河北省“五个一”名校联盟高三一轮复习收官考试
数学(理)试卷
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题
1.设集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合 A,B,再求 得解.
【详解】由题得 , .
所以 .
故选 B
【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算,考查指数函数的单调性和对数函数的值域的
求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2.已知复数 z 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将 化为 后,两边取模即可求得答案.
【详解】因为 ,
所以 ,
所以 .
{ }1| 2 1xA x −= ≥ { }3| log ,B y y x x A= = ∈ B A=
( )0,1 [ )0,1 ( ]0,1 [ ]0,1
B A
{ }1 0| 2 2 { | 1}xA x x x−= ≥ = ≥ { }| 0B y y= ≥
{ | 0 1}B A x x= ≤
41S = 6k = 5k =
41S =
10, 1k S= =
1 10 11S = + = 10 1 9k = − =
11 9 20S = + = 9 1 8k = − =
20 8 28S = + = 8 1 7k = − =
28 7 35S = + = 7 1 6k = − =
35 6 41S = + = 6 1 5k = − =
41S = 6k ≥A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B. 函数 的最小值为 2
C. 当 时,命题“若 ,则 ”为真命题
D. 命题“ , ” 否定是“ , ”
【答案】C
【解析】
【分析】
求解对数不等式之后即可考查选项 A 是否正确,利用换元法可确定选项 B 中函数的最小值,
利用原命题与逆否命题的关系可判断 C 选项是否正确,否定全称命题即可确定选项 D 是否正
确.
【详解】逐一考查所给命题的真假:
对于选项 A:由 可得 ,即 ,
故“ ”是“ ”的必要不充分条件,则题中的命题为假命题;
对于选项 B:令 ,
由对勾函数的性质可知函数 单调递增,其最小值为 ,则题中的
命题为假命题;
对于选项 C:考查其逆否命题:“若 ,则 ”,
很明显该命题为真命题,则题中的命题为真命题;
对于选项 D:命题“ , ”的否定是“ , ”,
则题中的命题为假命题;
故选 C.
【点睛】当命题真假容易判断时,直接判断命题的真假即可.否则,可利用以下结论进行判断:
①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.
8.若两个非零向量 , 满足 ,则向量 与 的夹角是( )
的
2x < − ln( 3) 0x + <
2
2
1( ) 9
9
f x x
x
= + +
+
, Rα β ∈ sin sinα β≠ α β≠
0x∀ > 2019 2019 0x + > 0 0x∃ ≤ 02019 2019 0x + ≤
ln( 3) 0x + < 0 3 1x< + < 3 2x− < < −
2x < − ln( 3) 0x + <
( )2 9 3t x t= + ≥
( ) ( )1 3f t t tt
= + ≥ ( ) 103 3f =
α β= sin sinα β=
0x∀ > 2019 2019 0x + > 0 0x∃ > 02019 2019 0x + ≤
a b 2a b a b a+ = − = a b+ a b− A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先将条件平方,进而得 ,利用夹角公式求解即可.
【详解】将 平方得: ,
解得: .
.
所以向量 与 的夹角是 .
【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算,利用向量的数量积求向量的夹角,本题的解题
关键是将条件平方得向量的长度关系及数量积的值,属于基础题.
9.如图,《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画,现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介:
院角的枣树结实累累,小孩群来攀扯,枝桠不停晃动,粒粒枣子摇落满地,有的牵起衣角,
有的捧着盘子拾取,又玩又吃,一片兴高采烈之情,跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想
根据该图编排一个舞蹈,舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作,四
人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作,则甲不模仿“爬”且乙
不模仿“扶”的概率是( )
A. B. C. D.
6
π
2
π 2
3
π 5
6
π
2 2
0
3
a b
b a
⋅ = =
2a b a b a+ = − = 2 2 2 2 22 2 4a a b b a a b b a+ ⋅ + = − ⋅ + =
2 2
0
3
a b
b a
⋅ = =
2 2
2
( ) ( ) 1cos , 4 2| || |
a b a b a ba b a b aa b a b
+ ⋅ − −< + − >= = = −
+ −
a b+ a b− 2
3
π
3
4
7
12
1
2
5
12【答案】B
【解析】
【分析】
依题意,基本事件的总数为 24,设事件 A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”,则事
件 A 包含 1 2 14 个基本事件,故 P(A)可求.
【详解】依题意,基本事件的总数为 24,设事件 A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿
“扶”,
①若甲模仿“扶”,则A 包含 1 6 个基本事件;
②若甲模仿“捡”或“顶”则 A 包含 2 8 个基本事件,
综上 A 包含 6+8=14 个基本事件,
所以 P(A) ,
故选 B.
【点睛】本题考查了古典概型的概率计算,分类讨论的思想,属于基础题.
10.设 是双曲线 C: 的右焦点,O 为坐标原点,过 的直线交双曲线
的右支于点 P,N,直线 PO 交双曲线 C 于另一点 M,若 ,且 ,则
双曲线 C 的离心率为( )
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 双 曲 线 的 左 焦 点 为 F1 , 则 MF2PF1 为 平 行 四 边 形 , 根 据 双 曲 线 定 义 可 得
,在△MF1F2 中利用余弦定理得出 a,c 的关系即可求出离心率.
【详解】设双曲线的左焦点为 F1,由双曲线的对称性可知四边形 MF2PF1 为平行四边形.
∴ .
设 ,则 ,
4
4A =
3
3A× + 2
22 A× × =
4
4A =
3
3A× =
2
22 A× × =
14 7
24 12
= =
2F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2F
2 23MF PF= 2 60MF N∠ = °
5
2
7
2
1 2, 3MF a MF a= =
1 2 1, / /MF PF MF PN=
2PF m= 2| | 3MF m=∴ ,即 .
∵ ,
又 ,
在△MF1F2 中,由余弦定理可得: ,
即 ,
∴双曲线的离心率 e .
故选 D.
【点睛】本题考查了双曲线的性质,离心率计算,利用双曲线的对称性是解题的关键,属于
中档题.
11.设函数 , 有且仅有一个零点,则实数 a 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由题意得到方程 在 上仅有一个实根;令 ,得到函数
与直线 在 上仅有一个交点;用导数的方法判断
单调性,求出最值,结合图像,即可得出结果.
2 12 2a MF MF m= − = 1 2, 3MF a MF a= =
2 1 260 , 60MF N F MF° °∠ = ∴∠ =
1 2 2F F c=
2 2 24 9 2 3 cos60c a a a a °= + − ⋅ ⋅ ⋅
2
2 2
2
74 7 , 4
cc a a
= ∴ =
7
2
c
a
= =
( ) 2 sinxf x e a x= − ( )0,x π∈
42e
π
42
2 e
π
22
2 e
π
22e
π
2sin
=
xe ax
( )0,x π∈ ( ) sin
=
xeg x x
( ) sin
=
xeg x x
2y a= ( )0,x π∈ ( ) sin
=
xeg x x【详解】因 函数 , 有且仅有一个零点;
所以方程 在 上仅有一个实根;
即方程 在 上仅有一个实根;令 ,
则函数 与直线 在 上仅有一个交点;
因为 ,
由 得 ,因为 ,所以 ;
由 得 ,因为 ,所以 ;
所以,函数 在 上单调递减,在 上单调递增;
因此
作出函数 的大致图像如下:
因为函数 与直线 在 上仅有一个交点,
为 ( ) 2 sinxf x e a x= − ( )0,x π∈
2 sin 0− =xe a x ( )0,x π∈
2sin
=
xe ax
( )0,x π∈ ( ) sin
=
xeg x x
( ) sin
=
xeg x x
2y a= ( )0,x π∈
( )2 2
sin cos( ) sin cossin sin
−′ = = −
x x xe e x eg x xx x
( ) 0g x′ > sin cos 0− >x ( )0,x π∈
4
π π< 积为 1, , ,则 a=________________
【答案】
【解析】
【分析】
不妨设点 在 轴下方,根据 , ,可得直线 ,直线 的
斜率和方程,联立方程组成方程组解得 的坐标,利用面积可以算出 ,将 的坐标代入椭
圆方程,结合 ,解方程组可得 ,根据 舍去一个值即可得到答案.
【详解】不妨设点 在 轴下方,如图所示:
因为 ,所以 ,直线 的方程为: ,
因为 ,所以 ,直线 的方程为: ,
联立 ,解得 ,即 ,
又△PF1F2 的面积为 1,所以 ,所以 ,
所以 ,
1 2
1tan 2PF F∠ = 2 1tan 2PF F∠ = −
15
2
P x 1 2
1tan 2PF F∠ = 2 1tan 2PF F∠ = − 1PF 2PF
P 3
2c = P
2 2 2b a c= − 2a a c>
P x
1 2
1tan 2PF F∠ =
1
1
2PFk = − 1PF 1 ( )2y x c= − +
2 1tan 2PF F∠ = −
2
2PFk = − 2PF 2( )y x c= − −
1 ( )2
2( )
y x c
y x c
= − +
= − −
5
3
4
3
x c
y c
=
= −
5 4( , )3 3P c c−
1 42 12 3c c× × = 3
2c =
5 3 2 3( , )6 3P −将 代入到 ,
得 ,又 ,
所以 ,整理得 ,
所以 ,
解得 或 ,
因为 ,所以 舍去,
所以 ,所及 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了直线方程的点斜式,考查了三角形的面积公式,考查了椭圆的标准方程,考
查了运算求解能力,利用直线 ,直线 的方程解得点 的坐标,代入椭圆方程是解题关键,
属于中档题.
三、解答题
17.已知 的内角 的对边分别为 ,若 .
(1)求角 C;
(2)BM 平分角 B 交 AC 于点 M,且 ,求 .
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)利用降次公式化简 ,再用正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦
公式进行化简,由此求得 的值,进而求得 的大小.
5 3 2 3( , )6 3P − ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > >
2 2
2 2
5 3 2 3( ) ( )6 3 1a b
−
+ =
2 2 2 2 3
4b a c a= − = −
2
2
25 4 1312 3( )4
a a
+ =
−
4 2 7512 50 04a a− + =
2 25(3 )(4 15) 04a a− − =
2 5
12a = 2 15
4a =
2 2 3
4a c> = 2 5
12a =
2 15
4a = 15
2a =
15
2
1PF 2PF P
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 1cos 2 2 2
A b
c
= +
1, 6BM c= = cos ABM∠
2C
π= 3cos 4ABM∠ =
2 1cos 2 2 2
A b
c
= +
cosC C(2)设 ,求得 ,然后利用 以及二倍角公式列方
程,解方程求得 的值.
【详解】(1)由题
又
(2)记 ,则 ,在 中, ,
在 中, ,即
即 或 (舍) .
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形,考查二倍角公式和降次公式,考查化归与
转化的数学思想方法,属于中档题.
18.在四棱锥 中, , , 是 的中点,
是等边三角形,平面 平面 .
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 大小的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)取 的中点为 ,连结 , , ,设 交 于 ,连结 .根据题意
可得到四边形 与四边形 均为菱形,即可说明 ,再由题意说明
平面 ,即 ,又 ,即可说明 ,即可说明 平面
.
BABM M C α∠∠ == CB cos BCABC AB
∠ =
cos ABM∠
1 cos 1 cos2 2 2
A b bAc c
+ = + ∴ =
cos sin sin sin( ) sin cos cos sinA C B A C A C A C∴ = = + = +
sin cos 0A C∴ = (0, ) sin 0 cos 0 2A A C C
ππ∈ ∴ ≠ ∴ = ∴ =
ABM α∠ = MBC α∠ = Rt MCB∆ cosCB α=
Rt ACB∆ cos BCABC AB
∠ = coscos2 6
αα =
2 cos2cos 1 6
αα − = 3cos 4
α∴ = 2
3
− 3cos 4ABM∴ ∠ =
P ABCD− AD BC∥ 1
2AB BC CD AD= = = G PB PAD∆
PAD ⊥ ABCD
CD ⊥ GAC
P AG C− −
10
5
AD O OP OC OB OB AC H GH
ABCO OBCD CD AC⊥ PO ⊥
ABCD PO CD⊥ GH PO CD GH⊥ CD ⊥
GAC(Ⅱ)取 的中点为 ,以 为空间坐标原点,分别以 , , 的方向为 轴、
轴、 轴的正方向,建立空间直角坐标系 .令 ,则可写出 , .即可求出
平面 的法向量 ,再由(1)知平面 的法向量 ,代入公式
即可求出二面角 的平面角的余弦值,方可求出二面角 大小的正弦值.
【详解】解:(Ⅰ)取 的中点为 ,连结 , , ,设 交 于 ,连结
.
∵ ,
∵四边形 与四边形 均为菱形
∴ , ∵
∵ 为等边三角形, 为 中点
∴
∵平面 平面 且平面 平面 .
平面 且
∴ 平面
∵ 平面
∴
∵ , 分别为 , 的中点∴
∴
又∵
, 平面
平面
BC E O OE OD OP x y
z O xyz− 4=AD AP AG
PAG n AGC CD cos
n CD
n CD
θ
⋅
= −
P AG C− − P AG C− −
AD O OP OC OB OB AC H
GH
AD BC∥ 1
2AB BC CD AD= = =
ABCO OBCD
OB AC⊥ OB CD∥ CD AC⊥
PAD∆ O AD
PO AD⊥
PAD ⊥ ABCD PAD ABCD AD=
PO ⊂ PAD PO AD⊥
PO ⊥ ABCD
CD ⊂ ABCD
PO CD⊥
H G OB PB GH PO
GH CD⊥
GH AC H=
AC GH ⊂ GAC
CD ⊥ GAC(Ⅱ)取 的中点为 ,以 为空间坐标原点,分别以 , , 的方向为 轴、
轴、 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 .
设 ,则 , , , , .
, .
设平面 的一法向量 .
由 .
令 ,则 .
由(Ⅰ)可知,平面 的一个法向量 .
∴二面角 的平面角的余弦值 .
二面角 大小的正弦值为 .
【点睛】本题考查线面垂直的证明、二面角的正弦值,其中证明线面垂直一般情况有两种思
路:一,根据线面垂直的判定定理,在平面内找两条相交直线与这条直线垂直;二、通过面
面垂直的性质定理,构造两平面垂直,且直线在平面内且垂直于两平面的相交直线,则直线
就垂直于另一个平面.二面角的正弦值一般通过向量法,先求其余弦值,再求正弦值.属于
中档题.
19.设函数 为常数
(1)若函数 在 上是单调函数,求 的取值范围;
(2)当 时,证明 .
【答案】(1) ;(2) 证明见解析.
【解析】
BC E O OE OD OP x y
z O xyz−
4=AD ( )0,0,2 3P ( )0, 2,0A − ( )3,1,0C ( )0,2,0D 3 1, , 32 2G
−
( )0,2,2 3AP = 3 3, , 32 2AG
=
PAG ( , , )n x y z=
0
0
n AP
n AG
⋅ =
⋅ =
2 2 3 0
3 3 3 02 2
y z
x y z
+ =⇒
+ + =
3y z
x z
= −⇒ =
1z = ( )1, 3,1n = −
AGC ( )3,1,0CD = −
P AG C− − 2 3 15cos 52 5
n CD
n CD
θ
⋅
= − = − = −
P AG C− − 10
5
( ) sin , (0, ),2f x ax x x a
π= − ∈
( )f x 0, 2
π
a
1a ≤ 31( ) 6f x x≤
] [( ,0 1, )−∞ ∪ +∞【分析】
(1)对函数求导,单调分单调增和单调减,利用 或
在 上恒成立,求得实数 的取值范围;
(2)利用导数研究函数的单调性,求得结果.
【详解】(1)由 得导函数 ,其中 .
当 时, 恒成立,
故 在 上是单调递增函数,符合题意;
当 时, 恒成立,
故 在 上是单调递减函数,符合题意;
当 时,由 得 ,
则存在 ,使得 .
当 时, ,当 时,
,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
故 在 上是不是单调函数,不符合题意.
综上, 的取值范围是 .
(2)由(1)知当 时, ,
即 ,故 .
令 ,
( ) cos 0f x a x′ = − ≥ ( ) cos 0f x a x′ = − ≤
0, 2
π
a
( ) sinf x ax x= − ( ) cosf x a x= −′ 0 cos 1x< <
1a ≥ ( ) 0f x′ >
( ) sinf x ax x= − 0, 2
π
0a ≤ ( ) 0f x′ <
( ) sinf x ax x= − 0, 2
π
0 1a< < ( ) cos 0f x a x′ = − = cosx a=
0 0, 2x
π ∈ 0cosx a=
00 x x< < ( )0 0f x′ < 0 2x x
π< <
( )0 0f x′ > ( )f x ( )00, x 0 , 2x
π
( )f x 0, 2
π
a ] [( ),0 1,−∞ ∪ +∞
1a = ( ) ( )sin 0 0f x x x f= − > =
sinx x<
2
2sin 2 2
x x <
( ) ( ) 3 31 1sin , 0,6 6 2g x f x x ax x x x
π = − = − − ∈ 则 ,
当 时, ,所以 在 上是单调递减函数,
从而 ,即 .
【点睛】该题考查的是有关导数的应用,涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参
数的取值范围,利用导数证明不等式,属于中档题目.
20.某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成
本 (元)与生产该产品的数量 (千件)有关,经统计得到如下数据:
1 2 3 4 5 6 7 8
112 61 44.5 35 30.5 28 25 24
根据以上数据,绘制了散点图.
观察散点图,两个变量不具有线性相关关系,现考虑用反比例函数模型 和指数函数
模型 分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为
, 与 的相关系数 .
参考数据(其中 ):
( ) 2
2 2 2 21 1 1cos 1 2sin 1 2 12 2 2 2 2
x xg x a x x a x a x a = − − = − + − < − + −′ = −
1a ≤ ( ) 1 0g x a −′ = ≤ ( )g x 0, 2
π
( ) ( )0 0g x g< = ( ) 31
6f x x≤
y x
x
y
by a x
= +
dxy ce=
0.296.54 xy e−= ln y x 1 0.94r = −
1
i
i
u x
=183.4 0.34 0.115 1.53 360 22385.5 61.4 0.135
(1)用反比例函数模型求 关于 的回归方程;
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到 0.01),并用其估计产量为 10
千件时每件产品的非原料成本;
(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产,即产品全部售出).根据市场调研
数据,若该产品单价定为 100 元,则签订 9 千件订单的概率为 0.8,签订 10 千件订单的概率
为 0.2;若单价定为 90 元,则签订 10 千件订单的概率为 0.3,签订 11 千件订单的概率为
0.7.已知每件产品的原料成本为 10 元,根据(2)的结果,企业要想获得更高利润,产品单
价应选择 100 元还是 90 元,请说明理由.
参考公式:对于一组数据 , ,…, ,其回归直线 的斜率
和截距的最小二乘估计分别为: , ,相关系数
.
【答案】(1) (2)见解析;(3)见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先可令 并将 转化为 ,然后根据题目所给数据以及线性回归方
程的相关计算出 以及 ,即可得出结果;
(2)计算出反比例函数模型的相关系数 并通过对比即可得出结果;
(3)可分别计算出单价为 元和 元时产品的利润,通过对比即可得出结果.
8
1
i i
i
u y
=
∑ u 2
u
8
2
1
i
i
u
=
∑ 8
1
i
i
y
=
∑ 8
2
1
i
i
y
=
∑ 0.61 6185.5× 2e−
y x
( )1 1,u υ ( )2 2,u υ ( ),n nu υ uυ α β= +
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
u nu
u nu
υ υ
β =
=
−
=
−
∑
∑ a uυ β= −
1
2 22 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
u nu
r
u nu n
υ υ
υ υ
=
= =
−
=
− −
∑
∑ ∑
10011y x
= +
1u x
= by a x
= + y a bu= +
b a
r
100 90【详解】(1)令 ,则 可转化为 ,
因为 ,所以 ,
则 ,所以 ,
所以 关于 的回归方程为 ;
(2) 与 的相关系数为:
,
因为 ,所以用反比例函数模型拟合效果更好,
当 时, (元),
所以当产量为 10 千件时,每件产品的非原料成本为 元;
(3)①当产品单价为 元,设订单数为 千件:
因为签订 9 千件订单的概率为 0.8,签订 10 千件订单的概率为 0.2,
所以 ,
所以企业利润为 (千元),
②当产品单价为 元,设订单数为 千件:
因为签订 10 千件订单的概率为 0.3,签订 11 千件订单的概率为 0.7,
所以 ,
所以企业利润为 (千元),
故企业要想获得更高利润,产品单价应选择 元.
【点睛】本题考查了线性回归方程的相关性质,主要考查了线性回归方程的求法、函数模型
的对比以及通过线性回归方程解决实际问题,考查了计算能力,是中档题.
1u x
= by a x
= + y a bu= +
360 458y = =
8
1
8
2 2
1
8 183.4 8 0.34 45 61 1001.53 8 0.115 0.
ˆ
618
i i
i
i
i
u y uy
b
u u
=
=
- - ´ ´= = = =- ´-
å
å
45 100 0.34 11a y bu= − = − × = 11 100y u= +
y x 10011y x
= +
y 1
x
8
1
2 8 8
2 2 2 2
1 1
61 61 0.9961.40.61 6185.5
8 8
i i
i
i i
i i
u y nuy
r
u u y y
=
= =
−
= = = ≈
× − −
∑
∑ ∑
1 2r r<
10x = 100 11 2110y = + =
21
100 x
( ) 9 0.8 10 0.2 9.2E x = ´ + ´ =
100100 9.2 9.2 21 626.89.2
æ öç ÷´ - ´ + =ç ÷è ø
90 y
( ) 10 0.3 11 0.7 10.7E y = ´ + ´ =
10.
10090 710.7 10.7 21 638.3æ öç ÷´ - ´ + =ç ÷è ø
9021.已知中心在原点的椭圆 C1 和抛物线 C2 有相同的焦点(1,0),椭圆 C1 过点 ,抛物
线 的顶点为原点.
(1)求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程;
(2)设点 P 为抛物线 C2 准线上的任意一点,过点 P 作抛物线 C2 的两条切线 PA,PB,其中 A、
B 为切点.
设直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2 为定值;
②若直线 AB 交椭圆 C1 于 C,D 两点,S△PAB,S△PCD 分别是△PAB,△PCD 的面积,试问:
是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由.
【答案】(1) 抛物线 的标准方程为 ,椭圆 的方程为: ,(2)①证明见解
析,②有,最小值为
【解析】
【分析】
(1)利用 可得抛物线的标准方程,根据 和点 在椭圆上列方程组可求得 和 ,从
而可得标准方程;
(2)①利用△=0 以及韦达定理可得结论;
②先求出直线过定点 ,将问题转化为 ,即求 得最小值,
当直线 的斜率存在时,联立直线与抛物线,利用弦长公式求出 和 ,然后求比值,
31, 2G
2C
PAB
PCD
S
S
2C 2 4y x= 1C
2 2
14 3
x y+ =
4
3
12
p = 1c = P 2a 2b
(1,0) PAB
PCD
S
S
1 | | | |2
1 | || |2
d AB AB
CDd CD
⋅
= =
⋅
| |
| |
AB
CD
AB | |AB | |CD此时大于 ,当直线 的斜率不存在时,直接求出 和 可得比值为 .从而可得结
论.
【详解】(1)因为抛物线 C2 有相同的焦点(1,0),且顶点为原点,所以 ,所以 ,
所以抛物线 的标准方程为 ,
设椭圆方程为 ,则 且 ,解得 ,
所以椭圆 的方程为: .
(2)①证明:设 ,过点 与抛物线 相切的直线为 ,
由 ,消去 得 ,
由△= ,得 ,
则
②设
由①得 ,则 ,
所以直线 的方程为 ,所以 ,
即 ,即直线 恒过定点 ,
设点 到直线 的距离为 ,
所以 ,
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,
4
3 AB | |AB | |CD 4
3
12
p = 2p =
2C 2 4y x=
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 1c =
2 2
2 2
1
1 9 14
a b
a b
− = + =
2 24, 3a b= =
1C
2 2
14 3
x y+ =
( 1, )P t− P 2 4y x= ( 1)y t k x− = +
2
( 1)
4
y t k x
y x
− = +
=
x 2 4 4 4 0ty yk k
− + + =
24 4( ) 4( 4) 0t
k k
− − + = 2 1 0k tk+ − =
1 2 1k k = −
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
1
1
2 ,y k
= 2
2
2y k
= 1 22 2
1 2
1 1,x xk k
= =
AB 2 1
1 1
2 1
( )y yy y x xx x
−− = −−
2 1
1
2 2
2 1
2 2
( 1)1 1
k ky y x
k k
−
− = −
−
1 2
2 ( 1)y xk k
= − −+ AB (1,0)
P AB d
PAB
PCD
S
S
1 | | | |2
1 | || |2
d AB AB
CDd CD
⋅
= =
⋅
AB AB ( 1)y k x= −设 ,
由 ,消去 得 ,
时,△ 恒成立,
,
由 消去 得 △ 恒成立,
则
.
所以 ,
当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 ,
此时 , , ,
所以 的最小值为 .
【点睛】本题考查了求抛物线和椭圆的标准方程,考查了直线与抛物线相切,考查了直线与椭圆
相交的问题,考查了三角形的面积公式,考查了分类讨论思想,考查了弦长公式,属于难题.
22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程是 ( 为参数),以坐标原点 为
极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 .
3 3 4 4( , ), ( , )C x y D x y
2 4
( 1)
y x
y k x
=
= −
y 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + =
0k ≠ 0>
2
2 2 2
2 1 4
16 16| | (1 )( ) (1 ) kAB k x x k k
+= + − = + ⋅
2
2
4(1 )k
k
+=
2 2
14 3
( 1)
x y
y k x
+ =
= −
y 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 0>
2
2 2 2
3 4 2 2
144 144| | (1 )( ) (1 ) (3 4 )
kCD k x x k k
+= + − = + ⋅ +
2
2
12(1 )
3 4
k
k
+= +
2
2
2
2
4(1 )
12(1 )
3 4
PAB
PCD
k
S k
kS
k
+
= +
+
2
2 2
3 4 1 4 4
3 3 3
k
k k
+= = + >
AB AB 1x =
| | 4AB = | | 3CD = PAB
PCD
S
S
4
3
=
PAB
PCD
S
S
4
3
xOy C
2
2
2
8
1
3(1 )
1
kx k
ky k
= + − = +
k O
x l cos( ) 3 24
πρ θ + =(1)曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程;
(2)求曲线 上的点到直线 的距离的取值范围.
【答案】(1) : , ;(2)
【解析】
【分析】
(1)消掉参数 ,从而得到曲线 C 上的点 满足的等量关系即可得曲线 的普通方程,
再由 ,化直线的极坐标方程为直角坐标方程即可得解.
(2)将曲线 的普通方程化为参数方程得 ( 为参数),再利用点到直线的距
离公式运算即可得解.
【详解】解:(1) ,平方后得 ,
又 , 的普通方程为 .
,即 ,
将 代入即可得到 .
(2)将曲线 化成参数方程形式为 ( 为参数),
则 ,其中 ,
所以 .
【点睛】本题考查了曲线的普通方程,参数方程、极坐标方程的互化及点到直线的距离
,重点考查了运算能力,属中档题.
23.已知 正数,且 ,证明:为
C l
C l
C
2 2
1( 3)16 9
x y y+ = ≠ − : 6l x y− = 2 11 2
2 2d≤ ≤
k ( , )x y C
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
C
4cos
3sin
x
y
α
α
=
=
α
2
2
2
2
4 1:
1
3 1
x k
kC
y k
k
= + − = +
2 2
116 9
x y+ =
2
63 ( 3,3]1y k
= − + ∈ −+ C
2 2
1( 3)16 9
x y y+ = ≠ −
cos( ) 3 24
πρ θ + = cos sin 6ρ θ ρ θ− =
cos , sinx yρ θ ρ θ= = : 6l x y− =
C
4cos
3sin
x
y
α
α
=
=
α
4cos 3sin 6 5cos( ) 6
2 2
d
α α α ϕ− − + −= = 3tan 4
ϕ =
2 11 2
2 2d≤ ≤
, ,a b c 2a b c+ + =(1) ;
(2) .
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)将 a+b+c=2 平方,然后将基本不等式 三式
相 加 , 进 行 证 明 ; ( 2 ) 由
,三式相乘进行证明.
【详解】(1)将 a+b+c=2 平方得: ,
由基本不等式知: ,
三式相加得: ,
则
所以 ,当且仅当 a=b=c= 时等号成立
(2)由 ,同理
则 ,
即 当且仅当 时等号成立
【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明,属于中档题.
4
3ab bc ac+ + ≤
2 2 2 8a b c
b c a
− − −⋅ ⋅ ≥
2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc a c ac+ ≥ + ≥ + ≥
2 2 ,a b c bc
b b b
− += ≥
2 2 2 2,b a c ac c b a ba
c c c a a a
− + − += ≥ = ≥
2 2 2 2 2 2 4a b c ab ab ac+ + + + + =
2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc a c ac+ ≥ + ≥ + ≥
2 2 2a b c ab bc ac+ + ≥ + +
2 2 24 2 2 2 3 3 3a b c ab bc ac ab bc ac= + + + + + ≥ + +
4
3ab bc ac+ + ≤ 2
3
2 2a b c bc
b b b
− += ≥ 2 2 2 2,b a c ac c b a ba
c c c a a a
− + − += ≥ = ≥
2 2 2 2 2 2 8a b c bc ac ba
b c a b c a
− − −⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ =
2 2 2 8a b c
b c a
− − −⋅ ⋅ ≥ 2
3a b c= = =