2020届河南省焦作市高三年级第一次模拟数学文科试题（解析版）

焦作市普通高中 2019—2020 学年（上）高三年级第一次模拟考试 文科数学 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合 ，求得集合 ，再根据集合的交运算求得结果即可. 【详解】依题意得 ， 解得 ，即 ， 所以 . 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题. 2.已知复数 满足 ( 为虚数单位），则复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为 ，所以 ，选 B. { }| 0 4M x x= ≤ ≤ { }| 3 ,N x y x y M= = − ∈ M N∩ = [ ]0,3 [ ]0,4 [ ]1,4− [ ]1,3− M N 0 3 4x≤ − ≤ 1 3x− ≤ ≤ { }| 1 3N x x= − ≤ ≤ { }| 0 3M N x x∩ = ≤ ≤ z ( )21 1i iz + = − i z = 1 i+ 1 i− + 1 i− 1 i− − ( )21 1i iz + = − 2 2 (1 ) 11 2 i iz i ii = = + = −−3.人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI＝体重÷身高 （体重单位为 ，身高单位为 ）.其判定标 准如下表： BMI 18.5 以下 18.5～23.9 24～29.9 30 以上 等级 偏瘦 正常 超标 重度超标 某小学生的身高为 ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意中给出的体重计算公式，即可对体重进行估算. 【详解】题意得，体重＝BMI×身高 ，因为此人属于超标，所以 ， 所以此学生的体重范围为 ， 即 ， 故选：C. 【点睛】本题考查实际问题中，函数值域的求解，属基础题. 4.若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为( ) A. 9 B. 6.5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得. 【详解】不等式组所表示的可行域为下图中的 ， 2 kg m 1.5m 47kg 51kg 66kg 70kg 2 [ ]24,29.9BMI ∈ 2 224 1.5 ,29.9 1.5 × ×  [ ]54,67.275 x y 1 1 3 3 x y x y x y + ≥  − ≥ −  + ≤ 4 3z x y= + ABC∆因为目标函数与直线 平行， 故当目标函数对应的直线经过点 时， 取得最小值 3. 故选：D. 【点睛】本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题. 5.若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 ，即可求得答案. 【详解】 . 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换求值，解题关键是掌握诱导公式基础知识,考查了分析能力和计算能 力,属于基础题. 6.某种微生物的繁殖速度 与生长环境中的营养物质浓度 相关，在一定条件下可用回归模型 进 行拟合.在这个条件下，要使 增加 2 个单位，则应该( ) A. 使 增加 1 个单位 B. 使 增加 2 个单位 C. 使 增加到原来的 2 倍 D. 使 增加到原来的 10 倍 4 3y x= − ( )0,1B z 2 1cos 5 2 π α + =   sin 10 πα − =   3 2 − 1 2 − 1 2 3 2 2sin sin10 5 2 π π πα α   − = + −        2sin sin10 5 2 π π πα α   − = + −       2 1cos 5 2 π α = − + = −   ∴ 1sin 10 2 πα − = −   y x 2lgy x= y x x x x【答案】D 【解析】 【分析】 根据 的增加量，根据题意，进行对数运算，即可求得结果. 【详解】设 的增加量为 ， 的增加量为 ， 故可得 ，解得 ， 故要使得 增加 2 个单位， 应增加到原来的 10 倍. 故选：D. 【点睛】本题考查回归模拟，本质是考查对数的运算，属综合基础题. 7.已知 ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 ，得 ，即可求得答案. 【详解】由 ， 得 . ， ， 向量 与 的夹角为 . 故选：C 【点睛】本题考查向量数量积，考查运算求解能力以及函数与方程思想,属于基础题. 8.某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为 1， 是线段 上的点，则在原三棱柱中， 的最小值为( ) . y y 1 2y y y= − x 1 2x x x= − 1 1 2 2 2 2 2lg 2xy lgx lgx x = − = = 1 2 10x x = y x ( ) ( )2a b a b a b+ ⋅ − = ⋅      2a b=  a b 120° 90° 60° 45° ( ) ( )2a b a b a b+ ⋅ − = ⋅      2 2 2 2 cos , 0a b a b a b− − ⋅ =      ( ) ( )2a b a b a b+ ⋅ − = ⋅      2 2 2 2 cos , 0a b a b a b− − ⋅ =       2a b=  ∴ 1cos , 2a b =  ∴ a b 60° K DI AK CK+A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将展开图折成立体图形，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，即可求得结果. 【详解】将展开图折成立体图形，如下图所示： 然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如下图所示. 因为 ， ，所以 ， 即 的最小值为 . 故选：B. 【点睛】本题考查几何体的还原，以及几何体上距离的最值问题，属综合性基础题. 9.已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇函数，则下列说法正确的个数为( ) 65 73 4 5 89 8AJ = 3CJ = 2 23 8 73AC = + = AK CK+ 73 ( )f x R ( )1f x+ ( )1f x −① ；② 的一个周期为 8；③ 图象的一个对称中心为 ；④ 图象的一条对称 轴为 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 是偶函数， 是奇函数，则可得函数周期，根据函数的周期性，即可对每个选项进行 逐一分析，从而求得结果. 【详解】因为 是 的对称轴， 是 的对称中心， 所以 是周期函数，且 8 为函数 的一个周期，故②正确； ，故①正确； 因 每隔半个周期出现一个对称中心， 所以 是函数 的对称中心，故③正确； ，所以 不是函数 的图像的对称轴，故④错误. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的周期性和对称性，属函数性质综合基础题. 10.将函数 图象上所有的点按照向量 平移得到函数 的图象，若 ，则 的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出函数 对称轴，根据与 最近的对称轴求得点 关于该对称轴的对称点， 即可计算求得结果. 为 的 ( )7 0f = ( )f x ( )f x ( )3,0 ( )f x 2019x = ( )1f x+ ( )1f x − 1x = ( )f x ( )1,0− ( )f x ( )f x ( )f x ( ) ( )7 1 0f f= − = ( )3,0 ( )f x 2019 8 252 3x = = × + 2019x = ( )f x ( ) sin 3f x x π = +   ( )( ),0 0m a a= ≠ ( )g x 3 3 5 5f g π π   =       a 4 15 π 13 30 π 13 15 π 17 15 π ( )f x 3 5x π= 3 3,5 5P f π π       【详解】令 得 图像的对称轴为 ， 其中距离 最近的对称轴为 . 点 关于直线 对称 点为 . 要使 最小，则 . 故选：C. 【点睛】本题考查由正弦型函数的图像变换，求参数值的问题，属基础题. 11.已知函数 ，若 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 画出函数 的图象，设 ，则 .由 ， ，得 ， ， .设函数 ， ，结合函数图像，即可求 得答案. 【详解】函数 的图象如下图所示. 设 ，则 . 由 ， ，得 ， ， 的 3 2x k π ππ+ = + ( )f x ( ) 6x k k Z ππ= + ∈ 3 5x π= 6x π= 3 3,5 5P f π π        6x π= 4 3' ,15 5P f π π  −      a 3 4 13 5 15 15a π π π= + = ( ) 1 2 12 log , 18 2 ,1 2x x x f x x  + ≤ > A B 4OA OB⋅ = −  AOB∆ 4 2 E 2 3 5 AOx θ∠ = tanθ ,a b 0 2AOx πθ θ ∠ = < ∴ [ )850,950m∈ 1 600c = 850 3 0.8600 4 m − + = 880m = ∴ { }na n nS 1 1a = 1 2 1n nS S+ = + { }1nS + n 2 2logn nS k a +< k 1279, 8      1 2 1n nS S+ = + ( )1 1 2 1n nS S+ + = + 1 1 21 n n S S + + =+ 2 2logn nS k a +< ( )2 1 1n k n− < + 2 1xy = − ( )1y k x= +【详解】（1）由 ， 得 ， 即 ， 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列. （2）由（1）知数列 的通项公式为 ， . 当 时， ， 也符合该式， . 由 ，得 ， 结合函数 ， 的图像可知， 若原不等式的解集中有 6 个正整数， 则 ，解得 . 实数 的取值范围为 . 【点睛】本题考查数列的递推公式及数列的函数性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档 题. 19.如图，已知四棱锥 ，平面 平面 ，四边形 是菱形， 是等边三角形， ， . （1）证明： ； 1 2 1n nS S+ = + ( )1 1 2 1n nS S+ + = + 1 1 21 n n S S + + =+ ∴ { }1nS + 1 1 2a + = 2 { }1nS + 1 2n nS + = ∴ 2 1n nS = − 2n ≥ 1 1 1 2 2 2n n n n n na S S − − −= − = − = 1 1a = ∴ 12n na -= 2 2logn nS k a +< ( )2 1 1n k n− < + 2 1xy = − ( )1y k x= + ( ) ( ) 6 7 2 1 6 1 2 1 7 1 k k  − < + − ≥ + 9 127 8 k k > ≤ ∴ k 1279, 8      S ABCD− SAD ⊥ ABCD ABCD SAD∆ 120BAD∠ = ° 2AB = SC BC⊥（2）设点 在棱 上，且 ，若点 到平面 的距离为 ，求 的值. 【答案】（1）答案见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）要证 ，只需证 平面 ，即可求得答案； （2）连接 .因为 ， ，可得 .由（1）知 ，根据平面 平面 ，可得 平面 .结合已知，即可求得答案； 【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， . ， . 连接 . 四边形 是菱形，且 ， ， . ， 平面 ， . 又在菱形 中， ， . （2）连接 . ， ， . 由（1）知 ， E SD SE SDλ= E SBC 6 3 λ 2 3 λ = SC BC⊥ AD ⊥ SCH BD 2AB = 120BAD∠ = ° 1 sin 32BCDS BC CD BCD∆ = × × × ∠ = SH AD⊥ SAD ⊥ ABCD SH ⊥ ABCD AD H CH SH  SA SD= ∴ SH AD⊥ AC  ABCD 120BAD∠ = ° ∴ AC CD= ∴ CH AD⊥  SH CH H∩ = ∴ AD ⊥ SCH ∴ AD SC⊥ ABCD / /BC AD ∴ SC BC⊥ BD  2AB = 120BAD∠ = ° ∴ 1 sin 32BCDS BC CD BCD∆ = × × × ∠ = SH AD⊥平面 平面 ， 平面 . . 由（1）知 ， ， 设 到平面 的距离为 ， 由 ， 解得 . 根据相似知 . 【点睛】本题考查空间线面的位置关系、等体积法求点到平面的距离，考查空间想象能力以及数形结合思 想. 20.设椭圆 ： 的左顶点为 ，右焦点为 ，已知 . （1）求椭圆 的方程； （2）抛物线 与直线 交于 ， 两点，直线 与椭圆 交于点 （异于点 ）， 若直线 与 垂直，求 的值. 【答案】（1） ；（2）2. 【解析】 【分析】 （1）根据 ，结合 ，解方程组即可求得椭圆方程； （2）根据题意，先求出点 的坐标，再写出直线 方程，联立椭圆方程，求得点 ，再根据向量 ，即可得到 的方程，求解即可得到结果. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为 ，则 .  SAD ⊥ ABCD ∴ SH ⊥ ABCD ∴ 1 13S BCD BCDV S SH− ∆= × × = SC BC⊥ ∴ 1 62SBCS BC SC∆ = × × = D SBC h 1 3S BCD D SBC SBCV V S h− − ∆= = × × 6 2h = 6 23 36 2 λ = = C ( )2 2 2 1 1x y aa + = > A F 2 3AF = + C ( )2 2 0y px p= > 2x = P Q AP C B A BQ AP p 2 2 14 x y+ = 2 3a c+ = + 2 2 1a c− = ,P Q AB B 0AP BQ⋅ =  p c 2 3AF a c= + = +又因为 ，所以 . 解得 ， . 所以椭圆 的方程为 . （2）将 代入 得 ， 不妨取 ， ， 由（1）可知 ，从而直线 的方程为 . 联立方程组 消去 得 . 设 ，因为点 异于点 ，由根与系数的关系得 ， 所以 ， . 所以 ， . 因为 ，所以 ， 解得 . 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及直线和椭圆相交时，韦达定理的应用，涉及抛物线的方程，属综 合中档题. 21.已知函数 ，其中 . （1）若 ，求 的单调区间； （2）设 的最小值为 ，求 的最大值. 【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 .（2）最大值为 . 【解析】 2 2 1a c− = 2 2 2 3a ca c a c −− = = −+ 2a = 3c = C 2 2 14 x y+ = 2x = 2 2y px= 2y p= ± ( )2,2P p ( )2, 2Q p− ( )2,0A − AP ( )22 py x= + ( ) 2 2 22 14 py x x y  = +  + = y 21 1 04 p x px p + + + − = ( ),B BB x y B A ( )4 12 1B px p −− = + 2 2 1B px p −= + ( ) 222 1B B p py x p = + = + BQ ( )2 24 ,1 1 p pp p p  += −  + +  AP ( )4,2 p= BQ AP⊥ AP BQ⋅  ( )4 216 01 1 p pp p p += − =+ + 2p = ( ) lnxf x e a x= + 0a < a e= − ( )f x ( )f x m m ( )0,1 ( )1,+∞ e【分析】 （1）若 ，则 ，定义域为 . .令 ， 则 在 上单调递增，且 ，即可求得答案； （2） ， .令 ，则 在 上单调递增. ， ，由存在 ，使得 ，即 ，结合已知，即可求得答案. 【详解】（1）若 ，则 ，定义域为 . . 令 ，则 在 上单调递增，且 ， 在 上， ，即 ； 在 上， ，即 . 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . （2） ， . 令 ，则 在 上单调递增. ， ， 存在 ，使得 ，即 . 在 上， ，即 ； 在 上， ，即 . 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 令 ，则 . a e= − ( ) lnxf x e e x= − ( )0, ∞+ ( )' x x e xe ef x e x x −= − = ( ) xg x xe e= − ( )g x ( )0, ∞+ ( )1 0g = ( ) xxe af x x +′ = 0x > ( ) xh x xe a= + ( )h x ( )0, ∞+  ( )0 0h a= < ( ) ( )1 0a ah a ae a a e− −− = − + = − > ( )0 0x ∈ + ∞, ( )0 0h x = 0 0e 0xx a+ = a e= − ( ) lnxf x e e x= − ( )0, ∞+ ( )' x x e xe ef x e x x −= − = ( ) xg x xe e= − ( )g x ( )0, ∞+ ( )1 0g = ∴ ( )0,1 ( ) 0g x < ( )' 0f x < ( )1,+∞ ( ) 0g x > ( )' 0f x > ∴ ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) xxe af x x +′ = 0x > ( ) xh x xe a= + ( )h x ( )0, ∞+  ( )0 0h a= < ( ) ( )1 0a ah a ae a a e− −− = − + = − > ∴ ( )0 0x ∈ + ∞, ( )0 0h x = 0 0e 0xx a+ = ( )00, x ( ) 0h x < ( )' 0f x < ( )0 ,x +∞ ( ) 0h x > ( )' 0f x > ∴ ( )f x ( )00, x ( )0 ,x +∞ ∴ ( ) 0 0 0 0 0 0 0ln lnx x xm f x e a x e x e x= = + = − ( )0 0 01 lnxe x x= − ( ) ( )1 lnxx e x xϕ = − ( ) ( )' 1 lnxx e x xϕ = − +， ，又 ， 在 上， ，在 上， . 在 上单调递增，在 上单调递减. 的最大值为 ， 的最大值为 . 【点睛】本题考查导数与函数的单调性、利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与转化思 想. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分. 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （ 为参数）. （1）求直线 和曲线 的普通方程； （2）设 为曲线 上的动点，求点 到直线 距离的最小值及此时 点的坐标. 【答案】（1） ， ；（2） ， . 【解析】 【分析】 （1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程； （2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得. 【详解】（1）直线 的普通方程为 . 在曲线 的参数方程中， ， 所以曲线 的普通方程为 . （2）设点 .  0x > ∴1 0x+ > ( )' 1 0ϕ = ∴ ( )0,1 ( )' 0xϕ > ( )1,+∞ ( )' 0xϕ < ∴ ( )xϕ ( )0,1 ( )1,+∞ ∴ ( )xϕ ( )1 eϕ = ∴ m e xOy l 38 2 2 x t ty  = − +  = t C 23 2 3 x s y s  = = s l C P C P l P 3 8 0x y− + = 2 4y x= 5 2 ( )3, 2 3 l 3 8 0x y− + = C 2 212 4y s x= = C 2 4y x= ( )23 ,2 3P s s点 到直线 的距离 . 当 时， ，所以点 到直线 的距离的最小值为 . 此时点 的坐标为 . 【点睛】本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题. 23.已知 ， ， 为正数，且 ，证明： （1） ； （2） . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用均值不等式 即可求证； （2）利用 ，结合 ，即可证明. 【详解】（1）∵ ，同理有 ， ， ∴ . （2）∵ ，∴ . 同理有 ， . ∴ P l ( )223 6 8 3 1 5 2 2 s s sd − + − += = 1s = min 5 2d = P l 5 2 P ( )3, 2 3 a b c 1abc = ( )( )( )2 1 2 1 2 1 27a b c+ + + ≥ ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 1 3 4a b c b a c c a b + + ≤ + + + 33a b c abc+ + ≥ ( )2 1 4 ab a b ≤ + 1abc = 3 22 1 1 3a a a a+ = + + ≥ 3 22 1 3b b+ ≥ 3 22 1 3c c+ ≥ ( )( )( ) 3 2 2 22 1 2 1 2 1 27 27a b c a b c+ + + ≥ = ( )2 2 22 4a b a ab b ab+ = + + ≥ ( )2 1 4 ab a b ≤ + ( )2 1 4 ac a c ≤ + ( )2 1 4 bc b c ≤ + ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 1 a b c b a c c a b + + + + + ( ) ( ) ( )2 2 2 abc abc abc a b c b a c c a b = + + + + + ( ) ( ) ( )2 2 2 bc ac ab b c a c a b = + + + + +. 【点睛】本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及 的妙用，属综合性中档题. 1 1 1 3 4 4 4 4 ≤ + + = 1