九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》单元测试卷1（北师大版）

1 第一章《直角三角形的边角关系》单元测试卷 1 【本检测题满分:120 分，时间:120 分钟】 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.计算： A. B. C. D. 2.在△ABC 中，若三边 BC、CA、AB 满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则 cos B （ ） A． B． C． D． 3.（2015·浙江丽水中考）如图，点 A 为∠α边上的任意一点，作 AC⊥BC 于点 C，CD⊥AB 于点 D，下列用线段比表示 cosα的值，错误的是（ ） A. B. C. D. 　　　 　　 第 3 题图　　　　　　　　第 4 题图 第 5 题图 4.（2015•湖北荆门中考）如图，在△ABC 中，∠BAC=90 ゜,AB=AC,点 D 为边 AC 的中点，DE⊥ BC 于点 E，连接 BD,则 tan∠DBC 的值为（ ） A. B. -1 C.2- D. 5.(2015·山西中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A,B,C 都在格点上，则∠ ABC 的正切值是( ) A.2 B. C. D. 6.已知在 中， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7.如图，一个小球由地面沿着坡度 的坡面向上前进了 10 m，此时小球距离地面的高 度为( ) A.5 m B.2 m C.4 m D. m 2 32 + 2 3 2 31+ 12 5 5 12 13 5 13 12 Rt ABC△ 390 sin 5C A∠ = =°， tan B 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 3 10 第 7 题图 2 8.如图，在菱形 中， ， ， ，则 tan∠ 的值是（ ） A． B．2 C． D． 9.直角三角形两直角边和为 7，面积为 6，则斜边长为（　　） A. 5 B. C. 7 D. 10.（2015·哈尔滨中考）如图，某飞机在空中 A 处探测到它的正下方地平面上目标 C，此 时飞行高度 AC＝1 200 m,从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角α＝30°，则飞机 A 与指挥台 B 的距离为（ ） A.1 200 m B.1 200 m C. 1 200 m D.2 400 m 第 10 题图 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11.（2014·山东东营中考）如图，有两棵树，一棵高 12 米，另一棵高 6 米，两树相距 8 米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_________米． 12.（2015·陕西中考）如图，有一滑梯 AB，其水平宽度 AC 为 5.3 米，铅直高度 BC 为 2.8 米，则∠A 的度数约为________.（用科学计 算 器 计算，结果精确到 0.1°） 第 12 题图 13.如图，小兰想测量南塔的高度.她在 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 处，测得仰角为 60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计， 3cos 5A = 1 2 5 2 5 53 ） 14.等腰三角形的腰长为 2，腰上的高为 1，则它的底角等于________ ． 15.如图，已知 Rt△ 中，斜边 上的高 ， ，则 ________. 16.如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 _ ． 17. (2015·江西中考)如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所 示 的 几 何 图 形 ， 已 知 BC=BD ＝ 15 cm ， ∠ CBD=40 ° ， 则 点 B 到 CD 的 距 离 为 ___________cm(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，结果精确到 0.1 cm，可用科学计算器). ① ② 第 17 题图 18. 如图，在四边形 中， ， ， ， ，则 __________. 三、解答题（共 66 分） 19.（8 分）计算下列各题： (1) ；（2） . 20.（7 分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的 高度，设计的方案及测量数据如下： (1)在大树前的平地上选择一点 A，测得由点 看大树顶端 C 的仰角为 35°； (2)在点 A 和大树之间选择一点 B（A，B，D 在同一直线上），测得由点 B 看大树顶端 C 的仰角恰好为 45°； (3)量出 A，B 两点间的距离为 4.5 . 请你根据以上数据求出大树 CD 的高度.(精确到 0.1 m) 732.13 ≈ ( ) 4 2460sin45cos22 +−  2330tan3)2( 0 −+−− 4 21.（7 分）每年的 5 月 15 日是“世界助残日”.某商场门前的台阶共高出地面 1.2 米，为 帮助残疾人便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不 得超过 ，已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为 8 米(斜坡不能修在人行道上)， 问此商场能否把台阶换成斜坡? （参考数据： ) 22.（8 分）如图，为了测量某建筑物 CD 的高度，先在地面上用测角仪自 A 处测得建筑物顶 部的仰角是 30°，然后在水平地面上向建筑物前进了 100 m，此时自 B 处测得建筑物顶部 的仰角是 45°.已知测角仪的高度是 1.5 m，请你计算出该建筑物的高度．（取 ≈ 1.732，结果精确到 1 m） 23.（8 分）已知：如图，在山脚的 C 处测得山顶 A 的仰角为 45°，沿着坡度为 30°的斜坡 前进 400 米到 D 处（即∠ ， 米），测得 A 的仰角为 ，求山的高度 AB． 24.（8 分）一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角α的正弦 值为 0.6，现不改变土石方量，全部充分利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小， 达到如右下图所示的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？ 3 °605 25.（10 分）如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，过点 A 作 AE⊥ CD，AE 分别与 CD，CB 相交于点 H，E，AH＝2CH. （1）求 sin B 的值； （2）如果 CD＝ ，求 BE 的值. 26.（10 分）如图，在南北方向的海岸线 MN 上，有 A， B 两 艘 巡 逻 船，现均收到故障船 C 的求救信号．已知 A，B 两船相距 100（ +1）海里，船 C 在船 A 的北偏东 60°方向上，船 C 在船 B 的东南方向上，MN 上有一观测点 D，测得船 C 正好在 观测点 D 的南偏东 75°方向上． （1）分别求出 A 与 C，A 与 D 间的距离 AC 和 AD（如果运算结果有根号，请保留根号）. （2）已知距观测点 D 处 100 海里范围内有暗礁，若巡逻船 A 沿直线 AC 去营救船 C，在 去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 5 3 2 36 第一章 直角三角形的边角关系检测题参考答案 一、选择题 1.C 解析： 2.C 解析：设 ，则 ， ，则 ， 所以△ 是直角三角形，且∠ ． 所以在 Rt△ABC 中， ． 3.C 解析：在 Rt△BCD 中， ，故 A 项正确； 在 Rt△ABC 中， ，故 B 项正确； ， ， ， ，故 D 项正确；而 ，故 C 项错误. 4.A 解析：根据题意 DE⊥BC，∠C=45°，得 DE=CE,设 DE=CE=x，则 CD= x，AC=AB=2 x，BC=4x，所以 BE=BC-CE=3x.根据锐角三角函数，在 Rt△DBE 中，tan∠DBE= = = ，即 tan∠DBC= . 5.D 解析：如图所示，连接 AC，则 AC ， 2；AB 2 ， 8； BC ， 10. ∵ ，∴ △ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角， ∴ tan∠ABC . 6.A 解析：如图，设 则 由勾股定理知， 所以 tan B . 13 5 13 5 == x x AB BC cos BD BC α = cos BC AB α =  90BACα∠ + ∠ = ° 90DAC DCA∠ + ∠ = ° ∴ DCAα∠ = ∠ ∴ cos cos CDDCA AC α = ∠ = sin sinAD DCAAC α= ∠ = 2 2 BE DE 3 x x 3 1 A B C 第 6 题答图 7 7.B 解析：设小球距离地面的高度为 则小球水平移动的距离为 所以 解得 8.B 解 析 ： 设 又 因 为 在 菱 形 中 ， 所 以 所 以 所 以 由 勾 股 定 理 知 所以 2 9.A 解析：设直角三角形的两直角边长分别为 则 所以斜边 长 10. D 解析：根据题意，得∠B= =30°，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∴ AB=2AC. ∵ AC=1 200 m，∴ AB=2 400 m.故选 D. 二、填空题 11.10 解析：如图，过点 A 作 AC⊥BC, 则 AC= 8 米,BC=12-6=6 （米）. 在 Rt △ ACB 中, 根据勾股定理，得 AB= = = =10（米）. 12. 27.8 ° 解 析 ： 根 据 正 切 的 定 义 可 知 , 然后使用计算器求出 的度数约为 27.8°. 13.43.3 解 析 ： 因 为 ， 所 以 所 以 所以 ). 14.15°或 75° 解析：如图， . 在图①中， ，所以∠ ∠ ； 在图②中， ，所以∠ ∠ . 2 2BC AC+ 2 26 8+ 100 2.8tan 0.528 35.3 BCA AC = = ≈ A∠8 15. 解析：在 Rt△ 中，∵ ，∴ sin B= ， ． 在 Rt△ 中，∵ ，sin B= ，∴ ． 在 Rt△ 中，∵ ， ∴ ． 16. 解析：设每个小方格的边长为 1，利用网格,从 点向 所在直线作垂线,利用 勾股定理得 ,所以 sin A = . 17. 14.1 解析：如图，过点 B 作 BE⊥CD 于点 E，∵ BC=BD，根据等腰三角形的“三线合 一”性质，得∠CBE= ∠CBD=20°. 在 Rt△BCE 中，cos∠CBE= ，∴ BE=BC·cos∠CBE≈15×0.940=14.1（cm）. 第 17 题答图 18. 解析：如图，延长 、 交于 点， ∵ ∠ ，∴ ． ∵ ，∴ ， 5 5 5 5 1 2 BE BC 第 14 题答图 B C D ② A A B C D ① 9 ∴ ．∵ ， ∴ ． 三、解答题 19.解：（1） （2） 20.解：∵ ∠ 90°, ∠ 45°，∴ ∵ ，∴ 则 m， ∵ ∠ 35°， ∴ tan∠ tan 35° . 整理，得 ≈10.5. 故大树 的高约为 10.5 21.解：因为 所以斜坡的坡角小于 ， 故此商场能把台阶换成斜坡. 22.解：设 ，则由题意可知 ， m． 在 Rt△AEC 中，tan∠CAE＝ ，即 tan 30°＝ ， ∴ ，即 3x (x＋100)，解得 x 50＋50 . 经检验， 50＋50 是原方程的解． ∴ ( ) 4 62 2 3 2 2224 2460sin45cos22 +      −×=+−  .22 6 2 622 6 2 322 =+−=+      −= 2330tan3)2( 0 −+−−  3231 −+−= .323−= 5.4+x x   35tan1 35tan5.4 − ×=x AE CE 100+x x 3 3 100 =+x x 3 3 310 故该建筑物的高度约为 23.解:如图，过点 D 分别作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ， 在 Rt△ 中， ∠ ， 米， 所以 （米）， （米）. 在 Rt△ADE 中，∠ADE=60°，设 米， 则 （米）. 在矩形 DEBF 中，BE=DF=200 米， 在 Rt△ACB 中， ∠ ，∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ 米． 24.解：由原题左图可知：BE⊥DC， m， . 在 Rt△BEC 中， （m）. 由勾股定理得， m. 在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则 梯形 的面积＝梯形 的面积． ， 解得 ＝80（m）. ∴ 改造后坡面的坡度 . 25.分析：(1)根据已知条件得出∠B＝∠DCB＝∠CAE，可以在 Rt△ACH 中求出 sin B 的值. （2）通过解 Rt△ABC 求出 AC 与 BC 的长，解 Rt△ACH 求出 CE 的长，利用 BE=BC-CE 得到 xx +=+ 32002003 )(506.0 30 sinsin mBEBCBC BE ===∴= αα ， 1202 1202040302 13020 EC⋅×+×=××+×∴ 4:180:20: 11 === ECEBi11 答案. 解：（1）∵ CD 是斜边 AB 上的中线， ∴ CD=BD,∴ ∠B＝∠DCB. ∵ ∠ACB＝90°，AE⊥CD， ∴ ∠DCB=∠CAE,∴ ∠B=∠DCB=∠CAE. ∵ AH＝2CH， ∴ sin B=sin∠CAE= = ＝ . （2）∵ CD= ，∴ AB=2 . ∴ BC=2 ·cos B=4，AC=2 ·sin B=2, ∴ CE=AC·tan∠CAE=1, ∴ BE=BC-CE=3. 点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边上的中线把直角三 角形分成两个等腰三角形. 26.分析：（1）过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，构造直角三角形.设 AE=a 海里，通过解直角三角 形，用含 a 的代数式表示出 CE，AC.在 Rt△BCE 中，根据 BE=CE，列出方程，求出 a，进 而求出 AC. (2)判断巡逻船 A 在沿直线 AC 去营救船 C 的途中有无触礁危险，只要求出观测点 D 到 AC 的距离，然后与 100 海里比较即可.因此，过点 D 作 DF⊥AC，构造出 Rt△ADF，求出 DF， 将 DF 与 100 海里进行比较. 解：（1）如图，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E， 设 AE=a 海里，则 BE=AB-AE=100( +1)-a（海里）. 在 Rt△ACE 中，∠AEC=90°,∠EAC=60°， ∴ AC= = =2a（海里）， CE=AE·tan 60°= a（海里）. 在 Rt△BCE 中，BE=CE， ∴ 100( +1)-a= a，∴ a=100（海里）. ∴ AC=2a=200（海里）. 在△ACD 和△ABC 中，∠ACB=180°-45°-60°=75°=∠ADC,∠CAD=∠BAC， CH AC 2 2 CH AH CH+ 5 5 5 5 5 5 3 cos 60 AE ° 1 2 a 3 3 312 ∴ △ACD∽△ABC，∴ = ,即 = . ∴ AD=200( -1)(海里). 答：A 与 C 间的距离为 200 海里，A 与 D 间的距离为 200( -1)海里. （2）如图，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F. 在 Rt△ADF 中，∠DAF=60°， ∴ DF=AD·sin 60°=200( -1)× =100(3- )≈127>100. ∴ 船 A 沿直线 AC 航行，前往船 C 处途中无触礁危险. 点拨：（1）解斜三角形的问题时，一般通过作高构造直角三角形求解；（2）已知两个 直角三角形边长的和或边长的差，常通过列方程的方法解直角三角形. AD AC AC AB 200 AD 200 100( 3 1)+ 3 3 3 3 2 3