中考数学专题复习讲与练：圆的认识

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 圆 知识梳理　 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例 1. 采 石 场 工 人 爆 破 时 ， 为 了 确 保 安 全 ， 点 燃 炸 药 导 火 线 后 要 在 炸 药 爆 破 前 转 移 到 400 米 以 外 的 安 全 区 域 ； 导 火 线 燃 烧 速 度 是 1 厘 米 /秒 ， 人 离 开 的 速 度 是 5 米 /秒 ， 至 少 需 要 导 火 线 的 长 度 是 （ 　 　 ） A.70 米 B.75 米 C.79 米 D.80 米 例 2. 如 图 ，AB 是 ⊙ O 的 直 径 ，点 C、D 在 ⊙ O 上 ，AD∥ OC 且 ∠ ODA=55° ，则 ∠ BOC 等 于 （ 　 　 ） A． 105° B． 115° C． 125° D． 135° 例 3．车 轮 要 做 成 圆 形 ， 实 际 上 就 是 根 据 圆 的 特 征 （ 　 　 ） A． 同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 B． 直 径 是 圆 中 最 大 的 弦 C． 圆 上 各 点 到 圆 心 的 距 离 相 等 D． 圆 是 中 心 对 称 图 形 例 4. 如 图 ， 直 线 l 经 过 ⊙ O 的 圆 心 O， 且 与 ⊙ O 交 于 A、 B 两 点 ， 点 C 在 ⊙ O 上 ， 且 ∠ AOC=30° ，点 P 是 直 线 l 上 的 一 个 动 点（ 与 圆 心 O 不 重 合 ），直 线 CP 与 ⊙ O天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 相 交 于 点 Q． 是 否 存 在 点 P， 使 得 QP=QO；若 存 在 ， 求 出 相 应 的 ∠ OCP 的 大 小；若 不 存 在 ， 请 简 要 说 明 理 由 ． 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．有如下图形：①函数 y=x﹣1 的图象；②函数 的图象；③一段圆弧；④平行四边 形．其中一定是轴对称图形的有（　　） 　A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 　 2．如图，直线 l1∥l2，点 A 在直线 l1 上，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线 l1、l2 于 B、C 两点，连接 AC、BC．若∠ABC=54°，则∠1 的大小为（　　） 　A ． 36° B ． 54° C ． 72° D ． 73° 　 3．在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以 AB，AC 为直径作半圆，过点 B，A，C 作 ，如图 所示．若 AB=4，AC=2，S1﹣S2= ，则 S3﹣S4 的值是（　　） 　A ． B ． C ． D ． 　 4．如图，MN 为⊙O 的弦，∠M=30°，则∠MON 等于（　　）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　A ． 30° B ． 60° C ． 90° D ． 120° 　 5．如图是公园的路线图，⊙O1，⊙O2，⊙O 两两相切，点 A，B，O 分别是切点，甲乙二 人骑自行车，同时从点 A 出发，以相同的速度，甲按照“圆”形线行驶，乙行驶“8 字型”线路 行驶．若不考虑其他因素，结果先回到出发点的人是（　　） 　A ． 甲 B ． 乙 C ． 甲乙同时 D． 无法判定 　 6．如图，正方形的边长为 a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分） 的面积为（　　） 　A ． πa2﹣a2 B ． 2πa2﹣a2 C ． πa2﹣a2 D ． a2﹣πa2 　 7．以下说法正确的有（　　） ①正八边形的每个内角都是 135°； ② 与 是同类二次根式； ③长度等于半径的弦所对的圆周角为 30°； ④某学校为了了解 480 名初三学生的身高情况，从中抽取了 80 名学生进行测量，则样本容 量是 80 名学生； ⑤对角线相等且平分的四边形是正方形． 　A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 　 8．下列命题中，正确的是（　　） 　A ． 圆只有一条对称轴 　B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 　C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 　D ． 圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴 　 9．如图，AB 是⊙O 的直径，D、C 在⊙O 上，AD∥OC，∠DAB=60°，连接 AC，则∠DAC 等于（　　）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　A ． 15° B ． 30° C ． 45° D ． 60° 　 10．半径为 2 的圆中，弦 AB、AC 的长分别 2 和 2 ，则∠BAC 的度数是（　　） 　A ． 15° B ． 15°或 45° C ． 15°或 75° D． 15°或 105° 　B 档（提升精练） 11．下列说法中，不正确的是（　　） 　A ． 过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等 　C．周长相等的两个圆是等圆 D ． 同一条弦所对的两条弧一定是等弧 　 12．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等， 那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（　　） 　A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 10 　 13．车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（　　） 　A ． 同弧所对的圆周角相等 B．直径是圆中最大的弦 　C．圆上各点到圆心的距离相等 D ． 圆是中心对称图形 　 14．如图，已知⊙O 中，直径 MN=10，正方形 ABCD 的四个顶点分别在半径 OM、OP 以 及⊙O 上，并且∠POM=45°，则 AB 的长为（　　） 　A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 　 15．半径为 5 的圆的一条弦长不可能是（　　） 　A ． 3 B ． 5 C ． 10 D ． 12 　 16．如图，O 为两同心圆圆心，点 A 为大圆上一点，点 B 为小圆上一点，且∠ABO=90°， AB=3，则该圆环的面积为（　　）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　A ． B ． 3π C ． 9π D ． 6π 　 17．如图，一量角器放置在∠AOB 上，角的一边 OA 与量角器交于点 C、D，且点 C 处的度 数是 20°，点 D 处的度数为 110°，则∠AOB 的度数是（　　） 　A ． 20° B ． 25° C ． 45° D ． 55° 　 18．下列说法中错误的是（　　） 　A ． 同一平面内的两直线不平行就相交 　B．三角形的外角一定大于它的内角 　C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 　D ． 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 　 19．在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一 条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（　　） 　A ． 圆的直径互相平分 　B．垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧 　C．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 　D ． 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 　 20．用同样长的三根铁丝分别围成长方形、正方形、圆，其中面积最大的图形是（　　） 　A ． 长方形 B．正方形 　C．圆 D ． 由于不知道铁丝的长度而无法确定 　C 档（跨越导练） 21．下列说法正确的有（　　） ①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长 的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边 中点． 　A ． ①②③④⑤ B ． ①②⑤ C ． ①②③⑤ D ． ②④⑤ 　天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 22．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③过圆内一点有无数多条弦，这些弦都相等； ④直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　） 　A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 　 23．下列说法错误的是（　　） 　A ． 半圆是弧 B．两条半径组成一条直径 　C．半径不是弧 D ． 圆中最长的弦是直径 　 24．下列说法中，不正确的是（　　） 　A ． 直径是弦，弦是直径 B．半圆周是弧 　C．圆上的点到圆心的距离都相等 D ． 同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长 　 25．如图，直线 AB 经过⊙O 的圆心，与⊙O 相交于点 A、B，点 C 在⊙O 上，且 ∠AOC=30°，点 P 是直线 AB 上的一个动点（与 O 不重合），直线 PC 与⊙O 相交于点 Q， 问：点 P 在直线 AB 的什么位置上时，QP=QO？这样的点 P 共有几个？并相应地求出∠OCP 的度数． 　 26．让我们借助平面直角坐标系，一起探索圆的一种奇特的性质． 如图，以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为圆心，2 个单位长为半径作⊙O，⊙O 分别交 x 轴 的负半轴及 y 轴正半轴于 C、D 两点，已知 A（1，0），B（4，0）． （1）填空：AC：BC=　_________　，AD：BD=　_________　； （2）如果点 P 是圆上一个动点，那么上述结论是否仍然成立？请以点 P 在第二象限的情况 进行探索． 解：（2）不妨假设点 P 在第二象限，且没点 P 坐标为（x，y）， 根据勾股定理可得：x2+y2=　_________　．（请你继续做下去并在最后对本小题的问题作出 回答．） 　 27．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB、CD 的延长线交于点 E．已知 AB=2DE，∠AEC=25°，求∠AOC 的度数．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 28．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=25°，以 C 为圆心，CA 长为半径的圆交 AB 于 D，求 的度数． 　 29．如图所示，线段 AD 过圆心 O 交⊙O 于 D，C 两点，∠EOD=78°，AE 交⊙O 于 B，且 AB=OC，求∠A 的度数． 　 30．如图，AB 是半圆 O 的直径，四边形 CDEF 是内接正方形． （1）求证：OC=OF； （2）在正方形 CDEF 的右侧有一正方形 FGHK，点 G 在 AB 上，H 在半圆上，K 在 EF 上．若正方形 CDEF 的边为 2，求正方形 FGHK 的面积． 　 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 成长足迹 课后检测 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 圆答案 典题探究 例1. D 例 2．C 例 3. C 例 4. 解 ： ① 根 据 题 意 ， 画 出 图 （ 1） ， 在 △ QOC 中 ， OC=OQ， ∴ ∠ OQC=∠ OCP， 在 △ OPQ 中 ， QP=QO， ∴ ∠ QOP=∠ QPO， 又 ∵ ∠ AOC=30° ， ∴ ∠ QPO=∠ OCP+∠ AOC=∠ OCP+30° ， 在 △ OPQ 中 ， ∠ QOP+∠ QPO+∠ OQC=180° ， 即 （ ∠ OCP+30° ） +（ ∠ OCP+30° ） +∠ OCP=180° ， 整 理 得 ， 3∠ OCP=120° ， ∴ ∠ OCP=40° ． ② 当 P 在 线 段 OA 的 延 长 线 上 （ 如 图 2） ∵ OC=OQ， ∴ ∠ OQP=（ 180° -∠ QOC） × ① ， ∵ OQ=PQ， ∴ ∠ OPQ=（ 180° -∠ OQP） × ② ， 在 △ OQP 中 ， 30° +∠ QOC+∠ OQP+∠ OPQ=180° ③ ， 把 ① ② 代 入 ③ 得 ∠ QOC=20° ， 则 ∠ OQP=80° ∴ ∠ OCP=100° ； ③ 当 P 在 线 段 OA 的 反 向 延 长 线 上 （ 如 图 3） ， ∵ OC=OQ， ∴ ∠ OCP=∠ OQC=（ 180° -∠ COQ） × ① ， ∵ OQ=PQ， 1 2 1 2 1 2天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴ ∠ P=（ 180° -∠ OQP） × ② ， ∵ ∠ AOC=30° ， ∴ ∠ COQ+∠ POQ=150° ③ ， ∵ ∠ P=∠ POQ， 2∠ P=∠ OCP=∠ OQC④ ， ① ② ③ ④ 联 立 得 ∠ P=10° ， ∴ ∠ OCP=180° -150° -10° =20° ． 故 答 案 为 ： 40° 、 20° 、 100° ． 演练方阵 A 档（巩固专练） 1． 解：①函数 y=x﹣1 的图象是一条直线，是轴对称图形， ②函数 的图象是双曲线，是轴对称图形， ③圆弧是轴对称图形， ④平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形． 故选：C． 　 2． 解：∵l1∥l2，∠ABC=54°， ∴∠2=∠ABC=54°， ∵以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线 l1、l2 于 B、C 两点， ∴AC=AB， ∴∠ACB=∠ABC=54°， ∵∠1+∠ACB+∠2=180°， ∴∠1=72°． 故选 C． 　 3． 解：∵AB=4，AC=2， ∴S1+S3=2π，S2+S4= ， ∵S1﹣S2= ， ∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）=π ∴S3﹣S4=π， 故选 D． 　 1 2天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 4． 解：∵OM=ON， ∴∠M=∠N， ∵∠M=30°， ∴∠N=30°， ∴∠MON=180°﹣30°﹣30°=120°． 故选 D． 　 5． 解：设⊙O1 的半径是 r，则⊙O2 的半径是 r，⊙O 的半径是 2r．则延“8 字型”线路行 驶时：路线长是 4πr．同样按“圆”形线行驶的路线长 4πr．因而两人同时到达． 故选 C． 　 6． 解：x 和 y 如图所示，则 解得 4x=πa2﹣a2，即阴影部分的面积为πa2﹣a2． 故选 C． 　 7． 解：①正八边形的每个外角是 360°÷8=45°，内角 180°﹣45°=135°，故①正确； ② =3 与 = 是同类二次根式，故②正确； ③长度等于半径的弦所对的圆周角不是 30°，故③错误； ④某学校为了了解 480 名初三学生的身高情况，从中抽取了 80 名学生进行测量，则 样本容量是 80，故④错误； ⑤对角线相等且平分的四边形是矩形，故⑤错误； 故选：B． 　 8． 解：A，圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，有无数条，错误； B，结合上一条分析可知，圆的对称轴有无限条，错误； C，对称轴为直线，直径只是线段，错误； D，结合上述分析可知，此项正确． 故选 D． 　 9． 解：∵OA=OC， ∴∠CAO=∠ACO，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵AD∥OC， ∴∠DAC=∠ACO， ∴∠DAC=∠CAB， ∵∠DAB=60°， ∴∠DAC=∠DAB=30°， 故选 B． 　 10． 解：分别作 OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是 D、E． ∵OE⊥AC，OD⊥AB， ∴AE=AC= ，AD=AB=1， ∴sin∠AOE= = ，sin∠AOD= =， ∴∠AOE=45°，∠AOD=30°， ∴∠BAO=60°，∠CAO=90°﹣45°=45°， ∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°﹣45°=15°． ∴∠BAC=15°或 105°， 故选 D． 　B 档（提升精练） 11． 解：A、过圆心的弦是圆的直径，说法正确； B、等弧的长度一定相等，说法正确； C、周长相等的两个圆是等圆，说法正确； D、同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，应是在同圆或等圆中，同一条弦 所对的两条弧一定是等弧； 故选：D． 　 12． 解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所有小圆在每一边上滚动正好一周， 在五条边上共滚动了 5 周． 另外五边形的外角和是 360°，所有小圆在五个角处共滚动一周． 因此，总共是滚动了 6 周． 故选 C． 　 13． 解：车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变， 是利用了圆上各点到圆心的距离相等， 故选 C． 　 14． 解：∵ABCD 是正方形， ∴∠DCO=90°，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵∠POM=45°， ∴∠CDO=45°， ∴CD=CO， ∴BO=BC+CO=BC+CD， ∴BO=2AB， 连接 AO， ∵MN=10， ∴AO=5， 在 Rt△ABO 中， AB2+BO2=AO2， AB2+（2AB）2=52， 解得：AB= ， 则 AB 的长为 ． 故选 D． 　 15． 解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长 L≤10． 故选 D． 　 16． 解：设大圆的半径为 R，小圆的半径为 r，则 圆环的面积=π（R2﹣r2）①； ∵∠ABO=90°，AB=3， ∴△ABO 是直角三角形， ∴R2﹣r2=AB2=32=9②． ∴由①②得圆环的面积=9π． 故选 C． 17． 解：连接 CE、ED ∵角的一边 OA 与量角器交于点 C、D，且点 C 处的度数是 20°，点 D 处的度数为 110 °，即∠4=20°，∠OED=110° ∴∠3=∠OED﹣∠4=110°﹣20°=90°． ∴∠1=∠2=45°，∠5=∠2+∠3=45°+90°=135° 故∠AOB=180°﹣∠5﹣∠4=180°﹣135°﹣20°=25° 故选 B．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 18． 解：A、同一平面内两直线的位置关系有两种：相交于平行，故选项正确； B、钝角三角形中，与钝角相邻的外角一定是一个锐角，因而选项错误； 根据平行四边形的判定定理可得 C 正确； 根据圆的性质可得 D 正确． 故选 B． 　 19． 解：将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相 重合，由此说明圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴． 故选 D 　 20． 解：长方形：设一边为 x，S1=x（﹣x）=﹣x2+x， 那么当 x=时，S1 最大，此时 S1= ； 正方形：S2=×= ； 圆：2πr=L，r= ，S3=π•r2= ； ∴S3＞S2≥S1． 故选 C． 　C 档（跨越导练） 21． 解：①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧正确； ②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合，正确； ③度数相等的弧叫做等弧，错误； ④同圆中优弧大于劣弧，故原命题错误； ⑤直角三角形的外心是其斜边中点，正确． 故选 B． 　 22． 解：①因为直径的两个端点在圆上，直径是连接圆上这两个端点的线段．所以直径是 弦是正确的． ②弦是连接圆上两点的线段，如果过圆心就是直径，不过圆心就不是直径．所以弦是 直径不正确． ③过圆内一点是有无数多条弦，但这些弦不一定相等，其中过圆心的弦是最长的．所 以③不正确． ④直径是过圆心的弦，当然是圆中最长的弦．所以④正确． 故选 B． 　 23． 解：A、弧是圆上两点之间的部分，半圆是特殊的弧，正确； B、在同一直线上两条半径组成一条直径，错误； C、半径是圆心与圆上一点之间的线段，不是弧，正确； D、弦是圆上两点之间的线段，圆中最长的弦是直径，正确． 故选 B． 　天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 24． 解：A、直径是圆内最长的弦，但弦不一定是直径，故本选项错误； B、半圆周是圆弧，故本选项正确； C、圆上的点到圆心的距离都等于半径，故本选项正确； D、同圆中，优弧是大于半圆的弧，而劣弧是小于半圆的弧，故本选项正确． 故选 A． 　 25． 解：①根据题意，画出图①， 在△QOC 中，OC=OQ， ∴∠OQC=∠OCQ， 在△OPQ 中，QP=QO， ∴∠QOP=∠QPO， 又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°， ∴3∠OCP=120°， ∴∠OCP=40°． ②当 P 在线段 OA 的延长线上（如图②） ∵OC=OQ，∴∠OQP= ①， ∵OQ=PQ， ∴∠OPQ= ②， 在△OQP 中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③， 把①②代入③得∠QOC=20°，则∠OQP=80° ∴∠OCP=100°； ③当 P 在线段 OA 的反向延长线上（如图③）， ∵OC=OQ， ∴∠OCP=∠OQC= ①， ∵OQ=PQ， ∴∠P= ②， ∵∠AOC=30°， ∴∠COQ+∠POQ=150°③， ∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④， ①②③④联立得 ∠P=10°， ∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 26． 解：（1）AC=3，BC=6，AC：BC=1：2；AD= ，BD=2 ，AD：BD=1：2； （2）x2+y2=4， ． 结论是：⊙O 上的任何一点到 A、B 两点的距离之比都是 1：2． 故答案为：1：2；1：2；4． 　 27． 解：连接 OD， ∵AB=2DE=2OD， ∴OD=DE， 又∵∠E=25°， ∴∠DOE=∠E=25°， ∴∠ODC=50°， 同理∠C=∠ODC=50° ∴∠AOC=∠E+∠OCE=75°． 　 28． 解：∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=25° ∴∠A=90°﹣∠B=65 度． ∵CA=CD ∴∠CDA=∠CAD=65° ∴∠ACD=50°天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 即弧 AD 的度数是 50 度． 　 29． 解：如右图所示，连接 OB， ∵AB=OC，OB=OC， ∴AB=OB，∠1=∠A， 又 OB=OE，∠E=∠2=∠1+∠A=2∠A， ∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A， 即 3∠A=78°， ∴∠A=26 度． 　 30． （1）证明：连接 OD，OE，则 OD=OE， ∵四边形 CDEF 为正方形 ∴CD=FE，∠DCO=∠EFO=90°， ∴在 Rt△DOC 和 Rt△EOF 中： ∴Rt△DOC≌Rt△EOF， ∴OC=OF．（4 分） （2）解：连接 OH，设正方形 FGHK 的边长为 x．（5 分） 由已知及（1）可得 EF=2，OF=1． 在 Rt△OEF 中，OE2=OF2+EF2=12+22=5．（6 分） 在 Rt△OHG 中，OH2=OG2+GH2，OE=OH， ∴5=（1+x）2+x2．（7 分） 整理得 x2+x﹣2=0． 解得 x1=﹣2（不合题意，舍去），x2=1．（8 分） ∴x2=1 ∴正方形 FGHK 的面积为 1．（9 分） 　天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/