2020届高三下学期数学二模试题（南京师大附属扬子中学）

南师大附属扬子中学 2020 届高三第二学期迎二模自测 数 学 Ⅰ 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位 置上） 1．已知集合 ， ，则 ________. 2．已知 i 是虚数单位，复数 的虚部为 3，则实数 b 的值为________. 3．为了了解某市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以 下频率分布直方图（如图），已知在 之间通过的车辆数是 440 辆，则在 之间通过的车辆数是 ________. 4.如图是一个算法流程图，若输入 x 的值为 ，则输出 y 的值是____. 5.“2020 武汉加油、中国加油”，为了抗击新冠肺炎疫情，全国医护人员从四面八方驰援湖北．我市医护人 员积极响应号召，现拟从 A 医院呼吸科中的 5 名年轻医生中选派 2 人支援湖北省，已知男医生 2 名，女医 生 3 人，则选出的 2 名医生中至少有 1 名男医生的概率是 ． 6.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1≠0，a2＝3a1，则S10 S5 ＝________. { }1A x x= ≥ { }1,0,1,4B = − A B = ( )( )1 2z bi i= + + [ )5,7 [8,9) 1 167. 双曲线 （a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线 的两个交点(原点除外)连线恰好 经过抛物线的焦点，则双曲线的离心率为 ． 8. 已知函数 ，则不等式 的解集为______. 9.如图，四棱锥 P-ABCD，PA⊥底 ABCD,底面 ABCD 是矩形，AB=2， AD=3，点 E 为棱 CD 上一点，若三 棱锥 E-PAB 的体积为 4，则 PA 的长为______. 10.将函数 f(x)＝sin2x 的图象向右平移π 6个单位得到函数 g(x)的图象，则以函数 f(x)与 g(x)的图象的相邻三个 交点为顶点的三角形的面积为________. 11.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(2,4)，圆 O：x2＋y2＝4，过点 P 的直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A，B.设 AB 的中点为 M，点 N(－4 3 ，0)，若 MN＝ 5 3 OM，则直线 AB 被圆截得的弦长为______． 12.在锐角 中， ，点 在边 上，且 与 面积分别为 2 和 4，过 作 于 ， 于 ，则 的值是______. 13.已知正数 满足 ，则 的最大值为______ 14．设函数 .若 在 上的最大值为 2，则实数 a 所有可能的取值组成的集 合是________. 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案 写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分 14 分） 在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ．已知 ， ， ． （1）求 的值； （2）求 的值． 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 ( 0)y px p= > ( ) 2( )x xf x x e e−= − − 2( 2 ) 0f x x− > ABC∆ tan 2A = D BC ABD∆ ACD∆ D DE AB⊥ E DF AC⊥ F DE DF⋅  x y， 2 24 6 4x y xy xy x y+ + = + 2 2 4 x y x y+ 3( ) | | 3f x x x a= − + + ( )f x [ 1,1]− ABC∆ A B C a b c sin 2 sinb A c B= 4a = 1cos 4B = b cos 2 3B π −  16．（本小题满分 14 分） 如图在三棱锥 中， 分别为棱 的中点，已 . 求证：（1）直线 平面 ； （2）平面 平面 . 17．（本小题满分 14 分） 如图，某广场为一半径为 80 米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域 内建两个圆形花坛，该扇形 的圆心角为变量 ，其中半径较大的花坛 内切于扇形，半径较小的花坛 与 外切， 且与 、 相切． -P ABC , ,D E F , ,PC AC AB , 6, 8, 5PA AC PA BC DF⊥ = = = / /PA DEF BDE ⊥ ABC P Q P（1）求半径较大的花坛 的半径（用 表示）； （2）求半径较小的花坛的半径 的最大值． 18．（本小题满分 16 分） 椭圆 （a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，与 y 轴正半轴交于点 B，若△BF1F2 为等腰直 角三角形，且直线 BF1 被圆 x2+y2＝b2 所截得的弦长为 2， （1）求椭圆的方程； （2）直线 l：y＝kx+m 与椭圆交于点 A，C，线段 AC 的中点为 M，射线 MO 与椭圆交于点 P，点 O 为△PAC 的重心，求△PAC 的面积 P Q 2 2 2 2 1x y a b + =19．（本小题满分 16 分） 已知函数 ，其中 ． （Ⅰ）当 时，求函数 在点 处的切线方程； （Ⅱ）设函数 的导函数是 ，若不等式 对于任意的实数 恒成立，求 实数 的取值范围； （Ⅲ）设函数 ， 是函数 的导函数，若函数 存在两个极值点 ， ，且 ，求实数 的取值范围． 20．（本小题满分 16 分） 已知两个无穷数列 和 的前 项和分别为 ， ， ， ，对任意的 ，都有 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 为等差数列，对任意的 ，都有 ．证明： ； （3）若 为等比数列， ， ，求满足 的 值． ( ) 21 14 ln2 2f x x ax a x a= − + + + a∈R 1a = ( )f x ( )( )1, 1f ( )f x ( )f x′ ( ) ( )f x xf x< ′ ( )1,x∈ +∞ a ( ) ( ) 2g x f x a= + ( )g x′ ( )g x ( )g x 1x 2x ( ) ( ) ( )1 2 1 2g x g x g x x+ ≥ ′ a { }na { }nb n nS nT 1 1a = 2 4S = *n N∈ 1 23 2n n n nS S S a+ += + + { }na { }nb *n N∈ n nS T> n na b> { }nb 1 1b a= 2 2b a= ( )*2 2 n n k n n a T a k Nb S + = ∈+ n