第 3 讲 分类讨论、转化与化归思想
一、分类讨论思想
分类讨论的原则 分类讨论的常见类型
1.不重不漏
2.标准要统一，层次要分明
3.能不分类的要尽量避免，决不
无原则的讨论
1.由数学概念而引起的分类讨论
2.由数学运算要求而引起的分类讨论
3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论
4.由图形的不确定性而引起的分类讨论
5.由参数的变化而引起的分类讨论
分类与整合的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题
的解答来实现解决原问题的策略
应用一 由概念、法则、公式引起的分类讨论
[典型例题]
设等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和 Sn>0(n＝1，2，3，…)，则 q 的取值范围是
________．
【解析】 由{an}是等比数列，Sn>0，可得 a1＝S1>0，q≠0，当 q＝1 时，Sn＝na1>0.
当 q≠1 时，Sn＝a1（1－qn）
1－q >0，
即1－qn
1－q >0(n＝1，2，3，…)，
则有{1－q > 0，
1－qn > 0，①或{1－q < 0，
1－qn < 0.②
由①得－10，得 q 的范围，这种解答是不完备
的．本题根据等比数列前 n 项和公式的使用就要分 q＝1，Sn＝na1 和 q≠1，Sn＝a1（1－qn）
1－q 进
行讨论．
[对点训练]
1．一条直线过点(5，2)，且在 x 轴，y 轴上的截距相等，则这条直线的方程为( )A．x＋y－7＝0
B．2x－5y＝0
C．x＋y－7＝0 或 2x－5y＝0
D．x＋y＋7＝0 或 2y－5x＝0
解析：选 C.设该直线在 x 轴，y 轴上的截距均为 a，当 a＝0 时，直线过原点，此时直线
方程为 y＝2
5x，即 2x－5y＝0；当 a≠0 时，设直线方程为x
a＋y
a＝1，则求得 a＝7，直线方程为
x＋y－7＝0.
2．若函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)＝(1－
4m) x在[0，＋∞)上是增函数，则 a＝________．
解析：若 a>1，则 a2＝4，a－1＝m，故 a＝2，m＝1
2，此时 g(x)＝－ x，为减函数，不合题
意；若 00 时，由 f′(x)＝0 得 x＝－ln a，
若 x∈(－∞，－ln a)，则 f′(x)>0；
若 x∈(－ln a，＋∞)，则 f′(x)0，
所以 g(x)在(－∞，0)上单调递增．
当 x>0 时，1－e2x0)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P，Q 两点．若线段 PF 与
FQ 的长度分别为 p，q，则1
p＋1
q等于( )
A．2a B． 1
2a
C．4a D．4
a
(2)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是
________．
【解析】 (1)抛物线 y＝ax2(a>0)的标准方程为 x2＝1
ay(a>0)，焦点 F(0，
1
4a).
过焦点 F 作直线垂直于 y 轴，则|PF|＝|QF|＝ 1
2a，所以1
p＋1
q＝4a.
(2)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，
则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ)，
令 y＝|a＋b|＋|a－b|
＝ （2＋cos θ）2＋sin2θ＋ （cos θ－2）2＋sin2θ
＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ，
则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20]．
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
【答案】 (1)C (2)4 2 5
(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观
整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．
(2)对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，
可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
[对点训练]
已知函数 f(x)＝(a－3)x－ax3 在[－1，1]上的最小值为－3，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[12，＋∞)
C．[－1，12] D．[－3
2，12]
解析：选 D.当 a＝0 时，函数 f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除 A、B；
(注意，对于特殊值的选取，越简单越好，0，1 往往是首选．)
当 a＝－3
2时，函数 f(x)＝3
2x3－9
2x，
f′(x)＝9
2x2－9
2＝9
2(x2－1)，
当－1≤x≤1 时，f′(x)≤0，所以 f(x)在[－1，1]上单调递减，所以 f(x) min＝f(1)＝3
2－9
2＝－
3，满足条件，故排除 C.综上，选 D.
应用二 正与反的相互转化
[典型例题]
若对于任意 t∈[1，2]，函数 g(x)＝x3＋(m
2＋2 )x2－2x 在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是________．
【解析】 由题意得 g′(x)＝3x 2＋(m＋4)x－2，若 g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则
①g′(x)≥0 在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(t，3)上恒成立．
由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2
x－3x 在 x∈(t，3)上恒成立，所以 m＋4≥2
t－3t
恒成立，则 m＋4≥－1，即 m≥－5；
由②得 m＋4≤2
x－3x 在 x∈(t，3)上恒成立，
则 m＋4≤2
3－9，即 m≤－37
3 .
所以函数 g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为－37
3 0，则实数 p 的取值范围是________．
解析：如果在[－1，1]内没有值满足 f(x)>0，则{f（－1） ≤ 0，
f（1） ≤ 0 ⇒{p ≤ －1
2或 p ≥ 1，
p ≤ －3 或 p ≥ 3
2
⇒
p≤－3 或 p≥3
2，故实数满足条件的 p 的取值范围为(－3，
3
2).
答案：(－3，
3
2)应用三 常量与变量的相互转化
[典型例题]
已知函数 f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中 f′(x)是 f(x)的导函数．对任意 a
∈[－1，1]，都有 g(x) 0，即{（x－3）（x－1） > 0，
x2－1 > 0， 解得 x>3 或 x<
－1.
故 x 的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
2．设 y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若 t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则 x 的取值
范围是________．
解析：设 f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，
则 f(t) 是 一 次 函 数 ， 当 t∈[ － 2 ， 2] 时 ， f(t)>0 恒 成 立 ， 则 {f（－2） > 0，
f（2） > 0， 即
{（log2x）2－4log2x＋3 > 0，
（log2x）2－1 > 0， 解得 log2x3，
即 01，都有 f(x＋t)≤3ex，求 m 的最大值．
【解】 因为当 t∈[－1，＋∞)，且 x∈[1，m]时，x＋t≥0，所以 f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x.
所以原命题等价转化为存在实数 t∈[－1，＋∞)，使得不等式 t≤1＋ln x－x，对任意
x∈[1，m)恒成立．
令 h(x)＝1＋ln x－x(x≥1)．
因为 h′(x)＝1
x－1≤0，
所以函数 h(x)在[1，＋∞)上为减函数．
又 x∈[1，m)，所以 h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m，t 值恒存在，只需 1＋ln m－m≥－1.
因为 h(3)＝ln 3－2＝ln(1
e·
3
e )>ln 1
e＝－1，h(4)＝ln 4－3＝ln(1
e·
4
e2)0 对 x∈(0，＋∞)恒成立，所以 a2－2a＋1
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