一、选择题
1．我国古代数学著作《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四
百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( )
A．104 人 B．108 人
C．112 人 D．120 人
解析：选 B.由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为 300×
8 100
8 100＋7 488＋6 912＝300×
8 100
22 500＝108.故选 B.
2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五
钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5
钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等
差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )
A.
7
6钱 B.
5
6钱
C.
2
3钱 D．1 钱
解析：选 D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为 a－
2d、a－d、a、a＋d、a＋2d，则 a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得 a＝1，即丙所得为
1 钱，故选 D.
3．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元 2 世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、
太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、
龟算、珠算、计数共 14 种计算方法．某研究性学习小组 3 人分工搜集整理该 14 种计算方法
的相关资料，其中一人 4 种，其余两人每人 5 种，则不同的分配方法种数是( )
A.
CCCA
A B.
CCCA
CA
C.
CCC
A D．C 414C 510C55
解析：选 A.先将 14 种计算方法分为三组，方法有
CCC
A 种，再分配给 3 个人，方法有
CCC
A ×
A 33种．故选 A.
4．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气
晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节
气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺
五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长
是( )A．五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
解析：选 B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an}，公差为 d，a1＝15，a13＝135，
则 15＋12d＝135，解得 d＝10.所以 a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是 25 寸．故选 B.
5．(2019·江西七校第一次联考)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现
有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，该数列的特点是：前两个数都是 1，从第三个数
起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契
数列”，则 a2 017·a2 019－a 22 018等于( )
A．1 B．－1
C．2 017 D．－2 017
解析：选 A.因为 a1a3－a22＝1×2－1＝1，a2a4－a23＝1×3－22＝－1，a3a5－a24＝2×5－32＝
1，a4a6－a25＝3×8－52＝－1，…，由此可知 anan＋2－a 2n＋1＝(－1)n＋1，所以 a2 017a2 019－a 22 018
＝(－1)2 017＋1＝1，故选 A.
6．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又
朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用
近代术语解释为：把阳爻“ ”当作数字“1”，把阴爻“ ”当作数字“0”，则八卦所代
表的数表示如下：
卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数
坤 000 0
艮 001 1
坎 010 2
巽 011 3依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“ ”，其表示的十进制数是( )
A．33 B．34
C．36 D．35
解析：选 B.由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“ ”表示的二进制数为
100010，转化为十进制数为 0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选 B.
7．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的
有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三
十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V≈
1
36
L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3.那么，近似公式 V≈
7
264L2h 相当于将
圆锥体积公式中的 π 近似取为( )
A.
22
7 B.
25
8
C.
157
50 D.
355
113
解析：选 A.依题意，设圆锥的底面半径为 r，则 V＝
1
3πr2h≈ 7
264L2h＝
7
264(2πr)2h，化简得 π≈
22
7 .故选 A.
8．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算
术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六
而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将
下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，
再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为 18 的矩形，上底面矩形的长为 3，宽
为 2，“刍童”的高为 3，则该“刍童”的体积的最大值为( )
A.
39
2 B.
75
2
C．39 D.601
8
解析：选 B.设下底面的长为 x(9
2 ≤ x < 9)，则下底面的宽为
18－2x
2 ＝9－x.由题可知上底
面矩形的长为 3，宽为 2，“刍童”的高为 3，所以其体积 V＝
1
6×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋
17x
2 ＋
39
2 ，故当 x＝9
2时，体积取得最大值，最大值为－(9
2 ) 2
＋
9
2×
17
2 ＋
39
2 ＝
75
2 .
故选 B.
9．(多选)古代计算弧田面积方法为，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大
意是，弧田面积计算公式为：弧田面积＝
1
2(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧
的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指
的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦 AB 等于 6 米，
其弧田弧所在圆为圆 O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为
7
2平方米，则( )
A．OA＝5 B．∠AOB＝60°
C．S△AOB＝9 D．cos∠AOB＝
7
25
解析：选 AD.如图，依题意 AB＝6，设 CD＝x(x>0)，则
1
2(6x＋x2)＝
7
2，
解得 x＝1.设 OA＝y，则(y－1) 2＋9＝y2，解得 y＝5，由余弦定理得 cos∠AOB
＝
25＋25－36
2 × 5 × 5＝
7
25，S△AOB＝
1
2×6×4＝12.故选 AD.
10．(多选)(2019·济南模拟)如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的
小三角形个数构成数列{an}的前 4 项，则( )
A．an＝3n－1
B．an＝2n－1
C．a4＝27
D．an－an－1＝2·3n－2(n≥2)
解析：选 ACD.黑色的小三角形个数构成数列{an}的前 4 项，分别为 a1＝1，a2＝3，a3＝3×3
＝32，a4＝32×3，因此{an}的通项公式可以是 an＝3n－1.
11．(多选)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；
次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是( )
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的
1
8
D．此人后三天共走了 42 里路
解析：选 ABD.设此人第 n 天走 an 里路，前 n 天共走 Sn 里路．由题意可知，{an}是首项为a1，公比 q＝
1
2的等比数列，由等比数列前 n 项和公式得 S6＝
a1(1－ 1
26)
1－1
2
＝378，解得 a1＝192.
在 A 中，a2＝192×
1
2＝96，故 A 正确；
在 B 中，378－192＝186，192－186＝6，故 B 正确；
在 C 中，a3＝192×
1
4＝48，
48
378>
1
8，故 C 错误；
在 D 中，a4＋a5＋a6＝192×(1
8＋ 1
16＋ 1
32)＝42，故 D 正确．
12．(多选)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的
太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一
的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆 O 的周长和面积同时等分成两部分
的函数称为圆 O 的一个“太极函数”，下列命题正确的是( )
A．对于任意一个圆 O，其“太极函数”有无数个
B．函数 f(x)＝ln(x2＋ x2＋1)可以是某个圆的“太极函数”
C．正弦函数 y＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”
D．函数 y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数 y＝f(x)的图象是中心对称图形
解析：选 AC.过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆
O，其“太极函数”有无数个，故 A 正确；
函数 f(x)＝ln(x2＋ x2＋1)的图象如图 1 所示，
故其不可能为圆的“太极函数”，故 B 错误；
将圆的圆心放在正弦函数 y＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数 y
＝sin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数 y＝sin x 可以同时是无数个
圆的“太极函数”，故 C 正确；函数 y＝f(x)的图象是中心对称图形，则 y
＝f(x)是“太极函数”，但函数 y＝f(x)是“太极函数”时，图象不一定是
中心对称图形，如图 2 所示，故 D 错误．
二、填空题
13.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝
的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三
组，经 90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为 6，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁
放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)
解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为 1、2、6 的长方体的外接球．设
其半径为 R，(2R)2＝62＋22＋12，解得 R2＝
41
4 ，所以该球形容器的表面积的最小值为 4πR2＝41
π.
答案：41π
14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定
理”及一些应用．直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”．设 F1，F2 分别是椭圆
x2
4
＋y2＝1 的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，若线段 PF2，PF1 分别是 Rt△F1PF2
的“勾”“股”，则点 P 的横坐标为________．
解析：由题意知半焦距 c＝ 3，又 PF1⊥PF2，故点 P 在圆 x2＋y2＝3 上，设 P(x，y)，联
立，得{x2＋y2＝3，
x2
4 ＋y2＝1，得 P(2 6
3 ，
3
3 ).
故点 P 的横坐标为
2 6
3 .
答案：
2 6
3
15．公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，
发现了黄金分割，其比值约为 0.618，这一数值也可以表示为 m＝2sin 18°，若 m2＋n＝4，则
m n
2cos227°－1＝________．
解析：由题设 n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，
m n
2cos227°－1＝
2sin 18° 4cos218°
2cos227°－1 ＝
2·（2sin 18°cos 18°）
cos 54° ＝
2sin 36°
sin 36° ＝2.
答案：2
16．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的
形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面
体”(图 1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数
学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，
且此正方体的棱长为 1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后 6 个面都在正方体的表
面上，且该半正多面体的表面由 18 个正方形，8 个正三角形组成，因此题中的半正多面体共
有 26 个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱
长为 x，则
2
2 x＋x＋
2
2 x＝1，解得 x＝ 2－1，故题中的半正多面体的棱长为 2－1.
答案：26 2－1
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