河北武邑中学2020届高三数学（理）上学期期末试题（附解析Word版）

河北武邑中学 2019-2020 学年高三上学期期末考试 数学理科试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上） 1. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用虚数单位 的运算性质求解. 【详解】解： . 故选：A. 【点睛】本题考查虚数单位 的运算性质，属于基础题型. 2.设 为虚数单位，复数 的实部为（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则及复数的概念即可求解. 【详解】因为 ， 所以复数的实部为 3， 故选 A 【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题. 3.若向量 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 2020i = 1− i i− i ( )5052020 4 505 4 1i i i×= = = i i ( )( )1 2i i+ − ( )( )1 2 2 +2 1 3+i i i i i+ − = − + = ( ,3)( )a x x R= ∈ 4x = | | 5a =【解析】 试题分析：如果 ，则 ，充分性成立；反之，如果 ，则可得 ，必要性不成立，故答案选 A. 考点：1、充分必要条件；2、平面向量. 【此处有视频，请去附件查看】 4.下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增 是 A. B. y= C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可. 【详解】函数 ， 在区间 上单调递减， 函数 在区间 上单调递增，故选 A. 【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知 识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题. 5.已知 ，且 ，则 的值为（） A. -7 B. 7 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】 由了诱导公式得 ，由同角三角函数的关系可得 ， 再由两角和 正切公式 ，将 代入运算即可. 【详解】解：因为 ， 的 的 4x = 2 24 3 5a = + = | | 5a = 4x = ± ∞ 1 2y x= 2 x− 1 2 logy x= 1y x = 1 2 2 , logxy y x−= = 1y x = (0, )+∞ 1 2y x= (0, )+∞ ( )cos 2cos2 π α π α − = +   ( ) 1tan 3 α β+ = tan β sin 2cosα α= − tan 2α =- ( )tan α β+ = tan tan 1 tan tan α β α β + − tan 2α =- ( )cos 2cos2 π α π α − = +  所以 ，即 ， 又 ， 则 ， 解得 = 7， 故选 B. 【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题. 6.将函数 图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，则函数 的一个单调减区间为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据平移变换求出 ，然后再根据正弦函数的单调区间. 【 详 解 】 把 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到 ，所以 ，所以 . 令 ，解得 ，令 可得一个减区间为 ，故选 A. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间求解，平移图象时，注意 x 的系数对解析式的影 响. 7.如图，在平行四边形 中, 为 的中点，则 （ ） 的 sin 2cosα α= − tan 2α =- ( ) 1tan 3 α β+ = tan tan 1 1 tan tan 3 α β α β + =− tan β ( ) ( )( )sin 2 0f x x ϕ ϕ= + < < π 4 π ( ) sin 2 6g x x π = +   ( )f x 5,12 12 π π −   5,6 6 π π −   5,3 6 π π −   2,6 3 π π     ϕ ( ) ( )( )sin 2 0f x x ϕ ϕ= + < < π 4 π ( ) sin(2 ) sin(2 )2 6g x x xϕπ π= − + = + 2 3 ϕ π= ( ) 2sin 2 3f x x π = +   22 2 22 3 2k x k π π 3ππ + ≤ + ≤ π + 12 12k x k π 5ππ − ≤ ≤ π + 0k = , ]12 12 π 5π[− ABCD 1 1, ,3 3AE AB CF CD G= = EF DG =A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量的加减法的几何意义将 转化为 ， 即可. 【详解】 故选： 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中 档题. 8.执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（ ） 1 1 2 2AB AD−  1 1 2 2AD AB−  1 1 3 3AB AD−  1 1 3 3AD AB−  DG AB AD 1 1 2 2DG DE DF= +   1 1 2( )2 2 3DA AE DC= + + ⋅   1 1 1( )2 3 3AD AB AB= − + +   1 1 2 2AB AD= −  A aA. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量 的值，可发现周期为 ，即可得到 ， ， ，此时输出 . 【详解】 ， . ， . ， . ， . ， . 可发现周期 ， ， ， . 此时输出 . 故选： 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是 是解决本题的关键，属于 简单题. 9.公元前 5 世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图， 以 O 为圆心的大圆直径为 4,以 AB 为直径的半圆面积等于 AO 与 BO 所夹四分之一大圆的面 积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一 点，则该点来自于阴影部分的概率是（ ） 【 3− 1 3 1 2 − 2 a 4 2020i = 2a = 2021i = 2a = 1i = 3a = − 2i = 1 2a = − 3i = 1 3a = 4i = 2a = 5i = 3a = − 4 2020i = 2a = 2021i = 2a = D 4A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别计算出上方阴影部分的面积和下方阴影部分面积，再代入几何概型公式即可. 【详解】上方阴影部分的面积等于 的面积 . 下方阴影部分面积等于 . 所以根据几何概型得所求概率： . 故选： 【点睛】本题主要考查几何概型，求出方阴影部分的面积和下方阴影部分面积是解决本题的 关键，属于中档题. 10.设椭圆 的左焦点为 ，在 轴上 的右侧有一点 ，以 为直径 的圆与椭圆在 轴上方部分交于 两点，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 3 8 4 π π + + 6 8 4 π π + + 3 4 2 π π + + 6 4 2 π π + + AOB 1 2 2 22AOBS = × × =  21 2 12 2 2 14 4 2 2 π ππ  × × − − × × = +   2 1 62 4 2 8 4P π π π π + + += =+ + B 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F x F A FA x M N、 | | | | | | FM FN FA + 2 2 a a b− 2 2 a a b+ 2 22 a a b− 2 22 a a b+【分析】 椭圆： 1（a＞b＞0），圆 C：（x﹣R+c）2+y2＝R2,二者联立，得得 e2x2+2（c﹣R） x+a2﹣2RC＝0，利用韦达定理可得结果. 【详解】解：椭圆： 1（a＞b＞0），圆 C：（x﹣R+c）2+y2＝R2， 联立解得 e2x2+2（c﹣R）x+a2﹣2RC＝0， 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则有 x1+x2 ， 因为|MF| a+ex1， 同理|NF|＝a+ex2， 所以|MF|+|NF|＝e（ x1+x2）+2a ，∴ 故选：A. 【点睛】本题考查圆锥曲线的性质和应用，考查了圆与椭圆的位置关系，考查推理能力与计 算能力. 11.已知函数 ，若 ，则 ab 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 画 出 的 图 像 ， 结 合 图 像 ， 根 据 ， 求 得 的 取 值 范 围 . 令 ，将 用 表示，由此求得 的表达式，进而利用导数求得 的 最小值. 2 2 2 2 x y a b + = 2 2 2 2 x y a b + = 2 2 2R c e −= 2 2 2 2 2 1 1 1 1( ) 2x c y e x cx a= + + = + + = 2R e = 2 2 | | | | 1= =| | e FM FN a FA a b + − ( ) 1 2 12 log , 18 2 1 2,x x x f x x  + ≤ ≤=   ≤ ≤ ， ( ) ( )( )f a f b a b= < 2 2 1 2 2 4 5 3 ( )f x ( ) ( )( )f a f b a b= < ,a b ( ) ( ) ( ]2,4t f a f b= = ∈ ,a b t ab ab【详解】画出 图像如下图所示，令 ，解得 . 所以 . 令 ，由图可知 . ， 所以 .所以 . 构造函数 （稍微放大 的范围）. . 令 ， ， 所以 在 上递减.而 . 由于 ， 所以 ， ， ， 所以 . ， 故存在 ，使 . 所以 在 上递增，在 上递减. 所以对于 来说，最小值只能在区间端点取得. 当 时， ； 当 时， . 所以 的最小值为 . 故选：B ( )f x 1 2 2 log 4x+ = 1 4x = 1 1 24 a b≤ < < ≤ ( ) ( )t f a f b= = ( ]2,4t ∈ 1 2 2 log 2bt a= + = 2 4 , log2ta b t= = ( )24log 2 42t tab t= < ≤ ( ) ( )24log 1 42t th t t= ≤ ≤ t ( ) 2' 1 1ln 2 log lnln 2 ln 24 42 2t t t tt th t − ⋅ −⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ( ) ( )1 ln 1 4ln 2m t t tt = − ≤ ≤⋅ ( )' 2 1 1 0ln 2m t t t = − − = ⋅ ln ln 4 lne e< < 1 ln 2 12 < < ( )21 ln 2 14 < < ( )22 8 ln 2 8< ⋅ < ( ) ( )21 8 ln 24 04 ln 2m − ⋅= > F B y C A C A B O 5 3OA a= | | | | FA FC = 5 4 4 3 3 2 5 2 F ,OA OB BF ,a b ,FA FC的长，进而求得 【 详 解 】 双 曲 线 的 右 焦 点 ， 渐 近 线 的 方 程 为 ， 即 ，渐近线 的方程为 ，即 . 所以 ， ， . 所以 ，而 ， 解得 或 （舍去）. 所以 . 在 中，由射影定理得 ，所以 ， 所以 . 故选：B | | | | FA FC 2 2 2 2 1x y a b − = ( ),0F c OB by xa = 0bx ay− = OA by xa = − 0bx ay+ = 2 2 bc bcBF bca b = = = + 2 2OB c b a= − = 2 25 4 3 3 a aAB a = − =   4tan 3 ABAOB OB ∠ = = ( ) tan tantan tan 1 tan tan AOF BOFAOB AOF BOF AOF BOF ∠ − ∠∠ = ∠ − ∠ = + ∠ ⋅ ∠ 2 2 4 31 b b a a b a − − = == − 2b a= 1 2b a= − 4 4 1023 3 3 a a aAF b a= + = + = Rt COF∆ 2OF BF FC= ⋅ 2 2 2 2 25 5 2 2 OF c a b a aFC BF b b a += = = = = 10 | | 43 5| | 3 2 a FA aFC = =【点睛】本小题主要考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形 的射影定理、两直线的夹角公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属 于中档题. 二、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卡横线上. 13.数列 满足 前 项和为 ，且 ，则 的通项公式 ____； 【答案】 【解析】 【分析】 根据递推关系式 可得 ，两式相减得： ，即 ，可知从第二项起数列是等比数 列，即可写出通项公式. 【详解】因为 所以 两式相减得： { }na 1 1,a = n nS *2 ( 2, )n nS a n n N= ≥ ∈ { }na na = 2 1, 1 2 , 2n n na n− ==  ≥ ( )*2 2,n nS a n n N= ≥ ∈ ( )* 1 12 3,n nS a n n N− −= ≥ ∈ 12 2 ( 3, )n n na a a n n N ∗ −= − ≥ ∈ 1 2( 3, )n n a n n Na ∗ − = ≥ ∈ ( )*2 2,n nS a n n N= ≥ ∈ ( )* 1 12 3,n nS a n n N− −= ≥ ∈ 12 2 ( 3, )n n na a a n n N ∗ −= − ≥ ∈即 所以 从第二项起是等比数列， 又 ，所以 故 ，又 所以 . 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题. 14.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件： ①所有的奇数项满足 ，所有的偶数项满足 ； ②任意相邻的两项 ， 满足 . 根据上面的信息完成下面的问题： （i）数列 __________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）； （ii）若 ，则数列 __________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）. 【答案】 (1). 是 (2). 是 【解析】 【分析】 依据定义检验可得正确的结论. 【详解】若数列为 ，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义， 故 为“有趣数列”. 若 ，则 ， . ，故 . , 1 2( 3, )n n a n n Na ∗ − = ≥ ∈ { }na 2 2 22 1+S a a= = 2 1a = 22 ( 2,n na n−= ≥ *)n N∈ 1 1a = 2 1, 1 2 , 2n n na n− ==  ≥ 2 1 2 1n na a− +< 2 2 2n na a +< 2 1na − 2na 2 1na − < 2na 1,2 3 4 5 6, , , , 2( 1)n na n n = + − { }na 1,2 3 4 5 6, , , , 1,2 3 4 5 6, , , , 2( 1)n na n n = + − 2 1 2 1 2 22 1 , 2 12 1 2 1n na n a nn n− += − − = + −− + 2 2 2 2 22 , 2 22 2 2n na n a nn n+= + = + + + 2 1 2 1 2 2 2 42 2 02 1 2 1 4 1n na a n n n− +− = − − + = − − > A O A C ,P Q 060PAQ∠ = 3OQ OP=  7 2 060PAQ∠ = PAQ∆ AP m= 3 ,2AB m OB m= = 3 3 7 72 2 2 2PQ m bk c a em a = = = ⇒ = ⇒ = ABC∆ A B C a b c 2(sin cos cos sin ) sinA C A C A+ = sinC+ a b c 7c = 2 3C π= b sin 2B 5b = 55 3sin 2 98B = 2sin sin sinB A C= +，从而证明结论成立； （2）利用余弦定理 ，再由（1） ，联立求得 的值；由正弦定理 求得 ，再利用倍角公式求得 的值. 【详解】（1）因为 ， 所以 . 由于在 中， ，所以 ， 所以 . 由正弦定理 ，得 . 所以 成等差数列. （2）在 中， ， 由余弦定理，得 , 即 . 由（1）知 ，所以 ，解得 . 由正弦定理，得 . 在 中，因为于 ，所以 ， 所以 . 所以 . 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查方程思想的运用和运 算求解能力，求 的值时，注意角 这一条件的应用. 18.棋盘上标有第 、 、 、 、 站，棋子开始位于第 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游 戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第 站或 2b a c= + 2 2 + 49+ =a b ab 2 7= −a b b sin B sin 2B ( )2 sin cos cos sin sin sin+ = +A C A C A C ( )2sin sin sinA C A C+ = + ABC∆ + =A C Bπ − ( )sin sinA C B+ = 2sin sin sinB A C= + sin sin sin a b c A B C = = 2b a c= + , ,a b c ABC∆ 27, 3c C π= = 2 2 2 27 2 cos 3a b ab π= + − 2 2 + 49+ =a b ab 2 7= −a b ( ) ( )2 22 7 + 2 7 49− + − =b b b b 5b = 2sin 5 33sin 14 b B c π = = ABC∆ 2= 3C π 0, 2B π ∈   2 2 5 3 11cos 1 sin 1 14 14B B  = − = − =    55 3sin 2 2sin cos 98B B B= = cos B 0, 2B π ∈   0 1 2  100 0 99第 站时，游戏结束.设棋子位于第 站的概率为 . （1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币 次后，求棋手所走步数之和 的分布列与数学期望； （2）证明： ； （3）求 、 的值. 【答案】（1）分布列见解析，随机变量 的数学期望为 ；（2）证明见解析； （3） ， . 【解析】 【分析】 （1）根据题意得出随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，利用独立重复试验的概率公式 计算出随机变量 在相应取值时的概率，可列出随机变量 的分布列，由此计算出随机变量 的数学期望； （2）根据题意，棋子要到第 站，由两种情况，由第 站跳 站得到，也可以由第 站跳 站得到，由此得出 ，并在该等式两边同时减去 ，可得出所证等式 成立； （3）结合（1）、（2）可得 ，利用累加法求出数列 的通项公式，从而 可求出 和 的值. 【详解】（1）由题意可知，随机变量 的可能取值有 、 、 、 . ， ， ， . 所以，随机变量 的分布列如下表所示： 100 n nP 3 X ( )( )1 1 1 1 982n n n nP P P P n+ −− = − − ≤ ≤ 99P 100P X 9 2 99 100 2 113 2P  = −   100 99 1 113 2P  = +   X 3 4 5 6 X X X ( )1n + n 1 ( )1n − 2 1 1 1 1 2 2n n nP P P+ −= + nP 1 1 1 2 n n nP P + +  − = −   { }nP 99P 100P X 3 4 5 6 ( ) 31 13 2 8P X  = = =   ( ) 3 1 3 1 34 2 8P X C  = = ⋅ =   ( ) 3 2 3 1 35 2 8P X C  = = ⋅ =   ( ) 31 16 2 8P X  = = =   X X 3 4 5 6所以，随机变量 的数学期望为 ； （2）根据题意，棋子要到第 站，由两种情况，由第 站跳 站得到，其概率为 ， 也可以由第 站跳 站得到，其概率为 ，所以， . 等式两边同时减去 得 ； （3）由（2）可得 ， ， . 由（2）可知，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ， ， 又 ，则 ， 由于若跳到第 站时，自动停止游戏，故有 . 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了 累加法求数列通项，综合性较强，属于难题. 19.如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ,底面 是正三角形, P 1 8 3 8 3 8 1 8 X 1 3 3 1 93 4 5 68 8 8 8 2EX = × + × + × + × = ( )1n + n 1 1 2 nP ( )1n − 2 1 1 2 nP − 1 1 1 1 2 2n n nP P P+ −= + nP ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 982 2 2n n n n n nP P P P P P n+ − −− = − + = − − ≤ ≤ 0 1P = 1 1 2P = 2 1 0 1 1 3 2 2 4P P P= + = { }1n nP P+ − 2 1 1 4P P− = 1 2 − 1 1 1 1 1 1 4 2 2 n n n nP P − + +    ∴ − = ⋅ − = −       ( ) ( ) ( ) 2 3 99 99 1 2 1 3 2 99 98 1 1 1 1 2 2 2 2P P P P P P P P      ∴ = + − + − + + − = + − + − + + −            98 100 1 114 21 2 1112 3 21 2   − −       = + = −    − −   99 99 98 99 1 1= 2 2P P  − − = −   98 99 2 113 2P  = +   99 100 98 99 1 1 112 3 2P P  = = +   1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC ABC 1 3,AB AA= = 1 1 1 1 1,3 3AE AB C F AC= =(1)求证: 平面 ; (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析,(2) 【解析】 【分析】 (1) 在线段 上取一点 .使 .连结 .利用线段成比例定理可以证明出线 线平行以及数量关系,根据平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理可以证明出本 问； (2) 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 利用向量法可以求出直线 与平面 所成角的正弦值. 【详解】(1)证明:在线段 上取一点 .使 .连结 . 在 中.因为 , 所以 , 所以 , 所以， 且 , 1 / /A E BCF 1AA BCF 13 13 BC G 1 3CG BC= .EG FG B , ,Bx BC BB , ,x y z 1AA BCF BC G 1 3CG BC= .EG FG ABC 1 1 ,3 3AE AB CG BC= = 2 2,3 3BE AB BG BC= = 2 3 BE BG AB BC = = / /EG AC 2 3EG AC=因为 . 所以 , 所以 且 , 故四边形 为平行四边形,所以 , 又 平面 平面 , 所以 平面 . (2)以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为底面 是正三角形， , 所以点 , 则 , 设平面 的法向量为 . 1 1 1 1 1 1 , / /3C F AC AC AC= 1 1 1 1 2 2 / /3 3A F AC AC A F AC= = 且 1/ /EG A F 1EG A F= 1A FGE 1 //A E FG 1A E ⊄ ,BCF FG ⊂ BCF 1 / /A E BCF B , ,Bx BC BB , ,x y z ABC 1 3.AB AA AE= = = 1 1 .3 AB C F = 1 1 1 3 AC ( ) ( ) 3 50.0.0 . 0.3.0 . , ,32( )2B C F ( ) 3 50.3.0 . , ,32 2BC BF  = =       BCF ( ), ,n x y z=由 , 令 .得平面 的一个法向量为 , 又 , 设直线 与平面 BCF 所成角的大小为 . 则 , 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】本题考查利用平行四边形的性质证明线面平行,考查了利用空间向量求线面角,考查了 数学运算能力. 20.近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于 的天气现象出现增多.陡然降温幅度大 于 容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院 随机对人院的 名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部 名幼儿中随机抽取 人， 抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为 , (1)请将下面的列联表补充完整; 患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计 男 25 ( )( ) ( ) · , , · 0,3,0 0 3 5 3 5· , , · , ,3 3 02 2 2 2 n BC x y z n BF x y z x y z  = =    = = + + =       3z = − BCF ( )6, 0, 3 .n = − ( )1 0,0,3AA = 1AA θ ( ) ( )0,0,3 6,0, 3 13sin 133 39 AA n AA n θ ⋅ −⋅= = = ×     1AA BCF 13 13 10 C° 10 C° 100 100 1 2 5女 20 合计 100 (2)能否在犯错误的概率不超过 的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关?说明你的理由; (3)已知在患伤风感冒疾病的 名女性幼儿中,有 名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的 名女性中,选出 名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为 ,求 的分布列 以及数学期望.下面的临界值表供参考: 参考公式： ，其中 【答案】(1)见解析,(2) 不能在犯错误的概率不超过 的情况下认为患伤风感冒疾病与性别 有美.(3)分布列见解析, 【解析】 【分析】 (1)根据在全部 名幼儿中随机抽取 人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为 ,可以求出 患伤风感冒疾病的幼儿的数量，这样可以补充完成列联表； (2)代入公式求出 的值，根据所给的表写出结论； (3) 根据题意, 的值可能为 .分别求出相应的概率值，列出分布列，计算出数学期望即 可. 【详解】(1)列联表补充如下; 患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计 男 女 0.1 20 2 20 2 X X ( )2 0P K k≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + .n a b c d= + + + 0.1 1 5 100 1 2 5 2K X 0,1,2 20 25 45 20 35 55合计 计 算的观测值为 , 所以不能在犯错误的概率不超过 的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美. (3)根据题意, 的值可能为 . 则 , , 故 的分布列如下： 故 的数学期望： . 21.已知函数 ， ，其中 是自然对数的底数． （Ⅰ） ，使得不等式 成立，试求实数 的取 值范围； （Ⅱ）若 ，求证： ． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】 试题分析：第一问根据题意将问题转化为 在区间 上的最大值小于等于 40 60 100 ( )2 2K ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2100 20 35 20 25 0.6734 2.70640 60 45 55 × × − ×= ≈ − ( ) ( ) 0f x g x− > )2 1, + + ∞ ( )f x [ ,0]2 π− ( )m g x+在区间 上的最大值，之后根据函数的单调性求得相应的最值，第二问转化不等式，将问 题转化为一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，从而求得结果． 试题解析：（Ⅰ） 由题意， ，使得不等式 成 立， 等价于 ．1 分 ， 当 时， ，故 在区间 上单调递增， 所以 时， 取得最大值 1．即 又当 时， ， 所以 在 上单调递减，所以 ， 故 在区间 上单调递减，因此， 时， ． 所以 ，则 ． 实数 的取值范围是 ． （Ⅱ）当 时，要证 ，只要证 ， 即证 ，由于 ， 只要证 ． 下面证明 时，不等式 成立． 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增． 所以当且仅当 时， 取最小值为 1． [0, ]2 π 1 2 π π,0 , 0,2 2x x   ∀ ∈ − ∃ ∈       1 2( ) ( )f x m g x≤ + [ ]1 max 2 max( ) ( )f x m g x≤ + ( ) (cos sin ) (sin cos ) ( )cos ( 1)sinx x xf x e x x x x x e x x e x= − − − − +′ + = π[ ,0]2x∈ − ( ) 0f x′ > ( )f x π[0, ]2 0x = ( )f x max( ) 1f x = π[0, ]2x∈ ( ) cos 2 xg x x e= −′ ( ) sin 2 0xg x x e′ −′ = − < ( )g x′ π[0, ]2 ( ) ( )0 1 2 0g x g≤ = −′ − e cos sin sin 2e 0x xx x x x− − + > ( ) ( )e cos 2 1 sinx x x x+ > + cos 2 0, 1 0x x+ > + > e sin 1 cos 2 x x x x >+ + 1x > − e cos 1 sin 2 x x x x >+ + ( ) ( )e 11 x h x xx = > −+ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 e 1 e e 1 1 x x xx xh x x x = + ′ + −= + ( )1,0x∈ − ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,x∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x 0x = ( )h x法一： ，则 ，即 ，即 ， 由三角函数的有界性， ，即 ，所以 ，而 ， 但当 时， ； 时， 所以， ，即 综上所述，当 时， 成立． 法二：令 ，其可看作点 与点 连线的斜率 ， 所以直线 的方程为： ， 由于点 在圆 上，所以直线 与圆 相交或相切， 当直线 与圆 相切且切点在第二象限时， 直线 取得斜率 的最大值为 ．而当 时， ； 时， ．所以， ，即 综上所述，当 时， 成立． 法三：令 ，则 ， 当 时， 取得最大值 1，而 ， 但当 时， ； 时， 所以， ，即 综上所述，当 时， 成立． 考点：等价转化的思想，恒成立问题的解决方法． sin cos 2 xk x = + cos 2 sink x k x+ = sin cos 2x k x k− = 2 2sin( ) 1 kx k ϕ− = + 2 2 1 1 k k ≤ + 1 1k− ≤ ≤ max 1k = ( ) ( )min 0 1h x h= = 0x = ( )0 1 0k h= < = 0x ≠ ( ) 1h x k> ≥ maxmin e sin 1 cos 2 x x x x    >   + +   e sin 1 cos 2 x x x x >+ + 1x > − sin( ) cos 2 xx x ϕ = + ( )cos ,sinA x x ( )2,0B − k AB ( )2y k x= + A 2 2 1x y+ = AB 2 2 1x y+ = AB 2 2 1x y+ = AB k 1 0x = ( )(0) 0 1 0hϕ = < = 0x ≠ ( ) 1h x k> ≥ min max( ) ( )h x xϕ> e sin 1 cos 2 x x x x >+ + 1x > − sin( ) cos 2 xx x ϕ = + 2 1 2 cos( ) (cos 2) xx x ϕ′ += + 3 2 ,( )4x k k N π π= + ∈ ( )xϕ ( ) ( )min 0 1h x h= = 0x = ( ) ( )0 0 1 0hϕ = < = 0x ≠ ( ) 1h x k> ≥ min max( ) ( )h x xϕ> e sin 1 cos 2 x x x x >+ + 1x > −（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题计分. 22.平面直角坐标系 中，倾斜角为 的直线 l 过点 ，以原点 为极点， 轴的 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）写出直线 的参数方程（ 为常数）和曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与 交于 ， 两点，且 ，求倾斜角 的值． 【答案】（1）直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的直角坐标方程 ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）直接写出直线 的参数方程，将曲线 的极坐标方程化为 ，再将 代入上式即可得解； （2）把直线 的参数方程代入 中，得 ， 由一元二次方程根与系数的关系得: ，再根据直线的参数方程中参数的几何意义， 得 ，求出 的值即可. 【详解】（1）直线 的参数方程为 （ 为参数）， 曲线 ： ，即 ， 将 代入上式得曲线 的直角坐标方程为： ； （2）把直线 的参数方程代入 中，得 ， 设 ， 对应的参数分别为 ， 由一元二次方程根与系数的关系得: ， xOy α ( 2, 4)M − − O x C 2 2sin cosρ θ θ= l α C l C A B · 40MA MB = α l 2 tcos 4 tsin x a y a = − +  = − + t C 2 2y x= 4 πα = l C 2 2 2sin cosρ θ ρ θ= x cos y sinρ θ ρ θ= =， l 2 2y x= 2 2 (2 8 ) 20 0t sin cos sin tα α α− + + = 1 2 2 20 sint t α= 1 2 2 20· 40sinMA MB t t α= = = α l 2 tcos 4 tsin x a y a = − +  = − + t C 2 2sin cosρ θ θ= 2 2 2sin cosρ θ ρ θ= x cos y sinρ θ ρ θ= =， C 2 2y x= l 2 2y x= 2 2 (2 8 ) 20 0t sin cos sin tα α α− + + = A B 1 2t t， 1 2 2 20 sint t α=根据直线的参数方程中参数的几何意义，得 ，得 或 . 又 ，所以 . 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程及其参数 的几何意 义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 23.已知函数 ． （1）解不等式 ； （2）设函数 的最小值为 ，若 ， 均为正数，且 ，求 的最小值． 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）分段去绝对值求解不等式即可； （Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 ，再由 ，展开利用基本不等 式求解即可. 【详解】（Ⅰ） 或 或 , 不等式解集为 . （Ⅱ） , , 又 , , 1 2 2 20· 40sinMA MB t t α= = = 4 πα = 3 4 πα = 2 2(2 8 ) 80 0cos sin sinα α α−∆ = + > 4 πα = t ( ) 1 1f x x x= − + + ( ) 2f x ≤ ( )f x m a b 1 4 ma b + = +a b [ ]1,1− 9 2 2m = ( ) 1 2 2a b a b a b  + = + +    ( ) 2 1 2 1 1 2 1 x x f x x x x − ≤ − = − < ≤  > ， ， ， ∴ 1 2 2 x x ≤ − − ≤ 1 1 2 2 x− < ≤  ≤ 1 2 2 x x >  ≤ ∴ 1 1x− ≤ ≤ ∴ [ ]1,1−  ( ) ( )1 1 1 1 2x x x x− + + ≥ − − + = ∴ 2m = 1 4 2a b + = 0, 0a b> > , , 当且仅当 即 时取等号,所以 . 【点睛】绝对值不等式 常见解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 的 ∴ 1 2 12a b + = ∴ ( ) 1 2 5 2 5 922 2 2 2 2 a ba b a b a b b a  + = + + = + + ≥ + =   1 4 2 2 a b b a  + =  = 3 2 3 a b  =  = ( )min 9 2a b+ =