西2018届高三一调文科数学试题（解析版）

高 2018 级第一次调研考试 文科数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一项是符合题目要求 的） 1.计算 = A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：根据复数乘法法则求结果. 详解： 选 B. 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为 2.已知向量 （ ） A. -3 B. 2 C. 3 D. -2 【答案】A 【解析】 ,选 A. 3.在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 作出可行域如图： (1 ) (2 )i i+ ⋅ + 1 i− 1 3i+ 3 i+ 3 3i+ ( )( )1 2 2 1 3 1 3 ,i i i i+ + = − + = + ( )( ) ( ) ( ) ,( , , . )+ + = − + + ∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ( , )a bi a b R+ ∈ a b 2 2a b+ ( , )a b .−a bi ( ) ( ) ( ) ( )1,1 , 2,2 , , =m n m n m nλ λ λ= + = + + ⊥ −     若 则 ( ) ( )m n m n+ ⊥ −    2 2 2 20 ( 1) 1 ( 2) 4 3m n λ λ λ⇒ − = ⇒ + + = + + ⇒ = −  3 2 0, 3 3 0, 0, x y x y y − ≥  − − ≤  ≥ 3 2 2 3联立方程组 解得 B ，所以 ，故选 A. 4.在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一 尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C 【解析】 由 题 意 知 该 女 子 每 天 织 布 尺 数 成 等 差 数 列 ， 等 差 数 列 中 ， 首 项 与 第 三 十 项 分 别 为 （尺），故选C. 5.已知函数 在 上可导，其部分图象如图所示，设 ，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 的 3 2 0, 3 3 0 x y x y − =  − − = (2,3) 1 31 32 2s = × × = 30 60 90 120 { }na ( )1 30 30 305, 1, 5 1 902a a S= = ∴ = + = ( )f x R (4) (2) 4 2 f f a − =− (2) (4)a f f′ ′< < (2) (4)f a f ′ ( )2k k Z πφ π= + ∈ ( ) sin( )f x xω φ= + ABC∆ A B> sin sinA B>【答案】C 【解析】 【详解】A 选项中 正负不知所以不正确；B 选项中命题的否定是 ，所以 B 错误； C 选项中，当 时， ，所以是偶函数，故 C 正确，“在 中，若 ，则 ”为真命题，所以选 C. 9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080．则下列各结论正确的是 （ ）（参考数据：lg3≈0.48） A. ＜ 1053 B. =1053 C. = 1093 D. ＞1093 【答案】D 【解析】 由 题 意 ， ， 根 据 对 数 性 质 有 ， ， ，故选 D. 10.已知函数 ， ，则 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数 ， ，可得 是偶函数，图象关于 轴对称，排 除 ；又 时， ,所以 ,排除 , ,a b 2, 1 0x R x x∀ ∈ + − ≥ ( )2k k Z πϕ π= + ∈ ( ) sin( ) cosf x x xω ϕ ω= + = ± ABC∆ A B> sin sinA B> M N M N M N M N 361 803 , 10M N≈ ≈ lg3 0.483 10 10= ≈ ( )361361 0.48 1733 10 10M∴ ≈ ≈ ≈ 173 93 80 10 1010 M N ∴ ≈ = ( ) lnf x x= 2( ) 3g x x= − + ( )• ( )f x g x ( ) lnf x x= ( ) 2 3g x x= − + ( ) ( )•f x g x y ,A D ( )0,1x∈ ( ) ( )0, 0f x g x< > ( ) ( )• 0f x g x < B故选 C. 【方法点晴】本题通过对多个图象 选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见 的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以 从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 11.设 a, c 为正数，且 ， ， . 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 , , ,所以 ,选 C. 12.定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，且 为奇 函数，则不等式 的解集为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数 ，则得 的单调性，再根据 为奇函数得 ，转化不等式为 ，最后根据单调性性质解不等式. 【详解】构造函数 ，则 ，所以 在 上单独递减， 因 为奇函数，所以 . 因此不等式 等价于 ，即 ，选 B. 【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅 助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ， 构造 ， 构造 等 的 为 0 , 0 , ,x x x x+ −→ → → +∞ → −∞ 1 3 3 loga a= 1( ) 93 b = 3 1( ) log3 c c= b a c< < c b a< < c a b< < a b c< < 1 3 3 loga a= (0,1)a⇒ ∈ 1 93 b  =   2b⇒ = − 3 1 log3 c c  =   1c⇒ > b a c< < R ( )f x ( )f x′ x ( ) ( )f x f x> ′ ( ) 2018f x + ( ) 2018 0xf x e+ < ( ),0−∞ ( )0,+∞ 1, e  −∞   1 ,e  +∞   ( )( ) x f xg x e = ( )g x ( ) 2018f x + (0)g ( ) (0)g x g< ( )( ) x f xg x e = ( ) ( )( ) 0x f x f xg x e ′ −′ = < ( )g x R ( ) 2018f x + (0) 2018 0 (0) 2018, (0) 2018f f g+ = ∴ = − = − ( ) 2018 0xf x e+ < ( ) (0)g x g< 0x > ( ) ( )f x f x′ < ( )( ) x f xg x e = ( ) ( ) 0f x f x′ + < ( ) ( )xg x e f x= ( ) ( )xf x f x′ < ( )( ) f xg x x = ( ) ( ) 0xf x f x′ + < ( ) ( )g x xf x=第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.在 中，角 A， B，C 对应的边长分别是 a，b，c，且 ，则角 A 的大小为 ____________. 【答案】 【解析】 因为 ，由正弦定理得 ，显然 ，所以 ， ． 点睛：在解三角形中，正弦定理与余弦定理都涉及到边角关系，因此解三角形时可能有两个方向的转化， 一是化“角”为“边”，一是化“边”为“角”，关键是看要求的是什么，还有转换后再变形时的难易程 度．本题由正弦定理化边为角后，可直接得出 的正切值，从而易求得 角． 14.已知函数 ,则 =_________________. 【答案】 【解析】 = 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值， 当出现 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数 定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变 量的取值范围. 15.已知数列 满足 ，且 ，则 ________________. 【答案】 【解析】 ABC∆ 3 sin cosa B b A= 6 π 3 sin cosa B b A= 3sin sin sin cosA B B A= sin 0B ≠ 3tan 3A = 6A π= A A 1)3 1 2 ( , 1( ) log , 1 x xf x x x  ≤=  > ( ( 2))f f 3 ( )( )2f f 1 2 1 2 1 1(log 2) ( ) ( ) 32 3f f −= − = = ( ( ))f f a { }na 1 2a = − 1 3 6n na a+ = + na = 13 3n na −= −由 可得： ，所以 是以 1 为首项 3 为公比的等比数列，所以 ，故 . 16.若函数 为区间 上的凸函数，则对于 上的任意 个值 ，总有 . 现已知函数 在 上是凸函数，则在 锐角 中， 的最大值为_________________. 【答案】 【解析】 由已知凸函数的性质得到: 所以在锐角△ABC 中， 的最大值为 . 三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知函数 ． （Ⅰ）若函数的定义域为 R，求实数 的取值范围； （Ⅱ）若函数在区间 上为增函数，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 试题分析：（1）函数定义域为 R，则 在 R 上恒成立，只需最小 值大于零即可；（2）二次函数对称轴 及最小值大于零即可求解. 试题解析：：记 ． （1）由题意知 对 恒成立， ∴ 解得 ∴实数 的取值范围是 ． 1 3 6n na a+ = + 1 3 3( 3)n na a+ + = + { 3}na + 13 3n na −+ = 13 3n na −= − ( )f x D D n 1 2 nx x x， ，… ， ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n n x x xf x f x f x nf n + + + + + + ≤    …… ( ) sinf x x= 0 2 π    ， ABC sin sin sinA B C+ + 3 3 2 3 3sin sin sin 3sin 3sin3 3 2 A B CA B C π+ ++ + ≤ = = sin sin sinA B C+ + 3 3 2 2 1 2 ( ) log ( 2 3)f x x ax= − + a 1( ,1)4 a ( 3 3)− ， [1,2) 2 2 2( ) 2 3 ( ) 3 0g x x ax x a a= − + = − + − > 1 4x a= ≤ 2 2 2( ) 2 3 ( ) 3g x x ax x a a= − + = − + − ( ) 0>g x x∈R 2 min( ) 3 0g x a= − > 3 3a− < < a ( 3, 3)−（2）由题意得 ，解得 ， ∴实数 的取值范围是 ． 18.已知 ， （1）求函数 的单调递增区间； （2）设 的内角 满足 ，而 ，求证： . 【答案】（1）所求单调递增区间为 （2） 【解析】 试题分析：（1）利用两角和与差正弦余弦公式、倍角公式及辅助角公式可得 ，再利 用 三 角 函 数 的 单 调 性 ， 解 不 等 式 即 可 得 函 数 的 单 调 递 增 区 间 ； （ 2 ） 由 得 ，由平面向量数量积公式可得 ，再利用余弦定理以 及基本不等式可得结果. 试题解析：（1） 由 得 ， 故所求单调递增区间为 （2）由 得 ， ，即 ， ， 又 中， ， 2 1 1 2 1 3 0 a a ≥  − × + > 1 2a≤ < a [1,2) 2( ) 2cos sin( ) 3sin cos sin6f x x x x x x π= ⋅ + + ⋅ − ( )y f x= ABC∆ A ( ) 2f A = 3AB AC⋅ =  3 1BC ≥ − , ( )3 6k k k Z π ππ π − + ∈   3 1BC∴ ≥ − ( ) 2 2 6f x sin x π = +   ( )y f x= ( ) 2sin 2 2,06f A A A π π = + = < xω ϕ+ 22 k x π π ω ϕ+ ≤ + ≤ ( )3 22 k k Z π π+ ∈ 2 22 2k x k π ππ ω ϕ π− + ≤ + ≤ + 0, 0A ω> < ω { }na *( )nS n N∈ { }nb 2 3 3 4 1 11 412, 2 , 11b b b a a S b+ = = − = { }na { }nb 2{ }n na b *( )n N∈ 3 2na n= − 2n nb = 2(3 4)2 16nn +− + n 1a d q { }na d { }nb q 2 3 12b b+ = ( )2 1 12b q q+ = 1 2b = 2 6 0q q+ − = 0q > 2q = 2n nb = 3 4 12b a a= − 13 8d a− = ① 11 411S b= 1 5 16a d+ = ② 1 1, 3a d= = 3 2na n= − { }na 3 2na n= − { }nb 2n nb = 2{ }n na b n nT 2 6 2na n= − ( )2 34 2 10 2 16 2 6 2 2n nT n= × + × + × + + − × ( ) ( )2 3 4 12 4 2 10 2 16 2 6 8 2 6 2 2n n nT n n += × + × + × + + − × + − × ( )2 3 14 2 6 2 6 2 6 2 6 2 2n n nT n +− = × + × + × + + × − − ×. 得 . 所以，数列 的前 项和为 . 考点】等差数列、等比数列、数列求和 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进 而写出通项公式及前 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错 位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和. 20.如图，某城市有一块半径为 40m 的半圆形（以 O 为圆心，AB 为直径）绿化区域，现计划对其进行 改建．在 AB 的延长线上取点 D，使 OD＝80m，在半圆上选定一点 C，改建后的绿化区域由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成，其面积为 S m2. 设∠AOC＝x rad. （1）写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x)，并指出 x 的取值范围； （2）张强同学说：当∠AOC= 时，改建后的绿化区域面积 S 最大．张强同学的说法正确吗？若不正确， 请求出改建后的绿化区域面积 S 最大值. 【答案】（1）S＝ ：（2） 【解析】 试题分析：（1）求出扇形区域 AOC、三角形区域 COD 的面积，即可求出 S 关于 x 的函数关系式 ， 并指出 x 的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论． 试题解析： （1）因为扇形 AOC 的半径为 40m，∠AOC＝x rad， 在 中， ， ， ， 所以 ． 从而 ＋ ． （2）张强同学的说法不正确. 理由如下： 由（1）知， . 【 ( ) ( ) ( )1 212 1 2 4 6 2 2 3 4 2 161 2 n n nn n+ + × − = − − − × = − − −− ( ) 23 4 2 16n nT n += − + 2{ }n na b n ( ) 23 4 2 16nn +− + n n 2 π 1600sin 800 (0 )x x x π+ < < 1600800 3 3 π+ ( )S x COD∆ 80OD＝ 40OC＝ COD xπ∠ ＝ － 1 sin 1600sin( ) 1600sin2CODS OC OD COD x xπ∆ = ⋅ ⋅ ∠ = − = ( )s x = CODS∆ 1600sin 800 (0 )AOCS x x x π= + <  b 17[ , )4 +∞ 2,2 4, 4b b b≤ ≤ ( )g x [ ]1,2 ( )1 1 2f x ≥ − [ ]2 1,2x ∈ ( )2 1 2g x ≤ − 9 2b x x ≥ + [ ]2 1,2x ∈ 9 2x x + 1, b 22 b ≤ ≤即 ( ) ( )ming x 1 5g b= = − 1 2, 2 b 42 b< ≤ < ≤即 ( ) 2 ming x 42 4 b bg  = = −   2, b 42 b > >即 ( ) ( )ming x 2 8 2g b= = − ( ) 2 5 , 2 4 ,2 44 8 2 , 4 b b bg b b b b − ≤ ∴ = − < ≤  − > ( )f x ( )0,+∞ 令 ，则 令 ，则 或 ， 可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以对任意的 ，有 ， 由条件知存在 ，使 ， 所以 即存在 ，使得 分离参数即得到 在 时有解， 由于 （ ） 减函数，故其最小值为 ， 从而 所以实数 的取值范围是 22.将圆 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C. （1）写出 C 的参数方程； （2）设直线 与 C 的交点为 ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系， 求过线段 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程. 【答案】（1） （t 为参数）；（2） . 【解析】 试题分析：（1）设 为圆上的点，在曲线 C 上任意取一点（x，y），再根据 ，由于点 在圆 上，求出 C 的方程，化为参数方程．（2）解方程组求得 的坐标，可得线段 的中 为 ( ) ( )( ) 2 2 3 11 1 3 4 4 4 x xf x x x x − −′ = − − = − ( ) 0f x′ > 1 3x< < ( ) 0f x′ < 0 1x< < 3x > ( )f x ( )0,1 ( )1,2 ( )1 0,2x ∈ ( ) ( )1 1 1 11 ln1 1 14 4 2f x f≥ = − + − − = − [ ]2 1,2x ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥ ( )2 1 2g x ≤ − [ ]2 1,2x ∈ ( )2 1 2g x ≤ − 9 2b x x ≥ + [ ]1,2x ∈ 9 2t x x = + [ ]1,2x ∈ 17 4 17 4b ≥ b 17 ,4  +∞  2 2 1x y+ = : 2 2 0l x y+ − = 1 2,P P 1 2PP l cos{ 2sin x t y t ＝ ＝ 3 4sin 2cos ρ θ θ= − 1 1( , )x y 1 1 { 2 x x y y = = 1 1( , )x y 2 2 1x y+ = 1 2P P、 1 2PP点 坐 标 ． 再 根 据 与 l 垂 直 的 直 线 的 斜 率 为 ， 用 点 斜 式 求 得 所 求 的 直 线 的 方 程 ， 再 根 据 可得所求的直线的极坐标方程． （1）设 为圆上的点，在已知变换下位 C 上点（x，y），依题意，得 由 得 ，即曲线 C 的方程为 .，故 C 得参数方程为 （t 为参数）. （2）由 解得： ，或 . 不妨设 ,则线段 的中点坐标为 ,所求直线的斜率为 ，于是所求直线方程为 ， 化极坐标方程，并整理得 ，即 . 考点：1.参数方程化成普通方程；2.点的极坐标和直角坐标的互化． 23.[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 ， ，且 的解集为 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ，且 ，求证： . 【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ） 结合题意即可得解； （Ⅱ）由 ，利用基本不 等式即可证得. 试题解析： （Ⅰ） 由 的解集为 可知 . 1 2 x cos y sinρ θ ρ θ= =、 1 1( , )x y 1 1 { 2 x x y y = = 2 2 1 1 1x y+ = 2 2) 12( yx =+ 2 2 14 yx + = cos{ 2sin x t y t ＝ ＝ 2 2 1{ 4 2 2 0 yx x y + = + − = 1 0 x y =  = 0 2 x y =  = 1 2(1,0), (0,2)P P 1 2PP 1( ,1)2 1 2k = 1 11 ( )2 2y x− = − 2 cos 4 sin 3ρ θ ρ θ− = − 3 4sin 2cos ρ θ θ= − ( ) 2f x m x= − − m R∈ ( 2) 0f x + ≥ [ 1,1]− m , ,a b c R+∈ 1 1 1 2 3 ma b c + + = 2 3 9a b c+ + ≥ 1m = 1 0 1 1m x m x m− − ≥ ⇒ − ≤ ≤ + ( ) 1 1 1 2 3 3 22 3 2 2 1 1 12 3 2 2 3 3 b c a c a ba b c a b c a b c a a b b c c  + + = + + + + = + + + + + + + +   ( ) 0 1 0 1 1f x m x m x m≥ ⇒ − − ≥ ⇒ − ≤ ≤ + ( )+1 0f x ≥ [ ]0 2， 1m =（Ⅱ） 则 . 当且仅当 时等号成立，即 ， ， 时等号成立. 1 1 1 12 3a b c + + = ( ) 1 1 1 2 3 3 22 3 2 2 1 1 12 3 2 2 3 3 b c a c a ba b c a b c a b c a a b b c c  + + = + + + + = + + + + + + + +   2 3 3 23 3 6 92 3 2 3 b a c a c b a b a c b c = + + + + + + ≥ + = 2 3a b c= = 3a = 3 2b = 1c =