福建龙海市二中2020届高三数学（理）下学期第二次模拟试卷（附答案Word版）

2020 届高三下学期第二次模拟考试 数学（理科）试卷 (满分 150 分, 考试时间 120 分钟) 本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题意.） 1．复数 z 满足 （i 是虚数单位），则|z|= ( ) A． B． C． D． 2. 已知函数 的定义域为集合 ，集合 ，则 为（ ） A. B. C. D. 3. 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有五人分五钱,令上二人所得与 下三人等。问各得几何。”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、 丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。问五人各得多少钱?”(“钱” 是古代的一种重量单位).这个问题中，甲所得为_ __钱。 A. B. C. D. 4．已知非零向量 的夹角为 ，且 则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知点 x，y 满足约束条件Error!，则 z＝3x＋y 的最大值与最小值之差 为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 6．执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的有序数对为 （ ） A． B． C． D． 7．函数 在 的图像大致为（ ） A A B∩ 1)43( =−⋅ iz 25 1 25 5 5 1 5 5 122 +−−= xxy { }ZnnxxB ∈−== ,12 { }3,1 { }3,1,1,3 −− { }3,1,1− { }1,1,3 −− 5 4 4 3 3 2 5 3 ba, 30 ,3,1 == ba =− ba2 32 − 1 2 2 7, 6x y= = (11,12) (12,13) (13,14) (13,12) xexy −= 22 ]2,2[−A． B． C． D． 8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A．10+ B．10+ C．6+2 + D．6+ + 9．过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线，与抛物线在第一象限内交于点 ，若 ，则 （ ） A.4 B.2 C.1 D. 10．已知 ， 的导函数 的部分图象 如图所示，则下列对 的说法正确的是（ 　 ） A.最大值为 且关于点 中心对称 B.最小值为 且在 上单调递减 C.最大值为 且关于直线 对称 D.最小值为 且在 上的值域为 11．已知双曲线 的右顶点为 , 以 为圆心的圆与双曲线 的某一条渐近线交于两点 .若 ,且 （其中 为原点），则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．已知 ，函数 ，若关于 的方程 有 6 个解，则 的取值范围为　（　　） )0(22 >= ppxy F 3 A 4=AF =p 3 )),0(,0,0(),cos()( πϕωϕω ∈>>−= AxAxf )(xf )(xf ′ )(xf 2 )0,2( π− 2− ]2 3,2[ ππ 4 2 π−=x 4− ]2 3,0[ π ]4,0[ ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > A A C ,P Q 60PAQ∠ =  3OQ OP=  O C 7 2 3 7 7 7 2 7 Rλ ∈ 1 , 0,( ) lg , 0, x xf x x x  +  2( ) 4 1 4g x x x λ= − + + x ( ( ))f g x λ= λA． B． C． D． 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13．已知随机变量 ，且 ，则 __________. 14. 在 的展开式中含有常数项，则正整数 的最小值是 ． 15．在四面体 中， ，则四面体 的 外接球的表面积等于 ． 16. 设函数 ， ， 记 ，其中 ，( )， ，则 ____. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12 分） 在 中，角 的对边分别为 ，且 成等比数列， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ，求 的值. 18. （本小题满分12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯形， ， ， ， 平面 . （Ⅰ）设 为线段 的中点，求证： //平面 ； （Ⅱ）若 ，求平面 与平面 所成二面角的余弦值. 19．（本题满分 12 分） 为了增强高考与高中学习的关联度，考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语 3 个科目成 绩和高中学业水平考试 3 个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值 不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考 2(0, )3 1 2( , )2 3 2 1( , )5 2 2(0, )5 2(1,2 )Nξ  ( 1 3) 0.7P ξ− ≤ ≤ = ( 1)P ξ ≤ − = 2 3 1( )nx x − n ABCD 6, 4, 5AB CD AC BD AD BC= = = = = = ABCD ( ) 2 1f x x= ( ) 2 2 2( )f x x x= − 1 0 2 1| ( ) ( )| | ( ) ( )|k k k k kS f a f a f a f a= − + − + 99 98| ( ) ( ) |k kf a f a+ − 99i ia = 0,1,2, ,99i =  1,2k = =− 219 SS ABC△ C,B,A c,b,a , ,a b c 5sin 13B = 1 1 tan tanA C + 12BA BC⋅ =  a c+ AD BC 90ADC∠ = ° 2AD BC= PA ⊥ ABCD E PA BE PCD PA AD DC= = PAB PCD生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术 七科目中自主选择三科. （1）某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选 择； （2）甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合，各学科成绩达到二级的概率都是 0.8，且三人约定如果达 到二级不参加第二次考试，达不到二级参加第二次考试，如果设甲、 乙、丙参加第二次考试的总次数为 ，求 的分布列和数学期望． 20．（本题满分 12 分） 设 为椭圆 上任一点，F1，F2 为椭圆的焦点，|PF1|＋|PF2|＝4， 离心率为 . (Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)直线 : 与椭圆交于 、 两点，试问参数 和 满足什么条件时， 直线 , , 的斜率依次成等比数列； (III)求 面积的取值范围. 21．（本题满分 12 分） 已知函数 ， （ ， ）． （Ⅰ）若函数 在 处的切线 斜率为 ，求 的方程； （Ⅱ）是否存在实数 ,使得当 时, 恒成立.若存在，求 的值； 若不存在，说明理由. 请考生在第（22），（23）二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22. (本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 X X P 2 2 2 2 1x y a b + = ( )0a b> > 2 3 l ( )0y kx m m= + ≠ P Q k m OP PQ OQ OPQ∆ axaxxf ln)()( −= 2 1( ) ( ) 1g x x a xa = − + + R∈a 1a > )(xf ax = l 2 l a 1( , )x aa ∈ ( ) ( )f x g x> a xOy C 2cos 4sin x y θ θ =  = θ l（ 为参数）. （1）求 和 的直角坐标方程； （2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率. 23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知函数 ． （Ⅰ）解不等式 ； （Ⅱ）已知 ，求证： ． 2018-2019 学年下学期期初考试 高三数学理科试题参考答案 一、选择题 1—5:CBBBC 6—10：ADCBD 11—12：AD 二、13. 0.15 14 . 5 15. 16. 1 cos 2 sin x t y t α α = +  = + t C l C l (1,2) l ( ) 2+= xxf ( ) 14 +−> xxf ( )0,02 >>=+ baba ( ) baxfx 14 2 5 +≤−− 2 774 .2S Rπ π= = 1 2 19 11S S− =解析: 16. 解析：当 时， 在 单调递增，所以 所以 当 时， 在 单调递增，在 单调递减 所以 所以 所以 所以 17.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）因为 成等比数列，所以 ----------------------------1 分 由正弦定理可得 -----------------------------2 分 所以 -----------------------------3 分 --------------------------------4 分 --------------------------------5 分 --------------------------------6 分 （Ⅱ）由 得 知 ----------------------7 分 由 得 ---------------------------------------8 分 所以 ---------------------------------------9 分 由余弦定理得 得 --------------------------------10 分 1k = ( ) 2 1f x x= [0, )+∞ 1 0 1 1 1 99( ) ( ) ( )f a f a f a< < > >  1 0 2 1| ( ) ( )| | ( ) ( )|k k k k kS f a f a f a f a= − + − + 99 98| ( ) ( ) |k kf a f a+ − 2 1 2 0 2 2 2 1 2 49 2 48( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f a f a f a f a f a f a= − + − + + − + +  2 50 2 51 2 51 2 52 2 98 2 99( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f a f a f a f a f a f a− + − + + − 2 49 2 0 2 50 2 99( ) ( ) ( ) ( )f a f a f a f a= − + − 2 492 ( )f a= 1 2 2 491 2 ( )S S f a− = − 2 2 2 2 49 50 99 98 100 11 4 99 99 99 × − ×= − × = = 1 2 19 11S S− = , ,a b c 2b ac= 2sin sin sinA C B= 1 1 cos cos tan tan sin sin A C A C A C + = + sin cos cos sin sin sin C A C A A C += sin( ) sin sin A C A C += sin sin sin B A C = 1 13 sin 5B = = 12BA BC⋅ =  cos 12ac B = cos 0B > 5sin 13B = 12cos 13B = 2 12 13cosb ac B = = = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2( ) 2 2 cosb a c ac ac B= + − − 即 --------------------------------11 分 解得 ----------------------------------------------12 分 18. （本题满分 12 分） （Ⅰ）证明：设线段 的中点为 ， 连接 ， . 在△ 中， 为中位线，故 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 在底面直角梯形 中， ，且 ，故四边形 为平行四边形， 即 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 又因为 平面 ， 平面 ，且 ，所以平面 平面 . 又 平面 ，所以有 平面 . ……………6 分 （Ⅱ）如右图所示，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . 设 ， 则 ， ， ， . ， ， ， ， 设 是平面 的法向量，则 ， ， 可取 ，同理，设 是平面 的法向量，则 ，可取 ，从而 . …12 分 19. （本题满分 12 分） （1）考生要报考该校该专业，除选择物理外，还需从其他六门学科中任选两科，故共有 种不同选择. （2）因为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立，所以参加第二次考试 的总次数 服从二项分布 ，所以分布列为 2 1213 ( ) 2 13 (1 )13a c= + − × × + 3 7a c+ = 2 6 15C = X ( )9,0.2B所以 的数序期望 . 20．（本题满分 12 分） (Ⅰ)2a＝4，a＝2，c＝ae＝ ，b＝1，所以椭圆方程： ......3 分 （Ⅱ）设点 ， ，则 由 ，消 ,得 ， 因 为 直 线 与 椭 圆 交 于 不 同 的 两 点 ， 所 以 ，.....5 分 解得 ，由韦达定理得， ， ....6 分 由题意知， ， 即 ， 所 以 ，即 ，所以 ................9 分 (III)设点 到直线 的距离为 ，则 ， = = ，.....10 分 所以 ，则 ，...11 分 所以 ， 所以 面积的取值范围是 ....................12 分 21.（本小题满分 12 分） X ( ) 9 0.2 1.8E X = × = 3 14 2 2 =+ yx ( )11, yxP ( )22 , yxQ    =+ += 14 2 2 yx mkxy y ( ) 044814 222 =−+++ mkm 0)14)(1(1664 2222 >+−−=∆ kmmk 22 14 mk >+ 14 8 221 +−=+ k kmxx 14 44 2 2 21 + −= k mxx OQOP kkk •=2 21 2 21 212 21 2 2121 2 21 212 )()( xx m xx mkxx mm xx yyk +++=+++== 0)( 21 2 21 21 =++ xx m xx m 4 12 =k 20 2 2 1( )ln ( ) 1x a ax x a xa − > − + + 1( )ln ( )( )x a ax x a x a − > − − 1( , )x aa ∈ 1ln ax x a < − 1ln 0ax x a − + < 1( ) lnh x ax x a = − + 1( , )x aa ∈ 1 1( ) 1 xh x x x −′ = − = 1 1xa < < ( ) 0h x′ > ( )h x 1 x a< < ( ) 0h x′ < ( )h x 1x = ( )h x ( ) 11 ln 1h a a = + − 1ln 1 0a a + − < 1( ) ln 1x x x ϕ = + − 1x > 2 2 1 1 1( ) xx x x x ϕ −′ = − = 1x > ( ) 0xϕ′ > ( )g x ( ) ( )1 0xϕ ϕ> = a 1( , )x aa ∈ ( ) ( )f x g x> C 2 2 14 16 x y+ = cos 0α ≠ l tan 2 tany xα α= ⋅ + − cos 0α = l 1x = l C 2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0t tα α α+ + + − = C l (1,2) C 1t 2t 1 2 0t t+ =又 故 于是直线 的斜率 .…………10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 解：（Ⅰ） ，即为 ， 该不等式等价于如下不等式组： 1） ，2） ， 3） ， 所以原不等式的解集为 …………5 分 （Ⅱ）由 ， 而 ， 所以 .…………10 分 1 2 2 4(2cos sin ) 1 3cost t α α α ++ = + 2cos sin 0α α+ = l tan 2k α= = − ( ) 14 +−> xxf 412 >+++ xx 2 7 412 2 −−−−− −< xxx x ∅−−+ −⇒    >+++ −≥ xxx x   >−< 2 1 2 7 xxx 或 ( ) 2 922 5 2 5 ≤+−−=−− xxxfx ( ) ( ) 2 9452 14142 114 2 114 =+≥     +++=     ++=+ b a a b bababa ( ) baxfx 14 2 5 +≤−−