尤溪县 2018—2019 学年第一学期普通高中半期考试
高三数学试卷（文科）
一、选择题：
1.已知全集 ，集合 0，1， ， ，则如图中阴影部分所表示的集合为( )
A. 0， B. C. D. 0，
【答案】D
【解析】
分析】
由题意知 ，所以 ，则阴影部分为 0，
【详解】由 Venn 图可知阴影部分对应的集合为 ， 或 ，
0，1， ， ，即 0，
故选 D．
【点睛】本题考查 Venn 图及集合的交集和补集运算，属基础题．
2.已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用向量的坐标运算表示出 与 的坐标，再根据“ 则 ”即可求出 的值.
【详解】
又
解得 .
【
U R= A { 2, 1,= − − 2} 2B {x | x 4}= ≥
{ 2, 1,− − 1} { }0 { }1,0− { 1,− 1}
{ 2 2}B x x x= ≥ ≤ −或 UB {x | 2 x 2}= − < ( )2k k Z
πφ π= + ∈
( ) sin( )f x xω φ= + ABC∆ A B> sin sinA B>
,a b 2, 1 0x R x x∀ ∈ + − ≥
C 选项中，当 时， ，所以是偶函数，故 C 正确，“在
中，若 ，则 ”为真命题，所以选 C.
6.函数 的图象向右平移动 个单位，得到的图象关于 轴对称，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
函数 的图象向右平移动 个单位得到： 图象关于 轴对称，
即函数为偶函数，故 ，所以 的最小值为
7.函数 的最小值是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用二倍角公式、诱导公式将函数化简，转化为二次函数利用配方法即可求解最小值.
【详解】根据题意，可得
所以，当 时， 取最小值为： .
故选：B.
【点睛】本题主要考查根据二倍角公式、诱导公式以及二次函数的性质求三角函数的最值.
8.已知函数 ， ，则 的图象大致为（ ）
( )2k k Z
πϕ π= + ∈ ( ) sin( ) cosf x x xω ϕ ω= + = ±
ABC∆ A B> sin sinA B>
( ) ( )2sin 3f x x ϕ= +
12
π y ϕ
12
π
4
π
3
π 5
12
π
( ) ( )2sin 3f x x ϕ= +
12
π
( ) 2sin(3 )4f x x
πϕ= + − y
4 2 4k k
π π πϕ π ϕ π− = − ⇒ = − ϕ
4
π
( ) 2 ( )2f x cos x sin x
π= + +
2− 9
8
− 7
8
−
2
2 1 9( ) 2 ( ) 2cos cos 1 2 cos2 4 8f x cos x sin x x x x
π = + + = + − = + −
1cos 4x = − ( )f x 9
8
−
( ) lnf x x= 2( ) 3g x x= − + ( )• ( )f x g x
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为函数 ， ，可得 是偶函数，图象关于 轴对称，排
除 ；又 时， ,所以 ,排除 ,
故选 C.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见
的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以
从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
9.设 a, c 为正数，且 ， ， . 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
, , ,所以 ,选 C.
10.将函数 的图象向右平移个 单位后得到函数 的图象，若函数 在区间 和
上均单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
( ) lnf x x= ( ) 2 3g x x= − + ( ) ( )•f x g x y
,A D ( )0,1x∈ ( ) ( )0, 0f x g x< > ( ) ( )• 0f x g x < B
0 , 0 , ,x x x x+ −→ → → +∞ → −∞
1
3
3 loga a= 1( ) 93
b = 3
1( ) log3
c c=
b a c< < c b a< < c a b< < a b c< <
1
3
3 loga a= (0,1)a⇒ ∈ 1 93
b = 2b⇒ = − 3
1 log3
c
c = 1c⇒ > b a c< <
( ) 2cos2f x x=
6
π ( )g x ( )g x [0, ]3
a
7[2 , ]6a
π
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数 的图像变换规律推得 的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的单调
增区间，再结合函数 在区间 和 上均单调递增，列出关于 的不等式组进行求解即可.
【详解】根据题意，将函数 的图象向右平移个 单位后得到函数 的图象，则
.
根据函数 的单调增区间满足 ，解得
.
当 时，函数的增区间为 ，当 时，函数的增区间为 .
若满足函数 在区间 和 上均单调递增，则
，解得 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数 的图像变换规律以及根据三角函数的单调性求参数范围.
11.下图是由正三棱锥与正三棱柱组合而成的几何体的三视图，该几何体的顶点都在半径为 的球面上，则
为（ ）
[ , ]3 2
π π
[ , ]6 2
π π
[ , ]6 3
π π 3[ , ]4 8
π π
( )siny A xω ϕ= + ( )g x
( )g x [0, ]3
a 7[2 , ]6a
π a
( ) 2cos2f x x=
6
π ( )g x
( ) 2cos2 2cos 26 3g x x x
π π = − = −
( )g x ( )2 2 23k x k k Z
ππ π π− + ≤ − ≤ ∈，
( ),3 6k x k k Z
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈
0k = ,3 6
π π − 1k = 2 7,3 6
π π
( )g x [0, ]3
a 72 , 6a
π
0 3 6
2 723 6
a
a
π
π π
< ≤
≤ ′ ( ) 2018f x +
( ) 2018 0xf x e+ <
( ),0−∞ ( )0,+∞ 1, e
−∞
1 ,e
+∞
【分析】
构造函数 ，则得 的单调性，再根据 为奇函数得 ，转化不等式为
，最后根据单调性性质解不等式.
【详解】构造函数 ，则 ，所以 在 上单独递减，
因为 为奇函数，所以 .
因此不等式 等价于 ，即 ，选 B.
【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅
助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ，
构造 ， 构造 等
二、填空题：
13.已知 满足 ，则 的最大值为__________．
【答案】
【解析】
根据题意作出可行域： 目标函数则可以理解为可
行域中的点 与 的斜率的最大值，由图可知最大斜率为：
14.设 a＞0，b＞0，若 是 与 3b 的等比中项，则 的最小值是__．
【答案】
【解析】
( )( ) x
f xg x e
= ( )g x ( ) 2018f x + (0)g
( ) (0)g x g<
( )( ) x
f xg x e
= ( ) ( )( ) 0x
f x f xg x e
′ −′ = < ( )g x R
( ) 2018f x + (0) 2018 0 (0) 2018, (0) 2018f f g+ = ∴ = − = −
( ) 2018 0xf x e+ < ( ) (0)g x g< 0x >
( ) ( )f x f x′ < ( )( ) x
f xg x e
= ( ) ( ) 0f x f x′ + < ( ) ( )xg x e f x=
( ) ( )xf x f x′ < ( )( ) f xg x x
= ( ) ( ) 0xf x f x′ + < ( ) ( )g x xf x=
,x y
0,
2,
0,
x y
x y
y
− ≥
+ ≤
≥ 2
yz x
= +
1
3
（x, y) （- 2, 0) 1
3
3 3a 1 1
a b
+
由已知 , 是 与 的等比中项，则
则
，当且仅当 时等号成立
故答案为 2
【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘 1 法”是解题的关键．
15.在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2,点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点，则
_____．
【答案】4
【解析】
试题分析：依题意得，该三角形为等腰直角三角形，由于 P 是 AB 的一个三等分点，所以 ,
= = + , =( + )·
= =4+ ，
,
故 4.
考点：本题主要考查平面向量的线性运算及数量积。
点评：中档题，应用数形结合思想，从图形的几何特征入手，发现向量之间的关系，这也是解答平面向量
问题时常常用到的方法，即选定基向量，将其它向量用此表示，进一步计算。而基向量的选定，往往是相
关联、不共线的向量。
16.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下
卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.
问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3 个 3 个数，剩 2 个；5 个 5 个数，剩 3 个；7
个 7 个数，剩 2 个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有__________个．
【答案】23
0, 0a b> > 3 3a b ( )2
3 3 , 1a b ab= ⋅ ∴ =
1 1 1 1 1 11 2 2ab a b aba b a b a b
+ = + × = + × = + ≥ = 1a b= =
CP CB CP CA⋅ + ⋅ =
AP = 1
3 AB CP
CA AP+ CA 1
3 AB CP CA⋅ CA 1
3 AB CA
2 1| | 3CA CA AB+ ⋅ 01 82 2 2cos1353 3
× × =
01 1 42 2 2cos1353 3 3CP CB CA CB AB CB⋅ = ⋅ + ⋅ = × × =
CP CB CP CA⋅ + ⋅ =
【解析】
除以 余 且除以 余 的数是除以 余 的数. 和 的最小公倍数是 .
的倍数有 除以 余 且除以 余 的数有 ，… 其中除以 余 的
数最小数为 ，这些东西有 个，故答案为 .
【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力，属于难题.弘扬传统文化与实际应用相结合的题型也是高
考命题的动向，这类问题的特点是通过中国古代数学名著及现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题
的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
三、解答题：
17.已知 是数列 前 项和，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1） 根据题意 ，利用 即可求出数列 的通项公式.
（2） 根据（1）得出 ，则 ，再利用“裂项求和法”即可得
出 .
【详解】解：（1）因为 ①，
所以 ②，
②—①得： ，即 ，
又 ，所以 ．
（2） ，
令 ，则 ，
的
3 2 7 2 21 2 3 7 21
21 21,42,63,82...... 3 2 7 2 23,45,65,85 5 3
23 23 23
nS { }na n 3 2n nS a= −
{ }na
3
2
log 1n nb a= +
1
1{ }
n nb b +
n nT
13( )2
n
na −= 1
1nT n
= +
3 2n nS a= − 1 1n n na S S+ += − { }na
nb n= ( )1
1 1 1 1
1 1n nb b n n n n+
= = −+ +
nT
3 2n nS a= −
1 13 2n nS a+ += −
1 13 3n n na a a+ += − 1 3
2
n
n
a
a
+ =
1 1a = 1 13 31 ( ) ( )2 2
n n
na − −= × =
3
2
log 1n nb a= +
1
1
n
n n
c b b +
= 1 1 1
( 1) 1nc n n n n
= = −+ +
所以 ．
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解以及利用“裂项求和法”求数列的前 项和，考查基本运算能
力.
18.如图，在四棱锥 中， 面 ， ， ， ，
， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
【答案】(1)详见解析;(2) .
【解析】
试题分析：（1）取 中点 连结 . ，推导出四边形 是平行四边形，从而
由此能证明 平面 ．
（2） 到面 的距离等于 到面 的距离的一半，且 ，从而三棱锥
的高是 2，由此能求出三棱锥 的体积．
试题解析：(1)如图，取 PB 中点 M，连结 AM，MN.
∵MN 是△BCP 中位线,∴MN∥ BC，且 MN= BC.
依题意得,AD BC,则有 AD MN
∴四边形 AMND 是平行四边形,∴ND∥AM
∵ND⊄面 PAB，AM⊂面 PAB，
∴ND∥面 PAB
(2)∵N 是 PC 的中点，
∴N 到面 ABCD 的距离等于 P 到面 ABCD 的距离的一半，且 PA⊥面 ABCD，PA=4，
的
1 2
1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 2 3 1 1n nT c c c n n n
= + + ⋅⋅⋅ + = − + − + ⋅⋅⋅ + − =+ +
n
P ABCD− PA ⊥ ABCD 4PA BC= = 2AD = 3AC AB= =
/ /AD BC N PC
/ /ND PAB
N ACD−
2 5
3
PB M， AM MN， AMND ND AM
/ /ND PAB
N ABCD P ABCD 4PA ABCD PA⊥ =面 ，
N ACD− N ACD−
1
2
1
2
1/ / 2
/ /
∴三棱锥 N−ACD 的高是 2.
在等腰△ABC 中,AC=AB=3,BC=4,BC 边上的高为 .
BC∥AD,∴C 到 AD 的距离为 ，
∴S△ADC= .
∴三棱锥 N−ACD 的体积是 .
19.已知 为等差数列，前 项和为 ， 是首项为 的等比数列，且公比大于 ，
， ， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
【答案】（1） ， ， ；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式；
（2）用错位相减法求和．
【详解】（1）数列 公比为 ，则 ，∵ ，∴ ，
∴ ，
的公差为 ，首项是 ，
则 ， ，
2 23 -2 = 5
5
1 2 5= 52
× ×
1 25 2= 53 3
× ×
{ }na n ( )*
nS n N∈ { }nb 2 0
2 3 12b b+ = 3 4 12b a a= − 11 411S b=
{ }na { }nb
{ }2 2 1n na b −⋅ n
3 2na n= − 2n
nb = *n N∈ ( )14 3 2 8
3
n n+ − + *n N∈
{ }nb q 2
2 3 2 2 12b b q q+ = + = 0q > 2q =
2n
nb =
{ }na d 1a
4 1 32 8a a b= =− 4
11 411 11 2 176S b= = × =
∴ ，解得 ．
∴ ．
（2） ，数列 的前 项和记为 ，
，①
，②
①－②得：
，
∴ ．
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前 n 项和及错位相减法求和．在求等
差数列和等比数列的通项公式及前 n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列
求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．
20.已知函数 ， ．
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当 时， 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递减，
在 上单调递增；（Ⅱ） ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）要讨论单调性，首先求得导数 ，接着研究 的正负，为此按
的正负分类；（Ⅱ）由（Ⅰ）知符合题意的 必须满足 ，此时，当 或 时，
，因此只要函数的最小值 即可满足题意．
1 1
1
3 2 8
11 1011 1762
a d a
a d
+ − = ×+ × =
1 1
3
a
d
=
=
1 3( 1) 3 2na n n= + − = −
2 1
2 2 1 (6 2) 2 n
n na b n −
−⋅ = − ⋅ { }2 2 1n na b −⋅ n nT
3 5 2 14 2 10 2 16 2 (6 2) 2 n
nT n −= × + × + × + + − ⋅
2 3 5 7 2 1 2 12 4 2 10 2 16 2 (6 8) 2 (6 2) 2n n
nT n n− += × + × + × + + − ⋅ + − ⋅
3 5 2 1 2 13 8 6 2 6 2 6 2 (6 2) 2n n
nT n− +− = + × + × + + × − − ×
1
2 18(1 4 )8 6 (6 2) 21 4
n
nn
−
+−= + × − − ×−
14 (2 3 ) 8n n+= − −
14 (3 2) 8
3
n
n
nT
+ − +=
( ) 21 ln 22f x ax x= − − Ra∈
( )f x
( )f x a
0a ≤ ( )f x (0 )+ ∞在 ， 0a > ( )f x (0, )a
a
( , )a
a
+∞
2 1'( ) axf x x
−= ( 0)x > '( )f x
a a 0a > 0x → x → +∞
( )f x → +∞ ( ) 0af a
0 时，由（Ⅰ）得， 且当 x 趋近于 0 和
正无穷大时， 都趋近于正无穷大，
故若要使函数 有两个零点，则 的极小值 ，
即 ，解得 ,
综上所述， 的取值范围是
考点：函数的单调性，函数的零点．
【名师点睛】求函数的单调区间的“两个”方法
(1)方法一：①确定函数 y＝f(x)的定义域；
②求导数 y′＝ ；
③解不等式 >0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
④解不等式 ( )f x (0, )a
a ( , )a
a
+∞
0a ≤ 时， ( ) 0 + )f x ∞在（ ， ( )f x
( ) (0 ) ( )a af x a a
+ ∞函数 在 ， 内单调递减，在 ， 内单调递增，
( )f x
( )f x ( )f x ( ) 0af a
<
1 1 ln -2 02 2 a+ <
a
'( )f x
'( )f x
'( )f x
'( )f x '( )f x
③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用
这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间；
③ 确定 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
21.已知 中，角 所对的边分别为 ，满足 ．
（1）求 的大小；
（2）如图， ，在直线 的右侧取点 ，使得 ．当角 为何值时，四边形
面积最大．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）（法一）根据正弦定理利用“边化角”的方法将原式化为 ，利用
两角和的正弦公式进行化简，结合三角形的性质即可求得 的大小；（法二）根据余弦定理利用“角化边”
的方法将原式化为 ，化简得出 的值，即可得出 的大小.
（2）根据题意，设 ，根据余弦定理表达出 ，再根据三角形的面积公式，分别表达出 与
，从而得到四边形 面积的函数，利用三角函数的性质即可求出面积的最大值.
【详解】（1）（法一）：在 中，由正弦定理得
，故 ．
（法二）在 中，由余弦定理得
'( )f x
ABC∆ , ,A B C , ,a b c (2 )cos cosa c B b C− =
B
AB AC= AC D 2 4AD CD= = D ABCD
3B
π= 5
6D
π∠ =
(2sin sin )cos sin cosA C B B C− =
B
2 2 2 2 2 2
(2 ) 2 2
a c b a b ca c bac ac
+ − + −− × = × cos B B
D α∠ = AC ABCS∆
ACDS∆ ABCD
ABC∆ (2sin sin )cos sin cosA C B B C− =
2sin cos sin cos sin cos sin( )A B B C C B B C∴ = + = +
2sin cos sinA B A∴ = sin 0A ≠
1cos 2B∴ = 0 B π< <
3B
π=
ABC∆
2 2 2 2 2 2
(2 ) 2 2
a c b a b ca c bac ab
+ − + −− × = ×
故 ．
（2）由（1）知， 且 ， 为等边三角形，
设 ，则在 中，由余弦定理得 ，
四边形 的面积
当 即 时，
所以当 时，四边形 的面积取得最大值 ．
【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式以及根据三角函数的性质求最值.
22.已知函数
（1）求 在区间 的最小值 的表达式；
（2）设 ，任意 ，存在 ，使 ，
求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2） 的取值范围是
【解析】
试题分析：（1）讨论三种情况: ,结合二次函数的图象与性质，分别求出 在区间
的最小值，从而可得结果；（2）利用导数研究函数的单调性可得 ，只需存在 ，
使得 ，从而可得 在 时有解，求出 的最小值，即可得结果.
试题解析：（1）当 时，
当 时，
2 2 2
2 2 2 1cos = 02 2
a c ba c b ac B Bac
π+ −∴ + − = ∴ = <
b 17[ , )4
+∞
2,2 4, 4b b b≤ ≤ ( )g x
[ ]1,2 ( )1
1
2f x ≥ − [ ]2 1,2x ∈
( )2
1
2g x ≤ − 9
2b x x
≥ + [ ]2 1,2x ∈ 9
2x x
+
1, b 22
b ≤ ≤即 ( ) ( )ming x 1 5g b= = −
1 2, 2 b 42
b< ≤ < ≤即 ( ) 2
ming x 42 4
b bg = = −
当 时，
（2）函数 的定义域为 ，
令 ，则
令 ，则 或 ，
可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以对任意的 ，有
，
由条件知存在 ，使 ，
所以
即存在 ，使得
分离参数即得到 在 时有解，
由于 （ ）为减函数，故其最小值为 ，
从而
所以实数 的取值范围是
2, b 42
b > >即 ( ) ( )ming x 2 8 2g b= = −
( ) 2
5 , 2
4 ,2 44
8 2 , 4
b b
bg b b
b b
− ≤
∴ = − < ≤
− >
( )f x ( )0,+∞
( ) ( )( )
2 2
3 11 1 3
4 4 4
x xf x x x x
− −′ = − − = −
( ) 0f x′ > 1 3x< <
( ) 0f x′ < 0 1x< < 3x >
( )f x ( )0,1 ( )1,2
( )1 0,2x ∈
( ) ( )1
1 1 11 ln1 1 14 4 2f x f≥ = − + − − = −
[ ]2 1,2x ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥
( )2
1
2g x ≤ −
[ ]2 1,2x ∈ ( )2
1
2g x ≤ −
9
2b x x
≥ + [ ]1,2x ∈
9
2t x x
= + [ ]1,2x ∈ 17
4
17
4b ≥
b 17 ,4
+∞
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