高 2018 级第一次调研考试
文科数学试题
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分。满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在
答题卡上。
2．回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一项是符合题目要求
的）
1.计算 =
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据复数乘法法则求结果.
详解：
选 B.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数
的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
2.已知向量 （ ）
A. -3 B. 2 C. 3 D. -2
【答案】A
【解析】
,选 A.
(1 ) (2 )i i+ ⋅ +
1 i− 1 3i+ 3 i+ 3 3i+
( )( )1 2 2 1 3 1 3 ,i i i i+ + = − + = +
( )( ) ( ) ( ) ,( , , . )+ + = − + + ∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R
( , )a bi a b R+ ∈ a b 2 2a b+ ( , )a b .−a bi
( ) ( ) ( ) ( )1,1 , 2,2 , , =m n m n m nλ λ λ= + = + + ⊥ − 若 则
( ) ( )m n m n+ ⊥ − 2 2 2 20 ( 1) 1 ( 2) 4 3m n λ λ λ⇒ − = ⇒ + + = + + ⇒ = − 3.在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是（ ）
A. B. 3 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
作出可行域如图：
联立方程组 解得 B ，所以 ，故选 A.
4.在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一
尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ）
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【答案】C
【解析】
由 题 意 知 该 女 子 每 天 织 布 的 尺 数 成 等 差 数 列 ， 等 差 数 列 中 ， 首 项 与 第 三 十 项 分 别 为
（尺），故选C.
5.已知函数 在 上可导，其部分图象如图所示，设 ，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3 2 0,
3 3 0,
0,
x y
x y
y
− ≥
− − ≤
≥
3
2
2
3
3 2 0,
3 3 0
x y
x y
− =
− − = (2,3) 1 31 32 2s = × × =
30 60 90 120
{ }na
( )1 30 30
305, 1, 5 1 902a a S= = ∴ = + =
( )f x R (4) (2)
4 2
f f a
− =−
(2) (4)a f f′ ′< < (2) (4)f a f ′ ( )2k k Z
πφ π= + ∈
( ) sin( )f x xω φ= + ABC∆ A B> sin sinA B>
,a b 2, 1 0x R x x∀ ∈ + − ≥
( )2k k Z
πϕ π= + ∈ ( ) sin( ) cosf x x xω ϕ ω= + = ±
ABC∆ A B> sin sinA B>
M
N
M
N
M
N
M
N
361 803 , 10M N≈ ≈ lg3 0.483 10 10= ≈ ( )361361 0.48 1733 10 10M∴ ≈ ≈ ≈
173
93
80
10 1010
M
N
∴ ≈ =
( ) lnf x x= 2( ) 3g x x= − + ( )• ( )f x g xC. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为函数 ， ，可得 是偶函数，图象关于 轴对称，排
除 ；又 时， ,所以 ,排除 ,
故选 C.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见
的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以
从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
11.设 a, c 为正数，且 ， ， . 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
, , ,所以 ,选 C.
12.定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，且 为奇
函数，则不等式 的解集为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
( ) lnf x x= ( ) 2 3g x x= − + ( ) ( )•f x g x y
,A D ( )0,1x∈ ( ) ( )0, 0f x g x< > ( ) ( )• 0f x g x < B
0 , 0 , ,x x x x+ −→ → → +∞ → −∞
1
3
3 loga a= 1( ) 93
b = 3
1( ) log3
c c=
b a c< < c b a< < c a b< < a b c< <
1
3
3 loga a= (0,1)a⇒ ∈ 1 93
b = 2b⇒ = − 3
1 log3
c
c = 1c⇒ > b a c< <
R ( )f x ( )f x′ x ( ) ( )f x f x> ′ ( ) 2018f x +
( ) 2018 0xf x e+ <
( ),0−∞ ( )0,+∞ 1, e
−∞
1 ,e
+∞ 构造函数 ，则得 的单调性，再根据 为奇函数得 ，转化不等式为
，最后根据单调性性质解不等式.
【详解】构造函数 ，则 ，所以 在 上单独递减，
因为 为奇函数，所以 .
因此不等式 等价于 ，即 ，选 B.
【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅
助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ，
构造 ， 构造 等
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.在 中，角 A， B，C 对应的边长分别是 a，b，c，且 ，则角 A 的大小为
____________.
【答案】
【解析】
因为 ，由正弦定理得 ，显然 ，所以 ，
．
点睛：在解三角形中，正弦定理与余弦定理都涉及到边角关系，因此解三角形时可能有两个方向 转化，
一是化“角”为“边”，一是化“边”为“角”，关键是看要求的是什么，还有转换后再变形时的难易程
度．本题由正弦定理化边为角后，可直接得出 的正切值，从而易求得 角．
14.已知函数 ，则 =_________________.
【答案】
的
( )( ) x
f xg x e
= ( )g x ( ) 2018f x + (0)g
( ) (0)g x g<
( )( ) x
f xg x e
= ( ) ( )( ) 0x
f x f xg x e
′ −′ = < ( )g x R
( ) 2018f x + (0) 2018 0 (0) 2018, (0) 2018f f g+ = ∴ = − = −
( ) 2018 0xf x e+ < ( ) (0)g x g< 0x >
( ) ( )f x f x′ < ( )( ) x
f xg x e
= ( ) ( ) 0f x f x′ + < ( ) ( )xg x e f x=
( ) ( )xf x f x′ < ( )( ) f xg x x
= ( ) ( ) 0xf x f x′ + < ( ) ( )g x xf x=
ABC∆ 3 sin cosa B b A=
6
π
3 sin cosa B b A= 3sin sin sin cosA B B A= sin 0B ≠ 3tan 3A =
6A
π=
A A
( )
1
2
1 , 13
log , 1
x
x
f x
x x
≤ =
>
( ( 2))f f
3【解析】
,故填 .
15.已知数列 满足 ，且 ，则 ________________.
【答案】
【解析】
由 可得： ，所以 是以 1 为首项 3 为公比的等比数列，所以
，故 .
16.若函数 为区间 上的凸函数，则对于 上的任意 个值 ，总有
. 现已知函数 在 上是凸函数，则在
锐角 中， 的最大值为_________________.
【答案】
【解析】
由已知凸函数的性质得到:
所以在锐角△ABC 中， 的最大值为 .
三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数 ．
（Ⅰ）若函数的定义域为 R，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若函数在区间 上为增函数，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）函数定义域为 R，则 在 R 上恒成立，只需最小
值大于零即可；（2）二次函数对称轴 及最小值大于零即可求解.
( ) ( )( ) 1
12
2
1
2
1 1 12 log 2 , 2 3 32 2 3f f f f
− = = − ∴ = − = = = 3
{ }na 1 2a = − 1 3 6n na a+ = + na =
13 3n
na −= −
1 3 6n na a+ = + 1 3 3( 3)n na a+ + = + { 3}na +
13 3n
na −+ = 13 3n
na −= −
( )f x D D n 1 2 nx x x， ，… ，
( ) ( ) ( ) 1 2
1 2
n
n
x x xf x f x f x nf n
+ + + + + + ≤
…… ( ) sinf x x= 0 2
π
，
ABC sin sin sinA B C+ +
3 3
2
3 3sin sin sin 3sin 3sin3 3 2
A B CA B C
π+ ++ + ≤ = =
sin sin sinA B C+ + 3 3
2
2
1
2
( ) log ( 2 3)f x x ax= − +
a
1( ,1)4
a
( 3 3)− ， [1,2)
2 2 2( ) 2 3 ( ) 3 0g x x ax x a a= − + = − + − >
1
4x a= ≤试题解析：：记 ．
（1）由题意知 对 恒成立，
∴
解得
∴实数 的取值范围是 ．
（2）由题意得 ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 ．
18.已知 ，
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）设 的内角 满足 ，而 ，求证： .
【答案】（1）所求单调递增区间 （2）
【解析】
试题分析：（1）利用两角和与差正弦余弦公式、倍角公式及辅助角公式可得 ，再利
用 三 角 函 数 的 单 调 性 ， 解 不 等 式 即 可 得 函 数 的 单 调 递 增 区 间 ； （ 2 ） 由
得 ，由平面向量数量积公式可得 ，再利用余弦定理以
及基本不等式可得结果.
试题解析：（1）
由 得 ，
故所求单调递增区间为
为
2 2 2( ) 2 3 ( ) 3g x x ax x a a= − + = − + −
( ) 0>g x x∈R
2
min( ) 3 0g x a= − >
3 3a− < <
a ( 3, 3)−
2
1
1 2 1 3 0
a
a
≥
− × + > 1 2a≤ <
a [1,2)
2( ) 2cos sin( ) 3sin cos sin6f x x x x x x
π= ⋅ + + ⋅ −
( )y f x=
ABC∆ A ( ) 2f A = 3AB AC⋅ = 3 1BC ≥ −
, ( )3 6k k k Z
π ππ π − + ∈ 3 1BC∴ ≥ −
( ) 2 2 6f x sin x
π = +
( )y f x=
( ) 2sin 2 2,06f A A A
π π = + = < xω ϕ+ 22 k x
π π ω ϕ+ ≤ + ≤ ( )3 22 k k Z
π π+ ∈
2 22 2k x k
π ππ ω ϕ π− + ≤ + ≤ + 0, 0A ω> < ω
{ }na *( )nS n N∈ { }nb
2 3 3 4 1 11 412, 2 , 11b b b a a S b+ = = − =
{ }na { }nb
2{ }n na b *( )n N∈
3 2na n= − 2n
nb = 2(3 4)2 16nn +− +
n 1a d
q
{ }na d { }nb q 2 3 12b b+ =
( )2
1 12b q q+ = 1 2b = 2 6 0q q+ − = 0q > 2q = 2n
nb =
3 4 12b a a= − 13 8d a− = ① 11 411S b= 1 5 16a d+ = ② 1 1, 3a d= =
3 2na n= −所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
（Ⅱ）解：设数列 的前 项和为 ，由 ，有
，
，
上述两式相减，得
.
得 .
所以，数列 的前 项和为 .
【考点】等差数列、等比数列、数列求和
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进
而写出通项公式及前 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错
位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.
20.如图，某城市有一块半径为 40m 的半圆形（以 O 为圆心，AB 为直径）绿化区域，现计划对其进行
改建．在 AB 的延长线上取点 D，使 OD＝80m，在半圆上选定一点 C，改建后的绿化区域由扇形区域 AOC
和三角形区域 COD 组成，其面积为 S m2. 设∠AOC＝x rad.
（1）写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x)，并指出 x 的取值范围；
（2）张强同学说：当∠AOC= 时，改建后的绿化区域面积 S 最大．张强同学的说法正确吗？若不正确，
请求出改建后的绿化区域面积 S 最大值.
【答案】（1）S＝ ：（2）
【解析】
试题分析：（1）求出扇形区域 AOC、三角形区域 COD 的面积，即可求出 S 关于 x 的函数关系式 ，
并指出 x 的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．
试题解析：
{ }na 3 2na n= − { }nb 2n
nb =
2{ }n na b n nT 2 6 2na n= −
( )2 34 2 10 2 16 2 6 2 2n
nT n= × + × + × + + − ×
( ) ( )2 3 4 12 4 2 10 2 16 2 6 8 2 6 2 2n n
nT n n += × + × + × + + − × + − ×
( )2 3 14 2 6 2 6 2 6 2 6 2 2n n
nT n
+− = × + × + × + + × − − ×
( ) ( ) ( )1 212 1 2
4 6 2 2 3 4 2 161 2
n
n nn n+ +
× −
= − − − × = − − −−
( ) 23 4 2 16n
nT n += − +
2{ }n na b n ( ) 23 4 2 16nn +− +
n
n
2
π
1600sin 800 (0 )x x x π+ < < 1600800 3 3
π+
( )S x（1）因为扇形 AOC 的半径为 40m，∠AOC＝x rad，
在 中， ， ， ，
所以 ．
从而 ＋ ．
（2）张强同学的说法不正确.
理由如下：
由（1）知， .
.
由 ，解得 .
从而当 时， ；当 时， .
因此 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
所以当 时，S 取得最大值 ．
21.已知函数
（1）求 在区间 的最小值 的表达式；
（2）设 ，任意 ，存在 ，使 ，
求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2） 的取值范围是
【解析】
试题分析：（1）讨论三种情况: ,结合二次函数 图象与性质，分别求出 在区间
的最小值，从而可得结果；（2）利用导数研究函数的单调性可得 ，只需存在 ，
的
COD∆ 80OD＝ 40OC＝ COD xπ∠ ＝ －
1 sin 1600sin( ) 1600sin2CODS OC OD COD x xπ∆ = ⋅ ⋅ ∠ = − =
( )s x = CODS∆ 1600sin 800 (0 )AOCS x x x π= + < 2
3 x
π π< < ( ) 0S x′ <
( )S x 20, 3
π
2 ,3
π π
2
3x
π= 1600800 3 3
π+
2( ) 4g x x bx= − +
g( )x [ ]1,2 ( )g b
1 3( ) ln 14 4f x x x x
= − + − 1 (0,2)x ∈ [ ]2 1,2x ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥
b
2
5 , 2
( ) 4 ,2 44
8 2 , 4
b b
bg b b
b b
− ≤
= − < ≤
− >
b 17[ , )4
+∞
2,2 4, 4b b b≤ ≤ ( )g x
[ ]1,2 ( )1
1
2f x ≥ − [ ]2 1,2x ∈使得 ，从而可得 在 时有解，求出 的最小值，即可得结果.
试题解析：（1）当 时，
当 时，
当 时，
（2）函数 的定义域为 ，
令 ，则
令 ，则 或 ，
可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以对任意的 ，有
，
由条件知存在 ，使 ，
所以
即存在 ，使得
分离参数即得到 在 时有解，
由于 （ ）为减函数，故其最小值为 ，
从而
所以实数 的取值范围是
( )2
1
2g x ≤ − 9
2b x x
≥ + [ ]2 1,2x ∈ 9
2x x
+
1, b 22
b ≤ ≤即 ( ) ( )ming x 1 5g b= = −
1 2, 2 b 42
b< ≤ < ≤即 ( ) 2
ming x 42 4
b bg = = −
2, b 42
b > >即 ( ) ( )ming x 2 8 2g b= = −
( ) 2
5 , 2
4 ,2 44
8 2 , 4
b b
bg b b
b b
− ≤
∴ = − < ≤
− >
( )f x ( )0,+∞
( ) ( )( )
2 2
3 11 1 3
4 4 4
x xf x x x x
− −′ = − − = −
( ) 0f x′ > 1 3x< <
( ) 0f x′ < 0 1x< < 3x >
( )f x ( )0,1 ( )1,2
( )1 0,2x ∈
( ) ( )1
1 1 11 ln1 1 14 4 2f x f≥ = − + − − = −
[ ]2 1,2x ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥
( )2
1
2g x ≤ −
[ ]2 1,2x ∈ ( )2
1
2g x ≤ −
9
2b x x
≥ + [ ]1,2x ∈
9
2t x x
= + [ ]1,2x ∈ 17
4
17
4b ≥
b 17 ,4
+∞ 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号
方框涂黑；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
22.将圆 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.
（1）写出 C 的参数方程；
（2）设直线 与 C 的交点为 ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，
求过线段 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程.
【答案】（1） （t 为参数）；（2） .
【解析】
试题分析：（1）设 为圆上的点，在曲线 C 上任意取一点（x，y），再根据 ，由于点
在圆 上，求出 C 的方程，化为参数方程．（2）解方程组求得 的坐标，可得线段 的中
点 坐 标 ． 再 根 据 与 l 垂 直 的 直 线 的 斜 率 为 ， 用 点 斜 式 求 得 所 求 的 直 线 的 方 程 ， 再 根 据
可得所求的直线的极坐标方程．
（1）设 为圆上的点，在已知变换下位 C 上点（x，y），依题意，得 由 得
，即曲线 C 的方程为 .，故 C 得参数方程为 （t 为参数）.
（2）由 解得： ，或 .
不妨设 ,则线段 的中点坐标为 ,所求直线的斜率为 ，于是所求直线方程为
，
化极坐标方程，并整理得
，即 .
考点：1.参数方程化成普通方程；2.点的极坐标和直角坐标的互化．
2 2 1x y+ =
: 2 2 0l x y+ − = 1 2,P P
1 2PP l
cos{ 2sin
x t
y t
＝
＝
3
4sin 2cos
ρ θ θ= −
1 1( , )x y 1
1
{ 2
x x
y y
=
= 1 1( , )x y
2 2 1x y+ = 1 2P P、 1 2PP
1
2
x cos y sinρ θ ρ θ= =、
1 1( , )x y 1
1
{ 2
x x
y y
=
=
2 2
1 1 1x y+ =
2 2) 12( yx =+ 2
2 14
yx + = cos{ 2sin
x t
y t
＝
＝
2
2 1{ 4
2 2 0
yx
x y
+ =
+ − =
1
0
x
y
=
=
0
2
x
y
=
=
1 2(1,0), (0,2)P P 1 2PP 1( ,1)2
1
2k =
1 11 ( )2 2y x− = −
2 cos 4 sin 3ρ θ ρ θ− = − 3
4sin 2cos
ρ θ θ= −23.[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 ， ，且 的解集为 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，且 ，求证： .
【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ） 结合题意即可得解；
（Ⅱ）由 ，利用基本不
等式即可证得.
试题解析：
（Ⅰ）
由 的解集为 可知 .
（Ⅱ） 则
.
当且仅当 时等号成立，即 ， ， 时等号成立.
( ) 2f x m x= − − m R∈ ( 2) 0f x + ≥ [ 1,1]−
m
, ,a b c R+∈ 1 1 1
2 3 ma b c
+ + = 2 3 9a b c+ + ≥
1m =
1 0 1 1m x m x m− − ≥ ⇒ − ≤ ≤ +
( ) 1 1 1 2 3 3 22 3 2 2 1 1 12 3 2 2 3 3
b c a c a ba b c a b c a b c a a b b c c
+ + = + + + + = + + + + + + + +
( ) 0 1 0 1 1f x m x m x m≥ ⇒ − − ≥ ⇒ − ≤ ≤ +
( )+1 0f x ≥ [ ]0 2， 1m =
1 1 1 12 3a b c
+ + =
( ) 1 1 1 2 3 3 22 3 2 2 1 1 12 3 2 2 3 3
b c a c a ba b c a b c a b c a a b b c c
+ + = + + + + = + + + + + + + +
2 3 3 23 3 6 92 3 2 3
b a c a c b
a b a c b c
= + + + + + + ≥ + =
2 3a b c= = 3a = 3
2b = 1c =
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