安徽合肥市二中2020届高三数学（文）3月线上考试试题（Word版附解析）

2020 届高三 3 月线上考试 数学（文）试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、 县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。 2．第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能 使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1．已知集合 ， ，则集合 中的元素个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知复数 满足 ，则复数 的共轭复数为 A． B． C． D． 3．“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知向量 满足 ，若 ，则向量 在 方向上的 投影为 A． B． C．2 D．4 5．《九章算术》是中国古代数学专著，全书采用问题集的形式，收有 246 个与生产、生活实 践有联系的应用问题，其中“均赋粟”问题讲的是古代劳动人民的赋税问题．现拟编试题 如下，已知甲、乙、丙、丁四县向国家交税，则甲必须第一 个交且乙不是第三个交的概率为 A． B． C． D． 6．运行如图所示的程序框图，若判断框中填写 ，则输出 的 的值为 A． B． { 2, 1,1,4}A = − − 2{ | , }B y y x x A= = ∈ A B z 11 1 i2 4i 10 5 z = +− z 3 4i− 3 4i+ 3 4i− − 3 4i− + 2cos 1 sin 2 4 θ θ = − tan 2θ = − ,m n | |= 2 | |=1，m n 3| | 6 | |− = +m n m n n m 1 4 1 2 1 6 1 12 1 8 1 10 80i < a 1− 5 2 −C． D． 7．已知实数 满足约束条件 则 的最小值为 A． B． C． D． 8．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，右图画出的是某几 何体的三视图，则该几何体的表面积为 A． B． C． D． 9．已知：抛物线 ，焦点为 ，过抛物线 上一点 作其准线 的垂线，垂足为 ，若 为正 三角形，且 ，则抛物线 的方程为 A． B． 或 C． D． 或 10．现将“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排列： 若每一个“□”或“○”占 1 个位置，即上述图形中，第 1 位是“□”，第 4 位是“○”，第 7 位是 “□”，则在第 2017 位之前（不含第 2017 位），“○”的个数为 A．1970 B．1971 C．1972 D．1973 11．若 ， ，使得 ，则正实数 m 的取值范围为 A． B． C． D． 12．已知函数 ，若函数 在 上存在最小值，则 的 取值范围是 A． B． C． D． 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填写在题中的横线上） 13．已知函数 则 的解集为_________． 14．已知双曲线 的右焦点到渐近线的距离为 3，且双曲线右支上 的一点 到两焦点的距离之差是虚轴长的 倍，则双曲线 的标准方程为_________． 15 ． 已 知 正 项 等 比 数 列 的 前 n 项 积 为 ， 若 ， 则 的 最 大 值 为 _________． 16．已知函数 的部分图象如下图所示，若 4− 2 5 ,x y 5, 3 2 0, 2 1 0, x y x y x y + ≤  − ≥  − + ≤ 31( )2 x yz += 1 2048 1 1024 1 512 1 256 20π 8+ 20π 8 2 22+ + 20π 8 22+ + 20π 8 4 22+ + 2: 2 ( 0)C y px p= > F C P l Q PQF∆ 34=∆PFQS C 2 4y x= 2 4y x= 2 12y x= 2 12y x= xy 22 = xy 62 = 1 (1,2)x∀ ∈ 2 (1,2)x∃ ∈ 3 1 1 2 2 1ln 3x x mx mx= + − 3(3 ln 2, ) 2 − +∞ 3[3 ln 2, ) 2 − +∞ [3 3ln 2, )− +∞ (3 3ln 2, )− +∞ 122 1 3 1)( 23 +−+= xxxxf )(xf ]3,2[ 2 −aa a )2,2 1( ]2,2 1[ )3,1(− )2,( −−∞ 2 2 log , 0, ( ) 2 2, 0, x x f x x x x >=  − − ≤ ( ) 1f x > 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > P 4 3 C { }na nT 7 6 22 4 4 a a ⋅ = 12T π( ) cos( )( 0, 0,| | )2f x A x Aω ϕ ω ϕ= + > > < 3π( ,4)4A是函数 图象的一个最高点， ，将函数 的图象向右平移 个单位后 得到函数 的图象，则当 时，函数 的值域为_________． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 已知 中，角 所对的边分别为 ， ， ． （1）若 ，求 的面积； （2）若点 M 在线段 BC 上，连接 AM，若 ， ，求 的值． 18．（本小题满分 12 分） 随着夏季的到来，冰枕成为市面上的一种热销产品，某厂家为了调查冰枕在当地大学的销售 情况，作出调研，并将所得数据统计如下表所示： 表一： 温度在 30℃以下 温度在 30℃以上 总计 女生 10 30 40 男生 40 20 60 总计 50 50 100 随后在该大学一个小卖部调查了冰枕的出售情况， 并将某月的日销售件数（x）与销售天数（y）统计如下 表所示： 表二： 第 天 2 4 6 8 10 （件） 3 6 7 10 12 （1）请根据表二中的数据在下列网格纸中绘制散点图； （2）请根据表二中提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ； （3）从（1）（2）中的数据及回归方程我们可以得到，销售件数随着销售天数的增长而增长， 但无法判断男、女生对冰枕的选择是否与温度有关，请结合表一中的数据，并自己设计 方案来判段是否有 99.9%的可能性说明购买冰枕的性别与温度相关. 参考数据及公式： P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ； ，其中 . 19．（本小题满分 12 分） 如图所示，已知直三棱柱 的底面 为 等腰直角三角形，点 为线段 的中点． ( )f x 15π( ,0)4B − ( )f x π 4 ( )g x ( π,2π)x∈ − ( )g x ABC△ , ,A B C , ,a b c 6b = 42cos 7B = 30A =  ABC△ 4CM = 2 7AM = c x y ˆˆ ˆy bx a= + 1 2 2 1 ˆ ˆˆ, n i i i n i i x y nx y a y bb x x nx = = − = − ⋅ = − ∑ ∑ 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 1 1 1ABC A B C− ABC D 1 1A B（1）探究直线 与平面 的位置关系，并说明理由； （2）若 ，求三棱锥 的体积． 20．（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）求函数 在点 处的切线方程； （2）证明： 在 上恒成立． 21．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且椭圆 的离心率为 ，过 作 轴的垂线与椭圆 交于 两点，且 ，动点 在椭圆 上． （1）求椭圆 的标准方程； （2）记椭圆 的左、右顶点分别为 ，且直线 的斜率分别与直线 （ 为坐标原点）的斜率相同，动点 不与 重合，求 的面积． 请考生从第 22、23 题中任选一题做答． 如果多做，则按所做的第一题计分． 作答时请 写清题号． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为 极 点 ， 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 ． （1）求曲线 的普通方程以及直线 的直角坐标方程； （2）将曲线 向左平移2个单位，再将曲线 上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到曲 线 ,求曲线 上的点到直线 的距离的最小值． 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 ． （1）当 时，若 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）当 时，解不等式 1B C 1C AD 1 1 1 1 1 2BB A B B C= = = 1C ADC− ( ) ln e 1xf x x x= − + ( )f x (1, (1))f ( ) sinf x x< (0, )+∞ 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2F F、 C 2 2 2F x C ,A B | | 2AB = , ,P Q R C C C 1 2A A、 1 2,PA PA ,OQ OR O , ,P Q R 1 2,A A OQR△ xOy C 2 2cos 2sin x y θ θ = +  = θ O x l πcos( ) 10 04 ρ θ + + = C l C C 1 2 1C 1C l ( ) | 2 |f x x a= + 1a = ( ) | 3 2 |f x x m+ − ≥ 1a = − 1( ) | | 2f x x a + − ( )g x (1,2) ( )g x 2 2( , )3 3 m mB = − A B⊆ 2 ln 2 23 2 13 m m − ≤ −  ≥ − 3 3(ln 2 2) 3 ln 22 2m ≥ − − = − m 3[3 ln 2, )2 − +∞ aa 232 2log 1x > 2x > 0x ≤ 2 2 2 1x x− − > 1x < − 3x > ( ) 1f x > ( , 1) (2, )−∞ − +∞ 2 2 116 9 x y− = 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > by xa = ± 0bx ay± = 2 2 | | 3bc a b = + 3b = C 1 2F F、 1 2 4| | | | 2 23PF PF a b− = = ⋅ 4a = C 2 2 116 9 x y− = 7 6 2 6 72 4 4 2 a a a a⋅ = ⇒ + = 6 2 66 7 12 1 2 11 12 6 7( ) [( ) ] 12 a aT a a a a a a += ⋅ ⋅ = ≤ = 6 7 1a a= = ( 2,4]− 4A = ( )f x T，故 .因为 ，所 以 ，故 ，故 ，因 为 ， 所 以 ， 所 以 ， 所 以 ，即函数 的值域为 ． 17．【解析】（1）因为 ，所以 . 因为 ，所以 .（2 分） 所以 ，（4 分） 故 的面积 .（6 分） （2）在 中，由余弦定理，得 .（8 分） 因为 ，所以 ．（10 分） 在 中，由正弦定理 ，得 ．（12 分） 18．【解析】（1）散点图如下所示： （3 分） 3π 15π 3 2π 1( ) 6π4 4 4 6π 3 T T ω− − = ⇒ = ⇒ = = 3π 1 2 π( )4 3 k kϕ× + = ∈Z π| | 2 ϕ < π 4 ϕ = − 1 π( ) 4cos( )3 4f x x= − 1 π π 1 π( ) 4cos[ ( ) ] 4cos( )3 4 4 3 3g x x x= − − = − ( π,2π)x∈ − 2π 1 π π 3 3 3 3x− < − < 1 1 πcos( ) 12 3 3x− < − ≤ 2 ( ) 4g x− < ≤ ( )g x ( 2,4]− 42cos 7B = 7sin 7B = sin sin b a B A = 16sin 2 3 7sin 7 7 b Aa B × = = = 1 42 3 7 42 21sin sin( ) sin cos cos sin 2 7 2 7 14C A B A B A B += + = + = × + × = ABC△ 1 1 42 21 9( 6 3)sin 6 3 72 2 14 2S ab C + += = × × × = AMC△ 2 2 2 1cos 2 2 AC CM AMC AC CM + -= =× C< < π0 2 3sin =C ABC△ sin sin b c B C= 3 21b =（2）依题意， ， ， ， ，（6 分） ， ∴ . ∴y 关于 x 的线性回归方程为 .（8 分） （3）采用独立性检验的方法进行说明： 因为 的观测值 ，（10 分） 所以有 99.9%的可能性说明购买冰枕的性别与温度相关．（12 分） 19．【解析】（1） 平面 ，理由如下： 连接 ，设 ，因为四边形 为矩形，所以 为 的中点． 设 为 的中点，连接 ，则 ，且 ．（2 分） 由已知得 ，且 ，所以 ，且 ．（4 分） 所以四边形 为平行四边形，所以 ，即 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．（6 分） （2）由（1）可知， 平面 ． 所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离， 所以 ．（8 分） 易知 平面 ，连接 ，因为 ， x 2 + 4 + 6 +8+11 6(5 0 =)= × y 3+ 6 + 7 +10 +121 ( ) 7 65 == × ． 5 2 1 4 16 36 64 100 220i i x = = + + + + =∑ 5 1 6 24 42 80 120 272i i i x y = = + + + + =∑ 5 1 5 2 2 2 1 5 272 5 6 7.6 44ˆ 1.1220 5 6 405 i i i i i x y xy b x x = = − − × ×= = = =− ×− ∑ ∑ ˆˆ 7.6 1.1 6 1a y bx= − = − × = ˆ 1.1 1y x= + 2K 2 0 100 (200 1200) 16.7 10.82840 60 50 50k × −= ≈ >× × × 1B C∥ 1C AD 1BC 1 1B C BC O= 1 1B BCC O 1B C G 1AC ,OG DG OG BA∥ 1 2OG BA= 1 1A B AB∥ 1 1 2B D AB= 1B D OG∥ 1B D OG= 1B OGD 1B O DG∥ 1B C DG∥ 1B C ⊄ 1C AD DG ⊂ 1C AD 1B C∥ 1C AD 1B C∥ 1C AD C 1C AD 1B 1C AD 1 1 1C C AD B C ADV V− −= 1 1B C ⊥ 1 1AA B B 1AB 1 1 1 1 1 2BB A B B C= = =所以 ． 所以三棱锥 的体积为 ．（12 分） 20．【解析】（1）依题意得， ，又 ， ， 所以所求切线方程为 ，即 .（3 分） （2）依题意，要证 ，即证 ，即证 . （4 分） ①当 时， ， ，故 ，即 . （6 分） ②当 时，令 ，则 ， 令 ，则 ，（8 分） 因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增， 故 ，即 ， 所以 ，（10 分） 即 ，即 . 综上所述， 在 上恒成立．（12 分） 21．【解析】（1）联立方程得 解得 ，故 ，即 ， 又 ， ，所以 ，（3 分） 故椭圆 C 的标准方程为 .（4 分） （2）由（1）知， ，设 ，则 ， 又 ，即 ，所以 ，所以 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1=3 3 2B C AD C B AD B ADV V S B C B D BB B C− −= = ⋅ × × × ×△ 1 1 21 2 23 2 3 = × × × × = 1C ADC− 2 3 ( ) ln 1 exf x x′ = + − (1) 1 ef = − (1) 1 ef ′ = − 1 e (1 e)( 1)y x− + = − − (1 e)y x= − ( ) sinf x x< ln e 1 sinxx x x− + < ln e sin 1xx x x< + − 0 1x< ≤ e sin 1 0x x+ − > ln 0x x ≤ ln e sin 1xx x x< + − ( ) sinf x x< 1x > ( ) e sin 1 lnxg x x x x= + − − ( ) e cos ln 1xg x x x′ = + − − ( ) ( ) e cos ln 1xh x g x x x′= = + − − 1( ) e sinxh x xx ′ = − − 1x > ( ) e 1 sin1 0h x′ > − − > ( )h x [1, )+∞ ( ) (1) e cos1 1 0h x h> = + − > ( ) 0g x′ > ( ) (1) e sin1 1 0g x g> = + − > ln e sin 1xx x x< + − ( ) sinf x x< ( ) sinf x x< ( )0,+∞ 2 2 2 2 , 1, x c x y a b = + = 2by a = ± 22| | 2 bAB a = = 2 1b a = 2 2 c a = 2 2 2a b c− = 2, 2, 2a b c= = = 2 2 14 2 x y+ = 1 2( 2,0), (2,0)A A− 0 0( , )P x y 1 2 2 0 0 0 2 0 0 02 2 4PA PA y y yk k x x x ⋅ = ⋅ =+ − − 2 2 0 0 14 2 x y+ = 2 2 0 04 2x y− = − 1 2 1 2PA PAk k⋅ = − 1 2 1 2OQ OR PA PAk k k k⋅ = ⋅ = −当直线 的斜率不存在时，直线 的斜率分别为 或 ， 不妨设直线 的方程是 ，由 得 ， ． 取 ，则 ，所以 的面积为 .（6 分） 当直线 的斜率存在时，设方程为 ． 由 得 ． 因 为 在 椭 圆 上 ， 所 以 ， 解 得 ． 设 , ,则 ， .（8 分） 所以 ． 设点 到直线 的距离为 ，则 ． 所以 的面积为 ， ①．（10 分） 因为 ， 所以 由 ，得 ， ②． 由①②，得 ． QR ,OQ OR 2 2,2 2 − 2 2,2 2 − OQ 2 2y x= 2 22 4 2 2 x y y x  + = = 2x = ± 1y = ± ( 2,1)Q ( 2, 1)R − OQR△ 2 QR ( 0)y kx m m= + ≠ 2 22 4 0 y kx m x y = +  + − = 2 2 2(2 1) 4 2 4 0k x kmx m+ + + − = ,Q R C 2 2 2 216 4(2 1)(2 4) 0k m k m∆ = − + − > 2 24 2 0k m− + > 1 1( , )Q x y 2 2( , )R x y 1 2 2 4 2 1 kmx x k + = − + 2 1 2 2 2 4 2 1 mx x k −= + 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 4 2 4| | ( 1)[( ) 4 ] ( 1)[( ) 4 ]2 1 2 1 km mQR k x x x x k k k −= + + − = + − − ×+ + 2 2 2 2 2 2( 1)(4 2)2 (2 1) k k m k + − += + O QR d 2 | | 1 md k = + OQR△ 2 2 2 2 2 1 2 (4 2) 2 (2 1)OQR m k mS d QR k − += × × = +△ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 2 1 2 1 2OQ OR y yk k x x ⋅ = = − 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x + + + + += = 2 2 2 4= .2 4 m k m − − 2 2 2 4 1 2 4 2 m k m − = −− 2 22 1k m+ = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 2 2 2 2 2 (2 ) 2( )OQR m m mS m −= =△综上所述， 的面积为 ．（12 分） 22．【解析】（1）由题意得，曲线 的普通方程为 ，（2分） 因为 ，所以直线 的直角坐标方程为 .（4分） （2）依题意，曲线 .曲线 的参数方程为 为参数),设曲线 上 任一点 ,（6分） 则点 到直线 的距离为 (其中 ),（8分） 所以点 到直线 的距离的最小值为 ，即曲线 上的点到直线 的距离的最小值为 ．（10分） 23．【解析】（1）依题意， ，（2 分） 因为 恒成立，所以 ，即实数 m 的取值范围为 .（4 分） （2）依题意， ， 当 时， ，解得 ，无解；（6 分） 当 时， ，解得 ，故 ； 当 时， ，解得 ，即 .（8 分） 综上所述，当 时，不等式 的解集为 ．（10 分 OQR△ 2 C 2 2( 2) 4x y− + = cos , sinx yρ θ ρ θ= = l 2 5 0x y− + = 2 2 1 : 14 yC x + = 1C cos (2sin x y θ θθ =  = 1C (cos ,2sin )P θ θ P l | cos 2sin 2 5 | | 2 5 5 sin( ) | 2 2 d θ θ θ ϕ− + − += = 1tan 2 ϕ = − P l 10 2 1C l 10 2 ( ) | 3 2 | | 2 1| | 3 2 | | 2 1 3 2 | 4f x x x x x x+ − = + + − ≥ + + − = ( ) | 3 2 |f x x m+ − ≥ 4m ≤ ( ,4]−∞ | 2 1| | 1| 2x x− + + < 1x < − 1 2 1 2x x− − − < 2 3x > − 11 2x− ≤ ≤ 1 2 1 2x x− + + < 0x > 10 2x< ≤ 1 2x > 2 1 1 2x x− + + < 2 3x < 1 2 2 3x< < 1a = − 1( ) | | 2f x x a + − < 2(0, )3