2018届高三数学训练题(68 )：圆锥曲线（解析版）

2018 届高三数学训练题(68+)：圆锥曲线 1.已知中心在原点 O，左焦点为 F1(－1,0)的椭圆 C 的左顶点为 A，上顶点为 B，F1 到直线 AB 的距离为 |OB|. (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，若椭圆 ，椭圆 ，则称椭圆 C2 是椭 圆 C1 的 λ 倍相似椭圆．已知 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆，若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆 C2 于两点 M、 N，试求弦长|MN|的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 试题分析：(1)设出椭圆的标准方程，写出直线方程，利用点到直线的距离公式和几何元素间的关系进行求 解；(2)先写出相似椭圆的方程，设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于 的一元二次方程，利 用根与系数的关系、距离公式进行求解. 试题解析：(1)设椭圆 C 的方程为 ， ∴直线 AB 方程为 ＋ ＝1. ∴F1(－1 0)到直线 AB 距离 d＝ ＝ b， 整理得 a2＋b2＝7(a－1)2， 又 b2＝a2－1，解得 a＝2，b＝ ， ∴椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. (2)椭圆 C 的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为 ＋ ＝1， ①若切线 l 垂直于 x 轴，则其方程为 x＝±2，易求得|MN|＝2 ； ②若切线 l 不垂直于 x 轴，可设其方程为 y＝kx＋p， 将 y＝kx＋p 代入椭圆 C 的方程， 的 , 7 7 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC m nm n + = > > 2 2 2 2 2: ( 0, 0)x yC m n λ λ λ+ = > ≠且 2 2 14 3 x y+ = [2 6,4 2] x 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－12＝0， ∴Δ＝(8kp)2－4(3＋4k2)(4p2－12)＝48(4k2＋3－p2)＝0， 即 p2＝4k2＋3.(*) 记 M、N 两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 将 y＝kx＋p 代入椭圆 C2 的方程， 得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－36＝0， 此时 x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ， ∴|x1－x2|＝ ， ∴|MN|＝ · ＝4 ＝2 ， ∵3＋4k2≥3，∴1 xOy ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = ＞ ＞ 3 2 2 2x y= l l PFG△ 1S PDM△ 2S 1 2 S S 2 24 1x y+ = 1 2 S S 9 4 P 2 1( , )2 4 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程； （Ⅱ）（ⅰ）由点 P 的坐标和斜率设出直线 l 的方程和抛物线联立，进而判断点 M 在定直线上； （ⅱ）分别列出 ， 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点 P 的坐标． 试题解析：（Ⅰ）由题意知： ，解得 ． 因为抛物线 的焦点为 ，所以 ， 所以椭圆 方程为 ． （Ⅱ）（1）设 ，由 可得 ， 所以直线 的斜率为 ，其直线方程为 ，即 ． 设 ，联立方程组 消去 并整理可得 ， 故由其判别式 可得 且 ， 故 , 代入 可得 ， 因为 ，所以直线 的方程为 ． 联立 可得点 的纵坐标为 ，即点 在定直线 上． （2）由（1）知直线 的方程为 ， 的 1S 2S 2 2 3 2 a b a − = 2a b= 10, 2F      11, 2a b= = 2 24 1x y+ = 2 , ( 0)2 m mP m   >   2 2x y= y x′ = l m 2 ( )2 my m x m− = − 2 2 my mx= − ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0 0, , , , ,A x y B x y D x y 2 2 2 2 my mx x y  = −  = y ( )2 2 3 44 1 4 1 0m x m x m+ − + − = > 0∆ 0 2 5m< < + 3 1 2 2 4 4 1 mx x m + = + 3 1 2 0 2 2 2 4 1 x x mx m += = + 2 2 my mx= − ( ) 2 0 22 4 1 my m = − + 0 0 1 4 y x m = − OD 1 4y xm = − 1 4y xm x m  = −  = 1 4y = − M 1 4y = − l 2 2 my mx= − 令 得 ，所以 ， 又 ， 所以 ， ， 所以 ，令 ，则 ， 因此当 ，即 时， 最大，其最大值为 ，此时 满足 ， 所以点 的坐标为 ，因此 的最大值为 ，此时点 的坐标为 ． 考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力． 4.已知曲线 C1 上任意一点 M 到直线 l：y＝4 的距离是它到点 F(0,1)距离的 2 倍；曲线 C2 是以原点为顶点， F 为焦点的抛物线． (1)求 C1，C2 的方程； (2)设过点 F 的直线与曲线 C2 相交于 A，B 两点，分别以 A，B 为切点引曲线 C2 的两条切线 l1，l2，设 l1，l2 相交于点 P，连接 PF 的直线交曲线 C1 于 C，D 两点，求 的最小值． 【答案】(1) , ；（2）7 【解析】 试题分析：(1)利用直接法求曲线 的轨迹方程，利用抛物线的定义求曲线 的标准方程；(2)设直线方程， 联立直线和椭圆的方程，得到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系、平面向量的数量积和函数的 单调性进行求解. 试题解析：(1)设 M(x，y)，则 ＝2， ∴曲线 C1 的方程为 ＋ ＝1， 设曲线 C2 的方程为 x2＝2py(p>0)，则 ＝1， ∴p＝2，∴曲线 C2 的方程为 x2＝4y. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的方程为 y＝kx＋1， 0x = 2 2 my = − 2 0, 2 mG  −   ( ) 2 3 2 2 2 1 2, , ,0 , ,2 2 4 1 2 4 1 m m mP m F D m m    −        + +     ( )2 1 1 1| | 12 4S GF m m m= = + ( ) ( ) 22 2 0 2 2 11 | |2 8 4 1 m m S PM m x m + = ⋅ − = + ( )( ) ( ) 2 2 1 222 2 4 1 1 2 1 m mS S m + + = + 22 1t m= + 1 2 2 2 (2 1)( 1) 1 1 2S t t S t t t − += = − + + 1 1 2t = 2t = 1 2 S S 9 4 2 2m = > 0∆ P 2 1,2 4       1 2 S S 9 4 P 2 1,2 4       AD CB⋅  2 2 1 : 13 4 x yC + = 2 2 : 4C x y= 1C 2C x 代入曲线 C2 的方程得 x2－4kx－4＝0， ∴ 由 y＝ ，∴y′＝ ， ∴l1：y＝ x－ ，l2：y＝ x－ ， ∴P( ， )，∴P(2k，－1)， ∴kPF＝ ，∴CD⊥AB， CD：y＝－ x＋1， 代入曲线 C1 的方程得(4k2＋3)y2－8k2y＋4k2－12＝0， 设 C(x3，y3)，D(x4，y4)， ∴ ∴ · ＝( ＋ )·( ＋ ) ＝ · ＋ · ＋ · ＋ · ＝| || |＋| || | ＝(y1＋1)(y2＋1)＋ |y3－4|· |y4| ＝(kx1＋2)(kx2＋2)＋ ＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋ －(y1＋y2)＋8 ＝4(k2＋1)＋ ＝ ＋(t＋ ) (其中 t＝4k2＋3≥3) 设 f(t)＝t＋ (t≥3)， 则 f′(t)＝1－ ＝ >0， 故 f(t)在[3，＋∞)单调递增， 因此 · ＝ ＋(t＋ ) ≥ ＋3＋ ＝7， 当且仅当 t＝3 即 k＝0 等号成立， 故 · 的最小值为 7.