2020届黑龙江省海林市朝鲜族中学高三上学期期末数学（文）试题（解析版）

2020 届黑龙江省海林市朝鲜族中学高三上学期期末数学(文)试题 一､选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1.若集合 ， ， ，那么 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合的补集和交集的进行求解即可. 【详解】因为 ， ，所以 ，因为 ，所以 . 故选：B. 【点睛】本题考查了集合的补集和交集的定义，属于基础题. 2.下列函数中,既是偶函数又在 上单调递增的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：易知 是奇函数，A 错； 在 不是增函数，B 错； 在 上是减函数，C 错；只有 既是偶函数又在 上单调递增. 考点：函数的奇偶性及单调性. 3.对命题 的否定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据特称命题的否定即可得出结论. { }1,2,3,4,5,6,7,8U = { }2,5,8A = { }1,3,5B = ( )U A B∩ { }5 { }1,3 { }2,8 { }1,3,4,5,6,7,8 { }1,2,3,4,5,6,7,8U = { }2,5,8A = { }1,3,4,6,7U A = { }1,3,5B = ( ) { }1,3U A B = 3y x= cosy x= lny x= 2 1y x = 3y x= cosy x= lny x= 2 1y x = 2 0 0 00, 2 4 0x x x“ ”∃ < − + ≤ 2 0 0 00, 2 4 0x x x∀ − + >< 20, 2 4 0x x x∀ ≥ − + > 20, 2 4 0x x x∀ > − + > 20, 2 4 0x x x∀ ≥ − + ≥【详解】命题 为特称命题，其否定是“ ”. 故选：A. 【点睛】本题考查了特称命题的否定，属于基础题. 4.下列函数在 上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据四个函数的单调性进行判断即可. 【详解】A：函数 在 是减函数，在 是增函数，所以函数 在 是 增函数，故本选项不符合题意； B：函数 是实数集上的增函数，故本选项不符合题意； C：函数 在 是增函数，故本选项不符合题意； D：函数 ，在 是单调递增函数，在 是单调递减函数，故函数 在 上是减函数，符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了对数型函数、指数函数、二次函数、绝对值型函数的单调性的判断，属于基础题. 5.函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：可以求得 ，所以函数 零点在区间 内．故选 C． 考点：零点存在性定理． 6.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 ．则该几何体的俯视图可以是（ ） 的 2 0 0 00, 2 4 0x x x“ ”∃ < − + ≤ 2 0 0 00, 2 4 0x x x∀ − + >< (0, )+∞ 1y x= + xy e= ln( 1)y x= + ( 2)y x x= − + 1y x= + ( , 1)−∞ − ( 1, )− +∞ 1y x= + (0, )+∞ xy e= ln( 1)y x= + ( 1, )− +∞ 2( 2) ( 1) 1y x x x= − + = − + + ( , 1)−∞ − ( 1, )− +∞ ( )2y x x= − + (0, )+∞ 3( ) ln 9f x x x= + − (0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (2,3) 1 2A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：由已知条件该几何体是一个棱长为 的正方体沿对角面截去一半后的三棱柱，底面为直角边长为 的直角三角形．故选 C． 考点：空间几何体的三视图、直观图． 7.双曲线 mx2＋y2＝1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为(　　) A. 4 B. －4 C. － D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的 倍列方程，解方程求得 的值. 【详解】依题意，双曲线的标准方程为 ，即 ，由于虚轴长是实轴长的 倍， 所以 ，即 ，也即 .故选 C. 【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题. 8.在△ABC 中，AB= ，AC=1， ，△ABC 的面积为 ，则 （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由三角形面积公式得， ,所以 ．显然三角形为直角 1 1 1 4 1 4 2 m 2 2 11 xy m − = − 2 2 11,a b m = = − 2 2b a= 2 24b a= 1 14, 4mm − = = − 3 30B °∠ = 3 2 C∠ = 1 33 | | sin302 2BC °× ⋅ ⋅ = | | 2BC =三角形，且 ，所以 ． 考点：解三角形． 9.已知 ，则方程 根的个数为（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 1 个或 2 个或 3 根 【答案】B 【解析】 【分析】 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 作 出 与 的 图 象 ， 图 象 的 交 点 数 目 即 为 方 程 根的个数. 【详解】作出 ， 图象如下图： 由图象可知： 有两个交点，所以方程 根的个数为 . 故选：B 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般. (1)函数 的零点数 方程 根的个数 与 图象的交点数； (2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题. 10.在数列 中，已知 ，且 ，则 的值是（ ） A. 782 B. 782.5 C. 822 D. 822.5 【答案】A 【解析】 【分析】 . 90A °∠ = C 60°∠ = 0 1a< < logx aa x= ( ) xf x a= ( ) logag x x= logx aa x= ( ) xf x a= ( ) logag x x= ( ) ( ),f x g x logx aa x= 2 ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ⇔ ( ) ( )f x g x= ⇔ ( )f x ( )g x { }na 1 ( *)n na a n n N+ = + ∈ 1 2a = 40a根据递推公式，运用累和法，结合等差数列的前 项和公式进行求解即可. 【详解】由 ， 所以 ， 所以 . 故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列前 项和公式的应用，考查了累加法求通项，考查了数学运算能力. 11.已知点 P 在抛物线 上，那么点 P 到点 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值 时，点 P 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到 和 三点共线且点 在中间时距离和最 小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解． 【详解】由题意，抛物线的方程为 ，所以 ，所以焦点 ， 过点 作准线 的垂线，垂足为 ，由 , 依题意可知当 和 三点共线且点 在中间时距离和最小， 如图所示， 故点 的纵坐标为 ，代入抛物线的方程，求得 ， 所以点 ，故选 A． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，及抛物线的几何性质的应用，其中解答中由抛物线的 n 1 1( *)n n n na a n n N a a n+ += −+ ∈ ⇒ = 39 39 38 38 340 10 7 2 14( ) ( ) ( ) ( ) 39 38 37 1 2a a a a a a a a aa  = − + − + − + − + = + + + + + 40 (39 1) 39 2 7822a + ×= + = n 2 4y x= (2, 1)Q − 1( , 1)4 − (1 ,14 ) (1,2) (1, 2)− ,P Q M P 2 4y x= 2p = (1,0)F M 1x = − M PF PM= ,P Q M P P 1− 1 4x = 1( , 1)4 −性质，当 和 三点共线且点 在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属 于基础题． 12.三棱锥 的四个顶点都在体积为 的球的表面上，底面 ABC 所在的小圆面积为 16π，则该三 棱锥的高的最大值为(　　) A 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 试题分析：由 求得球的半径为 ，由 求得底面 ABC 所在的小圆的 半径 ，则球心 O 到底面 ABC 所在小圆的圆心 H 的距离 ．当点 P 在底面 ABC 的投影与 C 重合时，该三棱锥的高最大，求得最大值为 ．故选 C． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体． 点评：本题考查了由球的体积求半径，由圆的面积求半径，以及勾股定理的应用，是基础题． 二､填空题:本大题共 4 小题, 每小题 5 分 13.已知 且 ，则 最小值为_____． 【答案】12 【解析】 试题分析：由题 =，当且仅当 即 时取等号，由 ，即当且仅当 时取等号 考点：基本不等式 14.设曲线 在 处的切线方程是 ，则 ______， ______. 【答案】 (1). (2). 3 【解析】 【分析】 . 的 ,P Q M P P ABC－ 500 3 π 34 500 3 3V R ππ= = 5R = 4r = 2 2 3OH R r= − = 8PC R OH= + = x 0, y 0> > 3 4x y+ = 4 1 x y + ( )4 1 4 1 4 4 4 4 44 1 5 2 123 3 3 y x y xx yx y x y x y x y      + = + ⋅ + = + + + ≥ + ⋅ =              4y x x y = 2x y= 3 4x y+ = 1 1,4 2x y= = 4y x ax b= + + 1x = y x= a = b = 3−对函数进行求导，利用导数的几何意义和已知切线的方程进行求解即可. 【详解】 ，由于曲线 在 处的切线方程是 ，所以有 且 ，所以 . 故答案为： ；3 【点睛】本题考查了已知曲线的切线求参数问题，考查了导数的几何意义，属于基础题. 15.数列 的通项公式 ，其前 项和 ，则 ________． 【答案】99. 【解析】 【分析】 化简数列的通项公式 ，利用裂项法求和，即可求解． 【详解】由题意，可得 ， ∴ ， 解得 . 【点睛】本题考查了数列的求和及应用，其中解答中化简数列通项公式为 ，利用裂项法求 和是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 16.已知实数 、 满足 ，若 的最大值为 ，最小值为 ，求实数 的取 值范围. 【答案】 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域，利用题中条件找出目标函数 取得最大值和最小值的最优解，根据 题意将直线 与可行域边界线的斜率进行大小比较，可得出实数 的取值范围. 4 ' 3( ) ( ) 4y f x x ax b f x x a= = + + ⇒ = + 4y x ax b= + + 1x = y x= (1) 1 1f a b= + + = ' (1) 4 1f a= + = 3,a = − 3b = 3− { }na 1 1na n n = + + n 9nS = n = 1 1 1na n n n n = = + − + + 1 1 1na n n n n = = + − + + 1 2 ( 2 1) ( 3 2) ... ( 1 )n nS a a a n n= + + + = − + − + + + − 1 1 9n= + − = 99n = 1na n n= + − x y 6 0 0 3 x y x y x − + ≥  + ≥  ≤ z ax y= + 3 9a + 3 3a − a [ ]1,1− z ax y= + z ax y= + a【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示： 由 得 ， 目标函数 的最大值为 ，最小值为 . 当直线 经过点 时，该直线在 轴上的截距最大， 当直线 经过点 时，该直线在 轴上的截距最小， 结合图形可知，直线 的斜率不小于直线 的斜率，不大于直线 的斜率，即 ，解得 ，因此，实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查线性目标函数最大值和最小值的最优解问题，对于这类问题，一般要利用数形结合思想， 利用目标函数对应直线在坐标轴上的截距最值得出目标函数所在直线的斜率与可行域边界直线的斜率的大 小关系来求解，考查数形结合思想，属于中等题. 三､解答题 17.已知函数 ． （Ⅰ）求函数 的最小正周期； （Ⅱ）求函数 在区间 上的最小值和最大值． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值 ，最小值为 ． 【解析】 为 6 0 0 3 x y x y x − + ≥  + ≥  ≤ z ax y= + y ax z= − +  z ax y= + 3 9a + 3 3a − ∴ y ax z= − + ( )3,9B y y ax z= − + ( )3, 3A − y y ax z= − + 0x y+ = 6 0x y− + = 1 1a− ≤ − ≤ 1 1a− ≤ ≤ a [ ]1,1− ( ) 2cos (sin cos ) 1f x x x x x= − + ∈R， ( )f x ( )f x π 3π 8 4     ， π 2 1−【详解】（Ⅰ） ． 因此，函数 的最小正周期为 ． （Ⅱ）因为 在区间 上为增函数， 在区间 上为减函数， 又 ， ， ， 故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ． 18.已知数列 的前 n 项和为 ,且 , ,数列 满足 ， . (1)求 和 的通项公式； (2)求数列{ }的前 n 项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】 试题分析：（1）求数列 的通项公式主要利用 求解，分情况求解后要验证 是否满足 的通项公式，将求得的 代入 整理即可得到 的通项公式；（2）整理 数列 的通项公式得 ，依据特点采用错位相减法求和 试题解析：（1）∵ ，∴当 时， . 当 时， . ∵ 时， 满足上式，∴ . 又∵ ，∴ ，解得： . 故 ， ， . （2）∵ ， ， π( ) 2cos (sin cos ) 1 sin 2 cos2 2 sin 2 4f x x x x x x x = − + = − = −   ( )f x π π( ) 2 sin 2 4f x x = −   π 3π 8 8     ， 3π 3π 8 4     ， π 08f   =   3π 28f   =   3π 3π π π2 sin 2 cos 14 2 4 4f    = − = − = −       ( )f x π 3π 8 4     ， 2 1− { }na nS 22nS n n= + *n N∈ { }nb 24log 3n na b= + *n N∈ na nb n na b⋅ nT 2 1nb n= − (4 5)2 5n nT n= − + { }na ( ) ( )1 1 1{ 2n n n S na S S n− == − ≥ 1n = 2n ≥ { }na 24log 3,n na b= + nb { }n na b⋅ ( ) 14 1 ·2n n na b n −= − 2 *2 ,nS n n n N= + ∈ 1n = 1 1 3a S= = 2n ≥ 2 2 1 2 [2( 1) ( 1)] 4 1n n na S S n n n n n−= − = + − − + − = − 1n = 1 3a = *4 1,na n n N= − ∈ * 24log 3,n na b n N= + ∈ 24 1 4log 3nn b− = + 12n nb −= 4 1,na n= − 12n nb −= *n N∈ 4 1,na n= − 12n nb −= *n N∈∴ ① ② 由①-②得： ∴ ， . 考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和 【方法点睛】求数列 的通项公式主要利用 ， 分情况求解后，验证 的值 是否满足 关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思 想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相 减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中 ，根据特点采用错位相减法求和 19.如图为一简单组合体，其底面 为正方形， 平面 ， ，且 . （1）求四棱锥 的体积; （2）求证: 平面 . 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由已知的线面垂直关系，根据面面垂直的判定定理可以得到平面 平面 ，再根据面面 垂直的性质定理可以得到 平面 ，最后利用棱锥的体积公式进行求解即可； （2）利用线面平行的判定定理可以证明出 平面 ， 平面 ，最后利用面面平行的判定 定理和面面平行的性质进行证明即可. 1 1 2 2n n nT a b a b a b= + + + 0 1 2 13 2 7 2 (4 5) 2 (4 1) 2n nn n− −= × + × + + − × + − × 1 2 12 3 2 7 2 (4 5) 2 (4 1) 2n n nT n n−= × + × + + − × + − × 1 2 13 4 2 4 2 4 2 (4 1) 2n n nT n−− = + × + × + + × − − × 12(1 2 )3 4 (4 1) 2 (5 4 ) 2 51 2 n n nn n −−= + × − − × = − × −− (4 5) 2 5n nT n= − × + *n N∈ { }na 1 1a S= ( )1 2n n na S S n−= − ≥ 1a ( )1 2n n na S S n−= − ≥ ( ) 14 1 ·2n n na b n −= − ABCD PD ⊥ ABCD //EC PD 2 2PD AD EC= = = B CEPD－ //BE PDA 2 PDCE ⊥ ABCD BC ⊥ PDCE //EC PDA //BC PDA【详解】（1） 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 . ， ∴四棱锥 的体积 ； （2） 平面 ， 平面 ， 平面 ， 同理可得 平面 ， 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 平面 ， 又 平面 ， 平面 . 【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查了面面平行的判定定理和性质，考查了 四棱锥的体积公式，考查了推理论证能力和数学运算能力，属于中等题. 20.在 中，内角 A，B，C 的对边 a，b，c，且 ，已知 ， ， ，求： （1）a 和 c 的值； （2） 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 试题分析：（1）由 和 ，得 ac=6.由余弦定理，得 . 解 ，即可求出 a，c；（2） 在 中，利用同角基本关系得 由正弦定理，得 ，又因为 ，所以 C 为锐角，因此 ，利用 ，即可求出结果. （1）由 得， ，又 ，所以 ac=6. 由余弦定理，得 . 又 b=3，所以 . 解 ，得 a=2，c=3 或 a=3，c=2. PD ⊥ ABCD PD ⊂ PDCE PDCE ⊥ ABCD BC CD⊥ PDCE ∩ ABCD CD= BC ⊂ ABCD BC∴ ⊥ PDCE 1 1( ) 3 2 32 2PDCES PD EC DC+ × = × × = 梯形 ＝ B CEPD－ 1 1 3 2 23 3B CEPD PDCEV S BC= × = × × =－ 梯形 // ,EC PD PD ⊂ PDA EC ⊄ PDA //EC∴ PDA //BC PDA EC ⊂ EBC BC ⊂ EBC EC BC C= ∴ //BEC PDA BE ⊂ EBC //BE∴ PDA ABC∆ a c> 2BA BC⋅ =  1cos 3B = 3b = cos( )B C− 3, 2a c= = 23 27 2BA BC⋅ =  1cos 3B = 2 2 13a c+ = ABC∆ 2 2sin .3B = 4 2sin sin 9 cC Bb = = a b c= > 2 7cos 1 sin 9C C= − = cos( ) cos cos sin sinB C B C B C− = + 2BA BC⋅ =  1cos 3B = 2 2 2 2 cosa c b ac B+ = + 2 2 9 2 2 13a c+ = + × =因为 a>c,∴ a=3，c=2. （2）在 中， 由正弦定理，得 ，又因为 ，所以 C 为锐角，因此 . 于是 = . 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 21.若椭圆 的离心率等于 ，抛物线 的焦点在椭圆 的顶点 上. （1）求抛物线 的方程； （2）若过 的直线 与抛物线 交于 、 两点，又过 、 作抛物线 的切线 、 ,当 时，求直线 的方程. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由椭圆的离心率的公式和椭圆中 的关系，可以求出 的值，最后可以求出抛物线 的方程； （2）设出直线 的方程，设出 、 两点坐标，把抛物线方程变成函数解析式形式，对函数进行求导，求 出过 、 的抛物线 的切线 、 的斜率，将直线 的方程与抛物线方程联立，消 ，得到一个关于 的一元二次方程，利用根与系数关系，结合两直线垂直它们的斜率的关系进行求解即可. 【详解】（1）已知椭圆的长半轴长为 ，半焦距 ， 由离心率 得 ， 椭圆的上顶点为 ，即抛物线的焦点为 ， ， ABC∆ 2 21 2 2sin 1 cos 1 ( ) .3 3B B= − = − = 2 2 2 4 2sin sin 3 3 9 cC Bb = = ⋅ = a b c= > 2 24 2 7cos 1 sin 1 ( )9 9C C= − = − = cos( ) cos cos sin sinB C B C B C− = + 1 7 2 2 4 2 23 3 9 3 9 27 ⋅ + ⋅ = 2 2 1 2: 1(0 2)4 x yC bb + = < < 3 2 2 2 : 2 ( 0)C x py p= > 1C 2C ( )1,0M − l 2C E F E F 2C 1l 2l 1 2l l⊥ l 2 4x y= 1 0x y− + = , ,a b c b 2C l E F E F 2C 1l 2l l y x 2a = 24c b= − 24 3 2 2 c be a −= = = 1b = ∴ ( )0,1 ( )0,1 2p∴ =因此，抛物线的方程为 ； （2）由题知直线 的斜率存在且不为零， 则可设直线 的方程为 ， 、 ， 抛物线的函数解析式为 ，求导得 ， 切线 、 的斜率分别为 、 ， 当 时， ，即 ， 由 ，得 ， 由 ，解得 或 . 又 ，得 . 因此，直线 的方程为 . 【点睛】本题考查了椭圆离心率公式的应用，考查了利用导数求抛物线的切线的斜率，考查了求抛物线的 标准方程，考查了数学运算能力，属于中等题. 22.已知函数 ． （Ⅰ）讨论函数 在定义域内的极值点的个数； （Ⅱ）若函数 在 处取得极值，对 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） 时 在 上没有极值点，当 时， 在 上有一个极值点．（Ⅱ） ． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为 . 因为 ，所以 ， 当 时， 在 上恒成立，函数 在 单调递减， ∴ 在 上没有极值点； 当 时，由 得 ，由 得 ， ∴ 在 上递减，在 上递增，即 在 处有极小值． 2 4x y= l l ( )1y k x= + ( )1 1,E x y ( )2 2,F x y 21 4y x= 1 2y x′ = ∴ 1l 2l 1 1 2 x 2 1 2 x 1 2l l⊥ 1 2 1 1 2 2 1x x⋅ = − 1 2 4x x = − ( ) 2 1 4 y k x x y  = +  = 2 4 4 0x kx k− − = ( ) ( )24 4 4 0k k∆ = − ×− >− 1k < − 0k > 1 2 4 4x x k= − = − 1k = l 1 0x y− + = ( ) 1 ln ( )f x ax x a R= − − ∈ ( )f x ( )f x 1x = (0, ), ( ) 2x f x bx∀ ∈ +∞ ≥ − b 2 11b e −≤ ( )0, ∞+ ( ) 1 ln ( )f x ax x a R= − − ∈ ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ < 10 x a < < ( ) 0f x′ > 1x a > 1(0, )a 1( , )a +∞∴当 时 在 上没有极值点，当 时 在 上有一个极值点 （Ⅱ）∵函数 在 处取得极值，由（Ⅰ）结论知 ， ∴ ， 令 ，所以 ， 令 可得 在 上递减，令 可得 在 上递增， ∴ ，即 . 考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、 解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力. 点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较 复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的 题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题 的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决. 2 2 2 1 ln1 ln 2( ) x x xxg x x x x ⋅ − −= − − =′ ( ) 0g x′ < ( ) 0g x′ > 2 11b e −≤