2020 年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题
1．已知集合 A＝{x|x2≤4，x∈R}，B＝{x| ≤4，x∈Z}，则 A∩B（ ）
A．（0，2） B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}
2．复数 （i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（﹣1，3） C．（3，﹣1） D．（2，4）
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． π B． π C．8π D．16π
4．等比数列{an}每项都是正数，设其前 n 项和为 Sn，若满足 q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，
则 S5＝（ ）
A．31 B．36 C．42 D．48
5．设 z＝x+y，其中实数 x，y 满足 ，若 z 的最大值为 6，则 z 的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
6．有 6 名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派
方法种数为（ ）
A．540 B．729 C．216 D．420
7．执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（ ）A．2016 B．2 C． D．﹣1
8．若（x6 ）n 的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知函数 f（x）＝ sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为
的等差数列，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数 g（x）的图
象，则下列关于函数 g（x）的命题中正确的是（ ）
A．g（x）在[ ]上是增函数
B．g（x）的图象关于直线 x＝﹣ 对称
C．函数 g（x）是奇函数
D．当 x∈[ ]时，函数 g（x）的值域是[﹣2，1]
10．设函数 f（x）＝log4x﹣（ ）x，g（x）＝ x﹣（ ）x 的零点分别是 x1，x2，则（
）
A．x1x2＝1 B．0＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2＞2
11．在正三棱锥 S﹣ABC 中，M 是 SC 的中点，且 AM⊥SB，底面边长 AB＝2 ，则正三
棱锥 S﹣ABC 外接球表面积为（ ）
A．6π B．12π C．32π D．36π
12．过曲线 C1： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点 F1 作曲线 C2：x2+y2＝a2 的切线，设
切点为 M，延长 F1M 交曲线 C3：y2＝2px（p＞0）于点 N，其中曲线 C1 与 C3 有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线 C1 的离心率为（ ）
A． B． ﹣1 C． +1 D．
二、填空题（共 4 小题）
13．已知 ＝（1，﹣2）， + ＝（0，2），则| |＝ ．
14．设随机变量 X～N（3，σ2），若 P（X＞m）＝0.3，则 P（X＞6﹣m）＝ ．
15．函数 f（x）＝ ，若方程 f（x）＝mx﹣ 恰有四个不相等的实数根，则
实数 m 的取值范围是 ．
16．设数列{an}的 n 项和为 Sn，且 a1＝a2＝1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则{an}的通项
公式 an＝ ．
三、解答题（6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写
在答卷纸的相应位置上）
17．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，面积为 S，已知 acos2 +ccos2 ＝
b
（1）求证：a、b、c 成等差数列；
（2）若 B＝ ，S＝4 求 b．
18．如图，平面 ABEF⊥平面 ABC，四边形 ABEF 为矩形，AC＝BC．O 为 AB 的中点，OF
⊥EC．
（1）求证：OE⊥FC；
（2）若 ＝ 时，求二面角 F﹣CE﹣B 的余弦值．
19．为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字
路口处．现从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，他们的年龄情况如表
所示．
（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数；
（2）在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加“规范摩的司机
的交通意识”培训活动，从这20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人，记这 2 名志愿者
中“年龄低于 30 岁”的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望．
分组（单位：岁） 频数 频率
[20，25） 5 0.05
[25，30） ① 0.20
[30，35） 35 ②
[35，40） 30 0.30
[40，45] 10 0.10
合计 100 1.00
20．椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的上顶点为 A，P（ ， ）是 C 上的一点，以 AP
为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，问：在 x 轴上是否存在两个定点，它们到
直线 l 的距离之积等于 1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由
．
21．函数 f（x）＝ ，若曲线 f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线 e2x﹣y+e＝0
垂直（其中 e 为自然对数的底数）．
（1）若 f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数 m 的取值范围；（2）求证：当 x＞1 时， ＞ ．
请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．[选修 4 一 4：坐标系与参数方程]
22．已知直线 C1 （t 为参数），C2 （θ 为参数），
（Ⅰ）当 α＝ 时，求 C1 与 C2 的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点 O 做 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 中点，当 α 变化时，求 P 点的轨
迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．设 f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．
（1）求 f（x）≤x+2 的解集；
（2）若不等式 ，对任意实数 a≠0 恒成立，求实数 x 的取值范
围．参考答案
一、选择题：（共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．）
1．已知集合 A＝{x|x2≤4，x∈R}，B＝{x| ≤4，x∈Z}，则 A∩B（ ）
A．（0，2） B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}
解：由 A 中不等式解得：﹣2≤x≤2，即 A＝[﹣2，2]，
由 B 中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即 B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11
，12，13，14，15，16}，
则 A∩B＝{0，1，2}，
故选：C．
2．复数 （i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（﹣1，3） C．（3，﹣1） D．（2，4）
解： ，
∴复数 z 所对应点的坐标是（3，1）．
故选：A．
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． π B． π C．8π D．16π
解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，
圆柱和圆锥的底面直径为 4，故底面半径为 2，故底面面积 S＝4π，
圆柱和圆锥的高 h＝2，故组合体的体积 V＝（1﹣ ）Sh＝ ，
故选：B．
4．等比数列{an}每项都是正数，设其前 n 项和为 Sn，若满足 q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，
则 S5＝（ ）
A．31 B．36 C．42 D．48
解：a3a5＝a2a6＝64，
∵a3+a5＝20，
∴a3 和 a5 为方程 x2﹣20x+64＝0 的两根，
∵an＞0，q＞1，
∴a3＜a5，
∴a5＝16，a3＝4，
∴q＝ ＝ ＝2，
∴a1＝ ＝ ＝1，
∴S5＝ ＝31．
故选：A．
5．设 z＝x+y，其中实数 x，y 满足 ，若 z 的最大值为 6，则 z 的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
解：作出不等式对应的平面区域，
由 z＝x+y，得 y＝﹣x+z，
平移直线 y＝﹣x+z，由图象可知当直线 y＝﹣x+z 经过点 A 时，直线 y＝﹣x+z 的截距最
大，
此时 z 最大为 6．即 x+y＝6．经过点 B 时，直线 y＝﹣x+z 的截距最小，此时 z 最小．
由 得 ，即 A（3，3），
∵直线 y＝k 过 A，∴k＝3．
由 ，解得 ，即 B（﹣6，3）．
此时 z 的最小值为 z＝﹣6+3＝﹣3，
故选：A．
6．有 6 名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派
方法种数为（ ）
A．540 B．729 C．216 D．420
解：根据题意，分 2 步进行分析：
①，先将 6 名优秀毕业生分为 3 组，若分为 1、1、4 的三组，有 C64＝15 种分组方法，
若分为 1、2、3 的三组，有 C63C32＝60 种分组方法，
若分为 2、2、2 的三组， ＝15 种分组方法，
则有 15+60+15＝90 种分组方法；
②，将分好的三组对应三个班级，有 A33＝9 种情况，
则每个班至少去一名的不同分派方法有 90×6＝540 种；
故选：A．
7．执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（ ）A．2016 B．2 C． D．﹣1
解：模拟执行程序框图，可得
s＝2，k＝0
满足条件 k＜2016，s＝﹣1，k＝1
满足条件 k＜2016，s＝ ，k＝2
满足条件 k＜2016，s＝2．k＝3
满足条件 k＜2016，s＝﹣1，k＝4
满足条件 k＜2016，s＝ ，k＝5
…
观察规律可知，s 的取值以 3 为周期，由 2015＝3*671+2，有
满足条件 k＜2016，s＝2，k＝2016
不满足条件 k＜2016，退出循环，输出 s 的值为 2．
故选：B．
8．若（x6 ）n 的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：由题意，（x6 ）n 的展开式的项为 Tr+1＝∁nr（x6）n﹣r（ ）r＝∁nr
＝∁nr
令 6n﹣ r＝0，得 n＝ r，当 r＝4 时，n 取到最小值 5
故选：C．9．已知函数 f（x）＝ sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为
的等差数列，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数 g（x）的图
象，则下列关于函数 g（x）的命题中正确的是（ ）
A．g（x）在[ ]上是增函数
B．g（x）的图象关于直线 x＝﹣ 对称
C．函数 g（x）是奇函数
D．当 x∈[ ]时，函数 g（x）的值域是[﹣2，1]
解：∵f（x）＝ sinωx+cosωx＝ ＝ ，
由题意知 ，则 T＝π，∴ω＝ ，
∴ ，
把 函 数 f （ x ） 的 图 象 沿 x 轴 向 左 平 移 个 单 位 ， 得 g （ x ） ＝ f （ x+ ） ＝ 2
＝2cos2x．
其图象如图：
由图可知，函数在[ ， ]上是减函数，A 错误；
其图象的对称中心为（ ），B 错误；
函数为偶函数，C 错误；
， ，
∴当 x∈[ ， π]时，函数 g（x）的值域是[﹣2，1]，D 正确．
故选：D．10．设函数 f（x）＝log4x﹣（ ）x，g（x）＝ x﹣（ ）x 的零点分别是 x1，x2，则（
）
A．x1x2＝1 B．0＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2＞2
解：由题意可得 x1 是函数 y＝log4x 的图象和 y＝（ ）x 的图象的交点的横坐标，
x2 是 y＝ 的图象和函数 y＝y＝（ ）x 的图象的交点的横坐标，且 x1，x2 都是正
实数，如图所示：
故有 x2＞log4x1，故 log4x1﹣ x2＜0，∴log4x1+log4x2＜0，
∴log4（x1•x2）＜0，∴0＜x1•x2＜1，
故选：B．
11．在正三棱锥 S﹣ABC 中，M 是 SC 的中点，且 AM⊥SB，底面边长 AB＝2 ，则正三
棱锥 S﹣ABC 外接球表面积为（ ）
A．6π B．12π C．32π D．36π
解：取 AC 中点，连接 BN、SN
∵N 为 AC 中点，SA＝SC
∴AC⊥SN，同理 AC⊥BN，
∵SN∩BN＝N∴AC⊥平面 SBN
∵SB⊂平面 SBN
∴AC⊥SB
∵SB⊥AM 且 AC∩AM＝A
∴SB⊥平面 SAC⇒SB⊥SA 且 SB⊥AC
∵三棱锥 S﹣ABC 是正三棱锥
∴SA、SB、SC 三条侧棱两两互相垂直．
∵底面边长 AB＝2 ，
∴侧棱 SA＝2，
∴正三棱锥 S﹣ABC 的外接球的直径为：2R＝
外接球的半径为 R＝
∴正三棱锥 S﹣ABC 的外接球的表面积是 S＝4πR2＝12π
故选：B．
12．过曲线 C1： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点 F1 作曲线 C2：x2+y2＝a2 的切线，设
切点为 M，延长 F1M 交曲线 C3：y2＝2px（p＞0）于点 N，其中曲线 C1 与 C3 有一个共
同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线 C1 的离心率为（ ）
A． B． ﹣1 C． +1 D．
解：设双曲线的右焦点为 F2，则 F2 的坐标为（c，0）
因为曲线 C1 与 C3 有一个共同的焦点，所以 y2＝4cx
因为 O 为 F1F2 的中点，M 为 F1N 的中点，所以 OM 为△NF1F2 的中位线，
所以 OM∥NF2，
因为|OM|＝a，所以|NF2|＝2a又 NF2⊥NF1，|FF2|＝2c 所以|NF1|＝2b
设 N（x，y），则由抛物线的定义可得 x+c＝2a，
∴x＝2a﹣c
过点 F1 作 x 轴的垂线，点 N 到该垂线的距离为 2a
由勾股定理 y2+4a2＝4b2，即 4c（2a﹣c）+4a2＝4（c2﹣a2）
得 e2﹣e﹣1＝0，
∴e＝ ．
故选：D．
二、填空题：（共 4 小题，每小题 5 分）
13．已知 ＝（1，﹣2）， + ＝（0，2），则| |＝ ．
解：因为 ＝（1，﹣2）， + ＝（0，2），所以 ＝（﹣1，4），
所以 ；
故答案为：
14．设随机变量 X～N（3，σ2），若 P（X＞m）＝0.3，则 P（X＞6﹣m）＝ 0.7 ．
解：随机变量 X 服从正态分布 N（3，σ2），
∴曲线关于 x＝3 对称，
∵P（X＞m）＝0.3，
∴P（X＞6﹣m）＝1﹣0.3＝0.7，
故答案为：0.7．
15．函数 f（x）＝ ，若方程 f（x）＝mx﹣ 恰有四个不相等的实数根，则
实数 m 的取值范围是 （ ， ） ．
解：方程 f（x）＝mx﹣ 恰有四个不相等的实数根可化为
函数 f（x）＝ 与函数 y＝mx﹣ 有四个不同的交点，
作函数 f（x）＝ 与函数 y＝mx﹣ 的图象如下，由题意，C（0，﹣ ），B（1，0）；
故 kBC＝ ，
当 x＞1 时，f（x）＝lnx，f′（x）＝ ；
设切点 A 的坐标为（x1，lnx1），
则 ＝ ；
解得，x1＝ ；
故 kAC＝ ；
结合图象可得，
实数 m 的取值范围是（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
16．设数列{an}的 n 项和为 Sn，且 a1＝a2＝1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则{an}的通项
公式 an＝ ．
解：设 bn＝nSn+（n+2）an，
∵数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝a2＝1，∴b1＝4，b2＝8，
∴bn＝b1+（n﹣1）×（8﹣4）＝4n，
即 bn＝nSn+（n+2）an＝4n
当 n≥2 时，Sn﹣Sn﹣1+（1+ ）an﹣（1+ ）an﹣1＝0
∴ ＝ ，
即 2• ，
∴{ }是以 为公比，1 为首项的等比数列，
∴ ＝ ，
∴ ．
三、解答题（6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写
在答卷纸的相应位置上）
17．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，面积为 S，已知 acos2 +ccos2 ＝
b
（1）求证：a、b、c 成等差数列；
（2）若 B＝ ，S＝4 求 b．
解：（1）由正弦定理得：sinAcos2 +sinCcos2 ＝ sinB，
即 sinA• +sinC• ＝ sinB，
∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC＝3sinB，即 sinA+sinC+sin（A+C）＝3sinB，
∵sin（A+C）＝sinB，
∴sinA+sinC＝2sinB，
由正弦定理化简得：a+c＝2b，
∴a，b，c 成等差数列；
（2）∵S＝ acsinB＝ ac＝4 ，
∴ac＝16，
又 b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，
由（1）得：a+c＝2b，∴b2＝4b2﹣48，即 b2＝16，
解得：b＝4．
18．如图，平面 ABEF⊥平面 ABC，四边形 ABEF 为矩形，AC＝BC．O 为 AB 的中点，OF
⊥EC．
（1）求证：OE⊥FC；
（2）若 ＝ 时，求二面角 F﹣CE﹣B 的余弦值．
【解答】证明：（1）连结 OC，∵AC＝BC，O 为 AB 的中点，
∴OC⊥AB，又平面 ABEF⊥平面 ABC，
故 OC⊥平面 ABEF，
∴OC⊥OF，又 OF⊥EC，
∴OF⊥平面 OEC，∴OF⊥OE，
又 OC⊥OE，∴OE⊥平面 OFC，
∴OE⊥FC．
解：（2）设 AB＝2，AC＝ ，取 EF 的中点 D，
以 O 为原点，OC，OB，OD 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
则 B（0，1，0），C（ ，0，0），E（0，1，1），F（0，﹣1，1），
＝（﹣ ，﹣1，﹣1）， ＝（0，﹣2，0），
设平面 FCE 的法向量 ＝（x，y，z），
则 ，取 x＝1，得 ＝（1，0， ），
同理，可取平面 BEC 的一个法向量为 ＝（1， ，0），
cos＜ ＞＝ ＝ ＝ ，
∴二面角 F﹣CE﹣B 的余弦值为 ．19．为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字
路口处．现从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，他们的年龄情况如表
所示．
（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（
如图），再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数；
（2）在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加“规范摩的司机
的交通意识”培训活动，从这20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人，记这 2 名志愿者
中“年龄低于 30 岁”的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望．
分组（单位：岁） 频数 频率
[20，25） 5 0.05
[25，30） ① 0.20
[30，35） 35 ②
[35，40） 30 0.30
[40，45] 10 0.10
合计 100 1.00解：（1）由频数分布表和频率分布直方图，得到：
①处填 20，②处填 0.35；补全频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30，35）的人数为 500×0.35＝175．
（2）用分层抽样的方法，从中选取 20 人，
则其中“年龄低于 30 岁”的有 5 人，“年龄不低于 30 岁”的有 15 人．
由题意知，X 的可能取值为 0，1，2，且
P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ＝ ．
∴X 的分布列为：
X 0 1 2
P
∴E（X）＝0× +1× +2× ＝ ．
20．椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的上顶点为 A，P（ ， ）是 C 上的一点，以 AP
为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，问：在 x 轴上是否存在两个定点，它们到
直线 l 的距离之积等于 1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）F（c，0），A（0，b），由题设可知 ，得
c2﹣ c+ ＝0①…（1 分）
又点 P 在椭圆 C 上，∴ ⇒a2＝2②
b2+c2＝a2＝2③…
①③联立解得，c＝1，b2＝1…
故所求椭圆的方程为 +y2＝1…
（2）设动直线 l 的方程为 y＝kx+m，代入椭圆方程，消去 y，整理，
得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0（﹡）
方程（﹡）有且只有一个实根，又 2k2+1＞0，
所以△＝0，得 m2＝2k2+1…
假设存在 M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由
＝| |＝1 对任意的实数 k 恒成立．
所以， 解得， 或 ，
所以，存在两个定点 M1（1，0），M2（﹣1，0），它们恰好是椭圆的两个焦点．…
21．函数 f（x）＝ ，若曲线 f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线 e2x﹣y+e＝0
垂直（其中 e 为自然对数的底数）．
（1）若 f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数 m 的取值范围；
（2）求证：当 x＞1 时， ＞ ．
解：（1）∵f′（x）＝ ，
f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣ ，
由切线与直线 e2x﹣y+e＝0 垂直，可得 f′（e）＝﹣ ，即有﹣ ＝﹣
解得得 a＝1，
∴f（x）＝ ，f′（x）＝﹣ （x＞0）
当 0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当 x＞1 时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
∴x＝1 是函数 f（x）的极大值点
又 f（x）在（m，m+1）上存在极值
∴m＜1＜m+1 即 0＜m＜1
故实数 m 的取值范围是（0，1）；
（2）不等式 ＞
即为 • ＞
令 g（x）＝
则 g′（x）＝ ，
再令 φ（x）＝x﹣lnx，则 φ′（x）＝1﹣ ＝ ，
∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴φ（x）＞φ（1）＝1＞0，g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴x＞1 时，g（x）＞g（1）＝2
故 ＞ ．
令 h（x）＝ ，则 h′（x）＝ ，
∵x＞1∴1﹣ex＜0，h′（x）＜0，即 h（x）在（1，+∞）上是减函数
∴x＞1 时，h（x）＜h（1）＝ ，
所以 ＞h（x），即 ＞ ．请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．[选修 4 一 4：坐标系与参数方程]
22．已知直线 C1 （t 为参数），C2 （θ 为参数），
（Ⅰ）当 α＝ 时，求 C1 与 C2 的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点 O 做 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 中点，当 α 变化时，求 P 点的轨
迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解：（Ⅰ）当 α＝ 时，C1 的普通方程为 ，C2 的普通方程为 x2+y2＝1．
联立方程组 ，
解得 C1 与 C2 的交点为（1，0） ．
（Ⅱ）C1 的普通方程为 xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0①．
则 OA 的方程为 xcosα+ysinα＝0②，
联立①②可得 x＝sin2α，y＝﹣cosαsinα；
A 点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），
故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为： ，
P 点轨迹的普通方程 ．
故 P 点轨迹是圆心为 ，半径为 的圆．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．设 f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．
（1）求 f（x）≤x+2 的解集；
（2）若不等式 ，对任意实数 a≠0 恒成立，求实数 x 的取值范
围．
解：（1）由 f（x）≤x+2 有
…解得 0≤x≤2，∴所求解集为[0，2]…
（2） …
当且仅当 时取等号，
由不等式 对任意实数 a≠0 恒成立，
可得|x﹣1|+|x+1|≥3，
解得
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