怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2017 年下期期考高三文科数学
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵集合
∴集合
∵集合
∴
故选 B.
2.复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
∵
∴复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于第三象限
故选 C.
3.下列说法正确的是（ ）
A. 若向量 ，则存在唯一的实数 ，使得 .
B. 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”.
C. 命题“ ，使得 ”的否定是“ ，均有 ”.
{ | 2}A x x= < { |1 2 3}B x x= − ≤ A B
( 1,2)− [ 1,2)− [ 1,2]− ( 1,2]−
{ |1 2 3}B x x= − ≤
{ }| 1B x x= ≥ −
{ | 2}A x x= <
[ )1,2A B∩ = −
2 i
iz
−= i
( )22 1 21
i iiz ii
− ×−= = = − −−
2 iz i
−= i
/ /a b λ a b= λ
2 1x = 1x = 2 1x = 1x ≠
0x R∃ ∈ 2
0 0 1 0x x+ + < x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + ≥D. 且 是 的充要条件.
【答案】C
【解析】
对于 ，当 ， 时，不存在实数 ，使 ，故错误；对于 ，命题的否命题是将命题中的
条件与结论同否定，故错误；对于 ，命题 “ ，使得 ”的否定是“ ，均有
”，故正确；对于 ，当 时， ，故充分性成立；当 时，可以
等等，故必要性不成立，故错误.
故选 C.
4.若变量 满足约束条件 ，那么 的最小值是（ ）
A. -2 B. -3 C. 1 D. -4
【答案】B
【解析】
实数 满足的线性区域如图所示：
可化为 ，由图可知当直线经过点 时，截距 取最小值，即 .
故选 B.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一
画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对
应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标
代入目标函数求出最值.
5a = 5b = − 0a b+ =
A 0a ≠ 0b = λ a bλ= B
C 0x R∃ ∈ 2
0 0 1 0x x+ + < x R∀ ∈
2 1 0x x+ + ≥ D 5 5a b= = −且 0a b+ = 0a b+ =
4 4a b= = −且
,x y
1 0
1 0
1 0
x y
y
x y
− + ≥
+ ≥
+ + ≤
2z x y= −
,x y
2z x y= − 2y x z= − ( )2, 1B − − z min 3z = −5.已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由导函数图像可知，当 时，函数 单调递减，故排除 ， ；由 在 上单调递减，
在 单调递增，因此当 时，函数由极小值，故排除 .
故选 D.
6.在 中，若 ，则此三角形是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
或 ，有
或 ．故选 A．
7.总体由编号为 01,02，…，19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从第 1
行的第 5 列和第 6 列数字开始由左往右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为（ ）
( )f x ( ) ( )2f' x a(x b) c a 0= + + ≠ ( )f x (
)
0x < ( )f x B C ( )f x ( ),0- ¥
( )10, x 0x = A
cos cos sin cos sin cos sin 2 sin 2 2 2a A b B A A B B A B A B= ∴ = ∴ = ∴ = 2 2A B π+ = A B=
2A B
π+ =A. 01 B. 02 C. 14 D. 19
【答案】A
【解析】
从随机数表第一行的第五列和第六列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于 的和编号依次为 ，
， ， ， ， ，其中第三个和第五个都是 ，重复．可知对应的数值为 ， ， ， ， ，
则第五个个体的编号为 .
故选 A.
8.在数列 中，已知 ， ，则 的值为（ ）
A. 2018 B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
∵ ，
∴ ， ，
∴数列 的取值具备周期性，周期数为
∴
故选 D.
9.某三棱锥的三视图如图所示，其中三个三角形都是直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
20 08
02 14 19 14 01 14 08 02 14 19 01
01
{ }na 1
1
4a = −
1
11 ( 2)n
n
a na −
= − ≥
2018a
1
4
− 4
5
1
1
4a = − ( )
1
11 2n
n
a na −
= − ≥
2
11 51
4
a = − =
− 3
1 41 5 5a = − = 4
1 11 4 4
5
a = − = −
na 3
2018 2 5a a= =
2π 6π 6π 4 3π【答案】C
【解析】
由已知得到几何体为三棱锥，如图所示：
三棱锥的对应几何体为长方体，长为 2，宽为 1，高为 1，其体对角线 .
∴外接球表面积为
故选 C.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基
本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的
宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
10.在数列 中， ，又 ，则数列 的前 项和 为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
∵
∴
∴
故选 A.
2 2 21 2 1 6AC = + + =
2
64 62
π π =
{ }na *1 2 ( )1 1 1n
na n Nn n n
= + + + ∈+ + +
1
1
n
n n
b a a +
= { }nb n nS
4
1
n
n +
2
1
n
n + 2 1
n
n −
2
2 1
n
n +
( )1
1 2 2
1 1 1 1 2n
n n
n na n n n n
+
= + +⋅⋅⋅+ = =+ + + +
1
1 1 1 141 1
2 2
n
n n
b n na a n n+
= = = − + + ⋅
1 1 1 1 1 44 1 4 12 2 1 1 1n
nS n n n n
= × − + −⋅⋅⋅+ − = × − = + + + 11.已知 ，且 ，若 恒成立. 则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
> 2 1 1x y
+ = 22 2x y m m+ ≥ +
( , 2] [4, )−∞ − ∪ +∞ ( , 4] [2, )−∞ − +∞
[ 2,4]− [ 4,2]−
2
min( 2 ) 2x y m m+ > + 2 1 42 ( 2 )( ) 4 8( 2y xx y x y x yx y x y
+ = + + = + + ≥ = 取等号）
2 2m m+ ( 4,2)−
R 2
( ) ( ) 0xf x f x
x
−
( 2,0)− (2, )+∞
( , 2)−∞ − (0,2)
( , 2)−∞ − (2, )+∞
( 2,0)− (0,2)
2
( ) ( ) 0xf x f x
x
− 2a m= 2 4b =
2 2 2 4c a b m= − = −
2
2
4 1
2
c m
a m
−= = 8m =
2 8
n =【答案】9
【解析】
模拟程序的运行，可得 ， ，第一次执行循环， ， ，不满足
， 则 返 回 继 续 循 环 ； ， ， 不 满 足 ， 则 返 回 继 续 循 环 ；
， ，不满足 ，则返回继续循环；
当 时， ， 则 ，
， 最小值为 ，此时 .
故答案为 .
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
16.设 是任意正整数，定义 .对于任意的正整数 ，设
， ，则
__________．
【答案】15
【解析】
∵ ，
0S = 1n = 20 log 2 1S = + = 1 2n n= + =
3S > 2
31 log 2S = + 1 3n n= + = 3S >
2 2
3 41 log log 1 1 22 3S = + + = + = 1 4n n= + = 3S > ⋅⋅⋅
n k= 2 2 2 2
3 4 1 11 log log log 1 log2 3 2
k kS k
+ += + + +⋅⋅⋅+ = + 1n k= + 2
11 log 32
kS
+= + >
8k ≥ k 8 1 9n k= + =
9
,m n 3( 1)m n m n∗ = − − ,k t
( , ) *1 *2 *3 *4 *f k t k k k k k t= + + + + + ( , ) (1, ) (2, ) (3, )g k t f t f t f t= + + + ( , )f k t+
(5,2)g =
( )* 3 1m n m n= − − ( ), *1 *2 *3 *4 *f k t k k k k k t= + + + + +∴
∵
∴
故答案为 15.
点睛：本题主要考查了数列的应用，考查等差数列的求和和问题，解题的关键是理解新定义，正确求得
，并能准确利用题目中的定义合理地转化为数列的求和，此类题型需谨慎解答.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知向量 ，记 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）在锐角 中，角 的对边分别是 ，且满 ，求 的取值
范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得 ，由 可得
，根据二倍角公式可得 的值；（2）根据正弦定理消去
中的边可得 ，所以 ，又 ，则 ，得 ，根据三角函
数值域的有界性即可求得 的取值范围．
【详解】（1）向量 ， ，记 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
3 ( 1)( , ) 3(1 1) 3(2 1) 3(3 1) 3( 1) 2
t tf k t k k k k t kt
−= − − + − − + − − +⋅⋅⋅+ − − = −
( ) ( ) ( ) ( ), 1, 2, 3,g k t f t f t f t= + + + ( ),f k t+
(5,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) 2 3 4 3 6 3 8 3 10 3g f f f f f= + + + + = − + − + − + − + −
30 15 15= − =
3 ( 1)( , ) 2
t tf k t kt
−= −
23sin ,1 , cos ,cos4 4 4
x x xm n = =
( )f x m n=
( ) 1f x = cos 3x
π +
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( )2 cos cosa c B b C− = ( )2f A
1
2
3 1 3( , ]2 2
+
( ) sin( )2 6
xf x
π= + 1
2
+ ( ) 1f x =
1sin( )2 6 2
x π+ = cos( )3x
π+ (2 )cos cosa c B b C− =
3B
π= 2
3A C
π= − 0 2C< < π
6 2A
π π< < 2
3 6 3A
π π π< + <
(2 )f A
( 3sin ,1)4
xm = 2(cos ,cos )4 4
x xn = ( )f x m n= ⋅
2 3( ) 3sin cos cos sin4 4 4 2 2
x x x xf x = + = 1 1cos2 2 2
x+ + sin( )2 6
x π= + 1
2
+
( ) 1f x = 1sin( )2 6 2
x π+ =
2 1cos( ) 1 2sin ( )3 2 6 2
xx
π π+ = − + =（2）因为 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，
则 ，即 ，又 ，
则 ，得 ，
所以 ，又 ，
所以 的取值范围 ．
考点：三角求值、正弦函数的值域及正弦定理解三角形.
18.11 月 11 日有 2000 名网购者在某购物网站进行网购消费（金额不超过 1000 元），其中女性 1100 名，男
性 900 名.该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这 2000 名网购者中抽取 200 名进
行分析，如表.（消费金额单位：元）
（1）计算 的值，在抽出的 200 名且消费金额在 的网购者中随机抽出 2 名发放网购红包，求
选出的 2 人均为女性的概率；
（2）若消费金额不低于 600 元的网购者为“网购达人”，低于600 元的网购者为“非网购达人”，根据以上
数据列 列联表，并回答能否有 的把握认为“是否为网购达人与性别有关？”附：
，
(2 )cos cosa c B b C− =
(2sin sin )cos sin cosA C B B C− =
2sin cos sin cos sin cosA B C B B C− =
2sin cos sin( ) sinA B B C A= + = sin 0A ≠
1cos 2B = 0 2B
π< <
3B
π=
2
3A C
π+ = 2
3A C
π= − 0 2C< < π
6 2A
π π< < 2
3 6 3A
π π π< + <
3 sin( ) 12 6A
π< + ≤ 1(2 ) sin( )6 2f A A
π= + +
(2 )f A 3 1 3( , ]2 2
+
,x y [800,1000]
2 2× 95%
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）依题意计算女性、男性应抽取的人数，求出 的值，利用列举法求出基本事件数，计算
对应的概率值；（2）列出 列联表，计算观测值 ，对照临界值，得出结论.
试题解析：（1）依题意，女性抽取 110 人，男性 90 人，故 ， ；
消费金额在 共 7 人，女性 5 名，分别设为 , , , , .男性 2 名，分别设为 , .从中选
出 2 人，基本事件包括 ， ， ， ， , , ,
, , , , , , , , , , , , , 共 21 种情况，其中 2
人均为女性的有 10 种情况，概率为
（2）由题意可知：2×2 列联表为
女性 男性 合计
网购达人 40 20 60
非网购达人 70 70 140
合计 110 90 200
则
∴有 以上的把握认为“是否为网购达人与性别有关
19.如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， ， 分别
为线段 的中点.
10
21
,x y
2 2× 2K
5x = 18y =
[ ]800,1000 1A 2A 3A 4A 5A 1B 2B
1 2A A 1 3A A 1 4A A 1 5A A 1 1A B 1 2A B 2 3A A
2 4A A 2 5A A 2 1A B 2 2A B 3 4A A 3 5A A 3 1A B 3 2A B 4 5A A 4 1A B 4 2A B 5 1A B 5 2A B 1 2B B
10
21
( )2 200 40 70 20 70 4.714 3.841110 90 60 140K
× × − ×= ≈ >× × ×
95%
P ABCD− ABCD 060BAD∠ = 2PA PD AD= = = ,M N
,PC AD（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【详解】试题分析：(1)欲证 平面 ，只要证 、 即可，由等边三角形性及菱
形的性质可证 、 ；(2)利用等体积转换的方法求解，即 ，求出三角形
的面积及 到平面 的距离即可求体积．
试题解析：（1）∵ 为 的中点，∴ ，……（2 分）
∵底面 为菱形， ，∴ ，……（4 分）
∵ ，∴ 平面 ．……（6 分）
（2）∵ ，
∴ ，……（7 分）
∵平面 平面 ，平面 平面 ， ，
∴ 平面 ，……（8 分）
∴ ，
∴ ．……（9 分）
∵ 平面 ，∴ 平面 ．（10 分）
∵ ，∴ ．（12 分）
【考点】1．线面垂直的判定与性质；2．面面垂直的判定与性质；3．多面体的体积．
【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质、多面体的体积，属中档题；证明
面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注
AD ⊥ PNB
PAD ⊥ ABCD P NBM-
1
2
AD ⊥ PNB PN AD^ BN AD⊥
PN AD^ BN AD⊥ P NMB M PNBV V− −=
PNB M PNB
,PA PD N= AD PN AD^
ABCD 60BAD∠ = ° BN AD⊥
PN BN NÇ = AD ⊥ PNB
2PN PD AD= = =
3PN NB= =
PAD ⊥ ABCD PAD ABCD AD= PN AD^
PN ^ ABCD
PN NB^
1 33 32 2PNBS∆ = ´ ´ =
AD ⊥ , / /PNB AD BC BC ⊥ PNB
PM MC= 1 1 31 1
2 23 222P NRM M PNB C PNBV V V− − −= = = × × × =意找两个面的交线，否则很容易出现错误．求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等，本
题求三棱锥的体积，采用了等积法．
20.已知 为抛物线 的焦点，点 为其上一点， 与 关于 轴对
称，直线 与抛物线交于异于 的 两点， ， .
（1）求抛物线的标准方程和 点的坐标；
（2）判断是否存在这样的直线 ，使得 的面积最小.若存在，求出直线 的方程和 面积的最
小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）最小值 ，此时直线 的方程为
【解析】
试题分析：（1）由题意知 ，得出抛物线 方程，由 ，得出 ， ，根据 ，
得 ，由此能求出 点坐标；（2）由题意知直线的斜率不为 ，设直线 的方程为 ，联立
方 程 组 ， 设 两 个 交 点 ， 由
得 ，由此能求出当 时 有最小值 ，
此时直线方程为 .
试题解析：（1）由题意知 ，故抛物线方程
∵
∴
∴
（2）由题意知直线的斜率不为 0，则可设直线 的方程为
联立方程组
的
为
1( ,0)2F 2 2 ( 0)y px p= > 0 0 0( , )( 0)N x y y > M N x
l M N、 A B、 5
2NF = 2NA NBK K⋅ = −
N
l MAB∆ l MAB∆
( )2,2 2 l 2 1 0x y+ + =
1p = 5
2NF = 0 2x = 2
0 4y = 0 0y >
0 2y = N 0 l x ty b= +
2
22 , 2 2 0y x y ty b
x ty b
= − − = = +
得
2 2
1 2
1 2, , ,2 2
y yA y B y
( )( )1 2
2 2
1 2 1 2
2 2 4· 22 22 22 2
NA NB
y yk k y y y y
− −= × = = −+ +− − 2 3b t= + 2t = − S 2
2 1 0x y+ + =
1p = 2 2 .y x=
2
0 0 0
5 , =2 4,2 2
pNF x x y= + = =由 则 ，
0 0y >
0 2y =
( )2,2N
l .x ty b= +
2
22 , 2 2 0.y x y ty b
x ty b
= − − = = +
得设两个交点 ，由
，整理得 ，此时， 恒
成立.故直线 的方程可设为 从而直线 过定点 .
又∵
∴ 的面积
∴当 时有最小值 ，此时直线 的方程为 .
点睛：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的
知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有
以下几个：
①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
②利用基本不等式求出参数的取值范围；
③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
21.已知函数 .
（1）当 ， 时，求函数 在 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调区间；
（3）在（1） 条件下，证明： （其中 为自然对数的底数）
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）对函数 ，求导，根据 ， ，即可求出 与 ，从而可求出函数
在 处的切线方程；（2）当 时，根据函数 的导数，再通过讨论 的范围求出函数的单调
区间即可；（3）在（1）的条件下，问题可转化为证明 ，设 ，问
题可转化为 ， 恒成立，根据函数的单调性证明即可.
的
( )
2
2 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
=4 8 0
, , , 2, 2 , 22 2 2
t b
y yA y B y y y y y t
y y b
∆ + >
≠ ± ≠ ± + =
= −
则
( )( )1 2
2 2
1 2 1 2
2 2 4· 22 22 22 2
NA NB
y yk k y y y y
− −= × = = −+ +− − 2 3b t= + ( )2=4 4 6 0t t∆ + + >
l ( )3 2x t y− = + ， l (3, 2)E −
(2, 2)M −
MAB∆ ( )22
1 2
1 4 6 2 22S ME y y t t t= − = + + = + +
2t = − 2 l 2 1 0x y+ + =
( ) ( ) ( )2 21 ln ,2f x ax a b x a x a b R= − + + ∈
1a = − 0b = ( )f x ( )( )1, 1f
1b = ( )f x
( ) 21 12
xf x e x x+ > − − + e
6 2 3 0x y+ − =
( )f x 1a = − 0b = ( )1f ′ ( )1f ( )f x
( )( )1, 1f 1b = ( )f x a
ln 1 0xe x− − > ( ) ( )ln 1 0xg x e x x= − − >
(0, )x∀ ∈ +∞ ( ) 0>g x试题解析：（1）
∵
∴
∴
当
∴
当
，令 ，令
∴ 单调增区间为 ，单调减区间为
同理，当 时， 单调增区间为 ，无减区间，当 时, 单调增区间为
，单调减区间为 .
⑶当 ， 时，要证 ，只需证 .
，则 ，
∴ 在 上单调递增
又∵
∴存在唯一当实数 使得
∴
∴
∴不等式得证
( ) ( )2 bf x ax a b x
′ = − + +
1, 0a b= − =
( ) ( ) ( )1 31 , 1 3, 1 2f x x f fx
′ ′= − − − = − = −
( )3 3 1 , 6 2 3 02y x x y切线方程为 即+ = − − + − =
( ) ( ) ( )( ) ( )12 1 , 0ax x ab f x xx
− −= ′ = >当 时，
( )0 0a f x≤ =′ =时，令 得 或
10 , 1a aa
当 即 时< ( ) ( )10, 0, ,f x x aa
> ∈ ∪ +∞
′ 得 ( ) 10, ,f x x aa
得 < ∈
′
( )f x ( )10, , ,aa
+∞
1 ,aa
1a = ( )f x ( )0,+∞ 0 1a< < ( )f x
( ) 10, , ,a a
+∞
1,a a
1a = − 0b = ( ) 21 12
xf x e x x+ > − − + ln 1 0xe x− − >
( ) ( )ln 1 0xg x e x x= − − >设 ( ) 1xg x e x
′ = − 2
1( ) 0xg x e x
′′ = + >
( ) 1xg x e x
′ = − ( )0,+∞
1 0,2g
0
1 ,1 ,2x ∈
( ) 0
0 0 0
0
10 , lnxg x e x xx
，即= = = −′
( ) ( ) ( )0 00 +g x x x ∞在 ， 上递减，在 ， 上递增
( ) ( ) 0
0 0 0min
0
1ln 1 1 0xg x g x e x x x
= = − − = + − >点睛：导数问题经常会遇见恒成立或者有解求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最
值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
，若 恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为
（需在同一处取得最值）.
22.在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为
， 直线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 和圆 交于 两点，
是圆 上不同于 的任意一点.
(1)求圆心的极坐标；(2)求△ 面积的最大值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意可得圆 的直角坐标方程，然后即可得圆 的圆心及极坐标；（2）根据
题意求得直线 的方程，即可得圆心 到直线的距离，然后求得 的值，再根据数形结合可得 到直线
的最大距离，即可求出 面积的最大值.
试题解析： .
∴圆 的圆心为
又
故圆心极坐标
⑵易知直线 为 ，圆心到直线的距离
∴
∵由几何图形可知 到直线 的最大距离为
∴ 面积的最大值为
为
( ) 0f x >
( )min 0f x > ( ) 0f x < ( )max 0f x⇔ < ( ) ( )f x g x>
( ) ( )min maxf x g x>
xOy O x C
2 2 cos( )4
πρ θ= + l 1
x t
y t
=
= − + t l C ,A B P
C ,A B
PAB
( 2, )4
π− 3 3
2
C C
l C AB P
AB PAB∆
( ) ( ) ( )2 22 21 2 2 0, -1 +1 2C x y x y x y+ − + = + =圆 的普通方程为 即
C ( )1, 1−
= 1+1= 2 tan 1 4
πρ θ θ= − ∴ = −，
2 - 4
π
，
l 1 0x y− − = 1 1 1 2 , 2,22
d r
+ −= = =
12 2 62AB = − =
P AB 2 3 22 .2 2
+ =
PAB∆ 1 3 2 3 362 2 2
× × =23.[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 f（x）=|2x﹣1|+|x+1|，g（x）=|x﹣a|+|x+a|．
（Ⅰ）解不等式 f（x）＞9；
（Ⅱ）∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）=g（x2），求实数 a 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）绝对值函数分段讨论解不等式．（2）由题意可得函数 f（x）的值域是函数 g（x）值域的
子集，所以先求得 f(x)的值域，再由绝对值不等式求得 g(x)值域．
试题解析：（Ⅰ）不等式 f（x）＞9⇔ ，或 ，或 ，
即 x＜﹣3 或∈∅或 x＞3，∴原不等式解集为（3，+∞）∪（﹣∞，3）；
（Ⅱ）∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）=g（x2）⇔函数 f（x）的值域是函数 g（x）值域的子集，
，当 x＜﹣1 时，﹣3x＞3；
当﹣1≤x 时， ﹣x+2≤3；当 时， ，
∴函数 f（x）的值域是 ，g（x）=|x﹣a|+|x+a|≥|2a|，
∴ ，即 ．∴实数 a 的取值范围为[﹣ ， ]．
(3, ) ( ,-3)+∞ ∪ −∞ 3 3[ , ]4 4
−
1
3 3
x
x
< −
− >
11 2
2 9
x
x
− ≤ ≤
− + >
1
2
3 9
x
x
>
>
3 ,( 1)
1( ) 2,( 1 )2
13 ,( )2
x x
f x x x
x x
− < −
= − + − ≤ ≤
>
1
2
≤ 3
2
≤ 1
2x > 33 2x ≥
3[ , )2
+∞
32 2a ≤ 3 3
4 4a− ≤ ≤ 3
4
3
4
微信/支付宝扫码支付