邯郸市 2020 年空中课堂高三备考检测
文科数学
同学们，在举国防控疫情期间，我们全民动员，同舟共济、共克时艰，显示了中华民族
的伟大拼搏精神。作为高三学生，我们宅家备考，学会了人生的必修课——自律。岁月不蹉
跎，未来才可期！努力充实丰盈自己，才能赢得胜利！
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题
无效。
注意事项：
1．答题前，务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．答题时使用 0.5 毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．设复数 ，则在复平面内 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若 ，则 等于
A． B． C． D．
3．已知 ，则
A． B． C． D．
4．为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查 100 名高一学
生，得到 列联表如下：
由此得出的正确结论是
选择物理 不选择物理 总计
男 35 20 55
女 15 30 45
总计 50 50 100
3 4
= −
iz i
z
}31{},1,0,1{ >=+ bab
y
a
xC )3,32(M 2
1
C
C PBA ，， OPOBOA =+ OAPB
axexf x 2)( += 21 xx， )( 12 xx >
a
12
12
12
)(2lnln xx
xxxx +
−>−（二）选考题：共 10 分。请考生从第 22、23 题中任选一题做答，并用 2B 铅笔将答题卡上所
选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评
分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22． [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系中，点 是曲线 ： （ 为参数）上的动点，以坐标原
点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 为中心，将线段 顺时针旋转
得到 ，设点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 ， 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，点 的坐标为 ，射线 与曲线 分别交
于 两点，求 的面积．
23． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ．
（1）当 时，求 的解集；
（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围。
邯郸市 2020 年空中课堂高三备考检测
文科数学 参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
P 1C 2cos
2 2sin
x t
y t
=
= + t
O x O OP
90 OQ Q 2C
1C 2C
M (4, )2
π
: ( 0)6l
πθ ρ= > 1 2C C、
,A B MAB△
)(1)1()( axxxaxxf +−+++=
0=a 0)( ≥xf
( ) 0 A
x y
1,
2 2,
1 0,
+ ≥
− ≤
− + ≥
x y
x y
x y
( )2 23= − +z x y
4 5
5
16
5
( )2 23= − +z x y (3,0) 2 2 0x y− − =
n na 1 2 1 3 2 4 31, 4, 7, 10a a a a a a a= − = − = − = ⋅⋅⋅
1 3( 1) 1n na a n−− = − + (3 1)
2n
n na
−= 10 145a =7．函数 的部分图象大致为
A． B． C． D．
7．答案: A
解析:因为 ，所以 为奇函数，
排除 ，当 时， ，排除 ，故选 .
8．如图一，在 中， ， ， 为 中点， ，将
沿 翻折，得到直二面角 ，连接 ， 是 中点，连接 ，如图二，则
下列结论正确的是
A． B． C． 平面 D． 平面
8．答案：C
解析：由题意可知 ，所以 平面 ，故选 .
9．设 ， 为正数，且 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
1( ) cos1
x
x
ef x xe
+= ⋅−
1 1( ) cos( ) cos ( )1 1
x x
x x
e ef x x x f xe e
−
−
+ +− = ⋅ − = − ⋅ = −− − ( )f x
C 0x +→ ( ) 0f x > B D、 A
ABC∆ ACAB = 120=∠A D BC ACDE ⊥ CDE∆
DE BDEC −− BC F BC AF
CDAD ⊥ DEAF // ⊥DE ACE //AF CDE
,DE AE DE CE⊥ ⊥ ⊥DE ACE C
m n 2m n+ =
2
3
1
1
+
+++ n
n
m
2
3
3
5
4
7
5
99．答案：D
解析：当 时，
，
因为 ，
当且仅当 时，即 取等号，则 .
10．已知点 为抛物线 的焦点.过点 的直线 交抛物线 于 两点，
交准线于点 .若 ， ，则 为
A． B． C． D．
10．答案: C
解析:过 做准线的垂线，垂足为 轴与准线交点为 ，
设 ，则 ，
，因为 ， .
11．若点 在函数
的图象上，且 ．给出关于 的如下命题
的 最 小 正 周 期 是 的 对 称 轴 为
其中真命题的个数是
A． B． C．
D．
11．答案：C
解析: ，
， 命题为假命题；对称轴为 ， 命题为真)(13 Zkkx ∈+=
2m n+ =
121
5121
312
1
1
1
2
3
1
1 ++⋅+=++⋅+
++=++++=+
+++ ）（）（）（）（ nmnm
nm
nmn
n
m
4
25
2
2121
2
=
+++≤+⋅+ nmnm ）（）（
21 +=+ nm 2
1
2
3 == nm ，
5
9
2
3
1
1 ≥+
+++ n
n
m
F 2: 2 ( 0)= >C y px p F l C A B，
M 0=+ BABM 9=AB p
2 3 4 5
BA, xBA ,, 11 1F
,2
1
1
1 ==
MA
MB
AA
BB tBF = tAFAAtBB 2, 11 ===
t
p
t
t
MA
MF
AA
FF
26
4
1
1 === 3,93 ===+= ttBFAFAB 得 4=p
）（），（），（ 2,2,1,0 21 −xCxBA )20,0)(sin(2)(
πϕωϕω >=− bab
y
a
xC M
BA, MBMA, 21,kk )()( 21 kfkf =
)2ln()( xxf = C
5
0 0( , y )M x ( ,0), ( ,0)A a B a−
2 2
0 0 0
1 2 2 2 2
0 0 0
y y y bk k x a x a x a a
⋅ = ⋅ = =+ − −
1
1( ) ln 2
kf k = 2
2( ) ln 2
kf k = )()( 21 kfkf = 1 2ln ln2 2
k k=
1 2
2 2
k k=
2
1 2
1 2 21 42 2
k k bk k a
⋅ = ⇒ ⋅ = = 2
21 5be a
= + =
}{ na 4 22a a= 4 4a 8a
4 }{ na
nS }{ na n }1{
nS n nT
}{ na d.......3 分
所以 .................5 分
其中 ，所以 是数列 中的一项...........................6 分
（2）由（1）可得 ，............................7 分
所以 ...........................9 分
所以
..............................................12 分
18．（12 分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 ， ， ，
，点 为 的中点，平面 交侧棱 于点 ，且四边形 为平行四边
形.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）当 时，求四棱锥 的体积.
18．解：
（1）证明： 为平行四边形.
，
点 为 的中点
)(02
)7(4)3(
)(23
4
2
11
1
2
1
11
8
2
4
24
舍去或 ====⇒
+=+
+=+
⇒
⋅=
=
dada
dada
dada
aa
aa
)(2 ∗∈= Nnnan
42 =a 4 }{ na
)1( += nnSn
1
11
)1(
11
+−=+=
nnnnSn
n
n SSSST 1.......111
321
++++=
)1
11(......)4
1
3
1()3
1
2
1()2
1
1
1( +−++−+−+−=
nn
1+=
n
n
ABCDP − ⊥PC ABCD 1== ADAB CDAB //
ADAB ⊥ E PC ABE PD F ABEF
⊥PBD PBC
CDPC = ABEFP −
ABEF
∴ EFAB//
CDAB //
∴ CDEF //
E PC，
， ，
......................................................3 分
又由 底面 ，得
， 平面
平面
又 平面 ，
平面 平面 ........................................6 分
（2）解：由（1）可知
，即 ，
....................7 分
又由题可知 ，
又由 底面 ， 平面 ，可得 ，
平面 ，
又
点 到平面 的距离为 ，...........................9 分
..................................12 分
19．（12 分）
某小型水库的管理部门为研究库区水量的变化情况，决定安排两个小组在同一年中各自
独立的进行观察研究.其中一个小组研究水源涵养情况.他们通过观察入库的若干小溪和降雨
量等因素，随机记录了 天的日入库水量数据（单位:千 ），得到下面的柱状图（如图
甲）.另一小组则研究由于放水、蒸发或渗漏造成的水量消失情况.他们通过观察与水库相连
的特殊小池塘的水面下降情况来研究库区水的整体消失量，随机记录了 天的库区日消失水
量数据（单位:千 ），并将观测数据整理成频率分布直方图（如图乙）.
∴ CDEF =2
∴ 22 == ABCD
2=BD 45=∠BDC
∴ BCBD ⊥
⊥PC ABCD BDPC ⊥
CBCPC = ⊂BCPC， PBC
∴ ⊥BD PBC
⊂BD PBD
∴ ⊥PBD PBC
22 == ABCD
∴ 2=PC 1== PEEF
∴
2
1
2
1 =××=∆ PEEFS PEF
DCAD ⊥
⊥PC ABCD ⊂AD ABCD PCAD ⊥
∴ ⊥AD PCD
1=AD
∴ A PCD 1
∴
3
1
2
113
1222 =×××=== −−− PEFAAEFPABEFP VVV
100 3m
100
3m（1）据此估计这一年中日消失水量的平均值；
（2）以频率作为概率，试解决如下问题：
①分别估计日流入水量不少于 千 和日消失量不多于 千 的概率；
②试估计经过一年后，该水库的水量是增加了还是减少了，变化的量是多少？（一年按
天计算）,说明理由.
19．解：
（1）根据图乙，日消失水量的平均值为
（ 千
）.............3 分
（2）①根据图甲可得，日流入水量不少于 千 的概率为
.............5 分
日消失水量不多于 千 的概率为
................7 分
②该湖区日进水量的平均值为
（千 ）
一年后水库的水减少了.……9 分
减少的量为 ………12 分
20．（12 分）
20 3m 20 3m
365
12.5 0.1 17.5 0.25 22.5 0.3 27.5 0.2 32.5 0.1 37.5 0.05 23× + × + × + × + × + × =
3m
20 3m
24 24 16 10 74= =0.74100 100 100 100 100
+ + +
20 3m
35.05)02.005.0( =×+
0.06 10 0.2 15 0.24 20 0.24 25 0.16 30 0.1 35=22.7× + × + × + × + × + × 3m
237.22 >=+ bab
y
a
xC )3,32(M 2
1
C
C PBA ，， OPOBOA =+ OAPB
( ) ( )
=+
=+
=
1332
2
1
2
2
2
2
222
ba
abc
a
c
162 =a 122 =b
11216
22
=+ yx
OPOBOA =+ OAPB
l
l x
( ) ( ) ( )3,2,3,2,0,4 −BAP ( ) ( ) ( )3,2,3,2,0,4 −−−− BAP
OAPB
12642
1
2
1 =××== ABOPSOAPB
l x ( )0: ≠+= mmkxyl
( ) ( )002211 ,,),,( yxPyxByxA ，
=+
+=
11216
22 yx
mkxy ( ) 0484843 222 =−+++ mkm
2
2
21221 43
484
43
8
k
m
kmxx +
−=+−=+ ，
( ) ),(, 212100 yyxxOBOAyxOP ++=+==，
代入椭圆方程 ，
化简得 ………………………………9 分
验证，
∴
点 到直线 的距离为
综上，四边形 的面积始终为 12. …………………………………………12 分
21．（12 分）
已知函数 有两个零点 ．
（1）求 的取值范围；
（2）求证： .
21．解：
（1）由题 ……………………………………1 分
当 时， ， 单调递增， 不会有两个零点，
所以 ，
2210 43
8
k
kmxxx +−=+=
( ) 221210 43
62 k
mmyyy +=++=+=
++−∴ 22 43
6,43
8
k
m
k
kmP
112
43
6
16
43
8 2
2
2
2
=
++
+−
k
m
k
km
22 43 km +=
0144)12)(43(1664 22222 >=−+−=∆ mmkmk
2
2
2
2
21221
484
43
4848
43
8
m
m
k
mxxm
k
k
kmxx
−=+
−=−=+−=+∴ ，
m
kAB
2
21
2 1121
+=−+=
O AB 21 k
md +
=
12
1
112
2
122 2
2
=
+
⋅+=×== ∆
k
m
m
kABdSS OABOAPB
OAPB
axexf x 2)( += 21 xx， )( 12 xx >
a
12
12
12
)(2lnln xx
xxxx +
−>−
aexf x 2)( +=′
0≥a 0)( >′ xf )(xf )(xf
0> xx
)1(
1
2 >= ttx
x
12
12
12
)(2lnln xx
xxxx +
−>−
1
)1(2ln +
−>
t
tt
2 2( ) ln ( 1)1
tg t t tt
−= − >+
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2 1 2 1 11 1 4= 0
1 1 1
t t tg t t tt t t t
+ − − −′ = − − = >
+ + +
( )g t∴ ( )1,∞
( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 0 ln 1
tg t g g t t t
−∴ > = ∴ > ∴ > +
∴
12
12
12
)(2lnln xx
xxxx +
−>−
P 1C 2cos
2 2sin
x t
y t
=
= + t
O x O OP得到 ，设点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 ， 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，点 的坐标为 ，射线 与曲线 分别交于
两点，求 的面积．
22．解：
（1）由题意可得 的直角坐标方程为 ，
其极坐标方程为 ........................2 分
设 点的极坐标为 ，则对应的 点的极坐标为 ....................3 分
又点 在 上，所以
即 的极坐标方程为 ...................................................5 分
（2）由题意知点 到射线 的距离为 ，.......................7 分
由（1）知 的极坐标方程为 ，
， ..........................9 分
所以
..................................................10 分
23． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ．
（1）当 时，求 的解集；
（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围．
23．解：
（1）当 时， ．
当 时 ， ， 此 时 的 解 集 为
；...................2 分
当 时 ， ， 此 时 的 解 集 为
90 OQ Q 2C
1C 2C
M (4, )2
π
: ( 0)6l
πθ ρ= > 1 2C C、
,A B MAB△
1C 2 2( 2) 4x y+ − =
4sinρ θ=
Q )( θρ， P )2(
πθρ +，
P 1C 4sin( ) 4cos2
πρ θ θ= + =
2C 4cosρ θ=
M 6
πθ = 4sin 2 33d
π= =
1C 4sinρ θ=
( )4(cos sin ) 2 3 16 6B AAB
π πρ ρ= − = − = −
1 6 2 32MAB AB d= ⋅ = −△S
)(1)1()( axxxaxxf +−+++=
0=a 0)( ≥xf
( ) 0
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