2020届高三下学期数学（文）3月模拟试题（开封市）

1（文科） 开封市 2020 届高三模拟考试 数学（文科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合  2, 1,0,1,2A    ，  2| 1 0B x x   ，则 A B  A. 2,2 B. 1,1 C. 0,1 D. 1,0,1 2.若 1 2iz   ，则 4i 1z z  A.1 B. 1 C.i D. i 3.已知命题 2: , 2np n n  N ，则 p 为 A. 2, 2nn n  N B. 2, 2nn n  N C. 2, 2nn n  N D. 2, =2nn n  N 4.函数   2 x xe ef x x  的图象大致为 5.设等比数列 na 满足 a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则 a1= A.1 B. 2 C. 1 5  D. 1 6.已知单位向量a ，b 满足 =1a + b ，则a 与b 的夹角为 A. 6  B. 5 6  C. 3  D. 2 3  7.在平面直角坐标系 xOy中，角 与角  均以Ox为始边，它们的终边关于 y轴对称.若 1 3sin  ， 则  cos    A. 1 B. 7 9  C. 4 2 9 D. 7 9 8.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是（1,0,1）,（1,1,0）,（0,1,1）,（0,0,0）, 画该四面体三视图中的正视图时，以 zox 平面为投影面，得到的正视图可以为 9.关于渐近线方程为 x±y=0 的双曲线有下述四个结论： ①实轴长与虚轴长相等，②离心率是 2 ，③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段 长与实轴长相等，④顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为 2 .其中所有正确结论的编号 是 A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④2（文科） 10.已知 1 2,F F 是椭圆   2 2 2 2+ 1 0x yE a ba b   ： 的左，右焦点，点 M 在 E 上， 2MF 与 x 轴垂直， 1 2 1sin 3MF F  ，则 E 的离心率为 A. 1 3 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 11.已知线段 =4AB ， E ， F 是 AB 垂直平分线上的两个动点，且| | 2EF  ，则 AE BF  的最小值 为 A. 5 B. 3 C.0 D.3 12.已知正项数列{an}满足 1 = 2a ， 2 2 * 1 2n n na a n   ， N ， nT 为 na 的前 n 项的积，则使得 182nT  的 n 的最小值为 A.8 B.9 C.10 D.11 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.曲线  +1 xy x e 在点 0,1 处的切线方程为 . 14.为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资，某工厂转产甲、乙、丙、丁四 种不同型号的防疫物资，产量分别为 200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层 抽样的方法从以上所有的产品中抽 取 60 件进行检验，则应从甲种型号的产品中抽取________ 件． 15.已知直线 : 2 4 0l x y   与圆 2 2+ 4x y  交于 ,A B 两点，过 ,A B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 ,C D 两点，则 =CD . 16.已知函数  f x 是定义域为 R 的奇函数，满足    + 2 0f x f x  ，且当  0,1x  时，   2f x x . 则  1f  ，     lgg x f x x  ，则函数  g x 的零点共有 个.（本题第一空 2 分，第二空 3 分.） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 1cos 2B   ， ．△ABC 的面积 是否存在最大值？若存在，求对应三角形的三边；若不存在，说明理由. 从① 2a c  ，② 3b a 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 18.（12 分） 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，N 是线段 AC 上的动点. （1）探究 M，N，B，E 四点共面时，N 点位置，并证明； （2）当 M，N，B，E 四点共面时，求 C 到平面 MNBE 的距离. 19.（12 分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，3（文科） 测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： （1）记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较． 附 ： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ． 20.（12 分） 已知抛物线 2x y ，点 1 1,2 4A    ， 3 9,2 4B     ，抛物线上的点 1 3( , )( )2 2P x y x   ． （1）求直线 AP 斜率的取值范围； （2）延长 AP 与以 AB 为直径的圆交于点 Q，求 AP PQ 的最大值． 21.（12 分） 已知函数   1.xf x e x   . （1）证明   0f x  ； （2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n， 2 1 1 11 1 12 2 2n m                ，求 m 的最小值. （二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分。 22.[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为  4cos , 4 4sin x y       为参数 ，P 是 1C 上的动点，M 是 OP 的中点，M 点的轨迹为曲线 2C .以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求 1C ， 2C 的极坐标方程； （2）射线 = 3  与 1C 的异于极点的交点为 A，与 2C 的异于极点的交点为 B，求 AB . 23.[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数   1 2f x x  ， M 为不等式    + +1 2f x f x  的解集. （1）求 M ； （2）证明：当 ,a b M 时， + 1a b ab  . P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828