中考数学专题复习讲与练：圆周角弧弦的关系

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 圆周角、弧、弦的关系 知识梳理　 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例 1. 如 图 ， 过 ⊙ O 的 直 径 AB 上 两 点 M， N， 分 别 作 弦 CD， EF， 若 CD∥ EF， AC=BF． 求 证 ： （ 1） 弧 BEC=弧 ADF； （ 2） AM=BN． 例 2. 已 知 ： 如 图 ， 在 ⊙ O 中 ， 弦 AB 的 长 是 半 径 OA 的 倍 ， C 为 弧 AB 的 中 点 ． AB、 OC 相 交 于 P 点 ， 求 证 ： 四 边 形 OAC B 是 菱 形 ． 3天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 3. 如 图 ， AB 为 半 圆 的 直 径 ， 点 C、 D 在 半 圆 上 ． （ 2）若点 C、D 在 半 圆 上 运 动 ，并 保 持 弧 CD 的 长 度 不 变 ，（ 点 C、D 不 与 点 A、B 重 合 ） ． 试 比 较 ∠ DAB 和 ∠ ABC 的 大 小 ． 例 4. 已 知 ： 如 图 ， AB、 CD 是 ⊙ O 的 两 条 弦 ， AB=CD． 求 证 ： ∠ OBA=∠ ODC． 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．（2011•巴中）下列说法中，正确的有 （　　） ①两边及一内角相等的两个三角形全等； ②角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线； ③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等； ④无理数就是无限小数． 　A．1 个 B． 2 个 C．3 个 D．4 个 　 2．（2013•厦门）如图所示，在⊙O 中， ，∠A=30°，则∠B=（　　）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　A．150° B． 75° C．60° D．15° 　 3．（2008•庆阳）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于 E，则下列结论中不一定 成立的是（　　） 　A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D． 　 4．（2005•茂名）下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的 直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（　　） 　A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 　 5．（2013•奉贤区一模）在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（　　） 　A．这两条弦所对的弦心距相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 　C．这两条弦所对的弧相等 D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分 　 6．如图，⊙O 中，如果 =2 ，那么（　　） 　A．AB=AC B．AB=AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC 　 7．如图，在⊙O 中，若点 C 是 的中点，∠A=50°，则∠BOC 的度数为（　　）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　A．30° B．40° C．50° D．60° 　 8．（2013•太仓市二模）如图，直尺 ABCD 的一边与量角器的零刻度线重合，若从量角器的 中心 O 引射线 OF 经过刻度 120°，交 AD 交于点 E，则∠DEF=　_________　°． 　 9．（2013•南京二模）如图，点 A1、A2、A3、A4、A5 在⊙O 上，且 = = = = ，B、C 分别是 A1A2、A2A3 上两点，A1B=A2C，A5B 与 A1C 相交于点 D，则∠A5DC 的度数为　_________　． 　 10．如图，AC 是⊙O 的直径，AB=AC，AB 交⊙O 于 E，BC 交⊙O 于 D，∠A=44°，则 的度数是　_________　度． B 档（提升精练） 11．如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心， =2 ，则∠ABC=　_________　度．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 12．如图，已知圆 O 的面积为 3π，AB 为直径，弧 AC 的度数为 80°，弧 BD 的度数为 20°， 点 P 为直径 AB 上任一点，则 PC+PD 的最小值为　_________　． 　 13．已知半径为 5 的⊙O 中，弦 AB=5 ，弦 AC=5，则∠BAC 的度数是　 _________　． 　 14．如图，⊙O 上 B、D 两点位于弦 AC 的两侧， ，若∠D=62°，则∠AOB=　 _________　． 　 15．如图，PO 是直径所在的直线，且 PO 平分∠BPD，OE 垂直 AB，OF 垂直 CD， 则：①AB=CD；②弧 AB 等于弧 CD；③PO=PE；④弧 BG 等于弧 DG；⑤PB=PD；其中 结论正确的是　_________　（填序号） 　 16．如图是两个半圆，点 O 为大半圆的圆心，AB 平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小 半圆相切，且 AB=24，则图中阴影部分的面积是　_________　．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 17．如图，CD 是半圆的直径，O 为圆心，E 是半圆上一点，且∠EOD=93°，A 是 DC 延长 线上一点，AE 与半圆相交于点 B，如果 AB=OC，则∠EAD=　_________　°，∠EOB=　 _________　°，∠ODE=　_________　． 　 18．（2010•潍坊）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，且 AC=CD． （1）求证：OC∥BD； （2）若 BC 将四边形 OBDC 分成面积相等的两个三角形，试确定四边形 OBDC 的形状． 　 19．（2008•天津）已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为 45°，半径的长 等于 CA 的扇形 CEF 绕点 C 旋转，且直线 CE，CF 分别与直线 AB 交于点 M，N． （Ⅰ）当扇形 CEF 绕点 C 在∠ACB 的内部旋转时，如图 1，求证：MN2=AM2+BN2； （思路点拨：考虑 MN2=AM2+BN2 符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可 将△ACM 沿直线 CE 对折，得△DCM，连 DN，只需证 DN=BN，∠MDN=90°就可以了．请 你完成证明过程．） （Ⅱ）当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图 2 的位置时，关系式 MN2=AM2+BN2 是否仍然成立？若 成立，请证明；若不成立，请说明理由． 　 20．（2004•泉州）如图，⊙O 为四边形 ABCD 的外接圆，圆心 O 在 AD 上，OC∥AB．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （1）求证：AC 平分∠DAB； （2）若 AC=8，AD：BC=5：3，试求⊙O 的半径． C 档（跨越导练） 21．（2001•宁夏）用三种方法证明：如图，已知在⊙O 中，半径 OA⊥OB，C 是 OB 延长线 上一点，AC 交⊙O 于 D，求证：弧 AD 的度数是∠C 的 2 倍． 　 22．（2007•天河区一模）如图，AB 为半圆的直径，点 C、D 在半圆上． （1）若 ，求∠DAB 和∠ABC 的大小； （2）若点 C、D 在半圆上运动，并保持弧 CD 的长度不变，（点 C、D 不与点 A、B 重 合）．试比较∠DAB 和∠ABC 的大小． 　 23．如图，⊙O 的两条弦 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，且 AB=CD． （1）求证：AC=BD （2）若 OF⊥CD 于 F，OG⊥AB 于 G，问：四边形 OFEG 是何特殊四边形？并说明理 由． 　 24．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图 1，在⊙0 中，C 是劣弧 AB 的中点， 直线 CD⊥AB 于点 E，则 AE=BE．请证明此结论； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图 2，PA，PB 组成⊙0 的一条折弦．C 是劣弧 AB 的中点，直线 CD⊥PA 于点 E，则 AE=PE+PB．可以通 过延长 DB、AP 相交于点 F，再连接 AD 证明结论成立．请写出证明过程； （3）如图 3，PA．PB 组成⊙0 的一条折弦，若 C 是优弧 AB 的中点，直线 CD⊥PA 于点 E，则 AE，PE 与 PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明． 　 25．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 为圆上两点，且弧 CB=弧 CD，CF⊥AB 于 点 F，CE⊥AD 的延长线于点 E．求证：DE=BF． 　 26．如图，已知⊙O 的两条半径 OA 与 OB 互相垂直，C 为 上的一点，且 AB2+OB2=BC2，求∠OAC 的度数． 　 27．如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD=DC=DB=p，BC=q．求对角线 AC 的长．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 28．如图，已知圆内接△ABC 中，AB＞AC，D 为 的中点，DE⊥AB 于 E，求证：BD2﹣ AD2=AB•AC． 　 29．如图，在☉O 中，AB 是直径，C、D 是圆上两点，使得 AD=BC．求证：AC=BD． 　 30．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 的延长线交于点 P，且 DP=OB，若∠P=29°， 求弧 AC 的度数． 　 成长足迹 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 课后检测 圆周角弧弦的关系参考答案 典题探究 例 1. 证 明 ： （ 1） 连 接 OC、 OF， ∴ OC=OF， OA=OB． ∵ AC=BF， ∴ △ COA≌ △ FOB． ∴ ∠ CAO=∠ OBF， ∠ ACO=∠ BFO． ∴ AC∥ BF． 连 接 CF， 则 ∠ BFC=∠ ACF， ∴ 弧 BEC=弧 ADF． （ 2） ∵ AC∥ BF， ∴ ∠ BFC=∠ ACF． ∵ CD∥ EF， ∴ ∠ EFC=∠ DCF．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴ ∠ ACM=∠ BFN． 又 CD∥ EF， ∴ ∠ CMA=∠ BNF． ∵ AC=BF， ∴ △ ACM≌ △ BFN． ∴ AM=BN． 例 2. 例 3. 例 4. 证 明 ： 过 点 O 分 别 作 OE⊥ AB 于 点 E， OF⊥ CD 于 点 F． ∵ AB=CD， ∴ OE=OF． 又 ∵ BO=DO， ∴ Rt△ BOE≌ Rt△ DOF（ HL） ，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴ ∠ OBA=∠ ODC． 演练方阵 A 档（巩固专练） 1． 解：①因为 SSA 不能判定三角形全等，故本项错误； ②角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线所在的直线，故本项错误； ③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，故本项正确； ④无限不循环小数是无理数．此说法遗漏了不循环这个条件，故本项错误． 故选 A． 　 2． 解：∵在⊙O 中， ， ∴AB=AC， ∴△ABC 是等腰三角形， ∴∠B=∠C； 又∠A=30°， ∴∠B= =75°（三角形内角和定理）． 故选 B． 　 3． 解：由垂径定理可知 B、D 均成立；由圆心角、弧之间的关系可得 A 也成立． 不一定成立的是 OE=BE． 故选 C． 　 4． 解：正确的是①②．必须是同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，因而③是错 误的． 故选 A． 　 5． 解：A、这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误； B、这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误； C、这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误； D、这两条弦都被垂直于弦的半径平分（垂径定理），原说法正确，故本选项正确； 故选 D． 　 6． 解：取弧 AB 的中等 D，连接 AD，DB，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵ =2 ， ∴AD=BD=AC， 在△ADB 中由三角形的三边关系可知 AD+BD＞AB， ∴2AC＞AB， 即 AB＜2AC， 故选 C． 　 7． 解：∵∠A=50°，OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB=50°， ∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°， ∵点 C 是 的中点，OC 过 O， ∴AD=BD， ∵OA=OB， ∴∠BOC=∠AOB=40°， 故选 B． 　 8． 解：由已知量角器的一条刻度线 OF 的读数为 120°，即∠BOF=120°， ∴∠COF=180°﹣∠BOF=60°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠COF=60°， 故答案为：60． 　 9． 解：∵ = = = = ， ∴每段弧的度数是： =72°， 则 的度数是：3×72=216°， ∴∠A5A1A2=108°． ∵在△A1A5B 和△A2A1C 中，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ， ∴△A1A5B≌△A2A1C（SAS）， ∴∠A1A5B=∠A2A1C， ∴∠A5DC=∠A1A5D+∠A5A1D=∠A5A1D+∠A2A1C=∠A5A1A2=108°． 故答案是：108°． 　 10． 解：∵AB=AC，∠A=44° ∴∠ABC=（180°﹣44°）÷2=68° 又∵AC 是⊙O 的直径 ∴∠AEC=90° ∴∠ECD=90°﹣68°=22° ∴ 的度数为 44°．故填 44°． 　 B 档（提升精练） . 11． 解：∵AB 是半圆的直径，O 是圆心， ∴∠AOB=180°； 又∵ =2 ， ∴2∠AOC=∠BOC， ∴∠BOC=120°； ∵OB=OC（⊙O 的半径）， ∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）； ∴∠BOC+∠OBC+∠OCB=2∠ABC+∠COB=180°（三角形内角和定理）， ∴∠ABC=30°． 故答案是：30°． 　 12． 解：设圆 O 的半径为 r， ∵⊙O 的面积为 3π，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴3π=πR2，即 R= ． 作点 C 关于 AB 的对称点 C′，连接 OD，OC′，DC′，则 DC′的长即为 PC+PD 的最小 值， ∵ 的度数为 80°， ∴ = =80°， ∴ =100°， ∵ =20°， ∴ = + =100°+20°=120°， ∵OC′=OD， ∴∠ODC′=30° ∴DC′=2OD•cos30°=2 × =3，即 PC+PD 的最小值为 3． 故答案为：3． 　 13． 解：如图，连接 OC，OA，OB． ∵OC=OA=AC=5， ∴△OAC 是等边三角形， ∴CAO=60°， ∵OA=OB=5，AB=5 ， ∴OA2+OB2=50=AB2， ∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB=45°， 点 C 的位置有两种情况，如左图时，∠BAC=∠CAO+∠OAB=60°+45°=105°； 如右图时，∠BAC=∠CAO﹣∠OAB=60°﹣45°=15°． 　 14． 解：连接 OC． ∵∠D=∠AOC（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 又∵ （已知）， ∴∠AOB=∠BOC（等弧所对的圆心角相等）； ∴∠AOB=∠D=62°． 故答案是：62°． 　 15． 解：PO 平分∠BPD，OE 垂直 AB，OF 垂直 CD，则 OE=OF， 即弦 AB，CD 的弦心距相等，因而 AB=CD，弧 AB 等于弧 CD，则弧 EG 等于弧 DG， 则弧 BG 等于弧 DG；故①、②、④正确； 易证△PEO≌△PFO，则 PE=PF，根据 AB=CD， 得到 BE=DF，则 PB=PD，故⑤正确． 16． 解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连 OB， 过 O 作 OC⊥AB 于 C 点，则 AC=BC=12， ∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小圆的半径， ∴S 阴影部分=S 大半圆﹣S 小半圆=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2） =πBC2=72π． 故答案为 72π． 　 17． 解：设∠A=x， ∵AB=OC， ∴∠BOA=x， ∴∠EBO=2x， 而 OB=OE， ∴∠AEO=2x， ∴∠EOD=∠A+∠AEO， 而∠EOD=93°， ∴x+2x=93°， ∴x=31°， ∴∠EOB=180°﹣4x=180°﹣124°=56°， ∴∠ODE=（180°﹣93°）÷2=43.5°．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 故答案为 31°，56°，43.5°． 　 18． （1）证明：∵AC=CD， ∴弧 AC 与弧 CD 相等， ∴∠ABC=∠CBD， 又∵OC=OB（⊙O 的半径）， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OCB=∠CBD， ∴OC∥BD； （2）解：∵OC∥BD， 不妨设平行线 OC 与 BD 间的距离为 h， 又 S△OBC=OC×h，S△DBC=BD×h， 因为 BC 将四边形 OBDC 分成面积相等的两个三角形， 即 S△OBC=S△DBC， ∴OC=BD， ∴四边形 OBDC 为平行四边形， 又∵OC=OB， ∴四边形 OBDC 为菱形． 　 19． （Ⅰ）证明：∵将△ACM 沿直线 CE 对折，得△DCM，连 DN， ∴△DCM≌△ACM（1 分） ∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A 又∵CA=CB， ∴CD=CB（2 分）， ∴∠DCN=∠ECF﹣∠DCM=45°﹣∠DCM ∠BCN=∠ACB﹣∠ECF﹣∠ACM =90°﹣45°﹣∠ACM=45°﹣∠ACM ∴∠DCN=∠BCN （3 分） 又∵CN=CN， ∴△CDN≌△CBN．（4 分） ∴DN=BN，∠CDN=∠B． ∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．（5 分） ∴在 Rt△MDN 中，由勾股定理 ∴MN2=DM2+DN2，即 MN2=AM2+BN2．（6 分） （Ⅱ）解：关系式 MN2=AM2+BN2 仍然成立．（7 分） 证明：∵将△ACM 沿直线 CE 对折，得△GCM，连 GN， ∴△GCM≌△ACM．（8 分） ∴CG=CA，GM=AM，∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM， 又∵CA=CB，得 CG=CB． ∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45° ∴∠BCN=∠ACB﹣∠ACN=90°﹣（∠ECF﹣∠ACM）=45°+∠ACM 得∠GCN=∠BCN． （8 分）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 又∵CN=CN， ∴△CGN≌△CBN． ∴GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°﹣∠CAB=135°， ∴∠MGN=∠CGM﹣∠CGN=135°﹣45°=90°， ∴在 Rt△MGN 中，由勾股定理， ∴MN2=GM2+GN2，即 MN2=AM2+BN2．（9 分） 　 20． （1）证明：∵OC∥AB ∴∠OCA=∠BAC ∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∴∠OAC=∠BAC 即 AC 平分∠DAB； （2）解：∵AC 平分∠DAB， ∴弧 CD=弧 BC ∴CD=BC 又 AD：BC=5：3 ∴AD：CD=5：3 ∵AD 是圆的直径，∴∠ACD=90° 根据勾股定理，得 AD：CD：AC=5：3：4 所以 AD=10，即圆的半径是 5． 　 C 档（跨越导练） 11． 解：∵AB 是半圆的直径，O 是圆心， ∴∠AOB=180°； 又∵ =2 ， ∴2∠AOC=∠BOC，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴∠BOC=120°； ∵OB=OC（⊙O 的半径）， ∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）； ∴∠BOC+∠OBC+∠OCB=2∠ABC+∠COB=180°（三角形内角和定理）， ∴∠ABC=30°． 故答案是：30°． 　 12． 解：设圆 O 的半径为 r， ∵⊙O 的面积为 3π， ∴3π=πR2，即 R= ． 作点 C 关于 AB 的对称点 C′，连接 OD，OC′，DC′，则 DC′的长即为 PC+PD 的最小 值， ∵ 的度数为 80°， ∴ = =80°， ∴ =100°， ∵ =20°， ∴ = + =100°+20°=120°， ∵OC′=OD， ∴∠ODC′=30° ∴DC′=2OD•cos30°=2 × =3，即 PC+PD 的最小值为 3． 故答案为：3． 　 13． 解：如图，连接 OC，OA，OB． ∵OC=OA=AC=5， ∴△OAC 是等边三角形， ∴CAO=60°， ∵OA=OB=5，AB=5 ， ∴OA2+OB2=50=AB2， ∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB=45°， 点 C 的位置有两种情况，如左图时，∠BAC=∠CAO+∠OAB=60°+45°=105°； 如右图时，∠BAC=∠CAO﹣∠OAB=60°﹣45°=15°．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 14． 解：连接 OC． ∵∠D=∠AOC（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）； 又∵ （已知）， ∴∠AOB=∠BOC（等弧所对的圆心角相等）； ∴∠AOB=∠D=62°． 故答案是：62°． 　 15． 解：PO 平分∠BPD，OE 垂直 AB，OF 垂直 CD，则 OE=OF， 即弦 AB，CD 的弦心距相等，因而 AB=CD，弧 AB 等于弧 CD，则弧 EG 等于弧 DG， 则弧 BG 等于弧 DG；故①、②、④正确； 易证△PEO≌△PFO，则 PE=PF，根据 AB=CD， 得到 BE=DF，则 PB=PD，故⑤正确． 　 16． 解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连 OB， 过 O 作 OC⊥AB 于 C 点，则 AC=BC=12， ∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小圆的半径， ∴S 阴影部分=S 大半圆﹣S 小半圆=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2） =πBC2=72π． 故答案为 72π． 　 17． 解：设∠A=x， ∵AB=OC， ∴∠BOA=x，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴∠EBO=2x， 而 OB=OE， ∴∠AEO=2x， ∴∠EOD=∠A+∠AEO， 而∠EOD=93°， ∴x+2x=93°， ∴x=31°， ∴∠EOB=180°﹣4x=180°﹣124°=56°， ∴∠ODE=（180°﹣93°）÷2=43.5°． 故答案为 31°，56°，43.5°． 　 18． （1）证明：∵AC=CD， ∴弧 AC 与弧 CD 相等， ∴∠ABC=∠CBD， 又∵OC=OB（⊙O 的半径）， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OCB=∠CBD， ∴OC∥BD； （2）解：∵OC∥BD， 不妨设平行线 OC 与 BD 间的距离为 h， 又 S△OBC=OC×h，S△DBC=BD×h， 因为 BC 将四边形 OBDC 分成面积相等的两个三角形， 即 S△OBC=S△DBC， ∴OC=BD， ∴四边形 OBDC 为平行四边形， 又∵OC=OB， ∴四边形 OBDC 为菱形． 　 19． （Ⅰ）证明：∵将△ACM 沿直线 CE 对折，得△DCM，连 DN， ∴△DCM≌△ACM（1 分） ∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A 又∵CA=CB， ∴CD=CB（2 分）， ∴∠DCN=∠ECF﹣∠DCM=45°﹣∠DCM ∠BCN=∠ACB﹣∠ECF﹣∠ACM =90°﹣45°﹣∠ACM=45°﹣∠ACM ∴∠DCN=∠BCN （3 分） 又∵CN=CN， ∴△CDN≌△CBN．（4 分） ∴DN=BN，∠CDN=∠B． ∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．（5 分） ∴在 Rt△MDN 中，由勾股定理 ∴MN2=DM2+DN2，即 MN2=AM2+BN2．（6 分）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅱ）解：关系式 MN2=AM2+BN2 仍然成立．（7 分） 证明：∵将△ACM 沿直线 CE 对折，得△GCM，连 GN， ∴△GCM≌△ACM．（8 分） ∴CG=CA，GM=AM，∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM， 又∵CA=CB，得 CG=CB． ∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45° ∴∠BCN=∠ACB﹣∠ACN=90°﹣（∠ECF﹣∠ACM）=45°+∠ACM 得∠GCN=∠BCN． （8 分） 又∵CN=CN， ∴△CGN≌△CBN． ∴GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°﹣∠CAB=135°， ∴∠MGN=∠CGM﹣∠CGN=135°﹣45°=90°， ∴在 Rt△MGN 中，由勾股定理， ∴MN2=GM2+GN2，即 MN2=AM2+BN2．（9 分） 　 20． （1）证明：∵OC∥AB ∴∠OCA=∠BAC ∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∴∠OAC=∠BAC 即 AC 平分∠DAB； （2）解：∵AC 平分∠DAB， ∴弧 CD=弧 BC ∴CD=BC 又 AD：BC=5：3 ∴AD：CD=5：3 ∵AD 是圆的直径，∴∠ACD=90° 根据勾股定理，得 AD：CD：AC=5：3：4天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 AD=10，即圆的半径是 5． 　 C 档（跨越导练） 21． 证明： 证法一：延长 AO 交圆与点 M，连接 DM， ∵AM 是圆的直径， ∵∠ADM=90°则△OAC 与△ADM 都是直角三角形，且∠A 是公共角， ∴∠M=∠C，而∠AOD=2∠M． ∴∠AOD=2∠C． ∵∠AOD 的度数就等于弧 AD 的度数， ∴弧 AD 的度数是∠C 的 2 倍． 证法二：连接 OD， 在直角△AOC 中，∠C=90°﹣∠A， 在△OAD 中，∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO． ∴∠AOD=180﹣2∠A． ∴∠AOD=2∠C． ∵∠AOD 的度数就等于弧 AD 的度数， ∴弧 AD 的度数是∠C 的 2 倍． 证法三：延长 AO 交圆于点 N，连接 CN，交圆于点 M，连接 OM、OD， ∵AN⊥OC，OA=ON， ∴AC=CN． ∴∠A=∠N∠ACN=2∠ACO． ∴∠ACN=180﹣∠A﹣∠N=180﹣2∠A． ∵△OAD 中 OA=OD， ∴∠A=∠ADO=∠N． ∴∠AOD=∠ACN=2∠ACO． 又∵∠AOD 的度数就等于弧 AD 的度数， 弧 AD 的度数是∠ACO 的 2 倍． 　 22． 解：（1）∵ ∴∠BOC=3∠AOD，∠COD=2∠AOD（2 分） ∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180° ∴∠AOD=30°，∠BOC=90°，∠COD=60°（4 分）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴∠DAB=∠BOD=（∠BOC+∠COD）=75°（5 分） ∠ABC=∠AOC=（∠AOD+∠COD）=45°（6 分） （2）①若 ，则∠DAB＞∠ABC；（8 分） ②若 ，则∠DAB=∠ABC；（10 分） ③若 ，则∠DAB＜∠ABC（12 分） 23． （1）证明：∵AB=CD， ∴ = ∴ ﹣ = ﹣ ，即 = ∴AC=BD （2）四边形 OFEG 是正方形． 理由：连接 OA、OD． ∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB， ∴四边形 OFEG 是矩形； ∵OF⊥CD，OG⊥AB， ∴DF=CD，AG=AB， ∵AB=CD，∴DF=AG； ∵OD=OA， ∴Rt△OFD≌Rt△OGA （HL） ∴OF=OG， ∴矩形 OFEG 是正方形． 　 24． 证明：（1）如图 1，连接 AD，BD， ∵C 是劣弧 AB 的中点， ∴∠CDA=∠CDB， ∴△ADB 为等腰三角形，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵CD⊥AB， ∴AE=BE； （2）如图 2，延长 DB、AP 相交于点 F，再连接 AD， ∵ADBP 是圆内接四边形， ∴∠PBF=∠PAD， ∵C 是劣弧 AB 的中点， ∴∠CDA=∠CDF， ∵CD⊥PA， ∴△AFD 为等腰三角形， ∴∠F=∠A，AE=EF， ∴∠PBF=∠F， ∴PB=PF， ∴AE=PE+PB （3）AE=PE﹣PB． 连接 AD，BD，AB，DB、AP 相交于点 F， ∵弧 AC=弧 BC， ∴∠ADC=∠BDC， ∵CD⊥AP， ∴∠DEA=∠DEF，∠ADE=∠FDE， ∵DE=DE， ∴△DAE≌△DFE， ∴AD=DF，AE=EF， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DFA=∠PFB，∠PBD=∠DAP， ∴∠PFB=∠PBF， ∴PF=PB， ∴AE=PE﹣PB；天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 25． 证明：∵弧 CB=弧 CD， ∴CB=CD，∠CAE=∠CAB， 又∵CF⊥AB，CE⊥AD， ∴CE=CF， ∴Rt△CED≌Rt△CFB， ∴DE=BF． 　 26． 解：如图，设圆的半径是 r，则 AO=r，BO=r， 作直径 BD，作 BC⊙O 的弦 BC，使∠DBC=30°，作 BC 关于直径 BD 的对称线段 BE， 连接 EC，BE，ED，AC， 在直角△BED 中，可以得∠EBD=30°， 因为线段 BE 与线段 BC 关于直线 BD 对称， 所以 BC=BE， 所以 BD 垂直平分线段 CE， 所以 = ， 所以∠CBD=30°而∠BCA=∠AOB=45°． 在三角形 ABC 中， ∠OAC=180°﹣∠ABO﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠BAO=15°． 同理，当 E 为 C 时，∠OAC=75°． 故答案为：15°或 75°． 　 27． 解：延长 CD 交半径为 p 的⊙D 于 E 点，连接 AE．显然 A、B、C 在⊙D 上． ∵AB∥CD天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴ ． ∴BC=AE=q． 在△ACE 中，∠CAE=90°，CE=2p，AE=q， 故 AC= = ． 故答案为： ． 　 28． 证明：在 BA 上截取 BF=CA，连 DF，DC，如图， ∵D 为 的中点， ∴DB=DC， 又∵∠DBF=∠ACD， ∴△DBF≌△DCA， ∴DF=DA， 而 DE⊥AB， ∴AE=EF， ∴BF=BE﹣EF=BE﹣AE=CA， 又∵BD2=BE2+DE2，AD2=AE2+DE2， ∴BD2﹣AD2=BE2﹣AE2=（BE+AE）（BE﹣AE）=AB•AC，即证． 　 29． 证明：∵AD=BC， ∴ = ， ∴ = ， ∴AC=BD． 　 30． 解：作直径 DE． ∵OB=OD，OB=PD， ∴DO=DP， ∵∠P=29°，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴∠DOP=∠DOP=29°=∠AOE， ∴弧 AE 的度数是 29°，∠CDE=∠P+∠DOP=58°， ∴弧 CAE 的度数是 2×58°=116°， ∴弧 AC 的度数是 116°﹣29°=87°．