吉林长春十一中2020届高三数学（理）下学期线上模拟试题（Word版附答案）

高三线上模拟考试 数学试题（理科） 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分.考试时间为 120 分钟， 其中第Ⅱ卷 22 题－24 题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域内. 2． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚. 3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效. 4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合 已知集合 ,则 （ ） A. B. C. D. 2. 复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 等比数列 的前 题目要求的．） 1.项和为 ，若 ， ，则 （ ） A.31 B. 36 C. 42 D.48 5. 设 ，其中实数 满足 ，若 的最大值为 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 有 6 名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的 不同分派方法种数为（ ） A.540 B.729 C.216 D.420 7. 执行如图的程序框图，则输出 的值为（ ） A. 2016 B. 2 C. D. 8. 若 的展开式中含有常数项，则 的最小值等于（ ） },,4|{ 2 RxxxA ∈≤= },4|{ ZxxxB ∈≤= =∩ BA )2,0( ]2,0[ }2,1,0{ }2,0{ 2 4i 1 iz += + i (3,1) ( 1,3)− (3, 1)− (2,4) 8 3 π 16 3 π 8π 16π { }na n nS 0, 1na q> > 3 5 2 620, 64a a a a+ = = 5S = z x y= + ,x y 2 0 0 0 x y x y y k + ≥  − ≤  ≤ ≤ z 6 z 3− 2− 1− 0 S 1 2 n xx x )1( 6 + n A. B. C. D. 9. 已知函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，得到函数 的图象.关于函 数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上是增函数 B. 其图象关于直线 对称 C. 函数 是奇函数 D. 当 时，函数 的值域是 10．设函数 ， 的零点分别为 ，则（ ） A. B.0＜ ＜1 C.1＜ ＜2 D. 11. 在正三棱锥 中， 是 的中点，且 ,底面边长 ,则正三棱 锥 的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 12. 过曲线 的左焦点 作曲线 的切线，设切点 为 M，延长 交曲线 于点 N，其中 有一个共同的焦点，若 ，则曲线 的离心率为 （ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 　　本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题－21 题为必考题，每个试题考生都必须作答， 第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13. 已知 ，则 ____________. 14. 设随机变量 ～ ，若 ，则 ____________. 15. 函数 ，若方程 恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是____________. 16. 设数列 的前 项和为 ，且 ， 为等差数列，则 的通项公式 ____________. xxxf )4 1(log)( 4 −= x xxg     −= 4 1log)( 4 1 21 xx 、 121 =xx 21xx 21xx 21xx 2≥ 3 4 5 6 )0(cossin3)( >+= ωωω xxxf x 2 π )(xf x 6 π )(xg )(xg ]2,4[ ππ 4 π−=x )(xg ]3 2,6[ ππ∈x )(xg ]1,2[− S ABC− M SC AM SB⊥ 2 2AB = S ABC− 6π 12π 32π 36π 2 2 1 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1F 2 2 2 2 :C x y a+ = 1F M 2 3 : 2 ( 0)C y px p= > 1 3C C、 1MF MN= 1C 5 5 1− 5 1+ 5 1 2 + (1, 2), (0,2)= − + =a a b | |=b X ),3( 2σN ( ) 0.3P X m> = ( 6 )P X m> − =    > ≤−= 1,ln 1,1)( 2 xx xxxf 2 1)( −= mxxf m { }na n nS 1 2 1a a= = { }( 2)n nnS n a+ + { }na na =三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写 在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分 12 分) 在 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，面积为 S，已知 （1）求证： 成等差数列； （2）若 求 . 18． (本小题满分 12 分) 如图，平面 平面 ，四边形 为矩形， ． 为 的中点， ． （1）求证： ； （2）若 时，求二面角 的余弦值． 19．（本小题满分 12 分） 为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字路 口处．现从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，他们的年龄情况如下表所 示． （1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）， 再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数； （2）在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加“规范摩的司机的交通 意识”培训活动，从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人，记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望． ABEF ⊥ ABC ABEF AC BC= O AB OF EC⊥ OE FC⊥ 3 2 AC AB = F CE B− − 分组（单位：岁） 频数 频率 [20，25) 5 0.05 [25，30) ① 0.20 [30，35) 35 ② ABC∆ bAcCa 2 3 2cos2cos 22 =+ cba 、、 ，34,3 == SB π b20. (本小题满分 12 分) 椭圆 的上顶点为 是 上的一点，以 为直径的圆经过 椭圆 的右焦点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，问：在 轴上是否存在两个定点，它们到直 线 的距离之积等于 1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由． 21. (本小题满分 12 分) 函数 ，若曲线 在点 处的切线与直线 垂直 （其中 为自然对数的底数）. （1）若 在 上存在极值，求实数 的取值范围； （2）求证：当 时， . 请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22.（本小题满分 10 分）选修 4 一 4:坐标系与参数方程 已知直线 C1: ，（t 为参数），曲线C2: ，( 为参数). （Ⅰ）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系；当 时,求 C1 与 C2 的交点的极坐标 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 4, ( , )3 3 bA P C AP C F C l C x l [35，40) 30 0.30 [40，45] 10 0.10 合计 100 1.00 x xaxf ln)( += )(xf ))(, efe（ 02 =+− eyxe e )(xf )1,( +mm m 1>x )1)(1( 2 1 )( 1 ++>+ − x x xex e e xf    = += aty atx sin cos1    = = β β sin cos y x β 3 πα =（其中极径 ，极角 ）； （Ⅱ）过坐标原点 作 C1 的垂线,垂足为 A，P 为 OA 中点，当 变化时，求P 点轨迹的参数方程，并 指出它是什么曲线. 23．(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 设 . （1）求 的解集; （2）若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围. 0≥ρ [ )πθ 2,0∈ O α 11)( ++−= xxxf ( ) 2f x x≤ + | 1| | 2 1|( ) | | a af x a + − −≥ 0a ≠ x线上考试参考答案 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1-5： CABAA 6-10：ABCDB 11-12：BD 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13. 14. 15. 16. 三、解答题： 17.解：（1）由正弦定理得： 即 ∴ 即 ∵ ∴ 即 ∴ 成等差数列。 （2）∵ ∴ 又 由（1）得： ∴ ∴ 即 18：解：（1）证明：连结 OC，因 AC=BC，O 是 AB 的中点，故 ． 又因平面 ABC 平面 ABEF，故 平面 ABEF， 于是 ．又 ，所以 平面 OEC， 所以 ， 又因 ，故 平面 ，所以 ． （2）由（1），得 ，不妨设 ， ，取 EF 的中点 D，以 O 为原点， OC，OB，OD 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则 ， 在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， 则 从而 设平面 的法向量 ，由 ， 得 ， , ,x y z (0, 1,1), (0,1,1), (0,1,0), ( 2,0,0),F E B C− ( 2,1,1), (0, 2,0),CE EF= − = −  FCE ( , , )n x y z= 0 0 CE n EF n  = =       (1,0, 2)n = 17 0.7 )1,2 1( e 12n n − BACCA sin2 3 2cossin2cossin 22 =+ BACCA sin2 3 2 cos1sin2 cos1sin =+++ BCACACA sin3sincoscossinsinsin =+++ BCACA sin3)sin(sinsin =+++ BCA sin)sin( =+ BCA sin2sinsin =+ bca 2=+ cba 、、 344 3sin2 1 === acBacS 16=ac accaaccaBaccab 3)(cos2 222222 −+=−+=−+= bca 2=+ 484 22 −= bb 162 =b 4=b OC AB⊥ ⊥ OC ⊥ OC OF⊥ OF EC⊥ OF ⊥ OF OE⊥ OC OE⊥ OE ⊥ OFC OE FC⊥ 2AB AF= 1AF = 2AB = OC k= (0, 1,1), (0,1,1), (0,1,0), ( ,0,0)F E B C k−同理可求得平面 的法向量 ，设 的夹角为 ，则 ， 由于二面角 为钝二面角，则余弦值为 19．（1）①处填 20，②处填 0.35；补全频率分布直 方图如图所示． 根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄 在[30，35)的人数为 500×0.35＝175． （2）用分层抽样的方法，从中选取 20 人，则其中 “年龄低于 30 岁”的有 5 人，“年龄不低于 30 岁”的 有 15 人． 由题意知，X 的可能取值为 0，1，2，且 P(X＝0)＝ ＝ ，P(X＝1)＝ ＝ ， P(X＝2)＝ ＝ ＝ ． ∴X 的分布列为： X 0 1 2 P ∴E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＝ ． 20.解：（1） ，由题设可知 ，得 ①，点 P 在椭圆 C 上， ② ③ …3 分 ①③联立解得， …4 分，故所求椭圆的方程为 …5 分 （2）当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，代入椭圆方程，消去 y， 整理得 （a） 方程（a）有且只有一个实根，又 ，所以 得 -------8 分 假设存在 满足题设，则由 CEB (1, 2,0)m = ,n m  θ 1cos 3 n m n m = =θ     F CE B− − 1 3 − ( ,0), (0, )F c A b 0FA FP⋅ =  2 2 4 03 3 bc c− + = 2 2 2 2 16 1, 29 9 b aa b ∴ + = ⇒ = 2 2 2 2b c a+ = = 21, 1c b= = 2 2 12 x y+ = y kx m= + 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x kmx m+ + + − = 22 1 0k + > 0,∆ = 2 22 1m k= + 1 1 2 2( ,0), ( ,0)M Mλ λ 2 2 1 2 1 21 2 1 2 2 2 ( ) 2 1( )( ) 1 1 k km kk m k md d k k + + + ++ +⋅ = =+ + λ λ λ λλ λ 2 15 2 20 C C 21 38 1 1 15 5 2 20 C C C 15 38 2 5 2 20 C C 2 38 1 19 21 38 15 38 1 19 21 38 15 38 2 38 1 2 l对任意的实数 恒成立,所以， 解得， 当直线 的斜率不存在时，经检验符合题意. 综上所述，存在两个定点 ， 使它们到直线 的距离之积等 1. …12 分 21.解：（1）∵ 由已知 ∴ 得 ………2 分 ∴ 当 为增函数； 当 时， ， 为减函数。 ∴ 是函数 的极大值点…4 分 又 在 上存在极值 ∴ 即 故实数 的取值范围是 ……5 分 （2） 即为 ……6 分 令 则 再令 则 ∵ ∴ ∴ 在 上是增函数 ∴ ∴ ∴ 在 上是增函数 ∴ 时， 故 ………9 分 令 则 2 1 2 1 2 2 ( 2) ( ) 1 11 k km k + + + += =+ λ λ λ λ k 1 2 1 2 2 1 0 + =  + = λ λ λ λ 1 1 2 2 1 1 1 1 = = −   = − =  λ λ λ λ或 1 2(1,0), ( 1,0)M M − l l 2 ln1)( x xaxf −−=′ 2 1)( eef −=′ 22 1 ee a −=− 1=a )0(ln)(ln1)( 2 >−=′+= xx xxfx xxf )(,0)(,)1,0( xfxfx >′∈ 时 ),1( +∞∈x 0)( x 0)( >′ xφ )(xφ ），（ ∞+1 01)1()( >=> φφ x 0)( >′ xg )(xg ），（ ∞+1 1>x 2)1()( => gxg 1 2 1 )( +>+ ee xg =)(xh 1 2 1 + − x x xe e 2 1 2 11 )1( )1(2 )1( )1()1(2)( + −=+ ′+−+=′ −−− x xx x xxxx xe ee xe exexeexh∵ ∴ ∴ 即 上是减函数 ∴ 时， ………11 分 所以 ， 即 ………12 分 22．解：（Ⅰ）当 时，C1 的普通方程为 ， C2 的普通方程为 ，------------1 分 联立方程组 ，解得 C1 与 C2 的交点坐标为（1，0）， ．------------3 分 所以两点的极坐标为 ， --------------5 分 （Ⅱ）C1 的普通方程为 ，A 点坐标为 ， 故当 变化时，P 点轨迹的参数方程为 （ 为参数） P 点轨迹的普通方程为 ．故 P 点轨迹是圆心为 ，半径为 的圆． 23.解： (1)由 得： 或 或 解得 所以 的解集为 （2） 当且仅当 时，取等号. 由不等式 对任意实数 恒成立，可得 解得： 或 . 故实数 的取值范围是 3 π=a )1(3 −= xy 122 =+ yx    =+ −= 1 )1(3 22 yx xy )2 3,2 1( − 0sincossin =−− ααα yx )cossin,(sin2 ααα − α 21 sin ,2 1 sin cos ,2 x y α α α  =  = − α 16 1)4 1( 22 =+− yx )0,4 1( 4 1 1>x 01 + )1)(1( 2 1 )( 1 ++>+ − x x xex e e xf )0,1( )3 5,1( π ( ) 2f x x≤ + 2 0 1 1 1 2 x x x x x + ≥  ≤ −  − − − ≤ + 2 0 1 1 1 1 2 x x x x x + ≥ − <