2019届云南省高三第三次双基检测文科数学试题（新课标解析版）

2019 届高中新课标高三第三次双基检测文科数学 一、选择题： 1.已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据集合交集的定义计算即可求出结果. 【详解】因为 且 ，所以 . 故选：C 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的交运算，属基础题. 2.在平面内，复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 化简复数 ，再根据几何意义辨析即可得到答案. 【详解】 所对应的点为 ， 所以复数 所对应的点在第四象限. 【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义，属于基础题. 3.函数 的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 { }1,0,1M = − 2{ | 2 3 0, }N x x x x Z= − − < ∈ M N = { }1,0− { }1,0,1− { }0,1 { }0,1,2 N 2{ | 2 3 0, } { | ( 3)( 1) 0, }N x x x x Z x x x x Z= − − < ∈ = − + < ∈ { | 1 3, } {0,1,2}x x x Z= − < < ∈ = { }1,0,1M = − {0,1}M N∩ = 1 2 i i + 1 2 i i + 1 (1 ) 1 1 1 2 2 2 2 2 i i i i ii + − + − += = = − 1 1( , )2 2 − 1 2 i i + l ne xy = (0, )+∞ [0, )+∞ ( , )e +∞ ( , )−∞ +∞先求出定义域，再化简解析式即可得到答案. 【详解】要使函数 有意义则 ，即函数定义域为 ， 又 ， 由一次函数的单调性可知函数 在 上单调递增. 故选：A 【点睛】本题主要考查求函数 单调增区间，属基础题. 4.已知椭圆 C： ， 、 为左右焦点，过点 的直线与椭圆交于 A、B 两点，则 的周 长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义即可得 ，从而得到答案. 【详解】由 ，有 因为 A、B 两点在椭圆上， 、 为左右焦点， 所以 ， 所以 的周长为 . 故选：D 【点睛】本题考查椭圆的定义，利用定义解决三角形周长问题，属于基础题. 5.某几何体被挖去一部分，剩余部分的三视图如图所示，俯视图是半径为 r 的圆，若该几何体的体积为 ， 则它的表面积是（ ） 的 ln xy e= 0x > (0, )+∞ ln xy e x= = ln xy e= (0, )+∞ 2 2 19 4 x y+ = 1F 2F 1F 2ABF 1 2 1 2| | | | | | | | 2AF AF BF BF a+ = + = 2 2 19 4 x y+ = 3a = 1F 2F 1 2 1 2| | | | | | | | 2 6AF AF BF BF a+ = + = = 2ABF∆ 1 2 1 2| | | | + | | | | 4 12AF AF BF BF a+ + = = 3 πA. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可知该几何体是一个底面半径和高均为 的圆柱挖掉了一个半径为 的半球构成的，根据体积求出 ，再利用表面积公式即可得到答案. 【详解】由三视图可得该几何体是一个底面半径和高均为 的圆柱 挖掉了一个半径为 的半球构成的, 所以该几何体的体积为 ， 解得 ，所以该几何体的表面积为： 故选：C 【点睛】本题考查由几何体的三视图求表面积的问题，属于基础题. 6.从集合 中随机选取一个数记为 ,从集合 中随机选取一个数记为 ,则直线 不经过第三象限的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 直 线 不 经 过 第 三 象 限 即 ， 设 点 为 ， 则 一 共 有 九种情况，符合的有： 两 3π 4π 5π 6π r r r r r 3 3 32 1 3 3 3V r r r ππ π π= − = = 1r = 2 2 2 22 2 5 5S r r r rπ π π π π= + + = = { }1,1,2A = − k { }2,1,2B = − b y kx b= + 2 9 1 3 4 9 5 9 y kx b= + 0{ 0 k b < ≥ ( ),k b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 2 , 1,1 , 1,2 , 1, 2 , 1,1 , 1,2 , 2, 2 , 2,1 , 2,2− − − − − − ( ) ( )1,1 , 1,2− −种情况，所以概率为： ，选 A． 考点：古典概型． 7.执行如图的程序框图，如果输入的 ， ， ，则输出的 等于（ ） A. 64 B. 63 C. 32 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】 模拟程序框图的运行过程，得出该程序的输出算式是求数列的和，即可得到答案. 【详解】模拟程序框图的运行过程，得出该程序的输出的算式， 因为输入的 ， ， ，共循环 6 次，得出 . 故选：B. 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属基础题. 8.函数 ，则满足 的 x 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2 9p = 6i = 1v = 2x = v 6i = 1v = 2x = 5 4 3 2 12 2 2 2 2 1 63v = + + + + + = 0 0( ) 1 0 xf x x (4 ) ( ) 16 8f t f t t− − ≥ − [2, )+∞ [0, )+∞ ( ,2]−∞ 2( ) ( )g x f x x= − (4 ) ( )g t g t− ≥ ( )g x调性即可得到答案. 【详解】令 ， 因为在 上 ，所以 ， 所以函数 在 上单调递增. 又因为 ，有 ， 所以 ， 所以 为奇函数，所以函数 在 上单调递增. 若 ,则 ， 所以 ，所以 即 . 故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，属于难题. 二、填空题： 11.在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a=9，c=5， ，则 b=_______ 【答案】8 【解析】 【分析】 根据已知条件利用余弦定理 即可得到答案. 详解】依题意，由余弦定理 得： ， 即 ，解得 或 （舍） 故答案为： 【点睛】本题考查余弦定理相关简单的计算问题，属基础题. 12.若实数 x，y 满足 ，则 的最大值为_______ 【 2( ) ( )g x f x x= − ( ) ( ) 2g x f x x′ ′= − (0, )+∞ ( )f x′ 2x> ( ) 0g x′ > ( )g x (0, )+∞ ∀ x∈R 2( ) ( ) 2 0f x f x x+ − − = 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0g x g x f x x f x x+ − = − + − − = ( )g x ( )g x R (4 ) ( ) 16 8f t f t t− − ≥ − 2 2(4 ) (4 ) ( )f t t f t t− − − ≥ − (4 ) ( )g t g t− ≥ 4 t t− ≥ 2t ≤  1cos 10A = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 19 5 2 5 10b b= + − × × 2 56 0b b− − = 8b = 7b = − 8 2 0 0 0 x y x y x + − ≤  − ≤  ≥ 22 x y+【答案】8 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，令 ，利用几何意义求出 的最大值即可得到答案. 【详解】不等式组所对应的平面区域如下图（阴影部分）所示： 令 ，则 ， 由图像可知当直线 经过点 时， 直线 的截距最大，此时 最大. 由 解得 ，即 , 所以 最大值为 ， 又因为函数 在 上单调递增， 所以 的最大值为 【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，将目标函数转化为常规的目标函数是解题的关键，考查数形 结合的思想，属于基础题. 13.在 ABC 中， ， ，BC=2，则 =________ 【答案】 【解析】 【分析】 利用平面向量的三角形法则将 用 和 表示，然后进行数量积的运算即可得到答案. 【详解】依题 ， 所以 2z x y= + 2z x y= + 2z x y= + 2y x z= − + 2y x z= − + B 2y x z= − + z 2 0 0 x y x y + − =  − = 1 1 x y =  = (1,1)B z 2+1=3z = =2xy R 22 x y+ 32 8=  60C∠ =  1AC = AB BC⋅  3− AB AC BC AB AC CB AC BC= + = −     2 ( )AB BC AC BC BC AC BC BC⋅ = − = ⋅ −       故答案为： 【点睛】本题考查平面向量的三角形法则及数量积的运算，属基础题. 三、解答题 14.已知数列 满足： （1）求数列 的通项公式 （2）若 ，且 ，求 m 的值 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）令 ，可得 的值，当 时，用作差法即可得到数列 的通项公式，注意对 的值进行验 证. （2）求出数列 的通项公式，用裂项相消法求出 ，利用已知条件即可求得答案. 【详解】（1）因为数列 满足 所以当 时， ； 当 时，由 得 ， 两式相减得 ， 所以 ，且 符合此式， 数列 通项公式为 . （2）由（1）知， ， 所以 的 2cos60 4 3= − = − 3− { }na 2 * 1 2 32 3 ( )na a a na n n N+ + + + = ∈ { }na 2 1 (2 )n n b n n a = + 1 2 16 33mb b b+ + + = 12 ( )na n Nn ∗= − ∈ 16 1n = 1a 2n ≥ { }na 1a { }nb 1 2 mb b b+ + + { }na 2 * 1 2 32 3 ( )na a a na n n N+ + + + = ∈ 1n = 1 1a = 2n ≥ 2 1 2 32 3 na a a na n+ + + + = 2 1 2 32 3 ( 1) ( 1)na a a n a n+ + + + − = − 2 2( 1) 2 1nna n n n= − − = − 12na n = − 1 1a = { }na 12 ( )na n Nn ∗= − ∈ 1 2 12n na n n −= − = 2 1 1 (2 1)(2 ) (2 1) n n b nn n a n n n = = −+ +所以 ， 解得 . 【点睛】本题主要考查运用数列的通项与前 项和的关系求通项及用列项相消法求和，属于中档题. 15.在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，菱形 ABCD 的边长为 2，且 ，点 E、F 分别是 PA， CD 的中点， （1）求证：EF 平面 PBC （2）若 PC 与平面 ABCD 所成角的大小为 ，求 C 到平面 PBD 的距离 【答案】（1）证明见详解；（2） 【解析】 【分析】 （1）取 的中点 ,连接 ，由三角形中位线的性质可证 ，即可证明平面 平面 ，从而得证结论. （2）将点到面 距离问题转化为求三棱锥的高的问题，利用等体积法即可得到答案. 【详解】 （1）如图取 的中点 ,连接 , 因为点 E、F 分别是 PA，CD 的中点， 所以 分别为 和 中位线， 所以 , 又 , 所以平面 平面 ,所以 平面 的 1 1 1 1= )(2 1)(2 1 2 2 1 2 1n n n n = −− + − +（） 1 2 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1mb b b m m + + + = − + − + + −− +  1 1 16(1 )2 2 1 2 1 33 m m m = − = =+ + 16m = n ⊥ 60DAB∠ = ° / / 45° 2 15 5 PD G ,EG FG / / , / /EG AD FG PC / /EFG PBC PD G ,EG FG ,EG FG PAD△ PCD / / , / /EG AD FG PC =EG FG G∩ / /EFG PBC / /EF PBC（2）连接 交于点 ,连接 . 设点 到平面 的距离为 因为菱形 ABCD 的边长为 2，且 ， 所以 ，且 为等边三角形， 所以 ,且 , 因为 平面 所以 即为直线 与平面 所成的角， 所以 ，所以 , 又四边形 为菱形，所以 , 所以 ,所以 又 , 所以 的面积为 所以 依题 为三棱锥 的高， 且 的面积为 ， 所以三棱锥 的体积为 , 又因为 ，所以 ，解得 ， 所以点 到平面 的距离为 . 【点睛】本题主要考查线面平行、面面平行的判定以及用等体积法求点到面的距离，属中档题. 16.已知 AOB 的一个顶点 O 是抛物线 C： 的顶点，A、B 两点都在 C 上，且 =0， （1）证明：直线 AB 恒过定点 P（2，0） （2）求 AOB 面积的最小值 ,AC BD O PO C PBD h 60DAB∠ = ° AC BD⊥ ABD△ 2BD = 2 22 2 4 1 2 3AC AB BO= − = − = PA ⊥ ABCD PCA∠ PC ABCD 45PCA∠ =  2 3PA AC= = ABCD PAB PAD≅  PB PD= PO BD⊥ 2 2 12 3 15PO PA AO= + = + = PBD△ 1 1 15 2 152 2PBDS PO BD= ⋅ = × × =  1 15 3 3C PBD PBDV S h h− = =  PA P BCD− BCD 1 1 2 3 32 2BCDS BD OC= ⋅ = × × =  P BCD− 1 1 2 3 3 23 3P BCD BCDV PA S− ∆= ⋅ = × × = P BCD C PBDV V− −= 15 23 h = 2 15 5h = A PCD 2 15 5h =  2 2y x= OA OB⋅  【答案】（1）证明过程见详解；（2）4. 【解析】 分析】 （1）由 得 所在直线与 所在的直线垂直，设出直线方程，与抛物线方程联立求出 、 两点的坐标，由两点式得直线 AB 的方程，化简整理即可得到答案. （2）由（1）的结论设出直线 AB 的方程，联立直线与抛物线的方程化简，由根与系数的关系及弦长公式即 可求得 的面积的表达式，利用二次函数的性质即可得到答案. 【详解】（1）依题设 所在的直线为 ， 因为 ，所以 ， 所以 所在的直线为 , 由 解得 或 ， 所以 点的坐标为 . 同理由 可得 点的坐标为 所以 所在的直线方程为 ， 化简整理得： ， 所以对任何不为 0 的实数 ，当 时，恒有 ， 所以直线 AB 恒过定点 . （2）由（1）知直线 AB 恒过定点 ， 则可直线 AB 的方程为 ，设 【 0OA OB⋅ =  OA OB A B AOB OA ( 0)y kx k= ≠ 0OA OB⋅ =  OA OB⊥  OB 1 ( 0)y x kk = − ≠ 2 2 y kx y x =  = 0 0 x y =  = 2 2 2 x k y k  =  = A 2 2 2( , )k k 2 1 2 y xk y x  = −  = B 2(2 , 2 )k k− AB 2 2 2 2 2 2 ( 2 )2 2 kky k x k kk + + = − − 1( ) 2k y xk − = − k 2x = 0y = (2,0)P (2,0)P 2x my= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y由 得 , 则 所以 ， 所以 所以当 时， 的面积取得最小值为 【点睛】本题以直线与抛物线作为问题背景，考查平面向量数量积，直线的位置关系，直线的方程及恒过 点问题，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生推理论证能力、运算求解能力，体现了逻辑推理、数 学运算的核心素养. 17.已知函数 ， ，直线 与曲线 y=f（x）和 y=g（x）分别交 于 M，N 两点，设曲线 y=f（x）在点 M 处的切线为 ，在点 N 处的切线为 （1）当 b=1 时，若 ，求 a 的值 （2）若 ，求实数 a 的取值范围 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）求导，利用导数的几何意义求出两条直线的斜率，利用两条直线垂直斜率的关系即可得到答案. （2）如（1）的做法利用两直线平行的斜率的关系即可得到关于 的方程，构造函数，利用导数研究此 函数的单调性，根据单调性即可得到实数 a 的取值范围. 【详解】依题函数 的定义域为 ，且 ， 函数 的定义域为 ,且 2 2 2 x my y x = +  = 2 2 4 0y my− − = 1 2 1 22 , 4y y m y y+ = = − 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) 4y y y y y y y y− = − = + − 2 2(2 ) 16 2 4m m+ = + 1 2 1 1= | || | | || |2 2AOB AOP BOPS S S OP y OP y+ = +    1 2 1 2 1 1| | (| | | |) | || |2 2OP y y OP y y= + = − 2 21 2 2 4 2 42 m m= × × + = + 0m = AOB 4 ( ) lnf x x x= 2( ) ( )2 ag x x x a R= + ∈ ( 0)x b b= > 1l 2l 1 2l l⊥ 1 2l l// 2a = − ( 10, ]e a b、 ( )f x (0, )+∞ ( ) ln 1f x x′ = + ( )g x R ( ) 1g x ax′ = +（1）当 时，直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 若 ，则若 ，所以 ，即 . （2）直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ， 若 ，则 ，所以 ，即 ， 令 ，则 的定义域为 所以 ，令 ，解得 . 当 时， ；当 时， . 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 在 处取得最大值 ， 所以实数 的取值范围为 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的值域等问题， 属中档题. 18.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （ 为参数），在以 O 为极点，x 轴的非负半 轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程 （2）设直线 l 与 x 轴交于点 P，且与曲线 C 相交与 A、B 两点，若 是 与 的等比中项，求实数 m 的值 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 1b = 1l 1 (1) ln1 1 1k f ′= = + = 2l 2 (1) 1k g a′= = + 1 2l l⊥ 1 2 1k k = − 1 1a + = − 2a = − 1l 1 ( ) ln 1k f b b′= = + 2l 2 ( ) 1k g b ab′= = + 1 2l l// 1 2k k= ln 1 1b ab+ = + ln ( 0)ba bb = > ln( ) xH x x = ( )H x (0, )+∞ 2 1 ln( ) xH x x −′ = ( ) 0H x′ = x e= (0, )x e∈ ( ) 0H x′ > ( , )x e∈ +∞ ( ) 0H x′ < ( )H x (0, )e ( , )e +∞ ( )H x x e= ln 1( ) eH e e e = = a ( 10, ]e 3 4 x m t y t = +  = t = cos 2 4 cosρ ρ θ θ+ AB PA PB 2 2y x= 9 40m = −（1）将 用三角函数倍角公式展开化简整理，用极坐标与直角坐标转换公式代入即 可得到答案. （2）转化直线的参数方程，利用直线参数方程的几何意义结合已知条件即可得到答案. 【详解】（1）因为 ，则 所以 ，即 ， 将 代入上式即得 . 所以直线 C 的直角坐标方程 . （2）依题得 点坐标为 ， 令 则直线 l 的参数方程化为 （ 为参数）代入 得： 即 . 依题得 ，所以 . 设 A、B 两点所对应的参数分别为 由根与系数的关系可得 ， . 因为 是 与 的等比中项， 所以 即 ， 所以 当 时显然不符合题意，故 所以 即 ， 所以 【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的相互转化，以及利用直线参数方程的几何意义的求解，属于中 档题. = cos 2 4 cosρ ρ θ θ+ = cos 2 4 cosρ ρ θ θ+ ρ θ θ− =(1 cos 2 ) 4 cos ρ θ θ=22 si n 4 cos 2 2sin 2 cosρ θ ρ θ= cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 2y x= 2 2y x= P ( ,0)m 5s t= 3 5 4 5 x m s y s  = +  = s 2 2y x= 216 32( )25 5t m t= + 28 15 25 0s s m− − = 225 800 0m∆ = + > 9 32m > − 1 2,s s 1 2 15 8s s+ = 1 2 25 8 ms s⋅ = − AB PA PB 2 | | | |AB PA PB= ⋅ 2 1 2 1 2( ) | | | |s s s s− = ⋅ 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 | |s s s s s s+ − ⋅ = ⋅ 0m ≥ 0m < 2 1 2 1 2( ) 5s s s s+ = ⋅ 215 25( ) 5( )8 8 m= − 9 40m = −19.已知函数 ， （1）当 a=-1 时，求不等式 的解集 （2）若 ， 恒成立，求 a 的取值范围 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）当 时，不等式 即为 ，利用零点分段法即可求出不等式 的解集. （2） ，即 恒成立，分离参数求最值，即可求得 的取 值范围. 【详解】（1）当 时， 所以不等式 即为 ， 所以当 时，不等式可化为 ， 解得 ，又 ，所以 ； 当 时，不等式可化为 ， 解得 ，又 ，所以 ； 当 时，不等式可化为 ， 解得 ，又 ，所以 . 综上所述， ，所以原不等式的解集为 . （2） ，即 恒成立， 所以 恒成立， 所以 恒成立， 令 ， ( ) | 2 |f x x a= + a R∈ ( ) | 1| 3 0f x x+ + − ≤ [1,2]x∀ ∈ 2( ) 1f x x< + { | 1 1}x x− ≤ ≤ ( 4,0)− 1a = − ( ) | 1| 3 0f x x+ + − ≤ | 2 1| | 1| 3x x− + + ≤ 2[1,2], ( ) 1x f x x∀ ∈ < + 2[1,2],| 2 | 1x x a x∀ ∈ + < + a 1a = − ( ) | 2 1|f x x= − ( ) | 1| 3 0f x x+ + − ≤ | 2 1| | 1| 3x x− + + ≤ 1x ≤ − (2 1) ( 1) 3x x− − − + ≤ 1x ≥ − 1x ≤ − 1x = − 11 2x− < < (2 1) ( 1) 3x x− − + + ≤ 1x ≥ − 11 2x− < < 11 2x− < < 1 2x ≥ (2 1) ( 1) 3x x− + + ≤ 1x ≤ 1 2x ≥ 1 12 x≤ ≤ 1 1x− ≤ ≤ { | 1 1}x x− ≤ ≤ 2[1,2], ( ) 1x f x x∀ ∈ < + 2[1,2],| 2 | 1x x a x∀ ∈ + < + 2 2[1,2], 1 2 1x x x a x∀ ∈ − − < + < + 2 2[1,2], 2 1 2 1x x x a x x∀ ∈ − − − < < − + 2 2( ) 2 1 ( 1)g x x x x= − − − = − + 2 2( ) 2 1 ( 1)h x x x x= − + = −则有 由二次函数性质得在区间 上 ，所以 ， 所以 的取值范围为 . 【点睛】本题考查含绝对值的不等式解法，以及恒成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想. max min[1,2], ( ) ( )x g x a h x∀ ∈ < < [1,2] max( ) (1) 4g x g= = − min( ) (1) 0h x h= = 4 0a- < < a ( 4,0)−