湖南省永州市2020届高三数学（文）上学期第二次模拟试卷（Word版附答案）

永州市 2020 年高考第二次模拟考试试卷 数学(文科) 注意事项： 1.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。 2.考试结束后，只交答题卡。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.设复数 z 满足 ，则|z|＝ A.2 B. C.3 D.2 2.已知集合 A＝{x|(x－1)(x＋2)0，a2a4＝4，S3＝14，则其公比 q 等于 A. B. C.2 D.3 4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三 维饼图(1)所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图(2)所示。 对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论不正确的是 A.他们健身后，体重在区间[90kg，100kg)内的人数不变 B.他们健身后，体重在区间[100kg，110kg)内的人数减少了 4 人 C.他们健身后，这 20 位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg) D.他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了 10kg 5.椭圆 的左右顶点分别是 A，B，左右焦点分别是 F1，F2。若|AF1|，| F1F2|，|F1B|成等差数列，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D.2 (2 ) 3 4z i i+ = − 5 2 1 6 1 2 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 4 1 2 2 36.若等边△ABC 的边长为 l，点 M 满足 ，则 ＝ A. B.2 C.2 D.0 7.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，直线 AC1 与平面 B1BCC1 所成角的正切值为 A.1 B. C. D. 8.某程序框图如图所示，若输出的 S＝41，则判断框内应填入 A.k>5? B.k>6? C.k>7? D.k>8? 9.已知下列命题： ①“若 x2＋x－2≠0，则 x≠1”为真命题： ②命题 p： x∈R，x2＋1>0，则 p： x0∈R，x02＋1≤0； ③若 (k∈Z)，则函数 y＝cos(2x＋φ)为奇函数； ④若 >0，则 与 的夹角为锐角。 其中，正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|  DC ⊥ ABC AM ⊂ ABC ∴ AM DC⊥  ABC∆ ACAB ⊥ 4AB = 3AC = ∴ 5BC = 2 2 2 3cos 2 5 AC CM AMACM AC CM + −∠ = =⋅ 2 2 129 35 6 5 CM CM  + −   = ∴ 9 5CM = ∴ 2 2 2AM CM AC+ = AM CM∴ ⊥ AM BC⊥  BC DC C= BC ⊂ BCD CD ⊂ BCD ∴ AM ⊥ BCD AB N BM P FN PN， ， ……………………………………………7 分 点 为线段 中点， . ………………………………………………………………………8 分 平面 ， 平面 ， ， ，…………………………………………………………9 分 . 平面 ， 平面 平面 点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离 …………………10 分 平面 ， 平面 . 设 ，则 ，即 长为 . …………………………………………………………12 分 20.（本小题满分 12 分） 解：（1）显然直线 的斜率存在，设直线 ： ，设 ， 联立 得 ，……………………………………………2 分 ， ， ………………………………3 分 ，……………………………4 分 …………………………………………………………………5 分 （2） ， 切线 ： 即 同理可得切线 ： ……………………………………………6 分 令 ，则 ， ∴ AMPN // 1 6 2 5PN AM= =  F BE ∴ / /FN EA  DC ⊥ ABC EA ⊥ ABC ∴ / /DC EA DC BC⊥ ∴ / /FN DC  FN ⊄ BCD DC ⊂ BCD ∴ / /FN BCD ∴ F BCD N BCD  AM ⊥ BCD ∴ PN ⊥ BCD CD a= 1 1 65 13 2 5F BCDV a− = × × × =三棱锥 ∴ 1a = CD 1 l l 2y kx= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 2 2 y kx x y = +  = 2 2 4 0x kx− − = ∴ 24 16 0k∆ = + > 1 2 2x x k+ = 1 2 4x x = − ∴ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) 04OA OB x x y y x x x x⋅ = + = + =  ∴ OA OB⊥  1k = ∴ 1 2 2x x+ = 1 2 4x x = −  y x′ = ∴ 1l 1 1 1( )y y x x x− = − 2 1 1 1 2y x x x= − 2l 2 2 2 1 2y x x x= − 0y = 1 1( ,0) 2 M x 2 1( ,0) 2 N x 联立 得，点 ……………………………………………8 分 设 的外接圆的方程为： 令 ，则 由韦达定理可得 ， ， ………………………10 分 ， 且 ，………………………………………………………………………11 分 则圆的方程为： 即 ， …12 分 21．（本小题满分 12 分） 解：（1）定义域： 由题意知 在 时恒成立，………1 分 即 在 时恒成立，………………………………………2 分 所以 时， ……………………………………………3 分 由于 ，所以 ……………………5 分 （2）设 = ，…………………6 分 ①当 时， ， 在 是单调递增， ， ， 所以存在唯一的 使 ,即方程 只有一个根. ……8 分 ②当 时，则 ，令 ，有 或 . 所以 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 y x x x y x x x  = −  = − (1, 2)P − MNP∆ 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 0y = 2 0x Dx F+ + = ∴ 1 2 1 1+2 2x x D= − 1 2 1 4 x x F= ∴ 1D = − 1F = − 5 2 0D E F+ − + = ∴ 3 2E = 2 2 3 1 02x y x y+ − + − = 2 21 3 29 2 4 16x y   − + + =       (0, )+∞ 21 1( ) 1+ = 0ax xf x ax x x − +′ = − ≥ (0, )x∈ +∞ 2 1 0ax x− + ≥ (0, )x∈ +∞ (0, )x∈ +∞ 2 max 1xa x − ≥    2 2 2 1 1 1 1 1 1 1( )2 4 4 xy x x x x −= = − = − − + ≤ 1 4a ≥ ( ) ( ) 2 ag x f x ax= − + 2 +ln2 2 a ax ax x x− − + 21 ( 1) 1 ( 1)( 1)( ) 1 ax a x ax xg x ax a x x x − + + − −′ = − − + = = 1a = ( ) 0g x′ ≥ ( )g x ( )0,+∞ ( )1 1 0g = − ( )0 1,4x ∈ ( )0 0g x = ( ) 2 af x ax= − (1, )a e∈ 10 1a < < ( ) 0g x′ = 1x a = 1x = ( )g x 1(0, )a 1( 1)a ， (1 + )∞，的极大值为 .……………9 分 设 ，其中 则 所以 在 上是增函数， 所以 ，即 ， 所以 在 上无零点.………………………………………………………10 分 又 ， ， 所以 ， 又 在 单调递增，所以存在唯一的 使 . 即方程 只有一个根.…………………………………………………11 分 综上所述，当 时，方程 有且只有一个根. ……………12 分 22.（本小题满分 10 分） 解：（1）直线 的直角坐标方程为 ， ……………………………………2 分 将 , 代入方程得 ，即 . ……………………………5 分 （2）依题意可设直线 的极坐标方程为 ， 设 ， …………………………………………………………6 分 则 ， ……………………8 分 由 ,有 ,……………………………………………9 分 当 时， 的最大值为 . ……………………………10 分 23.（本小题满分 10 分） 解：（1）当 时，原不等式即 ，解得 ； …………………………2 分 ( )g x 1 1 1 1( ) 1 ln ln 12 2 2 2 a ag a aa a a a = − − − + = − − − 1( ) ln 12 2 ah a aa = − − − (1, )a e∈ 2 2 2 1 1 1 ( 1)( ) + 02 2 2 ah a a a a −′ = − = > ( )h a (1, )a e∈ 1( ) ( ) 2 02 2 eh a h e e < = − − < 1( ) 0g a < ( )g x ( )0,1 (1)= 1 − = + > (1) (4) 0g g⋅ < ( )y g x= (1,+ )∞ ( )0 1,4x ∈ ( )0 0g x = ( ) 2 af x ax= − [1, )a e∈ ( ) 2 af x ax= − 1C 2 0x y+ − = cosx ρ θ= siny ρ θ= sin cos 2ρ θ ρ θ+ = sin( ) 24 πρ θ + = l = 0< < )2 πθ α α（ 1 2( , ), ( , )M Nρ α ρ α 2 1 2sin sin( ) 2 14= = sin(2 )2 4 22 ON OM πα αρ παρ + = − + 0 2 πα< < 324 4 4 π π πα− < − < sin(2 )=14 πα − ON OM 2+1 2 2x ≥ 2 2 5x x− ≤ + 2x ≥ 当 时，原不等式即 ，解得 ， ……………………4 分 不等式 的解集为 . ……………………………………5 分 （2） ………………7 分 （当且仅当 时等号成立） . ……………………………9 分 当且仅当 ，即 时等号成立.…………………………………………10 分 2x < 2 2 5x x− ≤ + 1 2x− ≤ < ∴ 52)( +≤ xxf [ )+∞− ,1  ( ) ( 1) ( 5) 1 3 1 3 2g x f x f x x x x x= + − − + = − − − + ≤ − − + = 3≥x ∴ 2=M ∴ 3 2 2 2 2 1 1 1 12 3 3Ma a a a a aa a a a + = + = + + ≥ ⋅ ⋅ = 2 1 aa = 1=a