2020高考数学二轮习题小题分类练（六）数学文化类（Word版带解析）

小题分类练(六)　数学文化类 一、单项选择题 1．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜求积术”．设 △ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，面积为 S，则“三斜求积术”为 S＝ 1 4[a2c2－(a2＋c2－b2 2 ) 2 ].若 c2sin A＝4sin C，B＝ π 3 ，则用“三斜求积术”求得△ABC 的面积为 (　　) A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 2．(2019·怀化模拟)《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节： 一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种 是大灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1 200 个．若在这座楼阁的灯球中，随机选取 1 个灯球，则这个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为(　　) A. 1 3 B. 2 3 C.1 4 D. 3 4 3．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后 人将“2n－1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数．已知第 20 个梅森素数为 P＝24 423－1，第 19 个梅森素数为 Q＝24 253－1，则下列各数中与 P Q最接近的数为(　　) (参考数据，lg 2≈0.3) A．1045 B．1051 C．1056 D．1059 4．(2019·漳州质检)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将， 每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成， 每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共 有(　　) A. 1 7(87－8)人 B. 1 7(89－8)人 C.[8＋1 7（87－8）]人 D.[8＋1 7（89－84）]人 5.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中， 五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为 15.如图，若从 4 个阴数 中随机抽取 2 个数，则能使这两数与居中阳数之和等于 15 的概率是(　　) A. 1 2 B. 2 3 C. 1 4 D. 1 3 6．(2019·合肥质量检测)我国古代名著《张丘建算经》中记载：今有方锥下广二丈，高三 丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？大致意思：有一个正四棱锥下底边长为二丈， 高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则 该正四棱台的体积是(注：1 丈＝10 尺)(　　) A．1 946 立方尺 B．3 892 立方尺 C．7 784 立方尺 D．11 676 立方尺 7．(2019·郑州模拟)数学家欧拉在 1765 年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是 三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线 的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后 人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点 B(－1，0)，C(0，2)，AB＝AC，则△ABC 的欧 拉线方程为(　　) A．2x－4y－3＝0 B．2x＋4y＋3＝0 C．4x－2y－3＝0 D．2x＋4y－3＝0 8．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五 级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把 80 个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高 一级就多分 m 个(m 为正整数)，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得 30 个橘子的概率是(　　) A. 1 8 B. 1 7 C. 1 6 D. 1 5 二、多项选择题 9．(2019·四川资阳模拟)空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小， 表明空气质量越好，其对应关系如表： AQI 指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某市 10 月 1 日～20 日 AQI 指数变化趋势：下列叙述正确的是(　　) A．这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100 B．这 20 天中的中度污染及以上的天数占 1 4 C．该市 10 月的前半个月的空气质量越来越好 D．总体来说，该市 10 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 10．(2019·湖北八校联考)太极图是一种优美的对称图形．如果一个函数的图象能够将圆 的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”．下列命题中错误 的命题为(　　) A．对于任意一个圆，其对应的“太极函数”不唯一 B．如果一个函数是两个圆的“太极函数”，那么这两个圆为同心圆 C．圆(x－1)2＋(y－1)2＝4 的一个“太极函数”为 f(x)＝x3－3x2＋3x D．圆的“太极函数”的图象均是中心对称图形 11．如图 1，直线 EF 将矩形纸 ABCD 分为两个直角梯形 ABFE 和 CDEF，将梯形 CDEF 沿边 EF 翻折，如图 2，在翻折的过程中(平面 ABFE 和平面 CDEF 不重合)，下面说法不正确 的是(　　) A．存在某一位置，使得 CD∥平面 ABFE B．存在某一位置，使得 DE⊥平面 ABFE C．在翻折的过程中，BF∥平面 ADE 恒成立 D．在翻折的过程中，BF⊥平面 CDEF 恒成立 12．(2020·鱼台一中高三期中考试)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解 析数论的创始人之一，以其名命名的函数 f(x)＝{1，x 为有理数 0，x 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于 f(x)， 下列说法正确的是(　　) A．∀x∈R，f(f(x))＝0 B．函数 f(x)是偶函数C．任意一个非零有理数 T，f(x＋T)＝f(x)对任意 x∈R 恒成立 D．存在三个点 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC 为等边三角形 三、填空题 13．某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量(升) 加油时累计 里程(千米) 2018 年 10 月 1 日 12 35 000 2018 年 10 月 15 日 60 35 600 (注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每 100 千米平 均耗油量为________升． 14．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直 的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”．刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟 合方盖”的体积之比应为π∶4.若正方体的棱长为 2，则“牟合方盖”的体积为________． 15．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况， 她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量 f(x)与时间 x(天)之间的函数 关系 f(x)＝{－ 7 20x＋1，0 < x ≤ 1， 1 5＋ 9 20x－1 2，1 < x ≤ 30. 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9 天后，小菲的单词记忆保持量低于 40%； ③26 天后，小菲的单词记忆保持量不足 20%. 其中正确结论的序号有________．(注：请写出所有正确结论的序号) 16.我国古代数学著作《算法统宗》第八卷“商功”第五章撰述：“刍 荛(chú ráo)：倍下长，加上长，以广乘之，又以高乘，用六归之．如屋脊： 上斜下平．”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也．即将方 台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体(如图)：矩形 ABCD，棱 EF∥AB，AB＝ 4，EF＝2，△ADE 和△BCF 都是边长为 2 的等边三角形，则此几何体的表面积为________， 体积为________． 小题分类练(六)　数学文化类1．解析：选 A.根据正弦定理，由 c2sin A＝4sin C，可得 ac＝4.结合 B＝ π 3 ，可得 a2＋c2－ b2＝4，则 S△ABC＝ 1 4（16－4）＝ 3，故选 A. 2．解析：选 B.设大灯下缀 2 个小灯有 x 个，大灯下缀 4 个小灯有 y 个，根据题意可得 {x＋y＝360， 2x＋4y＝1 200，解得 x＝120，y＝240，则灯球的总数为 x＋y＝360，故这个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为 240 360＝ 2 3，故选 B. 3．解析：选 B.由题知 P Q＝ 24 423－1 24 253－1≈2170，令 2170＝k，则 lg 2170＝lg k．所以 170lg 2＝lg k．又 lg 2≈0.3，所以 51＝lg k，即 k＝1051，所以与 P Q最接近的数为 1051.故选 B. 4．解析：选 D.由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数 列，且首项为 8，公比也是 8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共 8＋84＋85＋86＋ 87＋88＝8＋ 84（1－85） 1－8 ＝8＋ 1 7(89－84)(人)，故选 D. 5．解析：选 D.从 4 个阴数中随机抽取 2 个数，共有 6 种取法，其中满足题意的取法有两 种；4，6 和 2，8，所以能使这 2 个数与居中阳数之和等于 15 的概率 P＝ 2 6＝ 1 3.故选 D. 6．解析：选 B.由题意可知正四棱锥的高为 30，所截得正四棱台的下 底面边长为 20，上底面边长为 6.设棱台的高 OO 1＝h，由△PA1O1∽△PAO 可得 30－h 30 ＝ 6 × 2 2 20 × 2 2 ，解得 h＝21，可得正四棱台体积 V＝ 1 3×21×(62＋202＋ 6×20)＝3 892(立方尺)，故选 B. 7．解析：选 D.因为 B(－1，0)，C(0，2)，所以线段 BC 的中点坐标为(－ 1 2，1)，线段 BC 所在直线的斜率 kBC＝2，则线段 BC 的垂直平分线的方程为 y－1＝－ 1 2×(x＋ 1 2)，即 2x＋4y－3 ＝0，因为 AB＝AC，所以△ABC 的外心、重心、垂心都在线段 BC 的垂直平分线上，所以△ABC 的欧拉线方程为 2x＋4y－3＝0.故选 D. 8．解析：选 B.由题意可知等级从低到高的 5 个诸侯所分的橘子个数组成公差为 m 的等差 数列，设“男”分得的橘子个数为 a1，其前 n 项和为 Sn，则 S5＝5a1＋ 5 × 4 2 m＝80，即 a1＋2m ＝16，且 a1，m 均为正整数，若 a1＝2，则 m＝7，此时 a5＝30，若 a1＝4，m＝6，此时 a5＝ 28，若 a1＝6，m＝5，此时 a5＝26，若 a1＝8，m＝4，此时 a5＝24，若 a1＝10，m＝3，此时 a5 ＝22，若 a1＝12，m＝2，此时 a 5＝20，若 a1＝14，m＝1，此时 a 5＝18，所以“公”恰好分得 30 个橘子的概率为 1 7.故选 B. 9．解析：选 ABD.对于 A，20 天中 AQI 指数值有 10 个低于 100，10 个高于 100，其中位 数略高于 100，正确； 对于 B，20 天中 AQI 指数值高于 150 的天数为 5，即占总天数的 1 4，正确； 对于 C，该市 10 月的前 4 天的空气质量越来越好，从第 5 天到第 15 天，空气质量越来越 差，错误； 对于 D，总体来说，该市 10 月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D 正确． 10．解析：选 BD.对于 A，圆的对称轴有无数条，因此它对应的“太极函数”也有无数个， 故 A 正确； 对于 B，当两圆的圆心在同一条直线上时，该直线对应的函数为这两个圆的“太极函数”， 故 B 错误； 对于 C，因为 f(x)＝x3－3x2＋3x＝(x－1)3＋1，所以函数 f(x)的图象关于点(1，1)成中心对 称，又圆(x－1)2＋(y－1)2＝4 关于点(1，1)成中心对称，故函数 f(x)＝x3－3x2＋3x 是圆(x－1)2＋ (y－1)2＝4 的一个“太极函数”，故 C 正确； 对于 D，如图，过圆心 C 的“太极函数”的图象不是中心对称图形，故 D 错误． 11．解析：选 ABD.在 A 中，因为四边形 DEFC 是梯形，DE∥CF，所以 CD 与 EF 相交， 所以 CD 与平面 ABFE 相交，故 A 错误； 在 B 中，因为四边形 DEFC 是梯形，DE⊥CD，所以 DE 与 EF 不垂直，所以不存在某一 位置，使得 DE⊥平面 ABFE，故 B 错误； 在 C 中，因为四边形 ABFE 是梯形，AE∥BF，BF⊄平面 ADE，AE⊂平面 ADE，所以在翻 折的过程中，BF∥平面 ADE 恒成立，故 C 正确； 在 D 中，因为四边形 ABFE 是梯形，AB⊥BF，所以 BF 与 FE 不垂直，在翻折的过程中， BF⊥平面 CDEF 不成立，故 D 错误． 12．解析：选 BCD.A.因为当 x 为有理数时，f(x)＝1；当 x 为无理数时，f(x)＝0，所以当 x 为有理数时，f(f(x))＝f(1)＝1；当 x 为无理数时，f(f(x))＝f(0)＝1，即不管 x 是有理数还是无理 数，均有 f(f(x))＝1，故 A 不正确；接下来判断三个命题的真假． B．因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对任意 x∈R， 都有 f(－x)＝f(x)，故 B 正确；C.若 x 是有理数，则 x＋T 也是有理数；若 x 是无理数，则 x＋T 也是无理数，所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 T，f(x＋T)＝f(x)对 x∈R 恒成立，故 C 正确；D.取 x1＝ 3 3 ，x2＝0，x3＝－ 3 3 ，可得 f(x1)＝0，f(x2)＝1，f(x3)＝0，所以 A( 3 3 ，0)， B(0，1)，C(－ 3 3 ，0)，恰好△ABC 为等边三角形，故 D 正确． 13．解析：因为第二次加满油箱时加油量为 60 升，所以从第一次加油到第二次加油共用 油 60 升，行驶了 600 千米，所以在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 60 600 ÷ 100＝ 10(升)． 答案：10 14．解析：若正方体的棱长为 2，则内切球的半径 r＝1，所以正方体的内切球的体积 V球＝ 4 3π×13＝ 4 3π.又已知 V 球 V 牟合方盖＝ π 4 ，所以 V 牟合方盖＝ 4 π× 4 3π＝ 16 3 . 答案： 16 3 15．解析：由函数解析式可知 f(x)随着 x 的增加而减少，故①正确；当 1 1 5，故③错误． 答案：①② 16．解析：由题意知该五面体的表面积 S＝S矩形 ABCD＋2S△ADE＋2S 梯形 ABFE＝2×4＋2× 1 2× 2× 22－12＋2× 1 2×(2＋4)× 22－12＝8＋8 3. 过 F 作 FO⊥平面 ABCD，垂足为 O，取 BC 的中点 P，连接 PF，过 F 作 FQ⊥AB，垂足 为 Q，连接 OQ. 因为△ADE 和△BCF 都是边长为 2 的等边三角形，所以 OP＝ 1 2(AB－EF)＝1，PF＝22－12 ＝ 3，OQ＝ 1 2BC＝1，所以 OF＝ PF2－OP2＝ 2， 采用分割的方法，分别过点 F，E 作与平面 ABCD 垂直的平面，这两个平面把几何体分割 成三部分， 如图，包含一个三棱柱 EMN­FQH，两个全等的四棱锥：E­AMND，F­QBCH， 所以这个几何体的体积 V＝VEMN­FQH＋2VF­QBCH＝S△QFH×MQ＋2× 1 3S 矩形 QBCH×FO＝ 1 2×2× 2×2＋2× 1 3×1×2× 2＝ 10 2 3 . 答案：8＋8 3　 10 2 3