2020届高三下学期数学（理）3月综合模拟试题（抚州市一中）

�����2019~2020�学年下学期高三综合模拟考试 第 1 页，共 4 页 理 科 数 学 试 卷 考试时长： 120 分钟 试卷总分： 150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知全集 ꅘ ᛏ 1 0，1，2，3， 4 ，集合 ꅘ ᛏ⺁ ⺁ 4 ， ꅘ ᛏ⺁ 1 ⺁ 2 ，则 ꅘ A. ᛏ 1 0，1， 4 B. ᛏ 10 C. ᛏ 1 D. ᛏ01 2. 已知 i 为虚数单位， 2 1 ꅘ 1 ，则关于复数 z 的说法正确的是 A. ꅘ 1 B. z 对应复平面内的点在第三象限 C. z 的虚部为 D. ꅘ 2 3. 下列命题正确的是 A. “ ⺁ 1 ”是“ ⺁ 2 3⺁ 2 䀀 0 ”的必要不充分条件 B. 对于命题 p： ⺁ ，使得 ⺁ 2 ⺁ 1 0 ，则￢ ： ⺁ 均有 ⺁ 2 ⺁ 1 0C. 若 为假命题，则 p，q 均为假命题 D. 命题“若 ⺁ 2 3⺁ 2 ꅘ 0 ，则 ⺁ ꅘ 2 ”的否命题为“若 ⺁ 2 3⺁ 2 ꅘ 0 ，则 ⺁ 2 ” 4. 已知 ꅘ ሺ32 2  ꅘ ሺ 1 23 2 ܿ ꅘ ሺ2 1 3 2 ，则 a，b，c 的大小关系是 A. ܿ  B.  ܿ C. ܿ  D.  ܿ 5. 函数 ⺁ ꅘ ሺ2⺁ 2 1 ⺁ 的图象大致是 A. B. C. D. 6. 设 x，y 满足约束条件 2⺁ 6 ⺁ 3 2 ，则 ꅘ ⺁ 的最大值是 A. 1 B. 0 C. 1 2 D. 2 7. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金 钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒第 2 页，共 4 页 钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上， 就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为 1 2 ，则一卦中恰有两个变爻的概率为 A. 1 4 B. 15 64 C. 240 72ᛏ D. 1215 40ᛏ6 8. 正项等比数列 ᛏ 中， 3 ， 4 的等比中项为 1 1 ⺁ ⺁ ，令 ꅘ 1 2 3 ，则 6 ꅘ A. 6 B. 16 C. 32 D. 64 ᛏ. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．广泛 用于建筑，同时也广泛用于家具．我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了 榫卯结构．榫卯结构中凸出部分叫榫 或叫榫头 ，已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头” 的体积是 A. 36 B. 45 C. 54 D. 63 10. 已知双曲线 ⺁ 2 2 2  2 ꅘ 1 䀀 0 䀀 0 的离心率为 2， 1 ， 2 分别是双曲线的左、右焦点，点 0 ， 0 ，点 P 为线段 MN 上的动点，当 1 2 取得最小值和最大值时， 12 的面积分别为 1 ， 2 ， 则 1 2 ꅘ A. 4 B. 8 C. 2 3 D. 4 3 11. 设函数 ⺁ 在定义域 0 上是单调函数，且 ⺁ 0 ， 晦⺁ ⺁ ⺁䁪 ꅘ . 若不等式 ⺁ ⺁ ⺁ 对 ⺁ 0 恒成立，则 a 的取值范围是 A. 2䁪 B. 1䁪 C. 2 3䁪 D. 2 1䁪 12. 已知函数 ⺁ ꅘ ܿ⺁⺁ 0 的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为 ， 则 1 2 2 ꅘ A. 2 B. 1 C. 0 D. 2 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. ⺁ 1 ⺁ 2 4 的展开式中 ⺁ 2 的系数为____________． 14. 设 x， ，向量 ꅘ ⺁1 ，  ꅘ 2 ， ܿ ꅘ 22 ，且 ܿ ， ܿ ，则  ꅘ ____________． 15. 在三棱锥 鳸ᛏ 中，已知 鳸 ꅘ 鳸ᛏ ꅘ ᛏ ꅘ 2 ꅘ 2ᛏ ꅘ 6 ，且平面 ᛏ 平面 BCD，则三棱 锥 鳸ᛏ 外接球的表面积为____________． 16. 已知双曲线 鳸 ： ⺁ 2 2 2  2 ꅘ 1 䀀 0 䀀 0 的左右焦点分别为 1 ， 2 ，O 为坐标原点，点 M 为双曲线右 支上一点，若 12 ꅘ 2 ， tan21 2 ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为____________． 三、解答题（本大题共 7 小题，前 5 题每小题 12 分，后 2 题为选考题 10 分，共 70.0 分） 17. 鳸 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 6ܿ 2 2 ꅘ  ． 1 求 cosA； 2 若 ꅘ 21 ，  ܿ ꅘ 5 ，求 鳸 的面积．第 3 页，共 4 页 18. 某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A、B 两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为 样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将 A 队第六位选手的成绩没 有给出，并且告知大家 B 队的平均分比 A 队的平均分多 4 分，同时规定如果某位选手的成绩不少于 21 分，则获得“晋级”． 1 根据茎叶图中的数据，求出 A 队第六位选手的成绩； 2 主持人从 A 队所有选手成绩中随机抽 2 个，求至少有一个为“晋级”的概率； 3 主持人从 A、B 两队所有选手成绩分别随机抽取 2 个，记抽取到“晋级”选手的总人数为 ，求 的 分布列及数学期望． 1ᛏ. 如图，在四面体 ABCD 中， ᛏ ，平面 ᛏ 平面 ABC， ꅘ 鳸 ꅘ 2 2 鳸 ，且 ᛏ 鳸 ꅘ 4 ． 1 证明： 鳸 平面 ABD； 2 设 E 为棱 AC 的中点，当四面体 ABCD 的体积取得最大值时，求二面角 鳸 ᛏ 的余弦值． 20. 已知顶点为原点的抛物线 C 的焦点与椭圆 2 2 ⺁ 2 ꅘ 1 a>1 的上焦点重合，且过点 2 21 ． Ⅰ 求椭圆的标准方程； Ⅱ 若抛物线上不同两点 A，B 作抛物线的切线，两切线的斜率 1 ꅘ 1 2 ，若记 AB 的中点的横坐标为 m，AB 的弦长 长 ，并求 长 的取值范围．第 4 页，共 4 页 21. 已知函数 ⺁ ꅘ ሺ⺁ ⺁ ． 1 当 ꅘ 1 时，求 ⺁ 的极值； 2 设 ⺁ ꅘ ⺁ ⺁ ，对任意 ⺁1 ， ⺁2 0 都有 ⺁1 ⺁1 ⺁1 ⺁1 䀀 ⺁2 成立，求实数 a 的取值 范围． 选考题：请考生从给出的第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⺁ ꅘ 4Ͷ 2 ꅘ 3Ͷ 1 Ͷ 为参数 ，圆 C 的参数方程为 ⺁ ꅘ 1 cos ꅘ 2 2 sin 为参数 ． 1 求 l 和 C 的普通方程； 2 将 l 向左平移 长长 䀀 0 后，得到直线 ሺ ，若圆 C 上只有一个点到 ሺ 的距离为 1，求 m． 23. 已知函数 ⺁ ꅘ ⺁ 2 ⺁ 1 ，函数 ⺁ ꅘ ⺁ 3 ⺁ 长 1 ． 1 当 ⺁ 䀀 0 时，求实数 x 的取值范围： 2 当 ꅘ ⺁ 与 ꅘ ⺁ 的图象有公共点，求实数 m 的取值范围．