吉林长春十一中2020届高三数学(理)下学期线上模拟试题(Word版附答案)
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吉林长春十一中2020届高三数学(理)下学期线上模拟试题(Word版附答案)

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资料简介
高三线上模拟考试 数学试题(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分钟, 其中第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码 区域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字 体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合 已知集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 复数 ( 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( ) A. B. C. D. 3. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 4. 等比数列 的前 题目要求的.) 1.项和为 ,若 , ,则 ( ) A.31 B. 36 C. 42 D.48 5. 设 ,其中实数 满足 ,若 的最大值为 ,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 6. 有 6 名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的 不同分派方法种数为( ) A.540 B.729 C.216 D.420 7. 执行如图的程序框图,则输出 的值为( ) A. 2016 B. 2 C. D. 8. 若 的展开式中含有常数项,则 的最小值等于( ) },,4|{ 2 RxxxA ∈≤= },4|{ ZxxxB ∈≤= =∩ BA )2,0( ]2,0[ }2,1,0{ }2,0{ 2 4i 1 iz += + i (3,1) ( 1,3)− (3, 1)− (2,4) 8 3 π 16 3 π 8π 16π { }na n nS 0, 1na q> > 3 5 2 620, 64a a a a+ = = 5S = z x y= + ,x y 2 0 0 0 x y x y y k + ≥  − ≤  ≤ ≤ z 6 z 3− 2− 1− 0 S 1 2 n xx x )1( 6 + n A. B. C. D. 9. 已知函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列,把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位,得到函数 的图象.关于函 数 ,下列说法正确的是( ) A. 在 上是增函数 B. 其图象关于直线 对称 C. 函数 是奇函数 D. 当 时,函数 的值域是 10.设函数 , 的零点分别为 ,则( ) A. B.0< <1 C.1< <2 D. 11. 在正三棱锥 中, 是 的中点,且 ,底面边长 ,则正三棱 锥 的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 12. 过曲线 的左焦点 作曲线 的切线,设切点 为 M,延长 交曲线 于点 N,其中 有一个共同的焦点,若 ,则曲线 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)   本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答, 第 22 题、23 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. 已知 ,则 ____________. 14. 设随机变量 ~ ,若 ,则 ____________. 15. 函数 ,若方程 恰有四个不相等的实数根,则实数 的取值范围是____________. 16. 设数列 的前 项和为 ,且 , 为等差数列,则 的通项公式 ____________. xxxf )4 1(log)( 4 −= x xxg     −= 4 1log)( 4 1 21 xx 、 121 =xx 21xx 21xx 21xx 2≥ 3 4 5 6 )0(cossin3)( >+= ωωω xxxf x 2 π )(xf x 6 π )(xg )(xg ]2,4[ ππ 4 π−=x )(xg ]3 2,6[ ππ∈x )(xg ]1,2[− S ABC− M SC AM SB⊥ 2 2AB = S ABC− 6π 12π 32π 36π 2 2 1 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1F 2 2 2 2 :C x y a+ = 1F M 2 3 : 2 ( 0)C y px p= > 1 3C C、 1MF MN= 1C 5 5 1− 5 1+ 5 1 2 + (1, 2), (0,2)= − + =a a b | |=b X ),3( 2σN ( ) 0.3P X m> = ( 6 )P X m> − =    > ≤−= 1,ln 1,1)( 2 xx xxxf 2 1)( −= mxxf m { }na n nS 1 2 1a a= = { }( 2)n nnS n a+ + { }na na =三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写 在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分 12 分) 在 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,面积为 S,已知 (1)求证: 成等差数列; (2)若 求 . 18. (本小题满分 12 分) 如图,平面 平面 ,四边形 为矩形, . 为 的中点, . (1)求证: ; (2)若 时,求二面角 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) 为增强市民交通规范意识,我市面向全市征召劝导员志愿者,分布于各候车亭或十字路 口处.现从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,他们的年龄情况如下表所 示. (1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图), 再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数; (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加“规范摩的司机的交通 意识”培训活动,从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人,记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望. ABEF ⊥ ABC ABEF AC BC= O AB OF EC⊥ OE FC⊥ 3 2 AC AB = F CE B− − 分组(单位:岁) 频数 频率 [20,25) 5 0.05 [25,30) ① 0.20 [30,35) 35 ② ABC∆ bAcCa 2 3 2cos2cos 22 =+ cba 、、 ,34,3 == SB π b20. (本小题满分 12 分) 椭圆 的上顶点为 是 上的一点,以 为直径的圆经过 椭圆 的右焦点 . (1)求椭圆 的方程; (2)动直线 与椭圆 有且只有一个公共点,问:在 轴上是否存在两个定点,它们到直 线 的距离之积等于 1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 函数 ,若曲线 在点 处的切线与直线 垂直 (其中 为自然对数的底数). (1)若 在 上存在极值,求实数 的取值范围; (2)求证:当 时, . 请考生在(22).(23)两题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程 已知直线 C1: ,(t 为参数),曲线C2: ,( 为参数). (Ⅰ)以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系;当 时,求 C1 与 C2 的交点的极坐标 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 4, ( , )3 3 bA P C AP C F C l C x l [35,40) 30 0.30 [40,45] 10 0.10 合计 100 1.00 x xaxf ln)( += )(xf ))(, efe( 02 =+− eyxe e )(xf )1,( +mm m 1>x )1)(1( 2 1 )( 1 ++>+ − x x xex e e xf    = += aty atx sin cos1    = = β β sin cos y x β 3 πα =(其中极径 ,极角 ); (Ⅱ)过坐标原点 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 变化时,求P 点轨迹的参数方程,并 指出它是什么曲线. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 . (1)求 的解集; (2)若不等式 对任意实数 恒成立,求实数 的取值范围. 0≥ρ [ )πθ 2,0∈ O α 11)( ++−= xxxf ( ) 2f x x≤ + | 1| | 2 1|( ) | | a af x a + − −≥ 0a ≠ x线上考试参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5: CABAA 6-10:ABCDB 11-12:BD 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 14. 15. 16. 三、解答题: 17.解:(1)由正弦定理得: 即 ∴ 即 ∵ ∴ 即 ∴ 成等差数列。 (2)∵ ∴ 又 由(1)得: ∴ ∴ 即 18:解:(1)证明:连结 OC,因 AC=BC,O 是 AB 的中点,故 . 又因平面 ABC 平面 ABEF,故 平面 ABEF, 于是 .又 ,所以 平面 OEC, 所以 , 又因 ,故 平面 ,所以 . (2)由(1),得 ,不妨设 , ,取 EF 的中点 D,以 O 为原点, OC,OB,OD 所在的直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设 ,则 , 在的直线分别为 轴,建立空间直角坐标系, 则 从而 设平面 的法向量 ,由 , 得 , , ,x y z (0, 1,1), (0,1,1), (0,1,0), ( 2,0,0),F E B C− ( 2,1,1), (0, 2,0),CE EF= − = −  FCE ( , , )n x y z= 0 0 CE n EF n  = =       (1,0, 2)n = 17 0.7 )1,2 1( e 12n n − BACCA sin2 3 2cossin2cossin 22 =+ BACCA sin2 3 2 cos1sin2 cos1sin =+++ BCACACA sin3sincoscossinsinsin =+++ BCACA sin3)sin(sinsin =+++ BCA sin)sin( =+ BCA sin2sinsin =+ bca 2=+ cba 、、 344 3sin2 1 === acBacS 16=ac accaaccaBaccab 3)(cos2 222222 −+=−+=−+= bca 2=+ 484 22 −= bb 162 =b 4=b OC AB⊥ ⊥ OC ⊥ OC OF⊥ OF EC⊥ OF ⊥ OF OE⊥ OC OE⊥ OE ⊥ OFC OE FC⊥ 2AB AF= 1AF = 2AB = OC k= (0, 1,1), (0,1,1), (0,1,0), ( ,0,0)F E B C k−同理可求得平面 的法向量 ,设 的夹角为 ,则 , 由于二面角 为钝二面角,则余弦值为 19.(1)①处填 20,②处填 0.35;补全频率分布直 方图如图所示. 根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄 在[30,35)的人数为 500×0.35=175. (2)用分层抽样的方法,从中选取 20 人,则其中 “年龄低于 30 岁”的有 5 人,“年龄不低于 30 岁”的 有 15 人. 由题意知,X 的可能取值为 0,1,2,且 P(X=0)= = ,P(X=1)= = , P(X=2)= = = . ∴X 的分布列为: X 0 1 2 P ∴E(X)=0× +1× +2× = . 20.解:(1) ,由题设可知 ,得 ①,点 P 在椭圆 C 上, ② ③ …3 分 ①③联立解得, …4 分,故所求椭圆的方程为 …5 分 (2)当直线 的斜率存在时,设其方程为 ,代入椭圆方程,消去 y, 整理得 (a) 方程(a)有且只有一个实根,又 ,所以 得 -------8 分 假设存在 满足题设,则由 CEB (1, 2,0)m = ,n m  θ 1cos 3 n m n m = =θ     F CE B− − 1 3 − ( ,0), (0, )F c A b 0FA FP⋅ =  2 2 4 03 3 bc c− + = 2 2 2 2 16 1, 29 9 b aa b ∴ + = ⇒ = 2 2 2 2b c a+ = = 21, 1c b= = 2 2 12 x y+ = y kx m= + 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x kmx m+ + + − = 22 1 0k + > 0,∆ = 2 22 1m k= + 1 1 2 2( ,0), ( ,0)M Mλ λ 2 2 1 2 1 21 2 1 2 2 2 ( ) 2 1( )( ) 1 1 k km kk m k md d k k + + + ++ +⋅ = =+ + λ λ λ λλ λ 2 15 2 20 C C 21 38 1 1 15 5 2 20 C C C 15 38 2 5 2 20 C C 2 38 1 19 21 38 15 38 1 19 21 38 15 38 2 38 1 2 l对任意的实数 恒成立,所以, 解得, 当直线 的斜率不存在时,经检验符合题意. 综上所述,存在两个定点 , 使它们到直线 的距离之积等 1. …12 分 21.解:(1)∵ 由已知 ∴ 得 ………2 分 ∴ 当 为增函数; 当 时, , 为减函数。 ∴ 是函数 的极大值点…4 分 又 在 上存在极值 ∴ 即 故实数 的取值范围是 ……5 分 (2) 即为 ……6 分 令 则 再令 则 ∵ ∴ ∴ 在 上是增函数 ∴ ∴ ∴ 在 上是增函数 ∴ 时, 故 ………9 分 令 则 2 1 2 1 2 2 ( 2) ( ) 1 11 k km k + + + += =+ λ λ λ λ k 1 2 1 2 2 1 0 + =  + = λ λ λ λ 1 1 2 2 1 1 1 1 = = −   = − =  λ λ λ λ或 1 2(1,0), ( 1,0)M M − l l 2 ln1)( x xaxf −−=′ 2 1)( eef −=′ 22 1 ee a −=− 1=a )0(ln)(ln1)( 2 >−=′+= xx xxfx xxf )(,0)(,)1,0( xfxfx >′∈ 时 ),1( +∞∈x 0)( x 0)( >′ xφ )(xφ ),( ∞+1 01)1()( >=> φφ x 0)( >′ xg )(xg ),( ∞+1 1>x 2)1()( => gxg 1 2 1 )( +>+ ee xg =)(xh 1 2 1 + − x x xe e 2 1 2 11 )1( )1(2 )1( )1()1(2)( + −=+ ′+−+=′ −−− x xx x xxxx xe ee xe exexeexh∵ ∴ ∴ 即 上是减函数 ∴ 时, ………11 分 所以 , 即 ………12 分 22.解:(Ⅰ)当 时,C1 的普通方程为 , C2 的普通方程为 ,------------1 分 联立方程组 ,解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0), .------------3 分 所以两点的极坐标为 , --------------5 分 (Ⅱ)C1 的普通方程为 ,A 点坐标为 , 故当 变化时,P 点轨迹的参数方程为 ( 为参数) P 点轨迹的普通方程为 .故 P 点轨迹是圆心为 ,半径为 的圆. 23.解: (1)由 得: 或 或 解得 所以 的解集为 (2) 当且仅当 时,取等号. 由不等式 对任意实数 恒成立,可得 解得: 或 . 故实数 的取值范围是 3 π=a )1(3 −= xy 122 =+ yx    =+ −= 1 )1(3 22 yx xy )2 3,2 1( − 0sincossin =−− ααα yx )cossin,(sin2 ααα − α 21 sin ,2 1 sin cos ,2 x y α α α  =  = − α 16 1)4 1( 22 =+− yx )0,4 1( 4 1 1>x 01 + )1)(1( 2 1 )( 1 ++>+ − x x xex e e xf )0,1( )3 5,1( π ( ) 2f x x≤ + 2 0 1 1 1 2 x x x x x + ≥  ≤ −  − − − ≤ + 2 0 1 1 1 1 2 x x x x x + ≥ − <

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