2019－2020 学年高二年级阶段性测试(二)
理科数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有－
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{x|x2－5x＋6≥0}，B＝{x|－1≤x0
11.已知椭圆 E： 的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 x－ty＝0 与椭圆 E
交于 A，B 两点。若四边形 AF1BF2 面积的最大值为 8，则 a 的最小值为
A. B.2 C.2 D.4
12.如图所示的三角形数阵叫做“杨辉三角”，出现在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算
法》中，在欧洲又被称为“帕斯卡三角”。在“杨辉三角”中，从第三行起，每行两端的数都
是 1，其余的数都为其“肩上”两数之和。现将该数阵从第一行开始，由上到下，由左往右的
数字依次排成一列，构成数列 1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，…，若此数列的前 m 项和 Sm
2
π
3
π
4
π
6
π
3
π
2
3
4
3
8
3
2 2
2 2
1 1
1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
22 2
2
1( 0)x y aa b
− = >
1
2
OMN
OFM
S
S
∆
∆
=
3
4
2
3
1
2
1
3
BC BA AP
PC
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2＝2047，则 m＝
A.36 B.45 C.55 D.66
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知向量 m＝(1，2t＋1，－2)，n＝(1，1－t，t)，且|m＋2n|＝3 ，则 t＝ 。
14.已知正项等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4a5a6＝2，则 log2a1＋log2a2＋…＋log2a12 的值为 。
15.已知实数 x，y 满足 ，则 z＝x2＋y2＋2y 的最大值为 。
16.已知双曲线 C： 的渐近线方程为 y＝±x，右顶点为点(1，0)。若
经过点 P(0，－1)的直线与双曲线 C 的右支交于不同的两点 M，N，则线段 MN 的中垂线 l 在
y 轴上截距 t 的取值范围是 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(10 分)
已知函数 f(x)＝ax2＋3ax＋2(a∈R)。
(I)若 x∈R，f(x)>0 恒成立，求 a 的取值范围；
(II)若 f(x)－3ax＋bx>0(b∈R)的解集为{x|x－ }，解不等式 ax2－bx－100。
(I)若 a＝1，且 p∧q 为真命题，求 m 的取值范围；
(II)若 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围。
19.(12 分)
2
2 0
2 5 0
2 0
x y
x y
y
≤
≥
≤
- -
+ -
-
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
∀
1
2
2 2
13
x y
m a a m
+ =+ −如图所示，在△ABC 中，已知点 D 在边 BC 上，且∠DAC＝90°，cos∠DAB＝ ，AB＝
6。
(I)若 sinC＝ ，求线段 BC 的长；
(II)若点 E 是 BC 的中点，AE＝ ，求线段 AC 的长。
20.(12 分)
已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，S3－S1＝12，2a2＋3S1＝14，数列{bn}中，b1＝1，bn＋
1＝2bn＋1。
(I)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(II)记 cn＝ ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn。
21.(12 分)
如图所示，圆锥的顶点为 A，底面的圆心为 O，BC 是底面圆的一条直径，点 D，E 在底面圆
上。已知 BC＝OA＝2，CD＝ 。
(I)证明：AC⊥OD；
(II)若二面角 C－OA－E 的大小为 60°，求直线 OC 与平面 ACE 所成角的正弦值。
22.(12 分)
已知椭圆 E： 的右焦点为 F，过点 P(0，－ )的直线 l 与 E 交于 A，B
2 2
3
3
3
17
n
n
b
a
2
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
9两点。当 l 过点 F 时，直线 l 的斜率为 ，当 l 的斜率不存在时，|AB|＝4。
(I)求椭圆 E 的方程；
(II)以 AB 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由。
2
9
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