2020高考数学二轮练典型习题第二部分专题七第2讲函数与方程、数形结合思想（Word版带解析）

第 2 讲　函数与方程、数形结合思想 一、函数与方程思想 函数思想 方程思想 函数思想是通过建立函数关系或构造函数， 运用函数的图象和性质去分析问题、转化问 题，从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或者构造 方程，通过解方程或方程组或者运用方程的 性质去分析、转化问题，使问题得到解决的 思想 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进 行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 应用一　函数与方程思想在不等式中的应用 [典型例题] 设不等式 2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 都成立，则 x 的取值范围为 ________． 【解析】　问题可以变成关于 m 的不等式 (x2－1)m－(2x－1) 0，解得 7－1 2 0 且 n∈Z)，则 f′(n)＝3 2n2－5n，令 f′(n)>0，得 n>10 3 ，令 f′(n)0)经过点(1， 3 2 )，离心率为1 2. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设点 A，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点 F 作直线交椭圆 E 于 C，D 两点， 求四边形 OCAD 面积的最大值(O 为坐标原点)． 【解】　(1)由题设得{ 1 a2＋ 9 4b2＝1， c a＝1 2， a2＝b2＋c2. 解得{a＝2， b＝ 3， c＝1. 所以椭圆 E 的方程为x2 4＋y2 3＝1.(2)设直线 CD 的方程为 x＝ky＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，与椭圆方程x2 4＋y2 3＝1 联立得(3k2 ＋4)y2＋6ky－9＝0. 所以 y1＋y2＝－ 6k 3k2＋4，y1y2＝－ 9 3k2＋4. 所以 S 四边形 OCAD＝S△OCA＋S△ODA ＝1 2×2×|y1|＋1 2×2×|y2| ＝|y1－y2| ＝ （y1＋y2）2－4y1y2 ＝12 k2＋1 3k2＋4 ＝ 12t 3t2＋1 ＝ 12 3t＋1 t (其中 t＝ k2＋1，t≥1)． 因为当 t≥1 时，y＝3t＋1 t单调递增，所以 3t＋1 t≥4，所以 S 四边形 OCAD≤3(当 k＝0 时取等 号)，即四边形 OCAD 面积的最大值为 3. 几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般 思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量 的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方 法．　 [对点训练] 　设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线 y＝kx(k>0)与 AB 相 交于点 D，与椭圆相交于 E，F 两点．若ED → ＝6DF → ，求 k 的值． 解：依题意得椭圆的方程为 x2 4＋y2＝1，直线 AB，EF 的方程分别为 x＋2y＝2，y＝ kx(k>0)． 如图，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中 x1 0 (a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a 的 取值范围是(　　) A．(0，1]　　　　　　　 B．[1，＋∞) C．(0，1) D．(－∞，1]解析：选 A.画出函数 f(x)的大致图象如图所示．因为函数 f(x)在 R 有两个零点，所以 f(x) 在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当 x≤0 时，f(x)有一个零点，需 00 时， f(x)有一个零点，需－a0.综上，0 0， －x2－4x，x < 0且 x ≠ －4，其大致图象如图所示， 由图易得 0 0 ，则满足 f(x＋1)