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一元二次方程根与系数的关系
三只钟的故事
一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。
一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以
后，恐怕会吃不消的。”
“天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！”
另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。”
“天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻
松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。
成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。
例 1. 若 0 是 关 于 x 的 方 程 （ m-2） x 2+3x+m2-2m-8=0 的 解 ， 求 实 数 m 的 值 ， 并 讨
论 此 方 程 解 的 情 况 ．
例 2.如 果 关 于 x 的 方 程 x 2+（ 2k-3） x+k 2-3=0 的 两 个 实 数 根 的 和 等 于 这 两 个 根
的 倒 数 和 ．
求 ； （ 1） k 的 值 ；
（ 2） 方 程 的 两 个 实 数 根 的 平 方 和 ．
例 3. 设 x1、 x2 是 方 程 2x2+4x-3=0 的 两 个 根 ， 利 用 根 与 系 数 关 系 ， 求 下 列 各 式 的 值：
（ 1） （ x 1-x2） 2；
（ 2） 1 2
2 1
1 1( )( )x xx x
+ +天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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例 4． 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2-（ 8+k） x+8k=0
（ 1） 求 证 ： 无 论 k 取 任 何 实 数 ， 方 程 总 有 实 数 根 ；
（ 2） 若 等 腰 三 角 形 的 一 边 长 为 5， 另 两 边 长 恰 好 是 这 个 方 程 的 两 个 根 ， 求 这 个
等 腰 三 角 形 的 周 长 。
1．已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是（ ）
A．①②都有实数解 B.①无实数解，②有实数解
C. ①有实数解，②无实数解 D. ①②都无实数解
2．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A. m＜﹣1 B. m＜1 C. m＞﹣1 D. m＞1
3．已知函数 y=kx+b 的图象如图所示，则一元二次方程 x2+x+k﹣1=0 根的存在情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定
4．已知关于 x 的方程 kx2+（1﹣k）x﹣1=0，下列说法正确的是（ ）
A. 当 k=0 时，方程无解
B. 当 k=1 时，方程有一个实数解
C. 当 k=﹣1 时，方程有两个相等的实数解
D. 当 k≠0 时，方程总有两个不相等的实数解
5．在下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+3x+1=0 B．
C．x2+2x+3=0 D．
6．正比例函数 y=（a+1）x 的图象经过第二、四象限，若 a 同时满足方程 x2+（1﹣2a）x+a2=0，
则此方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
7．若方程组 有一个实数解，则 m 的值是（ ）
A．
B．
C．2 D．﹣2
8．一元二次方程 x2+x﹣2=0 的解为 x1、x2，则 x1•x2=（ ）天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
9．若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣3x+2=0 的两根，则 x1+x2 的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．1
10．若 m、n 是一元二次方程 x2﹣5x﹣2=0 的两个实数根，则 m+n﹣mn 的值是（ ）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
11．点 P（a，b）是直线 y=﹣x+5 与双曲线 y=的一个交点．则以 a、b 两数为根的一元二次
方程是（ ）
A．x2﹣5x+6=0 B．x2+5x+6=0
C．x2﹣5x﹣6=0 D．x2+5x﹣6=0
12．一元二次方程 x2+2x﹣5=0 的两个根的倒数和等于（ ）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
13．若 ，且一元二次方程 kx2+ax+b=0 有两个实数根，则 k 的取值范围
是 _________ ．
14．若关于 x 的一元二次方程 kx2+2（k+1）x+k﹣1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是
_________ ．
15．关于 x 的方程（k﹣2）x2﹣4x+1=0 有实数根，则 k 满足的条件是 _________ ．
16．已知 x=﹣2 是方程 x2+mx﹣6=0 的一个根，则方程的另一个根是 _________ ．
17．已知关于 x 的方程 x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2 是此方程的两个实数根，现给出三
个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③ ．则正确结论的序号是
_________ ．（填上你认为正确结论的所有序号）
18．若两个不等实数 m、n 满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则 m2+n2 的值是
_________ ．
19．设 x1，x2 是方程 2x2﹣3x﹣3=0 的两个实数根，则 的值为 _________ ．
20．设 x1，x2 是方程 x2﹣x﹣2013=0 的两实数根，则 =
_________ ．
21．已知 m 和 n 是方程 2x2﹣5x﹣3=0 的两根，则 = _________ ．
22．关于 x 的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0 有实根．
（1）求 a 的最大整数值；
（2）当 a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求 的值．
23．已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2k﹣4=0 有两个不相等的实数根．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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（1）求 k 的取值范围；
（2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
24．已知关于 x 的方程 x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形
的周长．
25．当 t 取什么值时，关于 x 的一元二次方程 2x2+tx+2=0 有两个相等的实数根？
26．已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求
的值．
27．已知关于 x 的方程 x2+x+n=0 有两个实数根﹣2，m．求 m，n 的值．
28．若 x1，x2 是关于 x 的方程 x2+bx+c=0 的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k 是整数），则称
方程 x2+bx+c=0 为“偶系二次方程”．如方程 x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0， ，
x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．
（1）判断方程 x2+x﹣12=0 是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数 b，是否存在实数 c，使得关于 x 的方程 x2+bx+c=0 是“偶系二次方
程”，并说明理由．
29．已知：关于 x 的方程 kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0
（1）求证：无论 k 为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根 x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求 k 的值．
30．已知关于 x 的一元二次方程 x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若 x1，x2 是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2 ，求 m 的值，并求出此时方程的两根．
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一元二次方程根与系数的关系答案
例 1. 解 ： 将 x=0 代 入 原 方 程 得 ，
（ m-2） • 0 2+3× 0+m2-2m-8=0，
∴ m2-2m-8=0；
（ m+2） （ m-4） =0
可 解 得 m1=-2， 或 m 2=4；
当 m=-2 时 ， 原 方 程 为 -4x2+3x=0，
此 时 方 程 的 解 是 x1=0， x 2=
01(.)
当 m=4 时 ， 原 方 程 为 2x2+3x=0．
解 得 x3=0 或 x4=-
即 此 时 原 方 程 有 两 个 解 ， 解 分 别 为 x1=0， x 2= ， x3=0 或 x4=-
例 2．解 ： （ 1） 设 方 程 的 两 根 分 别 为 x 1， x2，
x1+x2=-（ 2k-3） ， x 1• x2=k2-3，
∵ 方 程 x2+（ 2k-3） x+k 2-3=0 的 两 个 实 数 根 ，
∴ △ ≥ 0， 即 （ 2k-3） 2-4（ k 2-3） ≥ 0，
解 得 k≤ ；
而 x1+x2= ，
∴ （ x1+x2） （ x1• x2-1） =0，
∴ 2k-3=0 或 k2-3-1=0，
解 得 k1= ， k2=2， k 3=-2，
而 k≤ ；
∴ k1=
， k2=-2；
（ 2） x 12+x22=（ x 1+x2） 2-2x1• x2
=（ 2k-3） 2-2（ k 2-3）
=2k2-12k+15
当 k= ， 原 式 = ；
当 k=-2， 原 式 =47．
3
4
3
2
3
4
3
2
7
4
1 2
1 1
x x
+
3
2
7
4
3
2
3
2
3
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例 3. 解 ： 根 据 根 与 系 数 的 关 系 可 得 ： x1+x2=-2， x 1• x2=−
（ 1） （ x 1-x2） 2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+2x1x2-4x1x2=（ x 1+x2） 2-4x1x2=(− 2) 2−
4×(− )
=10．
2） =x1x2+1+1+ =(− )+2+ =
例 4． 解 ： （ 1） ∵ △ =（ 8+k） 2-4× 8k
=（ k-8） 2，
∵ （ k-8） 2， ≥ 0，
∴ △ ≥ 0，
∴ 无 论 k 取 任 何 实 数 ， 方 程 总 有 实 数 根 ；
（ 2） 解 方 程 x 2-（ 8+k） x+8k=0 得 x 1=k， x 2=8，
① 当 腰 长 为 5 时 ， 则 k=5，
∴ 周 长 =5+5+8=18；
② 当 底 边 为 5 时 ，
∴ x1=x2，
∴ k=8，
∴ 周 长 =8+8+5=21．
1．解：方程①的判别式△=4﹣12=﹣8，则①没有实数解；
方程②的判别式△=4+12=20，则②有两个实数解．
故选 B．
2．解：根据题意得△=22﹣4m＞0，
解得 m＜1．
故选 B．
3．解：根据函数 y=kx+b 的图象可得；k＜0，b＜0，
则一元二次方程 x2+x+k﹣1=0 中，△=12﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，
则一元二次方程 x2+x+k﹣1=0 根的存在情况是有两个不相等的实数根，
故选：C．
4．解：关于 x 的方程 kx2+（1﹣k）x﹣1=0，
A、当 k=0 时，x﹣1=0，则 x=1，故此选项错误；
B、当 k=1 时，x2﹣1=0 方程有两个实数解，故此选项错误；
3
2
3
2
1 2
2 1
1 1( )( )x xx x
+ +
1 2
1
x x
3
2
1
3( )2
−
1
6
−天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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C、当 k=﹣1 时，﹣x2+2x﹣1=0，则（x﹣1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选
项正确；
D、由 C 得此选项错误．
故选：C．
5．解：A、△=9﹣4=5＞0，方程有实数根；
B、算术平方根不能为负数，故错误；
C、△=4﹣12=﹣8＜0，方程无实数根；
D、化简分式方程后，求得 x=1，检验后，为增根，故原分式方程无解．
故选 A．
6．解：由题意知，（a+1）＜0，
解得 a＜﹣1，
∴﹣4a＞4．
因为方程 x2+（1﹣2a）x+a2=0 的△=（1﹣2a）2﹣4a2=1﹣4a＞5＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选 A．
7．解：由题意可得方程（2x+m）2=4x
整理得 4x2+（4m﹣4）x+m2=0
即△=（4m﹣4）2﹣16m2=0，解得 m=．
故选 A
8．解：根据题意得 x1•x2= =﹣2．
故选 D．
9. 解：由一元二次方程 x2﹣3x+2=0，
∴x1+x2=3，
故选 C．
10. 解：∵m、n 是一元二次方程 x2﹣5x﹣2=0 的两个实数根，
∴m+n=5，mn=﹣2，
∴m+n﹣mn=5﹣（﹣2）=7．
故选 B．
11．解：∵点 P（a，b）是直线 y=﹣x+5 与双曲线 y=的一个交点．
∴﹣a+5=b，b=整理得 a+b=5，ab=6．
设所求一元二次方程 x2+mx+c=0．
又∵a、b 两数为所求一元二次方程的两根．
∴a+b=﹣m，ab=c
∴m=﹣5，c=6．
因此所求方程为 x2﹣5x+6=0．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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故选 A
12．解：设 α，β 是方程 x2+2x﹣5=0 的两个实数根．
则有 α+β=﹣2，αβ=﹣5．
∴ + = =．
故选 A
13．解：∵ ，
∴b﹣1=0， =0，
解得，b=1，a=4；
又∵一元二次方程 kx2+ax+b=0 有两个实数根，
∴△=a2﹣4kb≥0 且 k≠0，
即 16﹣4k≥0，且 k≠0，
解得，k≤4 且 k≠0；
故答案为：k≤4 且 k≠0．
14．解：∵a=k，b=2（k+1），c=k﹣1，
∴△=[2（k+1）]2﹣4×k×（k﹣1）=12k+4≥0，
解得：k≥﹣，
∵原方程是一元二次方程，
∴k≠0．
故本题答案为：k≥﹣，且 k≠0．
15．解：①当关于 x 的方程（k﹣2）x2﹣4x+1=0 是一元一次方程时，
k﹣2=0，
解得，k=2；
②当（k﹣2）x2﹣4x+1=0 是一元二次方程时，
△=16﹣4×（k﹣2）≥0，且 k﹣2≠0，
解得，k≤6 且 k≠2；
综合①②知，k 满足的条件是 k≤6．
故答案是：k≤6．
16．解：设方程另一个根为 x1，根据题意得﹣2•x1=﹣6，
所以 x1=3．
故答案为 3．
17．解：①∵方程 x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0 中，
△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0，
∴x1≠x2
故①正确；
②∵x1x2=ab﹣1＜ab，故②正确；天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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③∵x1+x2=a+b，
即（x1+x2）2=（a+b）2，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，
即 x12+x22＞a2+b2．
故③错误；
综上所述，正确的结论序号是：①②．
18．解：由题意知，m、n 是关于 x 的方程 x2﹣2x﹣1=0 的两个根，则 m+n=2，mn=﹣1．
所以，m2+n2=（m+n）2﹣2mn=2×2﹣2×（﹣1）=6．
故答案是：6．
19．解：∵x1，x2 是方程 2x2﹣3x﹣3=0 的两个实数根，
∴x1+x2=，x1x2=﹣，
则原式=
=
= =
=﹣．
故答案为：﹣
20．解：∵x2﹣x﹣2013=0，
∴x2=x+2013，x=x2﹣2013，
又∵x1，x2 是方程 x2﹣x﹣2013=0 的两实数根，
∴x1+x2=1，
∴
=x1• +2013x2+x2﹣2013，
=x1•（x1+2013）+2013x2+x2﹣2013，
=（x1+2013）+2013x1+2013x2+x2﹣2013，
=x1+x2+2013（x1+x2）+2013﹣2013，
=1+2013，
=2014，
故答案是：2014
21．解：∵m 和 n 是方程 2x2﹣5x﹣3=0 的两根，
∴m+n=﹣=﹣ =，m•n==﹣，
∴+= = =﹣
故答案为﹣．
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22．解：（1）根据题意△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0 且 a﹣6≠0，
解得 a≤ 且 a≠6，
所以 a 的最大整数值为 7；
（2）①当 a=7 时，原方程变形为 x2﹣8x+9=0，
△=64﹣4×9=28，
∴x= ，
∴x1=4+ ，x2=4﹣ ；
②∵x2﹣8x+9=0，
∴x2﹣8x=﹣9，
所以原式=2x2﹣ ，
=2x2﹣16x+，
=2（x2﹣8x）+，
=2×（﹣9）+，
=﹣ ．
23.（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，
解得：k＜；
（2）由 k 为正整数，得到 k=1 或 2，
利用求根公式表示出方程的解为 x=﹣1± ，
∵方程的解为整数，
∴5﹣2k 为完全平方数，
则 k 的值为 2．
24． 1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m 无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴关于 x 的方程 x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0 恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；
①当该直角三角形的两直角边是 1、3 时，由勾股定理得斜边的长度为： ；
该直角三角形的周长为 1+3+ =4+ ；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是 1、3 时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角
边为 2 ；则该直角三角形的周长为 1+3+2 =4+2 ．
25．解：∵一元二次方程 2x2+tx+2=0 的二次项系数 a=2，一次项系数 b=t，常数项 c=2，
∴△=t2﹣4×2×2=t2﹣16=0，
解得，t=±4，天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∴当 t=4 或 t=﹣4 时，原方程有两个相等的实数根．
26. 解：∵ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即 b2﹣4a=0，
b2=4a，
∵ = = =
∵a≠0，
∴ = = =4．
27．解：∵关于 x 的方程 x2+x+n=0 有两个实数根﹣2，m，
∴ ，
解得， ，即 m，n 的值分别是 1、﹣2．
28．解：（1）不是，
解方程 x2+x﹣12=0 得，x1=3，x2=﹣4．
|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．
∵3.5 不是整数，
∴x2+x﹣12=0 不是“偶系二次方程；
（2）存在．理由如下：
∵x2﹣6x﹣27=0 和 x2+6x﹣27=0 是偶系二次方程，
∴假设 c=mb2+n，
当 b=﹣6，c=﹣27 时，
﹣27=36m+n．
∵x2=0 是偶系二次方程，
∴n=0 时，m=﹣，
∴c=﹣b2．
∵ 是偶系二次方程，
当 b=3 时，c=﹣×32．
∴可设 c=﹣b2．
对于任意一个整数 b，c=﹣b2 时，
△=b2﹣4ac，
=4b2．
x= ，天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∴x1=﹣b，x2=b．
∴|x1|+|x2|=2|b|，
∵b 是整数，
∴对于任何一个整数 b，c=﹣b2 时，关于 x 的方程 x2+bx+c=0 是“偶系二次方程”
29．（1）证明：①当 k=0 时，方程是一元一次方程，有实数根；
②当 k≠0 时，方程是一元二次方程，
∵△=（3k﹣1）2﹣4k×2（k﹣1）=（k+1）2≥0，
∴无论 k 为何实数，方程总有实数根．
（2）解：∵此方程有两个实数根 x1，x2，
∴x1+x2= ，x1x2= ，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，即 ﹣4× =4，
解得： =±2，
即 k=1 或 k=﹣．
30．（1）证明：∵△=（m+3）2﹣4（m+1）
=（m+1）2+4
∵无论 m 取何值，（m+1）2+4 恒大于 0
∴原方程总有两个不相等的实数根
（2）∵x1，x2 是原方程的两根
∴x1+x2=﹣（m+3），x1•x2=m+1
∵|x1﹣x2|=2 ∴（x1﹣x2）2=（2 ）2
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8
∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0
解得：m1=﹣3，m2=1…10 分
当 m=﹣3 时，原方程化为：x2﹣2=0
解得：x1= ，x2=﹣
当 m=1 时，原方程化为：x2+4x+2=0
解得：x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣
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