可以得出 ；
的
40 37 5%.
a
[ )20% ,30%
1 1 n nx x p x p= + +
20 1 0.05 0.4 0.1 0.05a = − − − −
0.02a =
[ )20%,30% 10 0.02 200 40× × =
15% 0.05 25% 0.2 35% 0.4 45% 0.2 55% 0.1 65% 0.05× + × + × + × + × + ×
37.5%=
37 5%.
1 1 n nx x p x p= + +
{ }na ( ) ( )2 *2 3 4 2 0n na n a n n N− − − + = ∈
{ }nb n nS 1 3 82, 1b S a= = −
{ } { },n na b
nT
1
1 1
n n na a b+
+
n nT
2 1na n= − 2n
nb = 3 1 1
2 1 2
nn
n
+ − +
( )2 2 3 4 2 0n na n a n− − − + = na { }nb
nb（2）对数列的通项 进行研究可得，可采用裂项求和法和公式法进行组合求解。
【详解】解： 由 ，
得 ，
因为数列 的各项均为正数，
，
且 是正项等比数列，
即为 ，
解得 ，
。
，
故 。
【点睛】等差等比数列的通项公式问题常见方法是基本量法，即求出数列中的首项、公差（公
比）；数列求和的方法有公式法、裂项相消法、错位相减法等等，解题时应灵活运用。
19.四棱柱 的底面是菱形, 平面 ,点
是侧棱 上的点
1
1 1
n n na a b+
+
( )1 ( )2 2 3 4 2 0n na n a n− − − + =
( ) ( )2 1 2 0n na n a− − + =
{ }na
( )2 1 2n na n a∴ = − = − 舍去
1 2,b = { }nb
3 8 1S a∴ = − ( )22 1 14q q+ + =
( )2 3q q= = − 舍去
2n
nb∴ =
( )2 ( )( )1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2
n n
n n na a b n n n n+
+ = + = − + − + − +
1 1 1 1 1 1 1 11 +2 3 3 5 5 7 2 1 2 1nT n n
∴ = − + − + − + − − +
1 21 1 1···2 2 2
n + + + +
11 1
1 1 3 1 12 21 12 2 1 2 1 21 2
n
nn
n n
+ − + = − + = − + + −
3 1 1
2 1 2
n
n
nT n
+ = − +
' ' ' 'ABCD A B C D− 'AA ⊥ , 2, 60ABCD AB BAD= ∠ = °
P 'CC 'A P PB⊥（1）证明: 平面 ;
（2）若 是 的中点,求四棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1） 要 证 平 面 ， 即 证 垂 直 于 平 面 内 两 条 相 交 直 线 ， 题 中 已 知
，故只要证 垂直于平面 内另一条与 相交的直线即可，由题意可证出
，从而得证本题；
（2）要求四棱锥 的体积，即求出点 到平面 的距离和四边形
的面积，点 到平面 的距离即为菱形的高，四边形 是长方形，
利用勾股定理可得出 的长，从而可得出体积。
【详解】（1）证明:连接 .
由 平面 ,
得 .
又底面 是菱形,
所以 .
因为 是平面 内的相交直线,
所以 平面 。
又 平面 ,
所以
又 ,
所以 平面
'A P ⊥ PBD
P 'CC ' 'P ADD A−
4 2
'A P ⊥ PBD 'A P PBD
'A P PB⊥ 'A P PBD PB
'BD A P⊥
' 'P ADD A− P ' 'ADD A
' 'ADD A P ' 'ADD A ' 'ADD A
'AA
AC
'AA ⊥ ABCD
'AA BD⊥
ABCD
BD AC⊥
, 'AC AA ' 'ACC A
BD ⊥ ' 'ACC A
'A P ⊂ ' 'ACC A
' .BD A P⊥
' ,A P PB BD PB B⊥ ∩ =
'A P ⊥ PBD（2）解:连接 .
当 是 中点时,设 ,则 .
在 中， ,
故
，
又 ,
所以 ,
即
即 。
故侧面 的面积为 ，
点 到平面 的距离就是底面菱形的高 ,
即 ，
所以四棱锥 的体积为 。
【点睛】证明线面垂直就是要证明线线垂直，线线垂直主要从勾股定理、线面垂直的定义等
角度可以得到；几何体的体积问题首先要分析几何体的构造，必要时可以将几何体进行切割
或补形，其次要准确分析出高与底，从而解决问题。
20.已知动点 到点 的距离与它到直线 的距离 的比值为 ,设动点 形成的
轨迹为曲线 ..
（1）求曲线 的方程;
' 'A C
P 'CC ' 2CC a= 'PC PC a= =
ABC∆ 2 2 2 12 cos120 4 4 2 2 2 ( ) 122AC AB BC AB BC °= + − = + − × × × − =
2 2 2 2' ' ' ' 12 ,A P A C PC a= + = +
2 2 2 2 4,PB PC CB a= + = +
2 2 2 2' ' 4 4A B A A AB a= + = +
' 90A PB∠ = °
2 2 2' 'A P PB A B+ =
2 2 212 4 4 4,a a a+ + + = +
6a =
' 'ADD A . ' 2 2 6 4 6S AD AA= = × =
P ' 'ADD A h
2 sin 60 3h °= =
' 'P ADD A− 1 1 4 6 3 4 23 3V Sh= = × × =
P ( )1,0F : 4l x = d 1
2 P
C
C（2）过点 的直线与曲线 交于 两点,过 点作 ,垂足为 ，过 点作
,垂足为 ,求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）设出点 ，根据圆锥曲线的统一定义可得出曲线 的方程；
（2）要求 的取值范围，通过统一定义可转化求 的取值范围，根据图形又可以转化
为求 的取值范围，运用韦达定理进行减元，构造函数求出结果。
【详解】解:（1）设 ,
由题意,得 ，
整理化简得 ，
故曲线 的方程为 ，
（2） 当直线 斜率为 时，
当直线的斜率不为 时，
设直线 的方程为
由 消去 ,
化简整理得， ，
显然 ，
的
( )1,0F C ,A B A 1AA l⊥ 1A B
1BB l⊥ 1B 1
1
AA
BB
2 2
14 3
x y+ = 1 ,33
( ),P x y C
1
1
AA
BB
AF
BF
A
B
y
y
( ),P x y
( )2 21 1
4 2
x yPF
d x
− += =−
2 2
14 3
x y+ =
C
2 2
14 3
x y+ =
1° 0 1
1
1 33
AA
BB
= 或
2° 0
AB ( ) ( )1 1 2 21, , , , .x ny A x y B x y= +
2 2
1
14 3
x ny
x y
= + + =
x
( )2 23 4 6 9 0n y ny+ + − =
( )2144 1 0n= + >由韦达定理可得：
设 ，
即
①
②
由①②消去 ，可得
（ⅰ）当 时， ，
（ⅱ）当 时， ，
解得 且 ，
综合（ⅰ）（ⅱ）得：
综上 得： 。
【点睛】本题考查了圆锥曲线的统一定义、直线与圆锥曲线的问题，直线与圆锥曲线问题常
见解法是借助韦达定理，将多元问题转化为少元（单元）问题，属于中档题。
21.已知函数 （ 是自然对数的底数）.证明:
（1） 存在唯一的极值点;
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
1 2 1 22 2
6 9,3 4 3 4
ny y y yn n
−+ = − =+ +
( 0)BF FAλ λ= >
2 1y yλ∴− = 2 1y yλ= −
( )1 2 12
6 13 4
ny y yn
λ∴ + = − = −+
2
1 2 12
9
3 4y y yn
λ−= = −+
1y ( )2 2
2
1 4
3 4
n
n
λ
λ
− = +
0n = 1λ =
0n ≠
( )2
2
1 4 40,4 33 n
λ
λ
− = ∈ +
( )21 40 3
λ
λ
−∴ < <
1 33
λ< < 1λ ≠
1 33
λ< <
1 1
1 2
2 1 1( ,3)32
AFAA y
BB yBF λ∴ = = = ∈
1° 2° 1
1
1[ ,3]3
AA
BB
∈
( ) ( )1 1xf x x e x= − − − e
( )f x
( ) 0f x =【解析】
【分析】
（1）要证明 存在唯一的极值点，通常情况下，即证明 有唯一解，且在此解左
右两边的单调性不一致即可；
（2）首先借助第（1）问的结论与零点存在定理证明在 只有一个零点，在
只有一个零点，然后令 去证明 ，即可得到 的两根互为相反数.
【详解】证明:（1） 的定义域为
，
当 时, ；
当 时, ,即 在 上是增函数，
又 ，
所以存在 ,使得
并且当 时 ,当 时, ，
所以当 时, 是减函数，
当 时, 是增函数，
即 是 唯一的极值点,且是极小值点。
（2）由（1）得： 在 上是减函数，其中 ，
又
所以 在 只有一个零点，且这个零点在区间 上，
在 上是增函数，
又 ， ，
所以 在 只有一个零点，且这个零点在区间 上，
( )f x ( ) 0f x′ =
0( , )x−∞ 0( , )x +∞
( )1 0f x = ( )1 0f x− = ( ) 0f x =
( )f x ( ), ,−∞ +∞
( ) ( )' 1 1 1x x xf x e e x xe= + − − = −
0x ≤ ( ) 1 0xf x xe′ = − <
0x > ( )" 1( ) 0xf x x e= + > ( )'f x (0, )+∞
( ) ( )' 0 1 0, ' 1 1 0f f e= − < = − >
( )0 0,1x ∈ ( )0' 0,f x =
00 x x< < ( )' 0f x < 0x x> ( ) 0f x′ >
0( , )x x∈ −∞ ( ) ( )' 0,f x f x<
0 ,( )x x∈ + ∞ ( ) ( )' 0,f x f x>
0x ( )f x
( )f x 0( , )x x∈ −∞ ( )0 0,1x ∈
( ) ( )2
2
32 3 1 1 0, 0 2 0,f e fe
−− = − + = − > = − <
( )f x 0( , )x−∞ ( 2,0)−
( )f x 0 ,( )x x∈ + ∞
( ) 22 3 0f e= − > ( )0 (0) 0f x f< <
( )f x 0( , )x +∞ 0( ,2)x所以 仅有两个零点,分别记作
由于 ，
所以 ，即 ，故 .
即 也是 零点,即
所以 ,即 的两根互为相反数.
【点睛】本题考查了极值点、零点的存在问题，解题的关键是熟练运用零点存在定理，借助
函数的单调性得出零点的唯一性。
请考生从第 22、23 题中任选--题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,
请用 2B 铅笔在答题卡.上将所选题目的题号涂黑.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点
为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为
（1）在曲线 上任取一点 ,连接 ,在射线 上取一点 ，使 ,求 点轨迹
的极坐标方程；
（2）在曲线 上任取一点 ,在曲线 上任取一点 ,求 的最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）求出 的极坐标方程，设出 点的极坐标 ，通过 构建出 与 的
等量关系，从而得出 点轨迹的极坐标方程；
（2）先求出 的普通方程，可以得到曲线 是椭圆，然后转化为参数方程， 的最小值
的
( )f x ( )1 2 1 2, 0 .x x x x< <
( ) 0f x =
( ) ( ) 1
1 1 11 1 0xf x x e x= − − − = 1 1
1
1
1
x xe x
+= −
1 1
1
1
1
x xe x
− −= +
( ) ( ) ( )1 1
1 1 1 1 1
1
11 1 1 1 01
x xf x x e x x xx
− −− = − − + − = − − + − =+
1x− ( )f x 1 2x x− =
1 2 0x x+ = ( ) 0f x =
xOy 1C
34 2
1
2
x t
y t
= +
=
t
x 2C 2 2
5 3cos2
ρ
θ
=
−
1C Q OQ OQ P 4OP OQ = P
1C M 2C N MN
( )2cos 03
πρ θ ρ = + ≠
4 7
2
−
1C P ( ),ρ θ 4OP OQ = ρ θ
P
2C 2C MN即为椭圆 上的点 到直线 距离的最小值，利用点到直线的距离求解最值。
【详解】解:（1）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数）
所以 化为普通方程为 ，
故 的极坐标方程为 ，
设 ，
则 ，即
，
点轨迹的极坐标方程为
（2）因为曲线 的极坐标方程为
所以 化为直角坐标方程为 .
故 可化为参数方程为 （ 为参数），
的最小值为椭圆 上的点 到直线 距离的最小值.
设 ，则
2C N 1C
1C
34 2
1
2
x t
y t
= +
=
t
1C 3 4 0x y− − =
1C cos 23
πρ θ + =
( ) ( )0 0, , ,Q Pρ θ ρ θ
0
0
4,ρρ
θ θ
=
=
0
0
4ρ ρ
θ θ
=
=
0 0cos 23
πρ θ + =
4 cos 23
πθρ
∴ + =
∴ P ( )2cos 03
πρ θ ρ = + ≠
2C 2 2
5 3cos2
ρ
θ
=
−
2C
2
2 14
x y+ =
2C 2cos
sin
x
y
ϕ
ϕ
=
=
ϕ
MN 2C N 1C
( )2cos ,sinN ϕ ϕ
( ) ( )2cos 3sin 4 7 sin 4 4 7 sin
2 2 2
a ad
ϕ ϕ ϕ ϕ− − − − − −= = =，
。
【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，极坐标方程与普通方程转化的公式为
；在解决直线与椭圆的问题时，有时利用椭圆的参数方程能优化运算过程，解
题时应灵活运用。
23.已知函数 的最小值为
（1）求不等式 的解集;
（2）若 ,求 的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据函数 的最小值为 ，利用绝对值不等式的性质求解出
的值，对函数 进行去绝对值，分段求解不等式；
（2）将 进行整理成 ，然后采用基本不等式，
便可得到结果。
【详解】解：（1） ，且
，
当 时，令 ，
min
4 7
2d
−=
min
4 7
2MN
−∴ =
2 2 2
cos
sin
x
y
x y
ρ θ
ρ θ
ρ
=
=
= +
( ) ( )2 0f x x x t t= − + − > 2
( ) 8f x x t+ − ≥
2 2 2 52 3 5 2a b c t+ + = 2 3ac bc+
2 63x x x ≤ ≥ 或 5
( ) ( )2 0f x x x t t= − + − > 2 t
( )y f x x t= + −
2 2 22 3 5 10a b c+ + = ( ) ( )2 2 2 22 3 =10a c b c+ + +
( ) ( )2 2 2 2x x t x x t t− + − ≥ − − − = − = 0t >
4( 0 )t t∴ = = 舍去
( )
10 3 , 2
2 2 4 6 ,2 4
3 10, 4
x x
f x x t x x x x
x x
−
1° 2x < 10 3 8x− ≥得 ；
当 时，令 ，
得 ，无解；
当 时，令 ，
得 。
综上，不等式的解集为
（2）
，当且仅当 时等号成立
的最大值为 。
【点睛】本题考查了分段函数、绝对值不等式、基本不等式等知识，分段函数的图像应分段
逐步作出，作图时应注意端点的取舍，熟练运用绝对值不等式是解决本题的关键，利用基本
不等式时，要注意等号成立的条件。
2 2,3 3x x≤ ∴ ≤
2° 2 4x≤ ≤ 6 8x− ≥
2x −≤
3° 4x > 3 10 8x − ≥
6, 6x x≥ ∴ ≥
2 63x x x ≤ ≥ 或
2 2 22 3 5 10a b c+ + =
( ) ( )2 2 2 2 2 2 210 2 3 5 2 3 4 6a b c a c b c ac bc∴ = + + = + + + ≥ +
2 3 5ac bc∴ + ≤ 1a b c= = = ±
2 3ac bc∴ + 5
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