2019-2020 学年高三第二学期一调数学试卷（理科）
一、选择题
1．已知全集 U＝R，集合 A＝{y|y＝x2+2，x∈R}，集合 B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则阴影部分
所示集合为（ ）
A．[1，2] B．（1，2） C．（1，2] D．[1，2）
2．已知复数 （a∈R，i 为虚数单位），若复数 z 的共轭复数的虚部为 ，则复数
z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若 a＝π﹣2，b＝aa， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c
4．函数 （其中 e 为自然对数的底数）图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支
香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，
从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，
不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩 2 支
香烟”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知△ABC 外接圆的圆心为 O，若 AB＝3，AC＝5，则 的值是（ ）A．2 B．4 C．8 D．16
7．给出下列五个命题：
①若 p∨q 为真命题，则 p∧q 为真命题；
②命题“∀x＞0，有 ex≥1”的否定为“∃x0≤0，有 ＜1”；
③“平面向量 与 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“ ”；
④在锐角△ABC 中，必有 sinA+sinB＞cosA+cosB；
⑤{an}为等差数列，若 am+an＝ap+aq（m，n，p，q∈N*），则 m+n＝p+q
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知定义在（0，+∞）上的函数 f（x），恒为正数的 f（x）符合 f（x）＜f′（x）＜2f
（x），则 的取值范围为（ ）
A．（e，2e） B． C．（e，e3） D．
9．已知点 A（0，2），抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，
与其准线相交于点 N，则|FM|：|MN|＝（ ）
A．2： B．1：2 C．1： D．1：3
10．定义 为 n 个正数 p1，p2，…pn 的“均倒数”．若已知数列{an}的前 n
项的“均倒数”为 ，又 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
11．对于任意的实数 x∈[1，e]，总存在三个不同的实数 y∈[﹣1，5]，使得 y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx
＝0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．（ ] B．[ ）
C．（0， ] D．[ ）
12．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，A1H⊥平面 AB1D1，垂足为 H，给出下面结论：
①直线 A1H 与该正方体各棱所成角相等；
②直线 A1H 与该正方体各面所成角相等；
③过直线 A1H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形；
④垂直于直线 A1H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．有一个底面圆的半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O1，O2 分别为这个圆柱上底面和下底面
的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O1，O2 的距离都大于 1 的概率为
．
14．在数列{an}中，若函数 f（x）＝sin2x+2 cos2x 的最大值是 a1，且 an＝（an+1﹣an﹣2）
n﹣2n2，则 an＝ ．
15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的
方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约
之 为 实 一 为 从 隅 ， 开 平 方 得 积 ” 如 果 把 以 上 这 段 文 字 写 成 公 式 就 是
，共中 a、b、c 是△ABC 的内角 A，B，C 的对边．
若 sinC＝2sinAcosB，且 b2，2，c2 成等差数列，则△ABC 面积 S 的最大值为
16．过曲线 的左焦点 F1 作曲线 的切线，
设切点为 M，延长 F1M 交曲线 于点 N，其中 C1，C3 有一个共同
的焦点，若 ，则曲线 C1 的离心率为 ．
三、解答题：（共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．如图，在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c＝4，b＝2，2ccosC
＝b，D，E 分别为线段 BC 上的点，且 BD＝CD，∠BAE＝∠CAE．
（1）求线段 AD 的长；
（2）求△ADE 的面积．18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP
＝90°，平面 ADP⊥平面 ABCD，点 F 为棱 PD 的中点．
（Ⅰ）在棱 AB 上是否存在一点 E，使得 AF∥平面 PCE，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角 D﹣FC﹣B 的余弦值为 时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角．
19．如图，A 为椭圆 的左顶点，过 A 的直线交抛物线 y2＝2px（p＞0）于 B、C
两点，C 是 AB 的中点．
（1）求证：点 C 的横坐标是定值，并求出该定值；
（2）若直线 m 过 C 点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于 M、N 两点，求 p 的
值，使得△BMN 的面积最大．
20．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投
放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个
阶段．在随机问卷阶段，A，B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在
整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对 15 至 45 岁的人群，按比例
随机抽取了 300 份，进行了数据统计，具体情况如表：A 组统计结果 B 组统计结果组别
年龄 经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单
车
偶尔使用单
车
[15，25） 27 人 13 人 40 人 20 人
[25，35） 23 人 17 人 35 人 25 人
[35，45） 20 人 20 人 35 人 25 人
（1）先用分层抽样的方法从上述 300 人中按“年龄是否达到 35 岁”抽出一个容量为 60
人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体数分配到“经常使用单
车”和“偶尔使用单车”中去．
①求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数；
②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到 35 岁且偶尔使
用单车”的人员召开座谈会，会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人，每人 1 份（其余人员
仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有 4 人来自 A 组，求 A 组这 4 人
中得到礼品的人数 X 的分布列和数学期望；
（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作 m 岁）有关”的结
论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄 m 应
取 25 还是 35？请通过比较 K2 的观测值的大小加以说明．
参考公式：K2＝ ，其中 n＝a+b+c+d．
21．已知函数 f（x）＝ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中 a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．
（1）设 g（x）是函数 f（x）的导函数，求函数 g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若 f（1）＝0，函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，求 a 的取值范围．
（二）选考题，满分共 10 分，请考生在 22.23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑[选修 4-4：坐标系与参数方
程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 过原点且倾斜角为 α（0 ）．以坐标原点
O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ．在平面直
角坐标系 xOy 中，曲线 C2 与曲线 C1 关于直线 y＝x 对称．
（Ⅰ）求曲线 C2 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线 l2 过原点且倾斜角为 ，设直线 l1 与曲线 C1 相交于 O，A 两点，直
线 l2 与曲线 C2 相交于 O，B 两点，当 α 变化时，求△AOB 面积的最大值．
[选修 4--5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|ax+1|+|2x﹣1|．
（1）当 a＝1 时，求不等式 f（x）＞3 的解集；
（2）若 0＜a＜2，且对任意 x∈R， 恒成立，求 a 的最小值．参考答案
一、选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，
请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．已知全集 U＝R，集合 A＝{y|y＝x2+2，x∈R}，集合 B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则阴影部分
所示集合为（ ）
A．[1，2] B．（1，2） C．（1，2] D．[1，2）
解：集合 A＝{y|y＝x2+2，x∈R}＝[2，+∞），集合 B＝{x|y＝lg（x﹣1）}＝（1，+∞），
图形阴影部分为∁UA∩B＝（1，2），
故选：B．
2．已知复数 （a∈R，i 为虚数单位），若复数 z 的共轭复数的虚部为 ，则复数
z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵ ＝ ，
∴ 的虚部为﹣ ，
由﹣ ＝﹣ ，得 a＝2．
∴复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（ ， ），位于第一象限．
故选：A．
3．若 a＝π﹣2，b＝aa， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c
解：由题意 0＜a＜1，
故 a＜aa，
故 aa＞ ，即 b＞c，而 c＝ ＞a＝π﹣2，
故选：B．
4．函数 （其中 e 为自然对数的底数）图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
解：f（x）＝（ ﹣1）cosx＝ cosx，
f（﹣x）＝ cos（﹣x）＝ cosx＝﹣f（x）．
∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A，C；
当 0＜x＜ 时，ex＞1，cosx＞0，
∴f（x）＝ cosx＜0，
故选：B．
5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支
香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，
从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，
不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩 2 支
香烟”的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“
戒烟口香糖”，
每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；
若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”的概率为：
P＝ ＝ ．
故选：D．
6．已知△ABC 外接圆的圆心为 O，若 AB＝3，AC＝5，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
解：如图，取 AC 中点 D，AB 中点 E，并连接 OD，OE，则：
OD⊥AC，OE⊥AB；
∴ ， ；
∴
＝
＝
＝8．
故选：C．
7．给出下列五个命题：
①若 p∨q 为真命题，则 p∧q 为真命题；
②命题“∀x＞0，有 ex≥1”的否定为“∃x0≤0，有 ＜1”；
③“平面向量 与 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“ ”；
④在锐角△ABC 中，必有 sinA+sinB＞cosA+cosB；
⑤{an}为等差数列，若 am+an＝ap+aq（m，n，p，q∈N*），则 m+n＝p+q
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①若 p∨q 为真命题的条件是 p、q 至少有一个是真命题，而 p∧q 为真命题的条件
为 p、q 两个都是真命题，所以当 p、q 一个真一个假时，p∧q 为假命题，所以①不正确；
②命题“∀x＞0，有 ex≥1”的否定为“∃x0＞0，有 ＜1”；因此 ②不正确；
③“平面向量 与 的夹角为钝角”⇒“ ”；反之不成立，平面向量 与 的夹
角可能为平角．
∴“平面向量 与 的夹角为钝角”的必要不充分条件是“ ”；因此不正确．
④因为在锐角三角形中，∴π＞A+B＞ ，有 ＞A＞ ﹣B＞0，
所以有 sinA＞sin（ ﹣B）＝cosB，即 sinA＞cosB，同理 sinB＞cosA，
故 sinA+sinB＞cosA+cosB，所以 ④正确；
⑤若等差数列{an}为常数列，则 m+n＝p+q 不一定成立，∴命题不正确．
综上可得：只有④正确．
故选：A．
8．已知定义在（0，+∞）上的函数 f（x），恒为正数的 f（x）符合 f（x）＜f′（x）＜2f
（x），则 的取值范围为（ ）
A．（e，2e） B． C．（e，e3） D．
解：令 g（x）＝ ，x∈（0，+∞），
∵∀x∈（0，+∞），f（x）＜f′（x），
∴g′（x）＝ ＝ ＞0，
∴g（x）＝ 在区间（0，+∞）上单调递增，
∴g（1）＝ ＜ ＝g（2），
∴ ＜ ①；
再令 h（x）＝ ，x∈（0，+∞），
∵∀x∈（0，+∞），f′（x）＜2f（x）恒成立，
∴h′（x）＝ ＝ ＜0，
∴函数 h（x）在 x∈（0，+∞）上单调递减，∴h（1）＝ ＞ ＝h（2），
∴ ＞ ②，
综上①②可得： ＜ ＜ ．
故选：D．
9．已知点 A（0，2），抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，
与其准线相交于点 N，则|FM|：|MN|＝（ ）
A．2： B．1：2 C．1： D．1：3
解：∵抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F（1，0），点 A 坐标为（0，2），
∴抛物线的准线方程为 l：x＝﹣1，直线 AF 的斜率为 k＝﹣2，
过 M 作 MP⊥l 于 P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|，
∵Rt△MPN 中，tan∠NMP＝﹣k＝2，
∴ ＝2，可得|PN|＝2|PM|，
得|MN|＝ ＝ |PM|，
因此可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1： ．
故选：C．
10．定义 为 n 个正数 p1，p2，…pn 的“均倒数”．若已知数列{an}的前 n
项的“均倒数”为 ，又 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．解：由已知得 ，
∴a1+a2+…+an＝n（2n+1）＝Sn
当 n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝4n﹣1，验证知当 n＝1 时也成立，
∴an＝4n﹣1，
∴ ，
∴
∴ ＝ +（ ）+…+（ ）＝1﹣
＝ ．
故选：C．
11．对于任意的实数 x∈[1，e]，总存在三个不同的实数 y∈[﹣1，5]，使得 y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx
＝0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．（ ] B．[ ）
C．（0， ] D．[ ）
解：y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx＝0 可化为： ，
设 g（y）＝ （﹣1≤y≤5），
则 g′（y）＝ ，
即函数 g（y）在（﹣1，0），（2，5）为减函数，在（0，2）为增函数，
又 g（﹣1）＝e2，g（2）＝ ，g（5）＝ ，
设 f（x）＝a+ （x∈[1，e]），
f′（x）＝ ，
即函数 f（x）在[1，e]为增函数，
所以 a≤f（x）≤a ，
对于任意的实数 x∈[1，e]，总存在三个不同的实数 y∈[﹣1，5]，使得 y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx＝0 成立，
即对于任意的实数 x∈[1，e]，总存在三个不同的实数 y∈[﹣1，5]，使得 成
立，
即 a+ ∈[ ， ）对于任意的实数 x∈[1，e]恒成立，
即 ，
即 ，
故选：B．
12．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，A1H⊥平面 AB1D1，垂足为 H，给出下面结论：
①直线 A1H 与该正方体各棱所成角相等；
②直线 A1H 与该正方体各面所成角相等；
③过直线 A1H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形；
④垂直于直线 A1H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，
其中正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③
解：如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，A1H⊥平面 AB1D1，垂足为 H，
连接 A1C，可得 A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有 A1C⊥平面 AB1D1，
直线 A1H 与直线 A1C 重合，
直线 A1H 与该正方体各棱所成角相等，均为 arctan ，故①正确；
直线 A1H 与该正方体各面所成角相等，均为 arctan ，故②正确；
过直线 A1H 的平面截该正方体所得截面为 A1ACC1 为平行四边形，故③正确；
垂直于直线 A1H 的平面与平面 AB1D1 平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．
故选：D．
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．有一个底面圆的半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O1，O2 分别为这个圆柱上底面和下底面
的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O1，O2 的距离都大于 1 的概率为
．
解：∵到点 O1 的距离等于 1 的点构成一个半个球面，到点 O2 的距离等于 1 的点构成一
个半个球面，两个半球构成一个整球，如图，
点 P 到点 O1，O2 的距离都大于 1 的概率为：
P＝ ＝ ＝1﹣ ＝ ；
故答案为：
14．在数列{an}中，若函数 f（x）＝sin2x+2 cos2x 的最大值是 a1，且 an＝（an+1﹣an﹣2）
n﹣2n2，则 an＝ 2n2+n ．
解：f（x）＝sin2x+2 cos2x＝3sin（2x+φ），
当 2x+φ＝2kπ+ ，k∈Z，f（x）取得最大值 3，
∴a1＝3．an＝（an+1﹣an﹣2）n﹣2n2，∴nan+1＝（n+1）an+2n2+2n， ﹣ ＝2，
∴an＝n[3+2（n﹣1）]＝2n2+n，
故答案为：2n2+n．
15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的
方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约
之 为 实 一 为 从 隅 ， 开 平 方 得 积 ” 如 果 把 以 上 这 段 文 字 写 成 公 式 就 是
，共中 a、b、c 是△ABC 的内角 A，B，C 的对边．
若 sinC＝2sinAcosB，且 b2，2，c2 成等差数列，则△ABC 面积 S 的最大值为
解：sinC＝2sinAcosB，∴c＝2acosB．
因此 c＝2a• ，
∵b2，2，c2 成等差数列∴b2+c2＝4，
即有 a2＝b2＝4﹣c2，
因 此 S ＝ ＝ ＝
，
当 c2＝ 即 c＝ 时，S 取得最大值 × ＝ ，
即△ABC 面积 S 的最大值为 ，
故答案为： ．
16．过曲线 的左焦点 F1 作曲线 的切线，
设切点为 M，延长 F1M 交曲线 于点 N，其中 C1，C3 有一个共同
的焦点，若 ，则曲线 C1 的离心率为 ．
解：设双曲线的右焦点为 F，则 F 的坐标为（c，0），
∵曲线 C1 与 C3 有一个共同的焦点，∴y2＝4cx，
∵ ，∴ ＝ ，则 M 为 F1N 的中点，
∵O 为 F1F 的中点，M 为 F1N 的中点，∴OM 为△NF1F 的中位线，
∴OM∥PF，
∵|OM|＝a，∴|NF|＝2a
又 NF⊥NF1，|F1F|＝2c，∴|NF1|＝2b，
设 N（x，y），则由抛物线的定义可得 x+c＝2a，
∴x＝2a﹣c
过点 F1 作 x 轴的垂线，点 N 到该垂线的距离为 2a．
由勾股定理 y2+4a2＝4b2，即 4c（2a﹣c）+4a2＝4（c2﹣a2），
得 e2﹣e﹣1＝0，
∴e＝ ．
故答案为： ．
三、解答题：（共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．如图，在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c＝4，b＝2，2ccosC
＝b，D，E 分别为线段 BC 上的点，且 BD＝CD，∠BAE＝∠CAE．
（1）求线段 AD 的长；
（2）求△ADE 的面积．解：（1）根据题意，b＝2，c＝4，2ccosC＝b，则 cosC＝ ＝ ；
又由 cosC＝ ＝ ＝ ，
解可得 a＝4，
即 BC＝4，则 CD＝2，
在△ACD 中，
由余弦定理得：AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CDcosC＝6，
则 AD＝ ；
（2）根据题意，AE 平分∠BAC，
则 ＝ ＝ ，
变形可得：CE＝ BC＝ ，
cosC＝ ，则 sinC＝ ＝ ，
S△ADE＝S△ACD﹣S△ACE＝ ×2×2× ﹣ ×2× × ＝ ．
18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP
＝90°，平面 ADP⊥平面 ABCD，点 F 为棱 PD 的中点．
（Ⅰ）在棱 AB 上是否存在一点 E，使得 AF∥平面 PCE，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角 D﹣FC﹣B 的余弦值为 时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角．
解：（Ⅰ）在棱 AB 上存在点 E，使得 AF∥平面 PCE，点 E 为棱 AB 的中点．
理由如下：取 PC 的中点 Q，连结 EQ、FQ，
由题意，FQ∥DC 且 FQ＝ CD，
AE∥CD 且 AE＝ CD，
故 AE∥FQ 且 AE＝FQ．
所以，四边形 AEQF 为平行四边形.3 分所以，AF∥EQ，又 EQ⊂平面 PEC，AFα 平面 PEC，
所以，AF∥平面 PEC.5 分
（Ⅱ）由题意知△ABD 为正三角形，所以 ED⊥AB，亦即 ED⊥CD，
又∠ADP＝90°，所以 PD⊥AD，且平面 ADP⊥平面 ABCD，
平面 ADP∩平面 ABCD＝AD，
所以 PD⊥平面 ABCD，故以 D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，7 分
设 FD＝a，则由题意知 D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），B（ ，1，0）
，
＝（0，2，﹣a）， ＝（ ），
设平面 FBC 的法向量为 ＝（x，y，z），
则由 ，令 x＝1，则 y＝ ，z＝ ，
所以取 ＝（1， ， ），平面 DFC 的法向量 ＝（1，0，0），
l 因为二面角 D﹣FC﹣B 的余弦值为 ，
所以由题意：|cos＜ ＞|＝ ＝ ＝ ，解得 a＝ .10 分
由于 PD⊥平面 ABCD，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD，
所以∠PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，
由题意知在 Rt△PBD 中，tan∠PBD＝ ＝a＝ ，从而∠PBD＝60°，
所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 60°.12 分
19．如图，A 为椭圆 的左顶点，过 A 的直线交抛物线 y2＝2px（p＞0）于 B、C两点，C 是 AB 的中点．
（1）求证：点 C 的横坐标是定值，并求出该定值；
（2）若直线 m 过 C 点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于 M、N 两点，求 p 的
值，使得△BMN 的面积最大．
解：（1）由题意可知 A（﹣2，0），设 B（x1，y1），C（x2，y2），
∵过 A 的直线 l 交抛物线于两点，∴直线 l 的斜率存在且不为 0，设 l：x＝my﹣2，
联立方程 ，消去 x 得，y2﹣2pmy+4p＝0，
∴y1+y2＝2pm，y1y2＝4p，
∵点 C 是 AB 的中点，∴y1＝2y2，∴ ， ，
∴4p＝ ，∴ ，∴2pm2＝9，
∴x2＝my2﹣2＝ ﹣2＝1，
∴点 C 的横坐标为定值 1；
（2）直线 m 的倾斜角和直线 l 的倾斜角互补，所以直线 m 的斜率和直线 l 的斜率互为相
反数，
又点 C（1， ），所以设直线 m 的方程为：x＝﹣m（y﹣ ）+1，即 x＝﹣my+4，
设 M（x1，y2），N（x2，y2），
联立方程 ，消去 x 得，（m2+2）y2﹣8my+12＝0，
∴△＝（8m）2﹣48（m2+2）＝16m2﹣96＞0，解得 m2＞6，
∴ ， ，
∴ |MN| ＝ ＝ ＝ 4，
∵点 C 是 AB 的中点，∴S△BMN＝S△AMN，
设点 A（﹣2，0）到直线 MN 的距离为 d，则 d＝ ＝ ，
∴ S △ BMN ＝ S △ AMN ＝ ＝ 4 × ＝ 12
，
令 t＝m2﹣6，
∴S△BMN＝12 ＝12 ≤12 ＝ ，当且仅当 t＝ ，
即 t＝8，m2＝14 时，等号成立，
∴2p×14＝9，∴p＝ ．
20．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投
放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个
阶段．在随机问卷阶段，A，B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在
整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对 15 至 45 岁的人群，按比例
随机抽取了 300 份，进行了数据统计，具体情况如表：
A 组统计结果 B 组统计结果组别
年龄 经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单
车
偶尔使用单
车
[15，25） 27 人 13 人 40 人 20 人
[25，35） 23 人 17 人 35 人 25 人
[35，45） 20 人 20 人 35 人 25 人
（1）先用分层抽样的方法从上述 300 人中按“年龄是否达到 35 岁”抽出一个容量为 60
人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体数分配到“经常使用单
车”和“偶尔使用单车”中去．
①求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到 35 岁且偶尔使
用单车”的人员召开座谈会，会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人，每人 1 份（其余人员
仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有 4 人来自 A 组，求 A 组这 4 人
中得到礼品的人数 X 的分布列和数学期望；
（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作 m 岁）有关”的结
论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄 m 应
取 25 还是 35？请通过比较 K2 的观测值的大小加以说明．
参考公式：K2＝ ，其中 n＝a+b+c+d．
解：（1）①由分层抽样性质得：
从 300 人中抽取 60 人，其中“年龄达到 35 岁“的人数为：100× ＝20 人，
”年龄达到 35 岁”中偶而使用单车的人数为： ＝9 人．
②A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的可能取值为 0，1，2，3，
P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ ，
∴X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴E（X）＝ ＝ ．
（2）按“年龄是否达到 35 岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车 偶尔使用单车 合计
未达到 35 岁 125 75 200 达到 35 岁 55 45 100
合计 180 120 300
m＝35 时，K2 的观测值：
k1＝ ＝ ＝ ．
m＝25 时，按“年龄是否达到 25 岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车 偶尔使用单车 合计
未达到 25 岁 67 33 100
达到 25 岁 113 87 200
合计 180 120 300
m＝25 时，K2 的观测值：
k2＝ ＝ ，
k2＞k1，
欲使犯错误的概率尽量小，需取 m＝25．
21．已知函数 f（x）＝ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中 a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．
（1）设 g（x）是函数 f（x）的导函数，求函数 g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若 f（1）＝0，函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，求 a 的取值范围．
解：∵f（x）＝ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）＝f′（x）＝ex﹣2ax﹣b，
又 g′（x）＝ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，
∴①当 时，则 2a≤1，g′（x）＝ex﹣2a≥0，
∴函数 g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝1﹣b；
②当 ，则 1＜2a＜e，
∴当 0＜x＜ln（2a）时，g′（x）＝ex﹣2a＜0，当 ln（2a）＜x＜1 时，g′（x）＝ex﹣
2a＞0，
∴函数 g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，
g（x）min＝g[ln（2a）]＝2a﹣2aln（2a）﹣b；
③当 时，则 2a≥e，g′（x）＝ex﹣2a≤0，
∴函数 g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min＝g（1）＝e﹣2a﹣b，综 上 ： 函 数 g （ x ） 在 区 间 [0 ， 1] 上 的 最 小 值 为
；
（2）由 f（1）＝0，⇒e﹣a﹣b﹣1＝0⇒b＝e﹣a﹣1，又 f（0）＝0，
若函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数 f（x）在区间（0，1）内至少有三个单
调区间，
由（1）知当 a≤ 或 a≥ 时，函数 g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数 f（
x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．
若 ，则 gmin（x）＝2a﹣2aln（2a）﹣b＝3a﹣2aln（2a）﹣e+1
令 h（x）＝ （1＜x＜e）
则 ＝ ，∴ ．由 ＞0⇒x
＜
∴h（x）在区间（1， ）上单调递增，在区间（ ，e）上单调递减，
＝ ＝ ＜0，即 gmin（x）＜0 恒成立，
∴函数 f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔ ⇒ ，
又 ，所以 e﹣2＜a＜1，
综上得：e﹣2＜a＜1．
另解：由 g（0）＞0，g（1）＞0 解出 e﹣2＜a＜1，
再证明此时 f（x）min＜0 由于 f（x）最小时，f'（x）＝g（x）＝ex﹣2ax﹣b＝0，
故有 ex＝2ax+b 且 f（1）＝0 知 e﹣1＝a+b，
则 f（x）min＝2ax+b﹣ax2﹣（e﹣1﹣a）x﹣1＝﹣ax2+（3a+1﹣e）x+e﹣a﹣2，
开口向下，最大值 （5a2﹣（2e+2）a+e2﹣2e），分母为正，
只需看分子正负，分子＜5﹣（2e+2）+e2﹣2e（a＝1 时取最大）＝e2﹣4e+3＜0，
故 f（x）min＜0，故 e﹣2＜a＜1．
（二）选考题，满分共 10 分，请考生在 22.23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑[选修 4-4：坐标系与参数方
程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 过原点且倾斜角为 α（0 ）．以坐标原点
O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ．在平面直
角坐标系 xOy 中，曲线 C2 与曲线 C1 关于直线 y＝x 对称．
（Ⅰ）求曲线 C2 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 l2 过原点且倾斜角为 ，设直线 l1 与曲线 C1 相交于 O，A 两点，直
线 l2 与曲线 C2 相交于 O，B 两点，当 α 变化时，求△AOB 面积的最大值．
解：（Ⅰ）由题可知，C1 的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x＝0，
设曲线 C2 上任意一点（x，y）关于直线 y＝x 对称点为（x0，y0），
∴ ，
又∵ ，即 x2+y2﹣2y＝0，
∴曲线 C2 的极坐标方程为：ρ＝2sinθ；
（Ⅱ）直线 l1 的极坐标方程为：θ＝α，直线 l2 的极坐标方程为： ．
设 A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．
∴ ，解得 ρ1＝2cosα，
，解得 ．
∴ ＝
＝ ．
∵0≤α＜ ，∴ ＜ ．
当 ，即 时，sin（ ）＝1，S△AOB 取得最大值为： ．
[选修 4--5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|ax+1|+|2x﹣1|．
（1）当 a＝1 时，求不等式 f（x）＞3 的解集；
（2）若 0＜a＜2，且对任意 x∈R， 恒成立，求 a 的最小值．
解：（1）当 a＝1 时，f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|，
即 ；
解法一：作函数 f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|的图象，它与直线 y＝3 的交点为 A（﹣1，3），B
（1，3），
如图所示；
所以，f（x）＞3 的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；
解法二：原不等式 f（x）＞3 等价于 或 或 ，
解得：x＜﹣1 或无解或 x＞1，
所以，f（x）＞3 的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；
（2）由 0＜a＜2，得﹣ ＜ ，a+2＞0，且 a﹣2＜0；
所以 f（x）＝|ax+1|+|2x﹣1|＝ ，
所以函数 f（x）在 上单调递减，在 上单调递减，在
上单调递增；
所以当 时，f（x）取得最小值，且 ；
因为对∀x∈R， 恒成立，所以 ；
又因为 a＞0，所以 a2+2a﹣3≥0，解得 a≥1（a≤﹣3 不合题意），所以 a 的最小值为 1．
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