中考数学专题复习讲与练：有理数的运算

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 有理数的运算 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以 后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！” 另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻 松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例 1： 计算：|﹣ |+（2013﹣ ）0﹣（）﹣1﹣2sin60°． 例 2： （1）计算： （2）先化简再计算： ，再选取一个你喜欢的数代入求值． 例 3：若直角三角形的两直角边长为 a、b，且满足 ，则该直角三角 形的斜边长为　 　． 例 4： 计算： ； A 组 1、计算 的结果是 （ ） A． B． C． D． 2、计算 所得结果是 （ ） A． B． C． D． ( )2 12 1 8 2sin 45 − °− + − × + ( )1 02 3.14 2sin60 12 1 3 3 .3 π − °  + − − − + −   2 2 1 1 2 1 1 1 a a a a a a a - -· -- + + - ( )23− 6− 9− ( )32− 6− 8−天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 3、计算 的结果是 （ ） A． B． C． D． 4、下列运算正确的是 ( ) A． B． C． D． 5、一个数的奇次幂是负数，那么这个数是 （ ） A．正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6、计算： ； . B 组 7、下列计算结果等于 1 的是 （ ） A． B． C． D． 8、计算 的结果是 （ ） A． B． C． D． 9、下列运算正确的是 ( ) A. B. C.3÷ D. 10、在算式 4-|-3□5|中的□所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小。（ ） A. + B. - C. × D. ÷ 11、填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 12、计算：（1） ； （2） ； （3） ； 31 2  −   ( )03 1− = − 23 6− = − ( )23 9− = − 23 9− = − 20.2− = 1)7 2 7 5(7 2 7 5 −=+−=+− 7 2 5 9 5 45− − × = − × = − 3135 4 4 5 =÷=× 21( ) 93 −− = − 2 3 1− + − − =（ ） 3 4 8 2)− × + ÷ − =（ 2 31 2 3 ( 1)− × − ÷ − =（ ） 2 11( ) 5 32 − −− + × − =（ ） 2 28 2 3 ( 2 3)− × − − × 1 0 201112 5 (3 ) ( 1)2 π − − + − − + −   2 39 3 8 25 5 3      ÷ − × −          天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （4） ； （5） . C 组 13、冬季的某一天，我市最高气温为 6°C，最低气温为—9°C，那么这天我市的最高气温 比最低气温高 °C. 14、某森林公园探空气球气象观测资料表明，高度每增加 1 千米，气温就大约降低 6°C， 若该地区地面温度为 21°C，高空某处温度为—39°C，求此处的高度. 15、若“！”是一种数学运算符号，并且 1！=1，2！=2×1=2， 3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则 的值为（ ） A. B. 99！ C. 9900 D. 2！ 16、观察下面几个算式： 1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25， …… 根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=_________. 17、在同一平面上，1 条直线把一个平面分成 个部分，2 条直线把一个平面最多 分成 个部分，3 条直线把一个平面最多分成 个部分，那么 8 条直线把 一个平面最多分成_________部分. 18、计算： 19. 计算： （1）计算： ． 2 23 23 22 3   − × − × − −      2 1 1 12 ( 1 2 ) 0.6( 0.2) 2 4  ÷ − − + × −   100 98 ！ ！ 50 49 21 1 2 22 + + = 22 2 2 42 + + = 23 3 2 72 + + =      ++++     +++−     ++++     +++ 2004 1 3 1 2 112003 1 3 1 2 1 2003 1 3 1 2 112004 1 3 1 2 1 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （2）先化简，再求值： ，其中 ． 20. （1）计算： +|2﹣ |﹣（）﹣1 （2）解不等式组： ． 有理数的运算 例 1： 计算：|﹣ |+（2013﹣ ）0﹣（）﹣1﹣2sin60°． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题：计算题． 分析：先分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则，特殊角的三角函数值计算出各数， 再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 解答：解：原式=2 +1﹣3﹣2× =2 +1﹣3﹣ = ﹣2． 点评：本题考查的是实数的运算，熟知 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则，特殊角的三角 函数值是解答此题的关键．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 2： （1）计算： （2）先化简再计算： ，再选取一个你喜欢的数代入求值． 分析：（1） ， ， ， ． （2）先做乘除法，再做加减法，然后代入求值． （1）解：原式= = = …………………………3 分 （2）解：原式= [来 …………………………6 分 选取任意一个不等于 的 的值，代入求值．如：当 时， 原式 …………………………………7 分 点拨：（1）分别根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据 实数混合运算的法则进行解答即可． （2）当分式的分子与分母是多项式时，应先分解因式，再约分． 例 3：若直角三角形的两直角边长为 a、b，且满足 ，则该直角三角 形的斜边长为　 　． 考点：勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．245761 分析：根据非负数的性质求得 a、b 的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边 长． 解答：解：∵ ， ∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0， 解得 a=3，b=4， ∵直角三角形的两直角边长为 a、b， ∴该直角三角形的斜边长= = =5． 故答案是：5． 点评：本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值 （二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0 时，则其中的每一项都 必须等于 0． 1 2 3 2 1 3( )3 2 − = = 3sin60 2 ° = ( )3 3+1 2 2 3 1 3 32 2 − × − − − 3 2 ( )( ) ( )2 1 1 1 1 11 a a a a a aa + − −= ⋅ −+ −− 1 1 a = − a 1 11 a = =− ( )1 02 3.14 2sin60 12 1 3 3 .3 π − °  + − − − + −   2 2 1 1 2 1 1 1 a a a a a a a - -· -- + + - 0( 3.14) 1π − = 12 2 3= 3 +1 3 2 3 1 3 32 − − − + 2 2 1 1 2 1 1 1 a a a a a a a − −⋅ −− + + − 1 1 a a = − − 1± 0a =天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 4： 计算： ； 解： 原式= - 122+|1- 1 \r(22|×2(2+1) = - 14+(2-1) ×2(2+1) = - 14+2[（2）2 -12] = 2- 14 = 74 1.D 2.C 3.C 4.D 5.B 6. 1； 7.D 8.B 9.D 10.C 11.（1）2；（2）-16；（3）5；（4） 12. （1） （2） （3） （4） （5） 13. 6-（-9）=15 14.解：[21-（-39）]÷6=10（米） 15. 【分析】 从题目中可以理解“！”的意义，即 。 那么 所以 ，故选（C）. 16. 解：观察上面的各算式，可以发现规律： 1+2+3+…+（n－1）+n+（n－1）+…+3+2+1=n2。 ( )2 12 1 8 2sin 45 − °− + − × + 0.04− 7 3 28 2 9 ( 6) 8 18 36 46= − × − − = − − = − 3 1 2 1 1= + − − = 9 9 9 3 8 9 9 25 5 8 8 25 25 25 5 3 25 25 9 3 3 5 × × × ×÷ × = × × =× × × × ( ) ( )3 4 3 39 2 4 2 6 92 9 2 2  − × − × − = − × − − = − × − =   1 5 5 3 4 325 40.04 2 4 5 15 5  ÷ + × = × × =   ! ( 1) ( 2) 2 1n n n n= × − × − × × ×… 100! 100 99 98 97 2 1= × × × × × ×… ，98!= 98 97 2 1× × × ×… ， 100! 100 99 98 97 2 1 100 99 990098 98 97 2 1 × × × × × ×= = × =× × × × … ， ！ … ，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当 n=100 时，1+2+3+…99+100+99+…+3+2+1=1002=10000 17. 解：根据题中各式可以总结规律： n 条直线把一个平面最多分成 个部分， 那么，8 条直线把一个平面最多分成 （个）部分. 18. 【分析】本题显然不能用常规方法直接计算，观察式子的 4 个小部分， 发现各部分的相同项很多，如果把相同部分用一个字母来代替，则可使运算简 化． 　　解：设 ， ． 则原式 19. 考点：分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 专题：计算题． 分析：（1）先分别根据 0 指数幂、负整数指数幂、有理数乘方的法则及特殊角的三角函数 值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可． 解答：解：（1）原式=1×4+1+| ﹣2× | =4+1+| ﹣ | =5； （2）原式= = = = ． 当 x= ﹣3 时，原式= = ． 点评：本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的 关键． 　 20. 考点： 解一元一次不等式组；实数的运算；负整数指数幂． 2 2 2 n n+ + 28 8 2 372 + + = 1 1 11 2 3 2003 a+ + + + = 1 1 1 2 3 2003 b+ + + = 1 1 2004 2004b a a b   = + − +       1 2004 2004 2004 2004 a b a b−= − = =天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 分析： （1）此题涉及到二次根式的化简、绝对值、负整数指数幂，根据各知识点计算后， 再计算有理数的加减即可； （2）分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即 可． 解答： 解：（1）原式=2 +2﹣ ﹣2= ． （2）解不等式 x+6≤3x+4，得；x≥1． 解不等式 ＞x﹣1，得：x＜4． 原不等式组的解集为：1≤x＜4． 点评： 此题主要考查了二次根式的化简、绝对值、负整数指数幂，以及解一元一次不等式组， 关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不 到．