2020届高三数学（理）一模试题（宁夏）

理科数学 第 1 页(共 4 页) 绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题卷 (第一次模拟考试) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．集合 { 1,0,1}A   ， A 的子集中，含有元素0 的子集共有 A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个 2．复数  23 1i i = A．-2i B．-2 C．2i D．2 3．已知等比数列 na 的公比为正数，且 2 3 9 52a a a  ， 2a ＝1 ，则 1a＝ A． 2 2 B． 2 C． 1 2 D． 2 4．已知mR ，“函数 2 1xy m   有零点”是“函数 logmy x 在 0, 上为减函数”的 A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 5．若函数 axxxf  cos)( 为增函数,则实数 a 的取值范围为 A．[-1,+∞) B.[1,+∞) C．(-1,+∞) D．(1,+∞) 6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 A． 2 3 B． 2 5 C． 4 3 3 D． 5 3 3 7．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰， 日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将 该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度 （单位：尺），则①②③处可分别填入的是 1 侧视图 1 正视图 1 3 1 a 俯视图 理科数学 第 2 页(共 4 页) 8．若 2 3 1 n x x     展开式的各项系数之和为 32，则其展开式中的常数项为 A．1 B．5 C．10 D．20 9．在平面区域                    2 0, yx x xy yxM 内随机取一点 P，则点 P 在圆 2 2 2x y  内部的概率为 A． 8  B． 4  C． 2  D． 4 3 10．已知直线l ，m,平面  、、 ，给出下列命题： ① mlmll //,,//,// 则  ； ②   mm 则,,//,// ； ③   则,, ； ④   则,,, mlml . 其中正确的命题有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11．设 1F , 2F 分别为双曲线 2 2 2 2 1x y a b  ( 0, 0)a b  的左、右焦点，若在双曲线右支上存 在一点 P ,满足 2 1 2PF F F ,且 2F 到直线 1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲 线的离心率为 A． 3 4 B． 3 5 C． 4 5 D． 4 41 12．已知以 4T  为周期的函数 21 , ( 1,1]( ) 1 2 , (1,3] m x xf x x x         ，其中 0m  ，若方程 3 ( )f x x 恰有 5 个实数解，则 m 的取值范围为 A． 15( , 7)3 B． 4( , 7)3 C． 4 8( , )3 3 D． 15 8( , )3 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知 2tan  ，则 cos 2 的值为 . 14．若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上，且CD→ ＝4DB→ ＝rAB→ ＋sAC→ ，则 3r＋s 的值为 . 理科数学 第 3 页(共 4 页) 15．已知 ,A B 两点均在焦点为 F 的抛物线 2 2 ( 0)y px p  上，若| | | | 4AF BF    ， 线段 AB 的中点到直线 2 px  的距离为 1，则 p 的值为 . 16．观察下列算式： 13 =1, 23 =3+5, 33 =7+9+11, 43 =13 +15 +17 +19 ， … … 若某数 n3 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则 n= ． 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分) 17.（12 分） 在 ABC△ 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，且  sin 2 sin 0b A a A C   ． （1）求角 A ； （2）若 3a  ， ABC△ 的面积为 3 3 2 ，求 1 1 b c 的值． 18．（12 分） 如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损, 其中，频率分布直方图的分组区间分别为         50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 ， 据此解答如下问题： （1）求全班人数及分数在 80,100 之间的频率； （2）现从分数在 80,100 之间的试卷中任取 3 份分析学生情况，设抽取的试卷分数在  90,100 的份数为 X ，求 X 的分布列和数学望期． 理科数学 第 4 页(共 4 页) 19．（12 分） 如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=2，E 是 CD 的中点，O 为 AE 的中点，以 AE 为折痕将△ADE 向上折起，使 D 点折到 P 点，且 PC=PB． （1）求证：PO⊥面 ABCE； （2）求 AC 与面 PAB 所成角 的正弦值． 20．（12 分） 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    过点 0,1 ,且离心率为 3 6 .直线l 与 x 轴正半轴和 y 轴 分 别 交 于 点 Q 、 P ， 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M 、 N , 各 点 均 不 重 合 且 满 足 1 2,PM MQ PN NQ       . （1）求椭圆的标准方程； （2）若 1 2 3    ，试证明：直线l 过定点并求此定点. 21．（12 分） 已知函数   21ln 12f x x ax bx    的图象在 1x  处的切线l 过点 1 1,2 2      ． （1）若函数        1 0g x f x a x a    ，求  g x 的最大值（用 a 表示）； （2）若 4a   ，    1 2 1 2 1 23 2f x f x x x x x     ，证明： 1 2 1 2x x ≥ ． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的 第一题记分. 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 1 1 cos: (sin xC y       为参数），曲线 2 2 2 : 12 xC y  ． （1）在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 1 2,C C 的极坐标方程； （2）若射线 ( 0)6    与 1C 的异于极点的交点为 A ，与 2C 的交点为 B ，求 AB ． 23．[选修 4-5：不等式选讲] 已知关于 x 的不等式 2 3 1x x m     有解，记实数 m 的最大值为 M . （1）求 M 的值； （2）正数 , ,a b c 满足 2a b c M   ，求证 1 1 1a b b c   .