重庆市直属校2020届高三数学（理）3月月考试题（PDF版带答案）

高 2020 级高三（下）3 月月考 理科数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．设集合  2|9A x x，  3, 2, 1,0,1,2B     ，则 AB A． 0,1,2 B． 1,0,1,2 C． 2, 1,0,1,2 D． 2, 1,0 2．设 2))(1(  biai ，其中 ba, 是实数，i 为虚数单位，则 bia3 A． 2 B． 7 C． 22 D． 10 3．已知数列 na 是各项均为正数的等比数列， 21 a ， 322 16aa，则 29log a  A．15 B．16 C．17 D．18 4．若实数 ,xy满足约束条件 2 0, 2 0, 2 4 0, xy xy xy          ，则 z x y的最小值为 A． 8 B． 6 C．1 D．3 5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这 5 部专著中有 3 部产生于汉、 魏、晋、南北朝时期．现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著 中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 A． 3 5 B． 7 10 C． 4 5 D． 9 10 6．如图，四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， ABCD为平行四边形， ,EF分别在线段 1,DB DD 上，且 1 1 2 DE DF EB FD，G 在 1CC 上且平面 AEF ∥平面 1BD G ，则 1 CG CC  A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 1 4 7．在直角坐标系 xOy 中，半径为1m的 C 在 0t  时圆心C 与原点O 重合, C 沿 x 轴以1/ms的速度 匀速向右移动， C 被 y 轴所截的左方圆弧长记为 x ,令 cosyx ,则 y 关于时间t (01t,单位: s ) 的函数的图象大致为 A B C D GF D1 B1 C1 A B CD A1 E8． )()(  Nnxmx n 的展开式中，各二项式系数和为 32，各项系数和为 243，则展开式中 3x 的系数 为 A． 40 B．30 C． 20 D．10 9．设函数 )0,0)()(cos()(   Rxxxf 的部分图象如图所示，如果 )12 7,12(, 21 xx ， 21 xx  ，且 )()( 21 xfxf  ，则  )( 21 xxf A． 3 2 B． 1 2 C． 3 2 D． 1 2 10．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为 4 ， ABC 是边长为6 的等边三角 形，记 ABC 的外心为 1O ．若三棱锥 P ABC 的体积为12 3 ，则 1PO  A． 23 B． 25 C． 26 D． 27 11．设双曲线   22 22: 1 0, 0xyC a bab    的左顶点为 A ，右焦点为  ,0Fc ，若圆  2 22:A x a y a   与直线 0bx ay交于坐标原点O 及另一点 E ，且存在以O 为圆心的圆与线段 EF 相切，切点为 EF 的中点，则双曲线的离心率为 A． 6 2 B． 2 C． 3 D．3 12．函数       1 ln 0 0x xx fx xe x     ，若关于 x 的方程    220f x af x a a    有四个不等的实数根，则 a 的取值范围是 A． 4 ,15    B．   , 1 1,   C．   , 1 1  D．   1,0 1 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知向量 a 与b 的夹角为 0120 ，且 ( 1,3)a  ， 10b  ，则 ab_________． 14．已知函数 ||( ) 3 ( )xaf x a R满足 ( ) (4 )f x f x，则实数 a 的值为__________． 15．设各项均为正数的数列 na 的前 n项和 nS 满足     022 222  nnSnnS nn ， Nn ，则数列       1 1 nnaa 的前 2020项和 2020T __________． 16．设抛物线 2 2yx 的焦点为 F ，准线为l ，弦 AB 过点 F 且中点为 M ，过点 ,FM分别作 AB 的垂线 交l 于点 ,PQ，若 3AF BF ，则 FP MQ__________． 三、解答题：（共 70 分） 17．（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，且满足 ).sin3(cos AAbc  （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 4a ，且 BC 边上的高为 3 ，求 ABC 的周长． 18．（本小题满分 12 分） 如图，四边形 ABCD为平行四边形，点 E 在 AB 上， 22AE EB，且 ABDE  ．以 DE 为折痕 把 ADE 折起，使点 A 到达点 F 的位置，且 60FEB． （Ⅰ）求证：平面 BFC 平面 BCDE ； （Ⅱ）若直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 15 5 ，求二面角 E DF C的正弦值． 19．（本小题满分 12 分） 为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂 在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取 20 件产品进行检测，测量 其主要药理成分含量（单位：mg ）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主 要药理成分含量服从正态分布 2( , )N  ．在一天内抽取的 20 件产品中，如果有一件出现了主要药理成分 含量在 ( 3 , 3 )   之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本 次的生产过程进行检查． （Ⅰ）下面是检验员在 2 月 24 日抽取的 20 件药品的主要药理成分含量： 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.22 10.13 9.91 9.95 9.96 9.88 10.01 9.98 9.95 10.05 10.05 9.96 10.12 经计算得 20 1 1 9.9620 i i xx   ， 20 20 2 2 2 11 11( ) ( 20 ) 0.1920 20ii ii s x x x x       ． 其中 ix 为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量， 1i  ，2， ，20．用样本平均数 x 作为  的估计值 ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？ （Ⅱ）假设生产状态正常，记 X 表示某天抽取的 20 件产品中其主要药理成分含量在( 3 , 3 )    之外的药品件数，求 ( 1)PX 及 X 的数学期望． 附：若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N  ，则 ( 3 3 ) 0.9974PZ        ， 190.9974 0.95 ． 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆   22 22: 1 0xyC a bab    的左、右焦点分别为 12,FF，过点 1F 的直线与C 交于 ,AB两 点． 2ABF 的周长为 42，且椭圆的离心率为 2 2 ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）设点 P 为椭圆C 的下顶点，直线 ,PA PB 与 2y  分别交于点 ,MN，当 MN 最小时，求直线 AB 的方程． A F D E B C 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 1axf x e x   ,且 ( ) 0fx ． （Ⅰ）求 a ； （Ⅱ）在函数 ()fx的图象上取定两点 11( , ( ))A x f x ， 22( , ( ))B x f x 12()xx ，记直线 AB 的斜率为 k ，问：是否存在 0 1 2( , )x x x ，使 0()f x k  成立？若存在，求出 0x 的值（用 21, xx 表示）；若不存 在，请说明理由． 请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂 黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程． 在平面直角坐标系 xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程 为  2 2 2cos 3sin 12  ，直线l 的参数方程为 2xt yt      （t 为参数），直线l 与曲线C 交于 ,MN 两点． （Ⅰ）若点 P 的极坐标为 2, ，求 PM PN 的值； （Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值． 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲． 已知函数   ,f x x x a a R   ． （Ⅰ）当    2 2 4ff   时，求 a 的取值范围； （Ⅱ）若 0a  ，  ,,x y a   ，不等式   3f x y y a    恒成立，求 a 的取值范围． 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 1 页 共 6 页 高 2020 级高三（下）3 月月考 理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C B B B A D B D B D 10．由题意 39ABCS , 2,32 11  OOAO ,设 P 到平面 ABC 的高为 h ,则由 312V 得 4h ,所以点 P 在小圆 2O（如图所示，圆 1O 与圆 2O 所在平面平行）上运动， 22 OO ， 所以 322 PO ，所以 722 21 2 21  OOPOPO ． 11．联立             0 00 1 1 222 y x ayax aybx 或         2 2 2 2 3 2 2 2 c bay c ax ， 则        2 2 2 3 2,2 c ba c aE ． 因为存在以O 为圆心的圆与线段 EF 相切于其中点，所以 OFOE  ， 所以 c c ba c a            2 2 22 2 3 22 ，化简即得 2e ． 12．当 0x 时， )1()( 1 xexf x   ，所以当 10  x 时， 0)(  xf ， )(xf 单调递增；当 1x 时， 0)(  xf ， )(xf 单调递减，且 0)0( f ，当 x 时， 0)( xf ．当 0x 时， )(xf 单调递减，所以 )(xf 的图象如图所示： 令  xft  ，则由上图可知当 0t 或1时，方程  xft  有两个实数根；当  1,0t 时， 方程  xft  有三个实数根；当     ,10,t 时，方程  xft  有一个实数根． 所以关于 x 的方程    220f x af x a a    有四个不等的实数根等价于关于t 的方程 022  aaatt 有两个实数根 1,0 21  tt 或者       ,10,,1,0 21 tt ． 当 1,0 21  tt 解得 1a ；当       ,10,,1,0 21 tt 时，    01100 2222  aaaaaa ，解得 01  a ．综上所述，   10,1 a ． 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 2 页 共 6 页 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 5 2 2021 505 9 16 15．由题意     022  nn SnnS ，因为 na 各项均为正数，所以 0nS ，可得 nnSn  2 ，所以 nan 2 ．          1 11 4 1 14 11 1 nnnnaa nn ， 所以 2021 505 2021 1 2020 1...3 1 2 1 2 114 1 2020                    T ． 16．由对称性，不妨设 A 在一象限，设直线 AB 的倾斜角为  ，由 BFAF 3 得  cos1 3 cos1  pp 得 2 1cos  ，所以 3 2,3 2,2  MFBFAF ．记 AB 与l 的交点为 S ，x轴与l 的交点为 R ，则 2cos   RFSF ， ,39 8 tan,33 2 tan   SMMQSFFP 所 以 9 16 MQFP ． 三、解答题：（共 70 分） 17．解：（Ⅰ）由正弦定理可知： )sin3(cossinsin AABC  ······1 分 又因为 ABC 中  CBA ，故 )sin(sin BAC  ······2 分 )sin3(cossin)sin( AABBA  ABABBABA sinsin3cossinsincoscossin  ABBA sinsin3cossin  ······4 分 又因为 A 为 ABC 的内角，故 0sin A BB sin3cos  ， (0, )B  ， 6  B ······6 分 （Ⅱ）如图， 63  BAD ， ，则 32sin  B ADABc ······9 分 又 4a ，在 ABC 中，由余弦定理得： 4cos2222  Baccab 2 b 故三角形的周长 .326 cba ······12 分 18．解：（Ⅰ）因为 ABDE  ，所以 EFDEEBDE  , ， 所以 DE 平面 BEF ，所以 BFDE  ① ······2 分 因为 22  EBAE ，所以 1,2  EBEF ，又 o60FEB ， 由余弦定理得： 3cos222  FEBEBEFEBEFBF ， 所以 222 BFEBEF  ，所以 EBFB  ② ······4 分 由①②得 BF 平面 BCDE ，所以平面 BFC 平面 BCDE ． ······5 分 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 3 页 共 6 页 （Ⅱ）建系如图，设 aDE  ，则      3,0,0,0,0,1,0,,1 FEaD ，  3,,1 aDF  因为直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正 切值为 15 5 ，所以直线 DF 与平面 BCDE 所成角的所成角的正弦值为 4 6 ， 又  1,0,0n 为平面 BCDE 的法向量， 所以 4 6,cos    DFn DFnDFn ，即 4 6 4 3 2   a ，解得 2a ． ······7 分 所以    0,2,2,0,2,1 CD ，则    3,2,1,0,2,0  DFED ， 设平面 EDF 的法向量  zyxm ,, ，则                  zx y zyx y mDF mED 3 0 032 02 0 0 ， 取 1z 得  1,0,3m ， ······9 分 同理可取平面 DFC 的法向量  2,3,0p ， ······10 分 所以 7 7 72 2,cos      pm pmpm ， ······11 分 所以 7 42,sin pm ，即得二面角 E DF C的正弦值为 7 42 ． ······12 分 19．解：（Ⅰ）由 9.96x  ， 0.19s  ，得  的估计值为 ˆ 9.96  ， 的估计值为 ˆ 0.19  ， 由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22) 含量在 ˆ ˆ(3 ， ˆ ˆ3 ) (9.39 ， 10.53) 之外，因此需对本次的生产过程进行检查． ······5 分 （Ⅱ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在( 3 , 3 )   之内的概率为 0.9974， 从而主要药理成分含量在 ( 3 , 3 )   之外的概率为 0.0026，故 ~ (20,0.0026)XB ． 因此 1 19 20( 1) (0.9974) 0.0026 20 0.95 0.0026 0.0494P X C       ， ······10 分 X 的数学期望为   20 0.0026 0.052EX   ． ······12 分 20．解：（Ⅰ）由题意可得： 4 4 2, 2 2, 1 1ca a c ba       2 2:12 xCy   ······4 分 （Ⅱ）点  0, 1P  ，  1 1,0F  ，设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 显然直线 AB 与 x 轴不重合，设 :1AB x my，则可知 1m  由 22 1 22 x my xy    得 222 2 1 0m y my    1 2 1 222 21,22 my y y ymm     高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 4 页 共 6 页 直线  1 1 1: 1 0PA y x x y x    ，令 2y  ，可得 1 1 3 1M xx y  ， ······6 分 同理 2 2 3 1N xx y  ， ······7 分          1 2 2 112 1 2 1 2 1 1 1 13331 1 1 1 my y my yxxMN y y y y           12 1 2 1 2 13 1 m y y y y y y     2 2 22 22 1 2 4 13 6 212 2 2 1122 m mm m m m m mm         ， ······9 分 当 0m  时， 62MN  ； 当 0m  时， 2 116 2 6 2221111 MN m m m m    ， 由于    1 , 2 2,m m      ，则  11,1 1,2 21 1m m     ， ······11 分 此时 MN 的最小值为6 6 2 ，在 1m  处取得. 综上，当 MN 最小时，直线 :1AB x y，即 1yx. ……………12 分 21．解：（Ⅰ）若 0a  ，则对一切 0x  ， ()fx 10axex    ，这与题设矛盾； 若 0a  ， ( ) 1,axf x ae 令 11( ) 0, ln .f x x aa  得 当 11lnx aa 时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递减；当 11lnx aa 时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增， 故当 11lnx aa 时， ()fx取最小值 1 1 1 1 1( ln ) ln 1.f a a a a a   于是对一切 , ( ) 0x R f x恒成立，当且仅当 1 1 1ln 1 0a a a   .① 令 ( ) ln 1,g t t t t   则 ( ) ln .g t t  当 01t时， ( ) 0, ( )g t g t  单调递增；当 1t  时， ( ) 0, ( )g t g t  单调递减. 故当 1t  时， ()gt取最大值 (1) 0g  .因此，当且仅当 1 1a  即 1a  时，①式成立. 综上所述， 1a  . ······5 分 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 5 页 共 6 页 （Ⅱ）由题意知， 21 21 2 1 2 1 ( ) ( ) 1. xxf x f x eek x x x x     令 21 21 ( ) ( ) , xx x eex f x k e xx      ()yx 在区间 12,xx 上单调递增； 且 1 21() 1 2 1 21 ( ) ( ) 1 , x xxex e x xxx      2 12() 2 1 2 21 ( ) ( ) 1 . x xxex e x xxx     由（Ⅰ）得 ( ) 1 0xf x e x    恒成立， 从而 21() 21( ) 1 0xxe x x     ， 12() 12( ) 1 0,xxe x x     又 1 21 0, xe xx 2 21 0, xe xx 所以 1( ) 0,x  2( ) 0.x  由零点存在性定理得，存在唯一 0 1 2( , )x x x ，使 0( ) 0,x  且 21 0 21 ln () xxeex xx   . 综上所述，存在 0 1 2( , )x x x 使 0()f x k  成立，且 21 0 21 ln () xxeex xx   . ······12 分 22．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为 223 12xy．因为点 P 的直角坐标为 2,0 ， 所以点 P 在直线l 上．将直线l 的参数方程 22 2 2 2 xt yt       （t 为参数）代入曲线C 的直 角 坐 标 方 程 中 ， 得 22 2222 3 12 2 4 022t t t t                       ，则 12 4PM PN t t    ． ······5 分 （Ⅱ）不妨设  2 3 cos ,2sin 0, 2Q    为矩形上的一顶点， 则该矩形的周长为  4 2 3 cos 2sin 16sin 3      ， 当且仅当 6   ，其周长有最大值16． ······10 分 23．解：（Ⅰ）     2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 a a a a a aa                  或     22 2 2 2 a aa        或     2 2 2 2 a aa      ，解得  ,1a   ．······5 分 （Ⅱ）    max min3f x y y a     ，其中当  ,,x y a  时，    3 3 3 3y y a y a y a a           （当且仅当  3,ya 取等号）， 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 6 页 共 6 页 （     2 4 af x x x a    当且仅当 2 ax  取等号）， 所以 2 34 a a，解得  0,6a ． ······10 分