（第 7 题图）
龙岩市 2020 年高三毕业班教学质量检查
数学（文科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．设 ，则
A． B． C． D．
3．若双曲线 的实轴长为 4，则其渐近线方程为
A． B．
C． D．
4．已知 , , ，则
A． B．
C． D．
5．若变量 满足约束条件 ，则 的最小值是
A． B． C． D．
6．从 2 名女同学和 3 名男同学中任选 2 人参加演讲比赛，则选中的 2 人是 1 名男同学 1 名女
同学的概率是
A． B． C． D．
7．第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行
设计的．如图所示，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方
形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，
{ }1,3,5M = { }2,4,5N = M N =
{ }5 { }3,5 { }2,4,5 { }1,2,3,4,5
i(1 i)z = − z =
1 i− 1 i+ 1 i− − 1 i− +
2
2
2 1( 0)x y aa
− = >
y x= ± xy 2±=
xy 2
1±= 2y x= ±
0.2log 2a = 0.22b = 0.30.2c =
a c b< < a b c< <
c a b< < b c a< <
,x y
3 4 0
3 4 0
0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
+ ≥
4z x y= −
6− 5− 5 6
1
5
2
5
3
5
4
5直角三角形中较大的锐角为 ，那么
A． B． C． D．
8．已知 为奇函数，且当 时， ，则
A． B． C． D．
9．已知四棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， , ，底面 是等
腰梯形， ，且满足 ，则球 的表面积是
A． B． C． D．
10．已知点 为椭圆 的一个焦点，过点 作圆 的两条切线，若
这两条切线互相垂直，则
A． B． C． D．
11．函数 在区间 上是单调函数，且 的图像关于点
对称，则
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
12．已知数列 满足 ，则 的最大值是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．曲线 在点 处的切线方程为 ．
14 ． 已 知 向 量 ， 若 向 量 与 向 量 共 线 ， 则 实 数
．
15 ． 已 知 圆 锥 的 顶 点 为 ， 点 在 底 面 圆 周 上 ， 且 为 底 面 直 径 ， 若
，则直线 与 的夹角为__________．
16．有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：“在 中，角 , , 的
对边分别为 ，已知 ， ， ，求角 ．”经推断，破
损处的条件为三角形一边的长度，且该题的答案 是唯一确定的，则破损处应
是 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分。
17．已知 是公差为 的等差数列，数列 满足 , , ．
3a = 2 2 3 3 0− − + =c b c
θ 2cos 2
θ =
3
10
3
5
7
10
4
5
( )f x 0x ≥ ( ) 1xf x e= − 1(ln )2f =
1
2
− 1− 1 1
2
S ABCD− O SA SB= SA SB⊥ ABCD
//AB CD 2 2 2AB AD DC= = = O
4 π3
8 2 π3
4π 8π
F )1(12
2
2
>=+ aya
x F 2 2 1x y+ =
=a
2 2 3
( ) cos ( 0)f x xω ω= > [0, π]2
( )f x 3( )4 π,0M
ω =
2
3
10
3
2
3 2 14
3 2 10
3
14
3
{ }na 2
1 2 4n n na a a+ = + − 1 2020a a+
4 2 2− 8 2− 4 2 2+ 8 2+
( 1)exy x= − (1,0)
(1,1), ( 3, )m= = −a b 2 −a b b
m =
S A B C, , AB
SA AC BC= = SA BC
ABC∆ A B C
, ,a b c A
45A = °
{ }na 1 { }nb 1 1b = 2
1
2b = nnnn nbbba =+ ++ 11（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
18．如图，在棱长为 的正方体 中， , , 分别
是棱 , , 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
19．某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近 6 个月的市
场占有率 进行了统计，结果如下表：
月份 2019.7 2019.8 2019.9 2019.10 2019.11 2019.12
月份代码 1 2 3 4 5 6
10 14 15 16 20 21
（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合 与月份代码 之间的关系．如果能，
请计算出 关于 的线性回归方程；如果不能，请说明理由；（结果精确到 0.01）
（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本 1000 元/辆的 型车和
800 元/辆的 型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：
报废年限
车型 1 年 2 年 3 年 4 年 总计
8 32 40 20 100
12 43 35 10 100
经测算，平均每辆单车每年能为公司带来 500 元的收入，不考虑除采购成本以外的其它
成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以平均
每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？
参考数据： ， ， ，
， ．
参考公式：相关系数 ， ，
．
20．设抛物线 的焦点为 ， 的准线与 轴的交点为 ，点 是 上
6
2
1
( ) 17.5i
i
x x
=
− =∑
{ }nb
1+= nnn bbc { }nc n nS
2 1 1 1 1ABCD A B C D− E F M
AB BC AD
1 //D M 1A EF
1D 1A EF
%y
x
y
y x
y x
A
B
A
B
6
1
( )( ) 37
=
− − =∑ i i
i
x x y y
6
2
1
( ) 82
=
− =∑ i
i
y y
1435 37.88≈ 37 0.9837.88
≈
1
2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
a y bx= −
2: 2 ( 0)= >C y px p F C x E A C
（第 18 题图）的动点．当 是等腰直角三角形时，其面积为 2．
（1）求 的方程；
（2）延长 交 于点 ，点 是 的准线上的一点，设直线 , , 的斜率分
别是 ，证明： ．
21．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，方程 有两个不同的实数解，求实数 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在 22、23 两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定
的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分. 作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号
后的方框涂黑．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立
平面直角坐标系，直线 过点 ，倾斜角为 ．
（1）求曲线 的直角坐标方程与直线 的参数方程；
（2）设直线 与曲线 交于 , 两点，求 的值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 ．
（1）若 ，解不等式 ；
（2）对任意的实数 ，若总存在实数 ，使得 ，求实数 的取值范
围．
AF C B M C
AEF∆
C
MF MA MB
210 ,, kkk 021 2kkk =+
21( ) ln ln 12f x x x x= + − +
( )f x
0m > ( ) 0mmf x x x
′ − + = m
C 6cos 0ρ θ− = x
l ( )0,2M 3 π4
C l
l C A B 1 1
MA MB
+
( ) | 1| | 2 |f x x x a= + + −
1=a ( ) 4f x <
m x 2 2 4 ( )m m f x− + = a龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查
数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 D A C A B C D B C D B C
12 ： 【 简 解 】 依 题 意 可 化 为 ， 令
， 则 ， ∴ ， 于 是 ， ∴
∴ ，即
法一：
（当且仅当 时等号成立）
法二：∵ ，
∴
（当且仅当 时等号成立）
法三： ，即 在 上，
令 ，即 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． ； 14． ； 15． ； 16． ．
16.【简解】因为 ，
所以 ，又 ，所以 ．
（1） ．
2 2 2
2 2 2 2 2 33 3 0 3 0 2 2
+ −− − + = ⇒ − − + = ⇒ =a c bc b c c b ac a ac
3cos 2
=B
2
1 2 4n n na a a+ = + − 2 2
1( 2) ( 2) 4n na a+ − + − =
2( 2)n nb a= − 1 4n nb b+ + = 2 1 4n nb b+ ++ = 2n nb b+ =
2 2
1 1 2020 2 2( 2) , ( 2)b a b b a= − = = −
1 2020 1 2 4b b b b+ = + = 2 2
1 2020( 2) ( 2) 4a a− + − =
1
1 2020
2020
2 2cos 4 2 2 sin( ) 4 2 22 2sin 4
a a aa
θ πθθ
= + ⇒ + = + + ≤ + = +
4
πθ =
2 2
2 2
x y x y+ +≤
2 2
1 2020
1 2020 1 2020
( 2) ( 2)( 2) ( 2) 4 2 4 4 2 22
a aa a a a
− + −+ = − + − + ≤ × + = +
1 2020 2 2a a= = +
2 2
1 2020( 2) ( 2) 4a a− + − = 1 2020( , )a a 2 2( 2) ( 2) 4x y− + − =
z x y= + 0x y z+ − = | 4 | 2
2
zd
−= ≤ | 4 | 2 2z − ≤
4 2 2 4 2 2z− ≤ ≤ + max 4 2 2z = +
e ey x= − 3−
3
π 3 3
2c
+=
(0 ,180 )B∈ ° ° 30B = °
3 6
sin30 sin 45 2
b b= ⇒ =° °检验： ，又 ，且 ，
所以 或者 ，这与已知角 的解为唯一解矛盾．
（2） ，又 ，所以 ， ．
检验： ，
又 ，且 ，∴ ．故应填的条件是： ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
解：（1）由已知得， ，所以 ．
又因为 是公差为 的等差数列，所以 ．
所以 ，所以数列 是常数数列，
所以 ，所以 ．………………6 分
（2）由已知得, ，
所以 ，
所以 ．………………12 分
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）法一：取 的中点 ，连结 .
因为 , , , 分别是棱 , , , 的中点，
所以 ，又因为 平面 ，
平面 ，所以 平面 .
又因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 平面 .
又 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ……………6 分
法二：连接 , , , ，所以 ，
因为 , 分别是棱 , 的中点，所以 ，
所以 ，所以 共面．
a b>
c a> 3 3
2
+=c
6
3 22 sinsin sin sin30 sin 2
b a AB A A
= ⇒ = ⇒ =° (0 ,180 )A∈ ° °
45A = ° 135A = ° A
30B = ° 45A = ° 105C = ° 3 3 3
sin105 sin 45 2
c c
+= ⇒ =° °
3 3
3 22 sinsin sin sin 75 sin 2
c a AC A A
+
= ⇒ = ⇒ =°
(0 ,180 )A∈ ° ° 45A = °
1 2 2 1a b b b+ = 1 1a =
{ }na 1 nan =
1( 1) n nn b nb++ = { }nnb
1 1nnb b= = 1
nb n
=
1 1 1
( 1) 1nc n n n n
= = −+ +
1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 2 3 1nS n n
= − + − + + − +
11 1 1n
nS n n
= − =+ +
CD N 1 ,MN D N EN,
E F M N AB BC AD CD
//MN EF MN ⊄ 1A EF
EF ⊂ 1A EF //MN 1A EF
1 1 //A D EN 1 1A D NE
1 1//A E D N 1 //D N 1A EF
1D N MN N= 1 //D MN 1A EF
1D M ⊂ 1D MN 1 //D M 1A EF
1 1AC 1C F AC MF 1 1//AC AC
E F AB BC 1// 2EF AC
1 1
1// 2EF AC 1 1, , ,A E F C因为 , 分别是棱 , 的中点，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又因为 面 ， 平面 ，所以 平面 .………6 分
（2） 因为 平面 ，所以点 到平面 的距离可以转化为点 到平面
的距离．
由已知可得 ,所以 ,
又 ，
所以 ，可知 ，
所以
又因为 ，所以点 到平面 的距离为 ．
所以点 到平面 的距离为 ．……………………………………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
解：（1）由表格中数据可得， ， ．
∵ ．……2 分
∴ 与月份代码 之间高度正相关，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．
，
∴ ，
∴关于 的线性回归方程为 ．………………………………6 分
（2）这 100 辆 款单车平均每辆的利润为
（元），
这 100 辆 款单车平均每辆的利润为
（元）．
∴用频率估计概率， 款单车与 款单车平均每辆的利润估计值分别为 360 元、415 元，
F M BC AD 1 1// //MF DC D C
1 1D C FM 1 1//D M C F
1D M ⊄ 1A EF 1C F ⊂ 1A EF 1 //D M 1A EF
1 //D M 1A EF 1D 1AEF M
1A EF
1 2 1 12MEFS∆ = × × =
1 1
1 1 21 23 3 3A MEF MEFV S AA− ∆= ⋅ = × × =
2 2
1 1 15, 2, 4 5 3A E EF A F AA AF= = = + = + =
1
5 2 9 10cos 102 5 2
A EF
+ −∠ = = −
× × 1
3 10sin 10A EF∠ =
1 1 1
1 1 3 10 3sin 5 22 2 10 2A EFS A E EF A EF∆ = ⋅ ⋅ ∠ = × × × =
1 1A MEF M A EFV V− −= M 1A EF 4
3
1D 1A EF 4
3
3.5x = 16y =
( )
( )
1
22
1 1
( )
( )
n
i ii
n n
i ii i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
37 37 0.98
17.5 82 1435
= = ≈
×
y x
( )
1
2
1
( ) 37 74 2.114ˆ
17.5 35( )
n
i ii
n
ii
x x y y
b
x x
=
=
− −
= = = ≈
−
∑
∑
ˆˆ 16 2.114 3.5 8.601a y bx= − = − × ≈
x ˆ 2.11 8.60y x= +
A
( )1 500 8 0 32 500 40 1000 20 360100
× − × + × + × + × =
B
( )1 300 12 200 43 700 35 1200 10 415100
× − × + × + × + × =
A B应采购 款车型． ………………………………12 分
20．（本小题满分 12 分）
解：（1）解：依题意可知，当 是等腰直角三角形时，
∵抛物线 方程为 ,∴焦点 ， ，
∴ 的面积 ，解得 ，
∴抛物线 的方程为 .…………4 分
（2）证明：由（1）知 ，
设直线 的方程： 代入 得: ,
设 ，所以
设 ，则： ， ，
∵ ，∴
∴
∴ . ………………………………………………12 分
21．（本小题满分 12 分）
解：（1）依题意函数 的定义域为 ， ，
令 ，则 ，故 在 单调递增，
又 ，所以当 时， , 即 ，
当 时， ，即 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增． ………………5 分
（2）解法一：方程 化简可得 ，
设 ，则 ，
令 ，可得 ， （舍去）
所以当 时， ；当 时， ；
B
AEF∆ 90AFE∠ = °
C 2 2 ( 0)y px p= > ( ,0)2
pF ( ,0)2
pE − | | | |EF AF p= =
AEF∆ 21 22AEFS p∆ = = 2=p
C 2 4y x=
)0,1(F
AB 1x ty= + xy 42 = 2 4 4 0y ty− − =
),(),,( 2211 yxByxA 1 2 1 24 , 4y y t y y+ = = −
( 1, )MM y− 0 2
Myk
−= 1
1
1 1
My yk x
−= +
2
2
2 1
My yk x
−= +
1 1
2 2
1
1
x ty
x ty
= +
= +
1 1
2 2
1 2
1 2
x ty
x ty
+ = +
+ = +
1 2 1 2
1 2
1 2 1 21 1 2 2
M M M My y y y y y y yk k x x ty ty
− − − −+ = + = ++ + + +
1 2 2 1
1 2
( )( 2) ( )( 2)
( 2)( 2)
M My y ty y y ty
ty ty
− + + − += + +
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 2( ) [ ( ) 4]
2 ( ) 4
Mty y y y y t y y
t y y t y y
+ + − + += + + +
2 2
2 2 2
8 8 (4 4) (4 4)
4 8 4 4 4
M M
M
t t y t y t yt t t
− + − + − += = = −− + + +
1 2 02k k k+ =
( )f x (0, )+∞ ln 1 ln 1( ) 1 x x xf x x x x
+ −′ = + − =
( ) ln 1g x x x= + − 1( ) 1 0g x x
′ = + > ( )g x (0, )+∞
(1) 0g = (0,1)x∈ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ <
(1, )x∈ +∞ ( ) 0g x > ( ) 0′ >f x
( )f x (0,1) (1, )+∞
( ) 0mmf x x x
′ − + = 2( ln )m x x x+ =
2( ) lnF x x mx m x= − −
22( ) 2 m x mx mF x x m x x
− −′ = − − =
( ) 0F x′ =
2
1
8
4
m m mx
+ +=
2
2
8 04
m m mx
− += <
1(0, )x x∈ ( ) 0F x′ < 1( , )x x∈ +∞ ( ) 0F x′ >故 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 在 时取得最小值，
故要使方程 有两解，
须满足 ，即 ，化简得 ．
令 ，由于 ，
所以 在 单调递增，
又 ，所以当 时， ,
所以 ，即 ，解得 ．
当 时， ．
所以， ，所以存在唯一 ，使得
又 ，
所以
令 ， ， ，
所以 在 上单调递增， ，
所以 在 上单调递增， ，
所以
所以， ，所以存在唯一 ，使得 ．
所以方程 有两个不同的实数解时，
正实数 的取值范围是 . ………………………12 分
解法二：方程 化简可得 ，
所以方程 有两解等价于方程 有两解，
设 ，则 ，
令 ，由于 ，所以 在 单调递减，
又 ，所以当 时， , 即
当 时， ，即 ；
故 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以 在 时取得最大值 ，
( )F x 1(0, )x 1( , )x +∞
( )F x 1x x=
( ) 0mmf x x x
′ − + =
1
1
( ) 0
( ) 0
F x
F x
′ =
( )h x (0, )+∞
(1) 0h = (1, )x∈ +∞ ( ) 0h x >
1 1x >
2
1
8 14
m m mx
+ += > 1m >
1m >
2
1 1 1( ) (1 ) 0e e eF m= + − >
1
1( ) ( ) 0eF F x < 1 1
1( , )et x∈ 1( ) 0.F t =
2
1
( 4) 1 1 e4 2
mm m mx m
+ +< = + < + <
2 2(e ) e (e ) em m m mF m m m= − − > −
2( ) e ( 1)xG x x x= − > ( ) e 2xG x x′ = − ( ) e 2 e 2 0xG x′′ = − > − >
( )G x′ (1, )+∞ ( ) (1) e 2 0G x G′ ′> = − >
( )G x (1, )+∞ ( ) (1) e 1 0G x G> = − >
2 2(e ) e (e ) e 0m m m mF m m m= − − > − >
1(e ) ( ) 0mF F x < 1 1( ,e )mt x∈ 2( ) 0F t =
( ) 0mmf x x x
′ − + =
m (1, )+∞
( ) 0mmf x x x
′ − + = 2( ln )m x x x+ =
( ) 0mmf x x x
′ − + = 2
ln 1x x
x m
+ =
2
ln( ) x xF x x
+=
2 2
2 2 3
2 2 ln 1 2ln( ) ( )
x x x x x x xF x x x
+ − − − −′ = =
( ) 1 2lnh x x x= − − 2( ) 1 0h x x
′ = − − < ( )h x (0, )+∞
(1) 0h = (0,1)x∈ ( ) 0h x > ( ) 0F x′ >
(1, )x∈ +∞ ( ) 0h x < ( ) 0F x′ <
( )F x (0,1) (1, )+∞
( )F x 1x = (1) 1F =又 ， ，所以存在 ，使得
又 在 上单调递增，所以当 时， ；
当 时， ，即 .
因为 在 上单调递减，且当 时， ，即
.
所以方程 有两解只须满足 ，
解得：
所以方程 有两个不同的实数解时，
实数 的取值范围是 .……………12 分
22．（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）因为 ，所以 ，
所以 ，即曲线 的直角坐标方程为： ，………2 分
[
直线 的参数方程 ( 为参数)，即 ( 为参数)，
………………………………………5 分
[
（Ⅱ）设点 , 对应的参数分别为 , ，
将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得 ，
整理，得 ，所以 ， ……………………7 分
所以 = , =4,
所以 = …………………………………10 分
23．（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）当 时， ，
化为 或 或 ………………………………3 分
21( ) e e 0eF = − < (1) 1 0F = > 1
1( ,1)ex ∈ 1( ) 0F x =
( )F x (0,1) 1(0, )ex∈ ( ) 0F x <
1( ,1)ex∈ ( ) 0F x > ( ) (0,1)F x ∈
( )F x (1, )+∞ (1, )x∈ +∞ 2
ln( ) 0x xF x x
+= >
( ) (0,1)F x ∈
2
ln 1x x
x m
+ = 10 1m
< <
1m >
( ) 0mmf x x x
′ − + =
m (1, )+∞
6cosρ θ= 2 6 cosρ ρ θ=
2 2 6x y x+ = C 2 2( 3) 9x y− + =
l
3πcos 4
3π2 sin 4
x t
y t
=
=
+
t
2
2
22 2
x t
y t
= −
= +
t
A B 1t 2t
l C 2 22 2( 3) (2 ) 92 2t t− − + + =
2 4 05 2t t + =+ 1 2
1 2
5 2
· 4
t t
t t
+ = −
=
1 2 1 2 1 20, 0, 0, 0t t tt tt< >
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