福建龙海市二中2020届高三数学（文）下学期第二次模拟试卷（附答案Word版）

2020 届高三下学期第二次模拟考试 数学（文科）试卷 （考试时间：120 分钟 总分：150 分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。） 1.已知集合 ，则 （A） （B） （C） （D） 2.设复数 z 满足 ，则 = （A） （B） （C） （D） 3.函数 的部分图像如图所示，则 （A） （B） （C） （D） 4.体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （A） （B） （C） （D） 5.已知双曲线 （ ）的离心率为 ，则 的 渐近线方程为 （ A ） （B） （C） （D） 6. 已知函数 的图像在点 处的切线与直线 平行，则 实数 （A） （B） （C） （D） 7.等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ） （A） 18 （B） 10 （C） -14 （D） -22 8.函数 的部分图像大致为（ ） {1 2 3}A = ，，， 2{ | 9}B x x= < A B = { 2 1 0 1 2 3}− −， ，，，， { 2 1 0 1 2}− −， ，，， {1 2 3}，， {1 2}， i 3 iz + = − z 1 2i− + 1 2i− 3 2i+ 3 2i− = sin( )y A xω ϕ+ 2sin(2 )3y x π= − 2sin(2 )6y x π= − 2sin(2 + )6y x π= 2sin(2 + )3y x π= 12π 32 3 π 8π 4π 2 2 2 2: 1x yC a b − = 0, 0a b> > 2 C 1( ) 1 xf x x += − ( )2, (2)f 1 0ax y+ + = a = 2 1 2 1 2 − 2− 2y x= ±3 3y x= ± 5y x= ±3y x= ±C N A B M （A） （B） （C） （D） 9.已知函数 在 单调递增，则 的最大值是( ) （A） （B） （C） （D） 10. 若实数 ， 满足不等式组 则 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 11.在边长为 1 的正方形 中，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上.若 ， 则 的最大值是（ ） （A）3 （B） （C） （D） 4 12.已知函数 ，对于任意 ， ， 恒成立，则 的 取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知 ，则 ． 14.已知向量 ， ，若 ，则 __________． 15.设函数 则使得 成立的 的取值范围是________． 16.如图，为测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测 点． 从 点测得 点的仰角 ， 点的仰角 以及 ；从 点测得 ．已知山高 ，则山高 ________ ． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题 12 分） x y ( )( )1 2 5 0 0 2 x y x y x − − + − ≥ ≤ ≤ ， ， 2z x y= − [ ]5,5− [ ]5,1− [ ]1,3 [ ]5,3− 1 32a = ( )2log 2a = ( ) 1 1 3 , 1, , 1, xe x f x x x − 1 1n nS S −− = { }nS 1 1S = 1 ( )1 1nS n n= + − = 2 nS n= 2n ≥ ( )22 1 2 1na n n n= − − = − 1 1a = 2 1na n= − { }na 2 1na n= − 1n = 1 11 12 b a= = 1 2b =②当 时，由 ①，得 ②，①-②得 ，则有 ， .....................................................8 分 可得数列 的通项公式为 ， .....................................................9 分 所以当 时， ； .....................................................10 分 当 时， ， . .........11 分 且 也适合 ，故 . .......................................12 分 19 解：（Ⅰ）证明：取 中点 ，连接 可知 且 又 , 在 有 又 ， , 即 ………………………3 分 又 平面 , 平面 平面 ， ………………………5 分 又 平面 平面 平面 ………………………6 分 （Ⅱ）设点 到平面 的距离为 , 又 平面 平面 ， 且平面 平面 面 ………………………8 分 ………………………9 分 在 中有 ， …………………10 分 ， 2n ≥ 11 2 1 2 12 2 2 2 n n nn n b bb b a− −+ + + = 11 2 11 2 12 2 2 n nn bb b a− −−+ + = 1 22 n n nn b a a −= − = 12n nb += { }nb 1 2, 1 2 , 2n n nb n+ ==  ≥ 1n = 1 2T = 2n ≥ ( )3 1 3 4 1 22 1 2 2 2 2 2 2 2 61 2 n n n nT − + + ⋅ − = + + + + = + = −− 1 2T = 22 6n nT += − 22 6n nT += − BC M ,DM PM 1MD AB= = MD BC⊥ , 2PB PC BC⊥ = ∴ Rt PBC∆ 1PM = 2PD = 2 2 2PD PM MD∴ = + MD PM⊥ , ,MD BC PM BC M PM⊥ = ⊂  PBC BC ⊂ PBC MD∴ ⊥ PBC MD ⊂ ABCD ∴ PBC ⊥ ABCD D PAB h ,PC PB PC PB= ⊥ PM BC∴ ⊥  PBC ⊥ ABCD PBC  ABCD BC= PM∴ ⊥ ABCD 1 1 1 1| | 1 1 13 3 2 6P ABD ABDV PM S− ∆∴ = = × × × × = PAB∆ 2, 1, 3PB AB PA= = = 2 2 2 ,PB AB PA PB AB∴ + = ∴ ⊥ ∴ 2 2PABS∆ = 1 1 2 1 3 3 2 6D ABP ABPV S h h− ∆= ⋅ = × × = 2 2h∴ =所以点 到平面 的距离为 .………………………12 分 20．（1）解法 1：依题意动圆圆心 到定点 的距离，与到定直线 的距离相等，… 1 分 由抛物线的定义，可得动圆圆心 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物 线， ……2 分 其中 ． 动圆圆心 的轨迹 的方程为 ． ………………3 分 解法 2：设动圆圆心 ，依题意： . ……………………………2 分 化简得： ，即为动圆圆心 的轨迹 的方程． ……………3 分 （2）解：假设存在点 满足题设条件． 由 可知，直线 与 的斜率互为相反数， 即 ①..........................................4 分 直线 的斜率必存在且不为 ，设 , ………………………………5 分 由 得 ． ………………………………………6 分 由 ,得 或 ． ……………………………………7 分 设 ，则 ． ………………………………………………8 分 由①式得 , D PAB 2 2 C (1,0)F 1x = − C (1,0)F 1x = − 2p = ∴ C E 2 4y x= C ( ),x y ( )2 21 1x y x− + = + 2 4y x= C E ( )0 ,0N x QNM PNM π∠ + ∠ = PN QN 0PN QNk k+ = PQ 0 : 2PQ x my= − 2 4 2 y x x my  =  = − 2 4 8 0y my− + = ( )24 4 8 0m∆ = − − × > 2m > 2m < − 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 1 2 1 24 , 8y y m y y+ = = 1 2 1 0 2 0 PN QN y yk k x x x x + = +− − ( ) ( ) ( )( )1 2 0 2 1 0 1 0 2 0 0y x x y x x x x x x − + −= =− −,即 ． 消去 ，得 , …………………………………………………9 分 , ………………………………………10 分 , …………………………………………11 分 存在点 使得 ． ………………………………12 分 21、（1）解：由已知得 ， ∴ ∴ ，又∵ ， 曲线 在点 处的切线方程为： .........................................4 分 （2）（ⅰ）令 ， ∴ ， 由 得， ；由 得， 易知， 为 极大值点， 又 时 ，当 时， 即函数 在 时有负值存在，在 时也有负值存在. 由题意，只需满足 ， ∴ 的取值范围是： .....................................................8 分 （ⅱ）由题意知， ， 为函数 的两个零点，由 （ⅰ）知，不妨设 ，则 ，且函数 在 上单调递增，欲证 ， 只需证明 ，而 ， 所以，只需证明 . ( ) ( )1 2 0 2 1 0 0y x x y x x∴ − + − = ( )1 2 2 1 0 1 2 0y x y x x y y+ − + = 1 2,x x ( )2 2 1 2 2 1 0 1 2 1 1 04 4y y y y x y y+ − + = ( ) ( )1 2 1 2 0 1 2 1 04 y y y y x y y+ − + = 1 2 0,y y+ ≠ 0 1 2 1 24x y y∴ = = ∴ ( )2,0N QNM PNM π∠ + ∠ =令 ，则 ∴ . ∵ ，∴ ，即 所以， ，即 在 上为增函数， 所以， ，∴ 成立. 所以， ......................................................12 分 22. 解：（Ⅰ）由 得 . ∵ ∴曲线 C 的直角坐标方程为： . …………5 分 （Ⅱ）将直线的参数方程 代入圆 的方程 化简得 . 设 A,B 两点对应的参数分别为 ，则 是上述方程的两根， 则有 . ∴ ∴ ∵ ∴ . ………………………10 分 23．解： （1）当 时，原不等式可化为 ， ………………1 分 ①当 时， ，解得 ，所以 ； …………………2 分 ②当 时， ，解得 ，所以 ； ……………3 分 ③当 时， ，解得 ，所以 ． …………………………… 4 分 θρ cos4= θρρ cos42 = θρθρρ sin,cos,222 ===+ yxyx 2 2( 2) 4x y− + =    = += α α sin cos1 ty tx 2 2 4 0x y x+ - = 03cos22 =−− αtt 21,tt 21,tt    −= =+ 3 cos2 21 21 tt tt α ( )2 2 1 2 1 2 1 24 4cos 12 13AB t t t t t t α= − = + − = + = 2 14cos 1, cos 2 α α= = ±则 [ )πα ，0∈ 2 3 3 π πα = 或 2a = 3 1 2 3x x− + − ≥ 1 3x ≤ 1 3 2 3x x− + − ≥ 0x ≤ 0x ≤ 1 23 x< < 3 1 2 3x x− + − ≥ 1x ≥ 1 2x≤ < 2x ≥ 3 1 2 3x x− + − ≥ 3 2x ≥ 2x ≥综上所述，当 时，不等式的解集为 ． …………………5 分 （2）不等式 可化为 ， 依题意不等式 在 上恒成立，…………………6 分 所以 ，即 ，即 ， …………………8 分 所以 ，解得 ， 故所求实数 的取值范围是 ． ……………………………………10 分 2a = { }| 0 1x x x≤ ≥或 ( )1 3x f x x− + ≤ 3 1 3x x a x− + − ≤ 3 1 3x x a x− + − ≤ 1 1,3 2x  ∈   3 1 3x x a x− + − ≤ 1x a− ≤ 1 1a x a− ≤ ≤ + 11 3 11 2 a a  − ≤  + ≥ 1 4 2 3a− ≤ ≤ a 1 4,2 3  −  