小题分类练(五) 创新迁移类
一、单项选择题
1．定义运算|a，b
c，d |＝ad－bc，则符合条件|z，1＋i
2， 1 |＝0 的复数 z 对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若 x∈A，则
1
x∈A，就称 A 是伙伴关系集合，集合 M＝{－1，0，
1
2，2，3}的所有非空
子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A．1 B．3
C．7 D．31
3．对于非零向量 m，n，定义运算“*”：m*n＝|m||n|sin θ，其中 θ 为 m，n 的夹角，有两
两不共线的三个向量 a，b，c，下列结论正确的是( )
A．若 a*b＝a*c，则 b＝c B．(a*b)c＝a(b*c)
C．a*b＝(－a)*b D．(a＋b)*c＝a*c＋b*c
4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函
数”，那么函数解析式为 y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”的个数为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
5．定义函数 max{f(x)，g(x)}＝{f（x）（f（x） ≥ g（x）），
g（x）（f（x）＜g（x））， 则 max{sin x，cos x}的最
小值为( )
A．－ 2 B. 2
C．－
2
2 D.
2
2
6．我们常用以下方法求形如函数 y＝f(x)g(x)(f(x)＞0)的导数：先两边同取自然对数 ln y＝
g(x)lnf(x)，再两边同时求导得到
1
y·y′＝g′(x)lnf(x)＋g(x)·
1
f（x）·f′(x)，于是得到 y′＝
f(x)g(x)[g′(x)lnf(x)＋g(x)·
1
f（x）·f′(x)]，运用此方法求得函数 y＝x
1
x
(x＞0)的一个单调递增区间
是( )
A．(e，4) B．(3，6)
C．(0，e) D．(2，3)
7．已知三棱锥 OABC，OA，OB，OC 两两垂直，且 OA＝OB＝ 2，OC＝1，P 是△ABC
内任意一点，设 OP 与平面 ABC 所成的角为 x，OP＝y，则 y 关于 x 的函数的图象为( )8．若非零向量 a，b 的夹角为锐角 θ，且
|a|
|b| ＝cos θ，则称 a 被 b“同余”．已知 b 被 a“同
余”，则 a－b 在 a 上的投影是( )
A.a2－b2
|a| B.a2－b2
a2
C.b2－a2
|a| D.a2－b2
|b|
二、多项选择题
9．设函数 f(x)的定义域为 D，若对任意 x∈D，存在 y∈D，使得 f(y)＝－f(x)成立，则称函
数 f(x)为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是( )
A．y＝x2 B．y＝
1
x－1
C．f(x)＝ln(2x＋3) D．y＝2x＋3
10．若数列{an}满足：对任意的 n∈N*且 n≥3，总存在 i，j∈N*，使得 an＝ai＋aj(i≠j，i＜
n，j＜n)，则称数列{an}是“T 数列”．则下列数列是“T 数列”的为( )
A．{2n} B．{n2}
C．{3n} D.{(1－ 5
2 )n－1
}
11．已知点 M(－1，0)和 N(1，0)，若某直线上存在点 P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直
线为“椭型直线”，现有下列直线：
①x－2y＋6＝0；②x－y＝0；③2x－y＋1＝0；④x＋y－3＝0.
其中是“椭型直线”的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
12．定义点 P(x0，y0)到直线 l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为 d＝
ax0＋by0＋c
a2＋b2 .已
知点 P1，P2 到直线 l 的有向距离分别是 d1，d2.以下命题不正确的是( )
A．若 d1＝d2＝1，则直线 P1P2 与直线 l 平行
B．若 d1＝1，d2＝－1，则直线 P1P2 与直线 l 垂直C．若 d1＋d2＝0，则直线 P1P2 与直线 l 垂直
D．若 d1·d2≤0，则直线 P1P2 与直线 l 相交
三、填空题
13．若无穷数列{an}满足：只要 ap＝aq(p，q∈N*)，必有 ap＋1＝aq＋1，则称{an}具有性质
P.若{a n}具有性质 P，且 a 1＝1，a 2＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＋a7＋a8＝21，则 a 3 的值为
________．
14．定义一种运算“※”，对于任意 n∈N*均满足以下运算性质：(1)2※2 017＝1；(2)(2n＋
2)※2 017＝(2n)※2 017＋3.则 2 018※2 017＝____________．
15．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利
用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 A(－2，3)且法向量为 n＝(4，－1)的直线(点法式)方
程为 4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得 4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系
中 ， 经 过 点 B(1 ， 2 ， 3) 且 法 向 量 为 m ＝ ( － 1 ， － 2 ， 1) 的 平 面 的 ( 点 法 式 ) 方 程 为
____________．
16．定义方程 f(x)＝f′(x)的实数根 x0 叫作函数 f(x)的“新驻点”．
(1)设 f(x)＝cos x，则 f(x)在(0，π)上的“新驻点”为________；
(2)如果函数 g(x)＝x 与 h(x)＝ln(x＋1)的“新驻点”分别为 α，β，那么 α 和 β 的大小关系
是________．
小题分类练(五) 创新迁移类
1．解析：选 A.由题知|z，1＋i
2， 1 |＝z－2(1＋i)＝0，解得 z＝2＋2i.
所以复数 z 对应的点(2，2)位于第一象限．故选 A.
2．解析：选 B.具有伙伴关系的元素组是－1 和
1
2，2，所以具有伙伴关系的集合有 3 个：
{－1}，{1
2，2 }，{－1，
1
2，2}.
3．解析：选 C.a，b，c 为两两不共线的向量，则 a，b，c 为非零向量，故 A 不正确；设
a，b 夹角为 θ，b，c 夹角为 α，则(a*b)c＝|a||b|·sin θ·c，a(b*c)＝|b||c|sin α·a，故 B 不正
确；a*b＝|a||b|·sin θ＝|－a||b|·sin(π－θ)＝(－a)*b，故 C 正确，D 不正确．
4．解析：选 C.函数解析式为 y＝x2，值域为{1，4}，当 x＝±1 时，y＝1；当 x＝±2 时，y＝
4.则定义域可以为{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－
2}，{－1，2，－2}，{1，－2，2}，{1，－1，2，－2}，因此“同族函数”共有 9 个．故选
C.
5．解析：选 C.画出 f(x)＝sin x 和 g(x)＝cos x 的图象(图略)，由图象易知所求最小值为－
2
2 .6 ．解析：选 C. 由题意知 f(x) ＝x ，g(x) ＝
1
x，则 f ′(x) ＝1 ，g ′(x) ＝－
1
x2，所以 y′ ＝
x
1
x
·(－1
x2ln x＋1
x·1
x)＝x
1
x
·
1－ln x
x2 ，由 y′＝x
1
x
·
1－ln x
x2 ＞0 得 1－ln x＞0，解得 0＜x＜e，
即单调递增区间为(0，e)，故选 C.
7．解析：选 B.设点 O 在平面 ABC 内的射影为 O′，连接 OO′，OP，O′P，根据等体积
思想得 OO′＝
2 × 2 × 1
2 × 2 ＝
2
2 .因为∠OO′P＝
π
2 ，所以 OP＝
OO ′
sin x，即 y＝
1
2sin x.易知
当点 P 在点 A 或点 B 位置时，x 取得最小值
π
6 ，排除选项 C，D.又在[π
6 ，
π
2 ]上，函数 y＝
1
2sin x单调递减且其图象为光滑曲线，所以排除选项 A.故选 B.
8．解析：选 A.因为 b 被 a“同余”，所以
|b|
|a| ＝cos θ(θ 为 a 与 b 的夹角)，所以|b|＝|a|cos
θ，所以 b·(a－b)＝b·a－b 2＝|b|·|a|·cos θ－b2＝0，所以 b⊥(a－b)．易知 a－b 与 a 的夹角为
π
2
－θ，则 a·(a－b)＝|a|·|a－b|cos (π
2 －θ)＝|a|·|a－b|·sin θ.
又 a·(a－b)＝a2－a·b＝a2－|a|·|b|cos θ＝a2－b2，
所以|a|2－|b|2＝|a|·|a－b|sin θ，
所以 a－b 在 a 上的投影是|a－b|cos(π
2 －θ)
＝|a－b|sin θ＝a2－b2
|a| ，故选 A.
9．解析：选 BCD.因为若对任意 x∈D，存在 y∈D.使得 f(y)＝－f(x)成立，所以只需 f(x)的
值域关于原点对称．
A 中函数 y＝x2 的值域为[0，＋∞)．不关于原点对称．不符合；
B 中函数 y＝ 1
x－1的值域为{y|y≠0}，关于原点对称．符合；
C 中函数 f(x)＝ln(2x＋3)的值域为 R，关于原点对称．符合；
D 中函数 y＝2x＋3 的值域为 R.关于原点对称．符合．
10．解析：选 AD.令 an＝2n，则 an＝a1＋an－1(n≥3)，所以数列{2n}是“T 数列”；令 an＝
n2，则 a1＝1，a2＝4，a3＝9，所以 a3≠a1＋a2，所以数列{n2}不是“T 数列”；令 an＝3n，则 a1
＝3，a2＝9，a3＝27，所以 a3≠a1＋a2，所以数列{3n}不是“T 数列”；令 an＝(1－ 5
2 )n－1
，则 an
＝(1－ 5
2 )n－2
＋(1－ 5
2 )n－3
＝an－1＋an－2(n≥3)，所以数列{(1－ 5
2 )n－1
}是“T 数列”．故选 AD.
11．解析：选 BC.由椭圆的定义知，点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的椭圆，其方程为
x2
4 ＋y2
3 ＝1.对于①，把 x－2y＋6＝0 代入
x2
4 ＋
y2
3 ＝1，整理得 2y2－9y＋12＝0，由 Δ＝(－9)2－4×2×12＝
－15＜0，知 x－2y＋6＝0 不是“椭型直线”；对于②，把 y＝x 代入
x2
4 ＋
y2
3 ＝1，整理得 x2＝
12
7 ，
所以 x－y＝0 是“椭型直线”；对于③，把 2x－y＋1＝0 代入
x2
4 ＋
y2
3 ＝1，整理得 19x2＋16x－8＝
0，由 Δ＝162－4×19×(－8)＞0，知 2x－y＋1＝0 是“椭型直线”；对于④，把 x＋y－3＝0 代
入
x2
4 ＋
y2
3 ＝1，整理得 7x2－24x＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24＜0，知 x＋y－3＝0 不是“椭
型直线”．故②③是“椭型直线”．
12．解析：选 BCD.对于 A，若 d1＝d2＝1，则 ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝ a2＋b2，直线 P1P2
与直线 l 平行，正确；
对于 B，点 P1，P2 在直线 l 的两侧且到直线 l 的距离相等，P1P 未必与 l 垂直，错误；
对于 C，若 d1＝d2＝0，即 ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点 P1，P2 都在直线 l 上，所
以此时直线 P1P2 与直线 l 重合，错误；
对于 D，若 d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以点 P1，P2 分别位于直线 l
的两侧或在直线 l 上，所以直线 P1P2 与直线 l 相交或重合，错误．
13．解析：因为 a5＝a2，所以 a6＝a3，a7＝a4＝3，a8＝a5＝2.于是 a6＋a7＋a8＝a3＋3＋2，
又 a6＋a7＋a8＝21，所以 a3＝16.
答案：16
14．解析：设 an＝(2n)※2 017，则由运算性质(1)知 a1＝1，由运算性质(2)知 an＋1＝an＋3，
即 an＋1－an＝3.
于是，数列{an}是等差数列，且首项为 1，公差为 3.
故 2 018※2 017＝(2×1 009)※2 017＝a1 009＝1＋1 008×3＝3 025.
答案：3 025
15．解析：由题意可设 Q(x，y，z)为所求平面内的任一点，则根据BQ→
⊥m，得BQ→
·m＝0，
所以(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，化简得 x＋2y－z－2＝0.故所求平面的方程
为 x＋2y－z－2＝0.
答案：x＋2y－z－2＝0
16．解析：(1)根据题意，f(x)＝cos x，其导数 f′(x)＝－sin x，若 f(x)＝f′(x)，即 cos x＝－sin
x，则有 tan x＝－1.又由 x∈(0，π)得 x＝
3π
4 ，即 f(x)在(0，π)上的“新驻点”为
3π
4 .
(2)函数 g(x)＝x，其导数 g′(x)＝1，由 g(x)＝g′(x)，得 x＝1，则函数 g(x)＝x 的“新驻点”α
＝1，h(x)＝ln(x＋1)，则 h′(x)＝
1
x＋1，h(x)＝h′(x)，即 ln(x＋1)＝
1
x＋1，h(x)＝ln(x＋1)的“新驻点”为 β，则有 ln(β＋1)＝
1
β＋1，令 β＋1＝t，所以 t∈(0，＋∞)，令 g(t)＝ln t－
1
t，则 g′(t)＝
1
t
＋
1
t2＞0，所以 g(t)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝－1，g(2)＝ln 2－
1
2＝ln
4
e＞0，所以当 g(t)＝
0 时，t∈(1，2)，所以 0＜β＜1，则有 α＞β.
答案：(1)
3π
4 (2)α＞β
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