2020 年（3 月份）高考模拟高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题
1．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}，则 A∩B 等于（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
2．已知复数 z 在复平面内对应点是（1，﹣2）．i 为虚数单位，则 ＝（ ）
A．﹣1﹣i B．1+i C．1﹣ i D．1+ i
3．命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（ ）
A．不存在 x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0
C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0
4．已知向量 ＝（4，﹣1）， ＝（﹣5，2），且（ + ）∥（m ﹣ ），则实数 m＝（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
5．已知 a＝21.2，b＝（ ） ﹣0.8，c＝2log52，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
6．数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半
，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的 a，b 分
别为 8、2，则输出的 n＝（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
7．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 A＝30°，b2＝2ac，则 ＝（
）
A．1 B．2 C． D．8．在区间[ ]上随机取一个数 x，则 sin2x 的值介于 0 到 之间的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知直线 y＝kx（k≠0）与双曲线 交于 A，B 两点，以 AB 为
直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若△ABF 的面积为 4a2，则双曲线的离心率为（
）
A． B． C．2 D．
10．设函数 f（x）的定义域 D，如果存在正实数 m，使得对任意 x∈D，都有 f（x+m）＞f（
x），则称 f（x）为 D 上的“m 型增函数”．已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，
且当 x＞0 时，f（x）＝|x﹣a|﹣a（a∈R）．若 f（x）为 R 上的“20 型增函数”，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20
11．已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且 AC＝BC＝6，AB
＝4，则球面面积为（ ）
A．42π B．48π C．54π D．60π
12．已知直线 l：y＝﹣2x﹣m（m＞0）与圆 C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0，直线 l 与圆 C 相交
于不同两点 M，N．若| |，则 m 的取值范围是（ ）
A．[ ，5） B．[2，5 ﹣3） C．（ 5，5 ） D．（ ，2）
13．设曲线 y＝ax2 在点（1，a）处的切线与直线 x+2y﹣6＝0 垂直，则 a＝ ．
14．已知 x，y 满足约束条件 ，则 z＝x+y 的最小值为 ．
15．已知正数 x，y 满足 3x+4y＝xy，则 x+3y 的最小值为 ．
16．△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a＝bcosC+csinB，且 b＝
，则△ABC 面积的最大值是 ．
17．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S2＝8，a3+a8＝2a5+2．
（1）求 an；
（2）设数列 的前 n 项和为 Tn，求证： ．
18．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F 分别为 A1C1 和 BC
的中点．（1）求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1；
（2）求证：C1F∥平面 ABE．
19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝4，
CD＝2CE＝2．
（1）证明：平面 PAD⊥平面 PDE；
（2）若△PAB 的面积为 2 ，求三棱锥 P﹣ADE 的体积．
20．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + ＝1 的左顶点为 A，右焦点为 F，P，
Q 为椭圆 C 上两点，圆 O：x2+y2＝r2（r＞0）．
（1）若 PF⊥x 轴，且满足直线 AP 与圆 O 相切，求圆 O 的方程；
（2）若圆 O 的半径为 ，点 P，Q 满足 kOP•kOQ＝﹣ ，求直线 PQ 被圆 O 截得弦长的
最大值．
21．设函数 f（x）＝lnx﹣ ax2﹣bx．
（Ⅰ）若 x＝1 是 f（x）的极大值点；求 a 的取值范围；
（Ⅱ）当 a＝0，b＝﹣1 时，方程 x2＝2mf（x）（其中 m＞0）有唯一实数解，求 m 的值
．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），曲线 C
的极坐标方程为 ρ＝4sin（θ+ ）．
（1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求△MON 的面积．
23．已知函数 f（x）＝|x﹣3|﹣2|x|．
（1）求不等式 f（x）≤2 的解集；
（2）若 f（x）的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 a+b+c＝m，求证：a2+b2+c2≥3．参考答案
一、选择题
1．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}，则 A∩B 等于（ ）
A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，
3}
解：∵集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选：B．
2．已知复数 z 在复平面内对应点是（1，﹣2）．i 为虚数单位，则 ＝（ ）
A．﹣1﹣i B．1+i C．1﹣ i D．1+ i
解：∵复数 z 在复平面内对应点是（1，﹣2）．i 为虚数单位，∴z＝1﹣2i．
则 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1+ i．
故选：D．
3．命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（ ）
A．不存在 x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0
C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0
解：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：∃x0∈R， ﹣ +1＞0，
故选：C．
4．已知向量 ＝（4，﹣1）， ＝（﹣5，2），且（ + ）∥（m ﹣ ），则实数 m＝（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
解： ；
∵ ；
∴m+2﹣（4m+5）＝0；
解得 m＝﹣1．
故选：B．5．已知 a＝21.2，b＝（ ） ﹣0.8，c＝2log52，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解：∵a＝21.2＞2，
b＝（ ） ﹣0.8＝20.8＜21＝2，
c＝log54＜log55＝1，
∴c＜b＜a．
故选：A．
6．数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半
，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的 a，b 分
别为 8、2，则输出的 n＝（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
解：n＝1，a＝8+4＝12，b＝4，a＜b 否，n＝2，
n＝2，a＝12+6＝18，b＝8，a＜b 否，n＝3，
n＝3，a＝18+9＝27，b＝16，a＜b 否，n＝4，
n＝4，a＝27+ ＝40.5，b＝32，a＜b 否，n＝5，
n＝5，a＝40.5+20.25＝60.75，b＝64，a＜b 是，
输出 n＝5，
故选：C．
7．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 A＝30°，b2＝2ac，则 ＝（
）
A．1 B．2 C． D．
解：∵b2＝2ac，由正弦定理，得 sin2B＝2sinAsinC＝2sin30°sinC＝sinC，∴ ＝ ．
故选：A．
8．在区间[ ]上随机取一个数 x，则 sin2x 的值介于 0 到 之间的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：所有的基本事件构成的区间长度为 ﹣（﹣ ）＝ ，由 0≤sin2x≤ ，解得 0
≤2x≤ ，
则 0＜x≤ ，
所以由几何概型公式可得 sin2x 的值介于 0 到 之间的概率为 P＝ ＝ ，
故选：D．
9．已知直线 y＝kx（k≠0）与双曲线 交于 A，B 两点，以 AB 为
直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若△ABF 的面积为 4a2，则双曲线的离心率为（
）
A． B． C．2 D．
解：∵以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，
∴以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y2＝c2，
由对称性知△ABF 的面积 S＝2S△OBF＝2× h＝ch＝4a2，
即 h＝ ，即 B 点的纵坐标为 y＝ ，
则由 x2+（ ）2＝c2，得 x2＝c2﹣（ ）2＝c2﹣ ，
B 在双曲线上，
则 ﹣ ＝1，
即 ﹣ ﹣ ＝1，即 ﹣ （1+ ）＝1，
即 ﹣ • ＝1，
即 ﹣ ＝1，
即 ﹣1＝ ＝ ，
得 16a4＝（c2﹣a2）2，
即 4a2＝c2﹣a2，得 5a2＝c2，得 c＝ a，
则离心率 e＝ ＝ ＝ ，
方 法 2 ： 设 双 曲 线 的 左 焦 点 为 F ′ ， 由 图 象 的 对 称 性 得 ， 圆 O 经 过 点 F ′ ，
且|BF′|＝|AF|，
设|BF'|＝|AF|＝m，|BF|＝n，
∵BF⊥AF
∴S△ABF＝ mn＝4a2，m2+n2＝4c2，
则 mn＝8a2，
∵|BF′|﹣|BF|＝2a，
∴m﹣n＝2a
则 m2﹣2mn+n2＝4a2，
∴4c2﹣16a2＝4a2，
即 c2＝5a2，则 c＝ a，
即离心率 e＝ ＝ ＝ ，
故选：D．
10．设函数 f（x）的定义域 D，如果存在正实数 m，使得对任意 x∈D，都有 f（x+m）＞f（
x），则称 f（x）为 D 上的“m 型增函数”．已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，
且当 x＞0 时，f（x）＝|x﹣a|﹣a（a∈R）．若 f（x）为 R 上的“20 型增函数”，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20
解：∵函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f（x）＝|x﹣a|﹣a（a∈R），
∴f（x）＝ ，
∵f（x）为 R 上的“20 型增函数”，
∴f（x+20）＞f（x），
当 x≥0 时，|20+x﹣a|﹣a＞|x﹣a|﹣a，解得 a＜10．
当 x＝﹣10 时，由 f（﹣10+20）＞f（﹣10），即 f（10）＞f（﹣10），得：
|10﹣a|﹣a＞﹣|﹣10+a|+a，
解得 a＜5，
∴实数 a 的取值范围是 a＜5．
故选：B．
11．已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且 AC＝BC＝6，AB
＝4，则球面面积为（ ）A．42π B．48π C．54π D．60π
解：如图，设球的半径为 r，O′是△ABC 的外心，外接圆半径为 R，
则 OO′⊥面 ABC．在 Rt△ACD 中，cosA＝ ，则 sinA＝ ．
在△ABC 中，由正弦定理得 ＝2R，R＝ ，
△ABC 外接圆的半径 ， ．
故选：C．
12．已知直线 l：y＝﹣2x﹣m（m＞0）与圆 C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0，直线 l 与圆 C 相交
于不同两点 M，N．若| |，则 m 的取值范围是（ ）
A．[ ，5） B．[2，5 ﹣3） C．（ 5，5 ） D．（ ，2）
解：取 MN 的中点 P，则 2|（ + ）|＝2×|2 |＝4| |，
∴| |≤4| |⇒| |2≤16| |2⇒4|PN|2≤16| |2⇒25﹣| |2≤4| |2，
∴5≤| |2＜25，∴5≤（ ）2＜25，
解得 2≤m ﹣3．
故选：B．13．设曲线 y＝ax2 在点（1，a）处的切线与直线 x+2y﹣6＝0 垂直，则 a＝ 1 ．
解：由 y＝ax2，得 y′＝2ax，
y′|x＝1＝2a，
∵曲线 y＝ax2 在点（1，a）处的切线与直线 x+2y﹣6＝0 垂直，
∴2a＝2，a＝1．
故答案为：1．
14．已知 x，y 满足约束条件 ，则 z＝x+y 的最小值为 ．
解：作出 x，y 满足约束条件 对应的平面区域如图：
由 z＝﹣x+y，得 y＝x+z 表示，斜率为 1 纵截距为 z 的一组平行直线，
平移直线 y＝x+z，当直线 y＝x+z 经过点 A 时，直线 y＝x+z 的截距最小，此时 z 最小，
由 ，解得 A（1， ），
此时 zmin＝ +1＝ ．
故答案为： ．
15．已知正数 x，y 满足 3x+4y＝xy，则 x+3y 的最小值为 25 ．
解：由正数 x，y 满足 3x+4y＝xy，∴ ．
∴x+3y＝ ＝13+ ≥13+2 ＝25，当且仅当 x＝2y＝10
时，取等号．
∴x+3y 的最小值为 25．故答案为：25．
16．△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a＝bcosC+csinB，且 b＝
，则△ABC 面积的最大值是 ．
解：由正弦定理得到：sinA＝sinCsinB+sinBcosC，
∵在△ABC 中，sinA＝sin[π﹣（B+C）]＝sin（B+C），
∴sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC＝sinCsinB，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosB＝sinB，即 tanB＝1，
∵B∈（0，π），
∴B＝ ，
由余弦定理得到：b2＝a2+c2﹣2accosB，即 2＝a2+c2﹣ ac，
∴2+ ac＝a2+c2≥2ac，即 ac≤ ＝2+ ，
当且仅当 a＝c，即 a＝c＝ 时取“＝”，
∵S△ABC＝ acsinB＝ ac，
∴△ABC 面积的最大值为： ．
故答案为： ．
17．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S2＝8，a3+a8＝2a5+2．
（1）求 an；
（2）设数列 的前 n 项和为 Tn，求证： ．
解：（1）设数列{an}的公差为 d，
由题意知： ，
解得 a1＝3，d＝2．
所以 an＝2n+1．
（2）由（1），an＝2n+1，
则有 ．则 ．
所以 Tn＝ ，
＝ ．
18．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F 分别为 A1C1 和 BC
的中点．
（1）求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1；
（2）求证：C1F∥平面 ABE．
【解答】证明：（1）∵BB1⊥平面 ABC，AB⊂平面 ABC，
∴AB⊥BB1 又 AB⊥BC，BB1∩BC＝B，
∴AB⊥平面 B1BCC1
而 AB⊂平面 ABE，
∴平面 ABE⊥平面 B1BCC1
（2）取 AC 的中点 G，连结 C1G、FG，
∵F 为 BC 的中点，
∴FG∥AB 又 E 为 A1C1 的中点∴C1E∥AG，且 C1E＝AG
∴四边形 AEC1G 为平行四边形，
∴AE∥C1G
∴平面 C1GF∥平面 EAB，
而 C1F⊂平面 C1GF，
∴C1F∥平面 EAB．19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝4，
CD＝2CE＝2．
（1）证明：平面 PAD⊥平面 PDE；
（2）若△PAB 的面积为 2 ，求三棱锥 P﹣ADE 的体积．
解：（1）在直角梯形 ABCD 中，AB＝BC＝4，CD＝2，CE＝1，
可得 ，AE＝ ＝5， ，
∴DE2+AE2＝AD2，AD⊥DE，
∵PD⊥平面 ABCD，DE⊂平面 ABCD，∴PD⊥DE，
又 AD∩PD＝D，DE⊥平面 PAD，又 DE⊂平面 PDE，
∴平面 PAD⊥平面 PDE，
（ 2 ） 设 PD ＝ h ， ， ， ，
，解得 h＝ ．
又 ，
20．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + ＝1 的左顶点为 A，右焦点为 F，P，
Q 为椭圆 C 上两点，圆 O：x2+y2＝r2（r＞0）．（1）若 PF⊥x 轴，且满足直线 AP 与圆 O 相切，求圆 O 的方程；
（2）若圆 O 的半径为 ，点 P，Q 满足 kOP•kOQ＝﹣ ，求直线 PQ 被圆 O 截得弦长的
最大值．
解：（1）∵椭圆 C 的方程为 + ＝1，
∴A（﹣2，0），F（1，0），
∵PF⊥x 轴，
∴P（1， ），而直线 AP 与圆 O 相切，
根据对称性，可取 P（1， ），
则直线 AP 的方程为 y＝ ，
即 x﹣2y+2＝0．
由圆 O 与直线 AP 相切，得 r＝ ，
∴圆 O 的方程为 ；
（2）由题意知，圆 O 的方程为 x2+y2＝3．
①当 PQ⊥x 轴时， ，
∴ ，
不妨设 OP：y＝ ，
联立 ，解得 P（ ， ），
此时得直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 ；
②当 PQ 与 x 轴不垂直时，设直线 PQ 的方程为 y＝kx+b，P（x1，y1），Q（x2，y2）（
x1x2≠0），
首先由 ，得 3x1x+4y1y2＝0，
即 3x1x2+4（kx1+b）（kx2+b）＝0，
（*）．联立 ，消去 x，得（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12＝0，
将 代入（*）式，得 2b2＝4k2+3．
由于圆心 O 到直线 PQ 的距离为 ，
∴直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 ，
故当 k＝0 时，l 有最大值为 ．
综上，直线 PQ 被圆 O 截得的弦长的最大值为 ．
21．设函数 f（x）＝lnx﹣ ax2﹣bx．
（Ⅰ）若 x＝1 是 f（x）的极大值点；求 a 的取值范围；
（Ⅱ）当 a＝0，b＝﹣1 时，方程 x2＝2mf（x）（其中 m＞0）有唯一实数解，求 m 的值
．
解：（Ⅰ）∵ ，
∴x＞0， ，
由 f′（x）＝0，得 b＝1﹣a，∴ ＝ ．
①若 a≥0，由 f′（x）＝0，得 x＝1，
当 0＜x＜1 时，f′（x）＞0，此时 f（x）单调递增；
当 x＞1 时，f′（x）＜0，此时 f（x）单调递减，所以 x＝1 是 f（x）的极大值点．
②若 a＜0，则 f′（x）＝0，得 x＝1，或 x＝﹣ ，
∵x＝1 是 f（x）的极大值点，
∴ ，解得﹣1＜a＜0．
综合①②，得 a 的取值范围是 a＞﹣1．
（Ⅱ）∵方程 2mf（x）＝x2 中唯一实数解，
∴x2﹣2mlnx﹣2mx＝0 有唯一实数解，
设 g（x）＝x2﹣2mlnx﹣2mx，
则 ，
令 g′（x）＝0，得 x2﹣mx﹣m＝0．
∵m＞0，∴△＝m2+4m＞0，
方程有两异号根，设为 x10，
∵x＞0，∴x1 应舍去．
当 x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，
当 x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上单调递增，
当 x＝x2 时，g′（x2）＝0，g（x）取最小值 g（x2）．
∵g（x）＝0 有唯一解，∴g（x2）＝0，
则 ，即 ，
∴2mlnx2+mx2﹣m＝0，
∵m＞0，∴2lnx2+x2﹣1＝0（*），
设函数 h（x）＝2lnx+x﹣1，
∵当 x＞0 时，h（x）是增函数，
∴h（x）＝0 至多有一解，
∵h（1）＝0，∴方程（*）的解为 x2＝1，
代入方程组解得 m＝ ．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐
标系中取相同的长度单位．已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），曲线 C
的极坐标方程为 ρ＝4sin（θ+ ）．
（1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求△MON 的面积．
【解答】解（1）由 消去参数 t 得 x+y＝4，直线 l 的普通方程为 x+y﹣4
＝0．
由 ρ＝4sin（θ+ ）＝2sinθ+2 cosθ 得，ρ2＝2ρsin θ+2 ρcos θ，
即 x2+y2＝2y+2 x，
∴曲线 C 的直角坐标方程是圆：（x﹣ ）2+（y﹣1）2＝4．
（2）∵原点 O 到直线 l 的距离 d＝ ＝2．
直线 l 过圆 C 的圆心（ ，1），∴|MN|＝2r＝4，
所以△MON 的面积 S＝ |MN|×d＝4．
23．已知函数 f（x）＝|x﹣3|﹣2|x|．
（1）求不等式 f（x）≤2 的解集；
（2）若 f（x）的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 a+b+c＝m，求证：a2+b2+c2≥3．
解：（1）∵f（x）＝|x﹣3|﹣2|x|，f（x）≤2，
∴当 x≤0 时，f（x）＝|x﹣3|﹣2|x|＝（3﹣x）+2x＝x+3，
由 f（x）≥2，得 x+3≥2，解得 x≥﹣1，此时﹣1≤x≤0
当 0＜x＜3 时，f（x）＝|x﹣3|﹣2|x|＝（3﹣x）﹣2x＝3﹣3x，
由 f（x）≥2，得 3﹣3x≥2，解得 ，此时 ；
当 x≥3 时，f（x）＝|x﹣3|﹣2|x|＝（x﹣3）﹣2x＝﹣x﹣3≤﹣6，此时不等式 f（x）≥2 无解，
综上，不等式 f（x）≥2 的解集为 ．
（2）由（1）可知， ．
当 x≤0 时，f（x）＝x+3≤3；
当 0＜x＜3 时，f（x）＝3﹣3x∈（﹣6，3）；
当 x≥3 时，f（x）＝﹣x﹣3≤﹣6．
∴函数 y＝f（x）的最大值为 m＝3，则 a+b+c＝3．
由柯西不等式可得（1+1+1）（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2，
即 3（a2+b2+c2）≥32，即 a2+b2+c2≥3，
当且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立．
因此 a2+b2+c2≥3．
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