2019届陕西省榆林市高三第四次模拟考试数学(理)试题（解析版）

2019 届陕西省榆林市高三第四次模拟考试数学(理)试题 一､选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A＝{﹣2，0，1，3}，B＝{x|﹣ ＜x＜ }，则集合 A∩B 的子集个数为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 由交集的运算法则，得到集合 ；根据集合元素个数为 n，则其子集的个数为 ，求出集合 的 子集个数. 【详解】因为集合 ，所以 ；又因为集合 有 3 个 元素，所以它的子集有 个，故选 B. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算以及集合的子集个数，确定集合的元素个数是解决本题的关键. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的乘法运算法则运算求解. 【详解】由题得 . 故选 B 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 3.设 ， ， 是等比数列 的前 3 项，则 的公比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 5 2 3 2 A B 2n A B 5 3{ 2,0,1,3}, { |- }2 2 = − = < 123595.8 7865 5720.93 × ≈ > ( )cong 3π = 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积. 【详解】设圆柱体底面圆半径为 ，高为 ，周长为 . 因为 ，所以 ， 所以 （立方尺）. 故选 B 项. 【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题. 6.已知向量 ， 满足 ，且 ， ，则向量 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 对 两边平方，求得 ，所以 .画出图像，根据图像确定 与 的夹角，并 根据它补角的正切值求得对应的角的大小. 【详解】因为 ，所以 ，即 ，所以 .如图，设 ， ，则向量 与 的夹角为 ，因为 ，所以 ， .故选 B. 【点睛】本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中 档题. 7.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） r h C 2C rπ= 2 Cr π= 2 2 2 2 2 48 11 4 4 12 C C hV r h hπ π π π ×= = × × = = 2112= a b a b a b+ = −   | | 3a = | | 1b = b a b−  3 π 2 3 π 6 π 5 6 π a b a b+ = −   0a b⋅ = a b⊥  b a b−  a b a b+ = −   2 2 2 22 2a a b b a a b b+ ⋅ + = − ⋅ +       0a b⋅ = a b⊥  AB a=  AD b=  b a b−  BDE∠ tan 3BDA∠ = 3BDA π∠ = 2 3BDE π∠ = A 240 B. 264 C. 274 D. 282 【答案】B 【解析】 【分析】 将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长 交 于 点， 其中 ， ， ， 所以表面积 . 故选 B 项. 【点睛】 本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题 8.已知函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到的图象关于 轴对称， ，当 取得最小值时，函数 的解析式为 A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 . . BE DF A 1 6AB AD DD= = = 3AE = 4AF = ( ) 3 436 5 3 6 2 4 6 30 2642S ×= × + × + × + × + = ( ) cos(2 )( 0)f x A x ϕ ϕ= + > 8 π y (0) 1f = ϕ ( )f x ( ) 2 cos(2 )4f x x π= + ( ) cos(2 )6f x x π= − ( ) 2 cos(2 )4f x x π= − ( ) cos(2 )4f x x π= − 根据左右平移特点可得到平移后的解析式，由其对称性可得到 ， ，结合 的范围可得其 最小值，得到 ；利用 可求得 ，进而得到所求函数解析式. 【详解】 向右平移 个单位长度得： 关于 轴对称 ， 即： ， ，又 ，即 解析式为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式的问题，涉及到三角函数的平移变换、三角函数对 称性的应用等知识；关键是能够根据平移后函数的对称性确定 的取值. 9.某图形由一个等腰直角三角形，一个矩形（矩形中的阴影部分为半圆），一个半圆组成，从该图内随机取 一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设矩形的长为 ，则宽为 ，求出图形的面积和阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式求该点取自 阴影部分的概率. 【详解】设矩形的长为 ，则宽为 ， 4 k πϕ π− = k Z∈ ϕ 4 πϕ = ( )0 1f = A ( )f x 8 π cos 28 4f x A x π π ϕ   − = − +       8f x π −   y 4 k πϕ π∴ − = k Z∈ 4k πϕ π= + k Z∈ 0ϕ > min 4 πϕ∴ = ( )0 1f = cos cos 14A A πϕ = = 2A∴ = ( )f x∴ ( ) 2 cos 2 4f x x π = +   A ϕ 2 5 2 5 2 π π + + 1 2 4 10 2 π π + + 2a a 2a a 所以该图形的面积为 ， 阴影部分的面积为 ， 故该点取自阴影部分的概率为 . 故选 C 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10.已知 是定义在 上 偶函数，且 ，如果当 时， ，则 （ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】 根 据 得 即 f （ x ） 的 周 期 为 8 ， 再 根 据 x∈[0 ， 4 ） 时 ， 及 f（x）为 R 上的偶函数即可求出 f（766）=f（2）=2． 【详解】由 ，得 ，所以 是周期为 8 的周期函数，当 时， ，所以 ，又 是定义在 R 上的偶函数所以 . 【点睛】本题考查函数的周期性，奇偶性与求值，考查运算求解能力. 11.如图，过双曲线 的右焦点 作 轴的垂线交 于 两点（ 在 的上 方），若 到 的一条渐近线的距离分别为 ，且 ，则 的离心率为（ ） 的 ( ) ( )2 21 12 2 2 2 42 2a a a a a aπ π× + × × + × = + 2 21 12 2 22 2 2a a a a ππ  × × + × = +   ( ) 2 2 2 12 4 2 a P a π π  +  = =+ ( )f x R ( 5) ( 3)f x f x+ = − [0,4)x∈ 2( ) log ( 2)f x x= + (766)f = ( ) ( )5 3f x f x+ = − ( ) ( )8f x f x+ = ( ) ( )2f x log 2x= + ( ) ( )5 3f x f x+ = − ( ) ( )8f x f x+ = ( )f x [ )0,4x∈ ( ) ( )2log 2f x x= + ( ) ( ) ( )766 96 8 2 2f f f= × − = − ( )f x ( ) ( ) 22 2 log 4 2f f− = = = ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > F x C ,A B A B ,A B C 1 2,d d 2 14d d= C A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出 ，化简 即得离心率的值. 【详解】易知 的坐标分别为 ， ， 图中对应的渐近线为 ，则 ， ， ， ， ， . 故选 B 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平和分析推理能力. 12.已知函数 ， ，若对 ， 且 ，使得 ，则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 对∀x∈（0，e），f（x）的值域为[ ，5），g′（x）＝a ，推导出 a＞0，g（x）min＝g（ ）＝ 1+lna，作出函数 g（x）在（0，e）上的大致图象，数形结合由求出实数 a 的取值范围． 【 详 解 】 当 时 ， 函 数 的 值 域 为 .由 可 知 ： 当 时 ， ， 与 题 意 不 符 ， 故 . 令 ， 得 ， 则 ， 所 以 2 5 4 3 4 3 1 2,d d 2 14d d= ,A B 2 , bc a      2 , bc a  −   0bx ay− = 2 1 bc bd c −= 2 2 bc bd c += 2 14d d= 3 5c b∴ = ( )2 2 29 25c c a∴ = − 5 4 ce a ∴ = = 2( ) 3 5f x x x= − + ( ) lng x ax x= − (0, )x e∀ ∈ 1 2, (0, )x x e∃ ∈ 1 2x x≠ ( ) ( )( 1,2)if x g x i= = a 1 6( , )e e 7 46[ , )ee 7 41[ , )ee 7 41 6(0, ] [ , )ee e 11 4 1 1ax x x −− = 1 a ( )0,x e∈ ( )f x 11,54     ( ) 1 1' axg x a x x −= − = 0a ≤ ( )' 0g x < 0a > ( )' 0g x = 1x a = ( )1 0,ea ∈ ，作出函数 在 上的大致图象如图所示， 观察可知 ，解得 . 故选 B 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算 求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 二､填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 m∈Z,二项式(m+x)4 展开式中 x2 的系数比 x3 的系数大 16,则 m=_____ 【答案】 【解析】 【分析】 利用二项式展开式的通项公式，结合 与 系数的关系列方程，解方程求得 的值. 【 详 解 】 项 的 系 数 为 ， 项 的 系 数 是 ， 依 题 意 ， 即 ， ， ，由于 是整数，所以 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，属于基础题. 14.已知实数 ， 满足 ，则目标函数 的最小值为_____． 【答案】﹣22 【解析】 【分析】 画出约束条件表示的平面区域，利用图形找出最优解，代入目标函数求出最小值． 的 ( )min 1 1 lng x g aa  = = +   ( )g x ( )0,e ( ) 111 4 1 5 lna g e ae  + C 线 的方程. （2）将直线 的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形 的面积，两种情况下四边形 的面积都为 ，由此证得四边形 的面积为定值. 【详解】（1）因为圆 E 为△ABC 的内切圆,所以 |CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB| 所以点 C 的轨迹为以点 A 和点 B 为焦点的椭圆（点 不在 轴上）, 所以 c ,a=2,b , 所以曲线 G 的方程为 , （2）因为 ，故四边形 为平行四边形. 当直线 l 的斜率不存在时，则四边形 为为菱形， 故直线 MN 的方程为 x=﹣1 或 x=1, 此时可求得四边形 OMDN 的面积为 . 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 方程是 y=kx+m, 代入到 ,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0, ∴x1+x2 ,x1x2 ,△=8(4k2+2﹣m2)>0, ∴y1+y2=k(x1+x2)+2m ,|MN| 点 O 到直线 MN 的距离 d , 由 ,得 xD ,yD ， ∵点 D 在曲线 C 上,所以将 D 点坐标代入椭圆方程得 1+2k2=2m2, 由题意四边形 OMDN 为平行四边形, ∴OMDN 的面积为 S , 由 1+2k2=2m2 得 S , G l OMDN OMDN 6 OMDN C x 2= 2= 2 2 14 2 x y+ = ( )0y ≠ OM ON OD+ =   OMDN OMDN 6 2 2 14 2 x y+ = 2 4 1 2 km k −= + 2 2 2 4 1 2 m k −= + 2 2 1 2 m k = + 2 2 2 2 2 2 4 21 1 2 k mk k × + −= + × + 21 m k = + OM ON OD+ =   2 4 1 2 km k −= + 2 2 1 2 m k = + 2 22 2 2 2 22 2 2 4 22 2 4 21 1 2 1 21 m m k mk mk k kk + −× + −= + × × =+ ++ 6= 故四边形 OMDN 的面积是定值,其定值为 . 【点睛】本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题， 考查运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数 ， ． （1）若曲线 在点 处的切线方程是 ，求函数 在 上的值域； （2）当 时，记函数 ，若函数 有三个零点，求实数 的取值范 围． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【详解】（1）因为 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，即 . ， ， ， 所以 在 上的值域为 . （2）（i）当 时， ，由 ，得 ，此时函数 有三个零点，符合题意. （ii）当 时， .由 ，得 .当 时， ；当 时， .若函数 有三个零点，则需满足 且 ，解得 . （iii）当 时， .由 ，得 ， . ①当 ，即 时，因为 ，此时函数 至多有一个零点， 6 ( ) lnf x x= 3 22( ) 2(1 ) 8 8 73 ag x x a x x a= + − − + + ( )y g x= (2, (2))g 1y ax= − ( )g x [0,3] 0x > ( ), ( ) ( )( ) ( ), ( ) ( ) f x f x g xh x g x f x g x ( ) ( ) ( )2 2' 2 4 1 8 2 2g x ax a x a x x a  = + − − = − +   ( )' 0g x = 2x = ( )0,2x∈ ( )' 0g x < ( )2,x∈ +∞ ( )' 0g x > ( )y h x= ( )1 0g > ( )2 0g < 30 16a< < 0a < ( ) ( ) ( )2 2' 2 4 1 8 2 2g x ax a x a x x a  = + − − = − +   ( )' 0g x = 1 2x = 2 2x a = − 2 2a − < 1a < − ( ) ( ) 162 1 03g x g a= = − < 极大值 ( )y h x= 不符合题意； ②当 ，即 时，因为 ，此时函数 至多有两个零点，不符合题意； ③当 ，即 时， 若 ，函数 至多有两个零点，不符题意； 若 ，得 ，因为 ，所以 ，此时函数 有三个零点，符合题意； 若 ，得 ，由 ，记 ，则 ，所以 ，此时函数 有四个零点，不符合题意. 综上所述：满足条件的实数 . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查分类讨论的数学思想方 法，属难题． (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22､23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ），点 . 以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的的极坐标方程为 . （1）求曲线 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线 与曲线 交于 ， 两点，若 ，求 的值. 【答案】(1) ，曲线 是以 为圆心， 为半径的圆.(2) 【解析】 【分析】 （1）利用极坐标和直角坐标的互化公式进行转化；（2）利用参数的几何意义求解. 2 2a − = 1a = − ( )' 0g x ≤ ( )y h x= 2 2a − > 1 0a− < < ( )1 0g < ( )y h x= ( )1 0g = 3 20a = − 3 2 2 2 1 88 7 8 3g a a aa a    − = + + +       2 0g a  − >   ( )y h x= ( )1 0g > 3 020 a− < < 3 2 2 2 1 88 7 8 3g a a aa a    − = + + +       ( ) 3 2 88 7 8 3a a a aϕ = + + + ( ) 224 14 8 0a a aϕ = + + >′ ( ) 3 020aϕ ϕ  > − >   ( )y h x= 3 30,20 16a    ∈ − ∪      xOy 1C cos 2 sin x t a y t α =  = − + t 0 α π≤ < (0, 2)M − O x 2C 4 2cos 4p πθ = +   2C 1C 2C A B 1 1 17 | | | | 4MA MB + = sinα 2 2( 2) ( 2) 8x y− + + = 2C (2, 2)− 2 2 15sin 4 α = 【详解】（1）由 ，得 ，所以 ， 即 ， . 所以曲线 是以 为圆心， 为半径的圆. （2）将 代入 ， 整理得 ， 设点 ， 所对应的参数分别为 ， ， 则 ， . . 解得 ，则 . 【点睛】本题主要考查参数方程和极坐标，极坐标和直角坐标的转化公式要熟记，参数几何意义的应用能 简化解题过程. 23.已知 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ， ，证明： . 【答案】(1) (2)见证明 【解析】 【分析】 （1） 利用零点分段法讨论去掉绝对值求解； （2） 利用绝对值不等式的性质进行证明. 【详解】（1）解：当 时，不等式 可化为 . 当 时， ， ，所以 ； 当 时， ， . 所以不等式 的解集是 . 4 2cos 4 πρ θ = +   4cos 4sinρ θ θ= − 2 4 cos 4 sinρ ρ θ ρ θ= − 2 2 4 4x y x y+ = − ( ) ( )2 22 2 8x y− + + = 2C ( )2, 2− 2 2 2 x tcos y tsin α α =  = − + ( ) ( )2 22 2 8x y− + + = 2 4 cos 4 0t t α− − = A B 1t 2t 1 2 4cost t α+ = 1 2 4t t = − 1 2 1 2 1 1 MA MB t t MA MB MA MB t t + ++ = = ( )2 1 2 1 21 2 4 4 4 t t t tt t + −−= = 216cos 16 17 4 4 α += = 2 1cos 16 α = 15sin 4 α = ( )=| +2|f x ax 2a = ( )>3f x x (1)f M (2)f M 2 3M ( ,2)−∞ 2a = ( )f x x< 2 2 3x x+ > 1x ≤ − 2 2 3x x− − > 2 5x < − 1x ≤ − 1x > − 2 2 3x x+ > 1 2x− < < ( ) 3f x x> ( ),2−∞ （2）证明：由 ， ，得 ， ， ， 又 ， 所以 ，即 . 【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论 法. ( )1f M≤ ( )2f M≤ 2M a≥ + 2 2M a≥ + 3 2 2 2 2 2M M M a a= + ≥ + + + 2 2 2 2 4 2 2a a+ + + ≥ − = 3 2M ≥ 2 3M ≥