浙江省2017届高三适应性考试数学试题（解析版）

浙江省 2017 级高三适应性测试 数学试卷 一、选择题（本大题共８小题，每题 5 分，共４0 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1.若集合 ， ，则集合 中的元素个数为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 的数对共 9 对，其中 满足 ，所以集合 中的元素个数共 3 个． 2.复数 满足 （其中 为虚数单位），则复数 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 ， 点睛：本题考查的是复数的运算和复数的概念，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规 思路，如(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i,(a,b,c∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 a+bi(a,b∈R)的实部为 a、虚部为 b、模为 对应点为(a,b)、共轭复数为 a−bi 3.已知数列 中的任意一项都为正实数，且对任意 ，有 ，如果 ，则 的 值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 令 ，则 ，所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，从而 ，因为 ，所以 ． . { }1,2,3A = { }( , ) | 4 0, ,B x y x y x y A= + − > ∈ B ,x y A∈ (2,3),(3,2),(3,3) 4 0x y+ − > B z ( )2 3 4z i i⋅ − = − i z i = 3 4 (3 4 )(2 ) 10 5 22 (2 )(2 ) 5 i i i iz ii i i − − + −= = = = −− − + 5zz i i = = 2 2a b+ { }na *,m n∈N m n m na a a +⋅ = 10 32a = 1a 2− 2 2− 1m = 1 1 n n a aa + = { }na 1a 1a 1 n na a= 10 512a = 1 2a =4.已知函数 ， ，则 图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数 ， ，可得 是偶函数，图象关于 轴对称，排 除 ；又 时， ,所以 ,排除 , 故选 C. 【方法点晴】本题通过对多个图象 选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见 的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以 从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 5.随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)＝2，则 D(2X－3)＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 ， 的 的 ( ) lnf x x= 2( ) 3g x x= − + ( )• ( )f x g x ( ) lnf x x= ( ) 2 3g x x= − + ( ) ( )•f x g x y ,A D ( )0,1x∈ ( ) ( )0, 0f x g x< > ( ) ( )• 0f x g x < B 0 , 0 , ,x x x x+ −→ → → +∞ → −∞ 1 1 11 6 3 2p = − − =∴ ∴ 点晴：本题考查的是离散型随机变量的期望,方差和分布列中各个概率之间的关系.先根据概率之和为 1，求 出 p 的值，再根据数学期望公式，求出 a 的值，再根据方差公式求出 D（X），继而求出 D（2X-3）．解决此 类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望． 6.设函数 ， ，则下列叙述中，正确的序号是（ ） ①对任意实数 ，函数 在 上是单调函数； ②对任意实数 ，函数 在 上都不是单调函数； ③对任意实数 ，函数 的图象都是中心对称图象； 存在实数 ，使得函数 的图象不是中心对称图象． A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】A 【解析】 考虑 ，函数 的图象是由它平移得到的，因此，其单调性和对称性不变． 7.已知 ，且 ，则 的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 且 ，可知 ，所以 ． ，当且仅当 时等号成立．故选 A． 8.将函数 （其中 ）的图象向右平移 个单位，若所得图象与原图象重合，则 不 可能等于（ ） 1 1 1( ) 0 2 2 36 2 3E X a a= × + × + × = ⇒ = 2 2 21 1 1( ) (0 2) (2 2) (3 2) 16 2 3D X = − × + − × + − × = 2(2 3) 2 ( ) 4D X D X− = = ( ) ( )f x x a x a b= − − + ,a b∈R ,a b ( )y f x= R ,a b ( )y f x= R ,a b ( )y f x= ,a b ( )y f x= y x x= ( ) ( )f x x a x a b= − − + 1xy = 20 2y< < 2 24 2 x y x y + − 9 2 2 2 4 2 1xy = 20 2y< < 2x > 2 0x y− > 2 2 24 ( 2 ) 4 42 42 2 2 x y x y xy x yx y x y x y + − += = − + ≥− − − 3 13 1, 2x y −= + = ( ) cosf x xω= 0>ω 3 π ( )24f πA. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意 ，所以 ，因此 ，从而 ，可知 不可能等于 ． 9.已知 是抛物线 上不同的三点，且 ∥ 轴， ，点 在 边上的射影为 ， 则 （ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 设 ， ，因为 ，所以 ，因此 ，因为 且在 中， ，所以 ． 10.已知不等式 对一切 都成立，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 令 ，则 若 a≤0，则 y′＞0 恒成立，x＞﹣1 时函数递增，无最值． 若 a＞0，由 y′=0 得：x= ， 当﹣1＜x＜ 时，y′＞0，函数递增； 当 x＞ 时，y′＜0，函数递减． 则 x= 处取得极大值，也为最大值﹣lna+a﹣b﹣2， ∴﹣lna+a﹣b﹣2≤0， ∴b≥﹣lna+a﹣2， 1 2 2 3 2 *2 ( )3 k k N π π ω= ⋅ ∈ *6 ( )k k Nω = ∈ ( ) cos6f x kx= ( ) cos24 4 kf π π= ( )24f π 3 2 , ,A B C 2 4y x= AB y 90ACB∠ =  C AB D AD BD⋅ = 2 2(4 ,4 ), (4 , 4 )A t t B t t− 2(4 ,4 )C m m 90ACB∠ =  2 2 2 2 216( ) 16( ) 0t m t m− + − = 2 2 1m t− = − 2 24 4CD t m= − = Rt ABC∆ 2AD BD CD⋅ = 16AD BD⋅ = ln( 1) 1x ax b+ − ≤ + 1x > − b a 1e − e 1 e− 1 ln( 1) 1y x ax b= + − − − 1' 1y ax = −+ 1 a a − 1 a a − 1 a a − 1 a a −∴ ≥1﹣ ﹣ ， 令 t=1﹣ ﹣ ， ∴t′= ， ∴（0，e﹣1）上，t′＜0，（e﹣1，+∞）上，t′＞0， ∴a=e﹣1，tmin=1﹣e． ∴ 的最小值为 1﹣e． 点晴:本题主要考查用导数研究不等式恒成立问题. 解决这类问题 一种方法法是：通过变量分离将含参函 数的问题转化为不含参的确定函数的最值问题，本题中 a≤0 时，则 y′＞0 恒成立，x＞﹣1 时函数递增， 无最值．a＞0 时 x= 处取得极大值，也为最大值﹣lna+a﹣b﹣2≤0，可得b≥﹣lna+a﹣2，于是 ≥1﹣ ﹣ ，令 t=1﹣ ﹣ ，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，可得 的最小值. 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 11.设 为单位向量，其中 ， ，且 在 上的投影为 ，则 ________， 与 的夹角为______． 【答案】 (1). 2 (2). 【解析】 【详解】 ; 设 与 夹角为 ，则 ，解得 ，所 以 ．故填 . 12.若双曲线 的右焦点到渐近线的距离等于焦距的 倍，则双曲线的离心率为 _______，如果双曲线上存在一点 到双曲线的左右焦点的距离之差为 4，则双曲线的虚轴长为______． 【答案】 (1). 2 (2). 【解析】 由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的 倍，可知双曲线渐近线 的倾斜角为 ，即 ，所 的 b a ln a a 2 a ln a a 2 a 2 1 ln a a + b a 1 a a − b a ln a a 2 a ln a a 2 a b a 1 2e e ， 1 22a e e= +   2b e=  a b 2 =a b⋅  1e 2e 3 π 2 1 2 2 1 2 2 2 (2 ) 2 1 e e e e b e ea b e + ⋅ ⋅ +⋅ = =          1 22 cos 1 2e e θ= ⋅ + =  2a b⇒ ⋅ =  1e 2e θ 2 1 2 2 1 2 2 2 (2 ) 2 1 e e e e b e ea b e + ⋅ ⋅ +⋅ = =          1 22 cos 1 2e e θ= ⋅ + =  1cos 2 θ = 3 πθ = 3 π 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3 4 P 4 3 3 4 by xa = 3 π 3b a =以 ，因为 ，从而 ．所以虚轴长为 . 13.某四面体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图都是腰长为 的等腰直角三角形，正视图是边长为 的 正方形，则此四面体的体积为________，表面积为_____________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 由三视图可知，几何体为一个以正视图为底面的四棱锥，将其扩充为正方体，顶点为前面的右上方的顶点， 所以 , . 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等” 的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何 体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看 俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度； 3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 14.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最大 _____，满足 的正整 数 ______ ． 【答案】 (1). 6 (2). 12 【解析】 依 题 意 ， ， ， 则 ， ， ，所以 ，即满足 的正整数 ． 15.电影院一排 10 个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空 位且甲坐在中间的坐法有________种 【答案】40 1 3 2ce a = = + = 2a = 16 4 2 3b = − = 4 3 1 1 8 3 8 4 2+ 1 82 2 23 3V = × × × = 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 22 2S = × + × × × + × × × = + { }na n nS 6 7 5S S S> > 0na > n = 1 0k kS S + < k = 6 6 5 0a S S= − > 7 7 6 0a S S= − < 6 7 7 5 0a a S S+ = − > 1 11 11 11( ) 2 a aS += 611 0a= > 6 71 12 12 12( )12( ) 02 2 a aa aS ++= = > 1 13 13 7 13( ) 13 02 a aS a += = < 12 13 0S S < 1 0k kS S + < k = 12【解析】 除甲、乙、丙三人的座位外，还有 7 个座位，共可形成六个空，三人从 6 个空中选三位置坐上去有 种坐 法，又甲坐在中间，所以乙、丙有 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有 种. 16.在 且 ，函数 的最小值为 ，则 的最小值为________ 【答案】 【解析】 在 中, 为钝角, ,函数 的最小值为 . 函数 , 化为 恒成立. 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 , 代 入 得 到 , . 当 且 仅 当 时, 取得最小值 , 的最小值为 . 17.已知点 是平面区域 ： 内的任意一点， 到平面区域 的边界的距离之和的取 值范围为___________． 【答案】 【解析】 3 6C 2 2A 3 6C 2 2 40A⋅ = , 1,ABC ACB AC BC∆ ∠ = =中， 为钝角 CO xCA yCB= +   1x y+ = ( )f m CA mCB= −  3 2 CO 1 2 ABC∆ ACB∠ 1,AC BC= = ( )f m 3 2 ∴ 2 2 2 3( ) 2 1 2 cos 2f m CA mCB CA m CB mCA CB m m ACB= − = + − ⋅ = + − ∠ ≥      24 8 cos 1 0m m ACB− ∠ + ≥ 8cos cos8 ACBm ACB ∠= = ∠ 1cos 2ACB∠ = − 2 3ACB π∴∠ = 2 2 22 2 2 2 2 2 22 1 12 2 cos (1 ) (1 ) 3( )3 2 4CO x CA y CB xyCA CB x y xy x x x x x π∴ = + + ⋅ = + + × = + − − − = − +     1 2x y= = 2 CO 1 4 CO∴  1 2 P M 0, { 0, 3 3 0. x y x y ≥ ≥ + − ≤ P M 3[ , 3]2设平面区域 ： 围成 ，由题意， ， 到平面区域 的边界的距离之和 就是 到 三边的距离之和，设 到边界 的距离分别为 因 为 ， 因 为 ， 所 以 ， 从 而 ， 又 ， 所 以 ，因此 的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共 5 小题,共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.已知 （1）求函数 的单调递增区间； （2）设 的内角 满足 ，而 ，求边 的最小值． 【答案】（1） ．（2） 【解析】 试题分析：（1）化简可得 由 可得单调递增区间为 ． （2）由向量的数量积，余弦定理结合基本不等式可得边 的最小值. 试题解析：（1） 由 得 ， 故所求单调递增区间为 ． M 0, { 0, 3 3 0. x y x y ≥ ≥ + − ≤ ABO∆ 1, 3, 2AO BO AB= = = P M d P ABO∆ P , ,AO BO AB , ,a b c 3 2ABO PBO POA PABS S S S∆ ∆ ∆ ∆= = + + 10, 0, ( 3 3 ) 02a b c a b≥ ≥ = − − ≥ 1[ (2 3) 3]2d a b c a b= + + = + − + 3 2d ≥ 1 32a b+ ≤ 1 3[( 3) 2 3] 32 2d a b c b= + + ≤ − + ≤ d 3[ , 3]2 ( ) 22cos sin 3sin cos sin6f x x x x x x π = ⋅ + + ⋅ −   ( )y f x= ABC∆ A ( ) 2f A = 3AB AC⋅ =  BC , ( )3 6k k k Z π ππ π − + ∈   3 1− ( ) 2sin 2 6f x x π = +   2 2 22 6 2k x k π π ππ π− ≤ + ≤ + ( ),3 6k k k Z π ππ π − + ∈   BC ( ) 23 12cos sin cos 3sin cos sin2 2f x x x x x x x  = + + ⋅ −    2 22 3sin cos cos sin 3sin2 cos2 2sin 2 6x x x x x x x π = ⋅ + − = + = +   2 2 22 6 2k x k π π ππ π− ≤ + ≤ + 3 6k x k π ππ π− ≤ ≤ + ( ),3 6k k k Z π ππ π − + ∈  （2）由 得 ， ，即 ， ， 又 中， ， 19.如图，在三棱锥 中， 底面 分别是 的 中点， 在 ，且 . （1）求证： 平面 ； （2）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长； 若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；(2)存在 . 【解析】 【详解】试题分析：（1）通过证明 AF 与平面 SBC 内的两条相交直线垂直即可； （ 2 ） 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 由 ， 所 以 ， 求 得 平 面 的 法 向 量 为 ， 平 面 的 法 向 量 为 ， 由 二 面 角 的 大 小 为 ， 得 ， 化 简 得 ， 又 ， 求 得 即 . 试题解析： （1）由 ， 是 的中点，得 ， ( ) 2sin 2 2,06f A A A π π = + = < < ( ) 0f x′ > 1x >令 ，则 所以当 时，函数 单调递增；当 时，函数 单调递减 （2）当 时， 由（1）可知 的两根分别为 ， 令 ，则 或 ， 令 ，则 可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以对任意的 ，有 ， 由条件知存在 ，使 ， 所以 即存在 ，使得 分离参数即得到 在 时有解， 由于 （ ）为减函数，故其最小值为 ， 从而 ，所以实数 的取值范围是 21.如图，已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆的一个焦点为 ， 是椭圆上的一点． （1）求椭圆的标准方程； ( ) 0f x′ < 0 1x< < ( )1,x∈ +∞ ( )f x ( )0,1x∈ ( )f x 1 4a = ( ) 0f x′ = 1 1x = 2 1 3ax a −= = ( ) 0f x′ > 0 1x< < 3x > ( ) 0f x′ < 1 3x< < ( )f x ( )0,1 ( )1,2 ( )1 0,2x ∈ ( ) ( )1 1 1 11 ln1 1 14 4 2f x f≥ = − + − − = − [ ]2 1,2x ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥ ( )2 1 2g x ≤ − [ ]2 1,2x ∈ ( )2 1 2g x ≤ − 92 2b x x ≥ + [ ]1,2x ∈ 9 2t x x = + [ ]1,2x ∈ 17 4 172 4b ≥ 17 8b ≥ b 17 ,8  +∞  x ( )3,0 31, 2      （2）设椭圆的上、下顶点分别为 ， （ ）是椭圆上异于 的任意一点， 轴， 为垂足， 为线段 中点，直线 交直线 于点 , 为线段 的 中点，若 的面积为 ，求 的值． 【答案】（1） ．（2） ． 【解析】 试题分析：(1)设椭圆方程为 ,由题意,得 ,再由 是椭圆上的一个点,即可求出椭 圆方程; (2)根据题意,求出直线 AB 的方程、点 M,C,N 的坐标,计算 ,可得 ,再利用 ,结合椭圆方程,求解可得结果. 试题解析：（1）设椭圆方程为 ，由题意，得 ．因为 ，所以 ．又 是椭圆上的一个点，所以 ，解得 或 （舍去），从而椭圆的标准方程为 ． （2）因为 ， ，则 ，且 ．因为 为线段 中点， 所以 ．又 ，所以直线 的方程为 ．因为 令 ， 得 ． 又 ， 为线段 的中点，有 ． ,A B ( )0 0,P x y 0 0x ≠ ,A B PQ y⊥ Q M PQ AM : 1l y = − C N BC MON∆ 3 2 0y 2 2 14 x y+ = 0 4 5y = 2 2 2 2 1x y a b + = 3c = 31, 2       0OM NM⋅ =  OM MN⊥ 3 2MONS∆ = 2 2 2 2 1x y a b + = 3c = 2 2 2a c b− = 2 2 3b a= − 31, 2       2 2 3 1 4 13a a + =− 2 4a = 2 3 4a = 2 2 14 x y+ = ( )0 0,P x y 0 0x ≠ ( )00,Q y 2 20 0 14 x y+ = M PQ 0 0,2 xM y     ( )0,1A AM ( )0 0 2 1 1yy xx −= + 0 00, 1,x y≠ ∴ ≠ 1y = − 0 0 , 11 xC y  − −  ( )0, 1B − N BC ( )0 0 , 12 1 xN y  −  − 所以 ． 因此， = ．从而 ． 因为 ， ， 所以在 中， ，因此 ．从而有 ，解得 ． 22.已知数列 满足： （Ⅰ）当 时，求数列 的通项公式; （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若数列 满足 为数列 的前 项和，求证：对任意 . 【答案】（1） .（2）见解析. 【解析】 试题分析：（1）当 时， 得知 是以 1 为首项、1 为公差的等差数列. （2）经计算知当 时， 当 时，根据 得到 令 利用“错位相减法”证得 试题解析：（1）当 时， . ( )0 0 0 0 , 12 2 1 x xNM yy  = − +  −   ( ) ( ) ( ) 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 2 2 1 4 4 1 x x x x xOM NM y y y yy y  ⋅ = − + ⋅ + = − + +  − −    ( ) ( )2 2 20 0 0 0 0 0 0 1 1 04 4 1 x xy y y yy  + − + = − + + =  −  OM MN⊥ 2 20 0 14 xOM y= + = ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 00 0 1 21 1 14 1 1 x yON yy y −= + = + = −− − Rt MON∆ 2 2MN ON OM= − = 0 0 11 1 2 2 1MON yS OM MN y∆ += = − 0 0 11 3 2 1 2 y y + =− 0 4 5y = { }na 2 2 1 11, sin sin 2 cos .n n na a a θ θ θ+= − = ⋅ 4 πθ = { }na { }nb sin ,2 n n n ab S π= { }nb n * 5, 3 8nn N S π∈ < + 12n n na −= = 4 πθ 1 1 1 ,2 2n n na a+ − = 1 12 2 1,n n n na a− + − ⋅ = { }12n na− 1,2,3n = 53 8nS π< + 成立； 4n ≥ sin ,2 2n n n n nb π π= < 4 5 6 4 5 63 ( ) ,2 2 2 2n n nS π< + + + +⋅⋅⋅+ 4 5 6 5 6 7 1 4 5 6 1 4 5 6, ,2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n nT T += + + +⋅⋅⋅+ = + + +⋅⋅⋅+ = 4 πθ 1 1 1 ,2 2n n na a+ − = 1 12 2 1,n n n na a− + − ⋅ =所以 是以 1 为首项、1 为公差的等差数列， 从而 . （2） 所以当 时， 当 时，因为 令 两式相减得 综上所述，对任意 考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”. { }12n na− 12 ,n na n− = 12n n na −= 1 2 3 3sin , 1, sin 1,2 8n n nb b b b π π= = = = < 1,2,3n = 53 8nS π< + 成立； 4n ≥ sin ,2 2n n n n nb π π= < 4 5 6 4 5 63 ( ) ,2 2 2 2n n nS π< + + + +⋅⋅⋅+ 4 5 6 5 6 7 1 4 5 6 1 4 5 6, ,2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n nT T += + + +⋅⋅⋅+ = + + +⋅⋅⋅+ 4 5 6 1 4 1 4 1 1 1 1 1 5 ,2 2 2 2 2 2 4 2 16n n nT += + + +⋅⋅⋅+ − < + = 5 5, 3 .8 8nT S π< < +所以 * 5, 3 .8nn N S π∈ < +