高三线上模拟考试
数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分钟,
其中第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
注意事项:
1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码
区域内.
2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字
体工整、笔迹清楚.
3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿
纸、试题卷上答题无效.
4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 复数 ( 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( )
A. B. C. D.
3. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
4. 等比数列 的前 题目要求的.)
1.项和为 ,若 , ,则 ( )
A.31 B. 36 C. 42 D.48
5. 设 ,其中实数 满足 ,若 的最大值为 ,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 有 6 名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的
不同分派方法种数为( )
A.540 B.729 C.216 D.420
7. 执行如图的程序框图,则输出 的值为( )
A. 2016 B. 2 C. D.
8. 若 的展开式中含有常数项,则 的最小值等于( )
},,4|{ 2 RxxxA ∈≤= },4|{ ZxxxB ∈≤= =∩ BA
)2,0( ]2,0[ }2,1,0{ }2,0{
2 4i
1 iz
+= + i
(3,1) ( 1,3)− (3, 1)− (2,4)
8
3
π 16
3
π 8π 16π
{ }na n
nS 0, 1na q> > 3 5 2 620, 64a a a a+ = = 5S =
z x y= + ,x y
2 0
0
0
x y
x y
y k
+ ≥
− ≤
≤ ≤
z 6 z
3− 2− 1− 0
S
1
2
n
xx
x )1( 6 + n A. B. C. D.
9. 已知函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为
的等差数列,把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位,得到函数 的图象.关于函
数 ,下列说法正确的是( )
A. 在 上是增函数 B. 其图象关于直线 对称
C. 函数 是奇函数 D. 当 时,函数 的值域是
10.设函数 , 的零点分别为 ,则( )
A. B.0< <1 C.1< <2 D.
11. 在正三棱锥 中, 是 的中点,且 ,底面边长 ,则正三棱
锥 的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
12. 过曲线 的左焦点 作曲线 的切线,设切点
为 M,延长 交曲线 于点 N,其中 有一个共同的焦点,若
,则曲线 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,
第 22 题、23 题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分)
13. 已知 ,则 ____________.
14. 设随机变量 ~ ,若 ,则 ____________.
15. 函数 ,若方程 恰有四个不相等的实数根,则实数
的取值范围是____________.
16. 设数列 的前 项和为 ,且 , 为等差数列,则
的通项公式 ____________.
xxxf )4
1(log)( 4 −=
x
xxg
−=
4
1log)(
4
1 21 xx 、
121 =xx 21xx 21xx 21xx 2≥
3 4 5 6
)0(cossin3)( >+= ωωω xxxf x
2
π
)(xf x 6
π
)(xg
)(xg
]2,4[
ππ
4
π−=x
)(xg ]3
2,6[ ππ∈x )(xg ]1,2[−
S ABC− M SC AM SB⊥ 2 2AB =
S ABC−
6π 12π 32π 36π
2 2
1 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1F 2 2 2
2 :C x y a+ =
1F M 2
3 : 2 ( 0)C y px p= > 1 3C C、
1MF MN= 1C
5 5 1− 5 1+ 5 1
2
+
(1, 2), (0,2)= − + =a a b | |=b
X ),3( 2σN ( ) 0.3P X m> = ( 6 )P X m> − =
>
≤−=
1,ln
1,1)(
2
xx
xxxf 2
1)( −= mxxf m
{ }na n nS 1 2 1a a= = { }( 2)n nnS n a+ + { }na
na =三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写
在答卷纸的相应位置上)
17. (本小题满分 12 分)
在 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,面积为 S,已知
(1)求证: 成等差数列;
(2)若 求 .
18. (本小题满分 12 分)
如图,平面 平面 ,四边形 为矩形, . 为 的中点,
.
(1)求证: ;
(2)若 时,求二面角 的余弦值.
19.(本小题满分 12 分)
为增强市民交通规范意识,我市面向全市征召劝导员志愿者,分布于各候车亭或十字路
口处.现从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,他们的年龄情况如下表所
示.
(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图),
再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数;
(2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加“规范摩的司机的交通
意识”培训活动,从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人,记这 2 名志愿者中“年龄低于 30
岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望.
ABEF ⊥ ABC ABEF AC BC= O AB
OF EC⊥
OE FC⊥
3
2
AC
AB
= F CE B− −
分组(单位:岁) 频数 频率
[20,25) 5 0.05
[25,30) ① 0.20
[30,35) 35 ②
ABC∆ bAcCa 2
3
2cos2cos 22 =+
cba 、、
,34,3
== SB
π
b20. (本小题满分 12 分)
椭圆 的上顶点为 是 上的一点,以 为直径的圆经过
椭圆 的右焦点 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)动直线 与椭圆 有且只有一个公共点,问:在 轴上是否存在两个定点,它们到直
线 的距离之积等于 1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.
21. (本小题满分 12 分)
函数 ,若曲线 在点 处的切线与直线 垂直
(其中 为自然对数的底数).
(1)若 在 上存在极值,求实数 的取值范围;
(2)求证:当 时, .
请考生在(22).(23)两题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时
用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑.
22.(本小题满分 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程
已知直线 C1: ,(t 为参数),曲线C2: ,( 为参数).
(Ⅰ)以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系;当 时,求 C1 与 C2 的交点的极坐标
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 4, ( , )3 3
bA P C AP
C F
C
l C x
l
[35,40) 30 0.30
[40,45] 10 0.10
合计 100 1.00
x
xaxf ln)(
+= )(xf ))(, efe( 02 =+− eyxe
e
)(xf )1,( +mm m
1>x
)1)(1(
2
1
)( 1
++>+
−
x
x
xex
e
e
xf
=
+=
aty
atx
sin
cos1
=
=
β
β
sin
cos
y
x β
3
πα =(其中极径 ,极角 );
(Ⅱ)过坐标原点 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 变化时,求P 点轨迹的参数方程,并
指出它是什么曲线.
23.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
设 .
(1)求 的解集;
(2)若不等式 对任意实数 恒成立,求实数 的取值范围.
0≥ρ [ )πθ 2,0∈
O α
11)( ++−= xxxf
( ) 2f x x≤ +
| 1| | 2 1|( ) | |
a af x a
+ − −≥ 0a ≠ x线上考试参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1-5: CABAA 6-10:ABCDB 11-12:BD
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题:
17.解:(1)由正弦定理得:
即
∴
即
∵
∴ 即
∴ 成等差数列。
(2)∵ ∴
又
由(1)得: ∴
∴ 即
18:解:(1)证明:连结 OC,因 AC=BC,O 是 AB 的中点,故 .
又因平面 ABC 平面 ABEF,故 平面 ABEF,
于是 .又 ,所以 平面 OEC,
所以 ,
又因 ,故 平面 ,所以 .
(2)由(1),得 ,不妨设 , ,取 EF 的中点 D,以 O 为原点,
OC,OB,OD 所在的直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设 ,则
,
在的直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,
则
从而 设平面 的法向量 ,由 ,
得 ,
, ,x y z
(0, 1,1), (0,1,1), (0,1,0), ( 2,0,0),F E B C−
( 2,1,1), (0, 2,0),CE EF= − = − FCE ( , , )n x y z= 0
0
CE n
EF n
= =
(1,0, 2)n =
17 0.7 )1,2
1(
e 12n
n
−
BACCA sin2
3
2cossin2cossin 22 =+
BACCA sin2
3
2
cos1sin2
cos1sin =+++
BCACACA sin3sincoscossinsinsin =+++
BCACA sin3)sin(sinsin =+++
BCA sin)sin( =+
BCA sin2sinsin =+ bca 2=+
cba 、、
344
3sin2
1 === acBacS 16=ac
accaaccaBaccab 3)(cos2 222222 −+=−+=−+=
bca 2=+ 484 22 −= bb
162 =b 4=b
OC AB⊥
⊥ OC ⊥
OC OF⊥ OF EC⊥ OF ⊥
OF OE⊥
OC OE⊥ OE ⊥ OFC OE FC⊥
2AB AF= 1AF = 2AB =
OC k=
(0, 1,1), (0,1,1), (0,1,0), ( ,0,0)F E B C k−同理可求得平面 的法向量 ,设 的夹角为 ,则 ,
由于二面角 为钝二面角,则余弦值为
19.(1)①处填 20,②处填 0.35;补全频率分布直
方图如图所示.
根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄
在[30,35)的人数为 500×0.35=175.
(2)用分层抽样的方法,从中选取 20 人,则其中
“年龄低于 30 岁”的有 5 人,“年龄不低于 30 岁”的
有 15 人.
由题意知,X 的可能取值为 0,1,2,且
P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,
P(X=2)= = = .
∴X 的分布列为:
X 0 1 2
P
∴E(X)=0× +1× +2× = .
20.解:(1) ,由题设可知 ,得
①,点 P 在椭圆
C 上, ② ③ …3 分
①③联立解得, …4 分,故所求椭圆的方程为 …5 分
(2)当直线 的斜率存在时,设其方程为 ,代入椭圆方程,消去 y,
整理得 (a)
方程(a)有且只有一个实根,又 ,所以 得 -------8 分
假设存在 满足题设,则由
CEB (1, 2,0)m = ,n m θ 1cos 3
n m
n m
= =θ
F CE B− − 1
3
−
( ,0), (0, )F c A b 0FA FP⋅ = 2
2 4 03 3
bc c− + =
2
2
2 2
16 1, 29 9
b aa b
∴ + = ⇒ = 2 2 2 2b c a+ = =
21, 1c b= =
2
2 12
x y+ =
y kx m= +
2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x kmx m+ + + − =
22 1 0k + > 0,∆ = 2 22 1m k= +
1 1 2 2( ,0), ( ,0)M Mλ λ
2 2
1 2 1 21 2
1 2 2 2
( ) 2 1( )( )
1 1
k km kk m k md d k k
+ + + ++ +⋅ = =+ +
λ λ λ λλ λ
2
15
2
20
C
C
21
38
1 1
15 5
2
20
C C
C
15
38
2
5
2
20
C
C
2
38
1
19
21
38
15
38
1
19
21
38
15
38
2
38
1
2
l对任意的实数 恒成立,所以, 解得,
当直线 的斜率不存在时,经检验符合题意. 综上所述,存在两个定点 ,
使它们到直线 的距离之积等 1. …12 分
21.解:(1)∵
由已知 ∴ 得 ………2 分
∴
当 为增函数;
当 时, , 为减函数。
∴ 是函数 的极大值点…4 分 又 在 上存在极值
∴ 即
故实数 的取值范围是 ……5 分
(2)
即为 ……6 分
令
则
再令 则
∵ ∴ ∴ 在 上是增函数
∴ ∴ ∴ 在 上是增函数
∴ 时, 故 ………9 分
令
则
2
1 2 1 2
2
( 2) ( ) 1 11
k km
k
+ + + += =+
λ λ λ λ k 1 2
1 2
2 1
0
+ =
+ =
λ λ
λ λ
1 1
2 2
1 1
1 1
= = −
= − =
λ λ
λ λ或
1 2(1,0), ( 1,0)M M −
l
l
2
ln1)( x
xaxf
−−=′
2
1)( eef −=′
22
1
ee
a −=− 1=a
)0(ln)(ln1)( 2
>−=′+= xx
xxfx
xxf
)(,0)(,)1,0( xfxfx >′∈ 时
),1( +∞∈x 0)( x 0)( >′ xφ )(xφ ),( ∞+1
01)1()( >=> φφ x 0)( >′ xg )(xg ),( ∞+1
1>x 2)1()( => gxg 1
2
1
)(
+>+ ee
xg
=)(xh 1
2 1
+
−
x
x
xe
e
2
1
2
11
)1(
)1(2
)1(
)1()1(2)( +
−=+
′+−+=′
−−−
x
xx
x
xxxx
xe
ee
xe
exexeexh∵ ∴ ∴ 即 上是减函数
∴ 时, ………11 分
所以 , 即 ………12 分
22.解:(Ⅰ)当 时,C1 的普通方程为 ,
C2 的普通方程为 ,------------1 分
联立方程组 ,解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0), .------------3 分
所以两点的极坐标为 , --------------5 分
(Ⅱ)C1 的普通方程为 ,A 点坐标为 ,
故当 变化时,P 点轨迹的参数方程为 ( 为参数)
P 点轨迹的普通方程为 .故 P 点轨迹是圆心为 ,半径为 的圆.
23.解: (1)由 得:
或 或
解得
所以 的解集为
(2)
当且仅当 时,取等号.
由不等式 对任意实数 恒成立,可得
解得: 或 . 故实数 的取值范围是
3
π=a )1(3 −= xy
122 =+ yx
=+
−=
1
)1(3
22 yx
xy )2
3,2
1( −
0sincossin =−− ααα yx )cossin,(sin2 ααα −
α
21 sin ,2
1 sin cos ,2
x
y
α
α α
=
= −
α
16
1)4
1( 22 =+− yx )0,4
1( 4
1
1>x 01 + )1)(1(
2
1
)( 1
++>+
−
x
x
xex
e
e
xf
)0,1( )3
5,1(
π
( ) 2f x x≤ +
2 0
1
1 1 2
x
x
x x x
+ ≥
≤ −
− − − ≤ +
2 0
1 1
1 1 2
x
x
x x x
+ ≥
− <