广东惠州市2019届高三4月模拟考试理科数学试卷

惠州市 2019 届高三模拟考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知集合 A x | x 2 x 6 0 ，集合 B x | 1 x 3 ，则 A B （） A. 2 , 3 2.若复数 A. 2 i 2 ai 1 i B. 1, 2 C. 3, 3 D. 1, 3 （其中 i 为虚数单位， a R ）为纯虚数，则 a （） B. 0 2 C. -2 D. 2 3.设 a , b R ，则“ a b a 0 ”是“ a b ”的（）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 4.已知向量 a 2 , 3 ，向量 b 1, 2 ，若 a b 与 a b 垂直，则 （） A. -1 B. 1 3 ，则 s in 2 （） 5 4 C. 1 9 D. 1 2 5.若 c o s 7 25 A. B. 3 1 5 2 C. 1 5 D. 7 25 6. 2 x 1 x 2 的展开式中 x 的系数为（） A. 6 B. 18 C. 24 D. 30 7. ， 是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面 ， 平行的是（） A. m ， n 是平面 内两条直线，且 m / / ， n / / . B. m ， n 是两条异面直线， m ， n ，且 m / / ， n / / . C. 内不共线的三点到 的距离相等. D. ， 都垂直于平面 . 8.已知直线 4 x 3 y 1 0 被圆 C ： x 3 y m 1 3 m 3 所截得的弦长为 4 3 ，且 P 为圆 C 上 2 2 任意一点，点 A 为定点 2 , 0 ，则 P A 的最大值为（） A. 29 13 B. 5 1 3 C. 2 7 1 3 D. 29 13 A A 9.已知直三棱柱 A B C A1 B 1 C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上， A B 3 ， C 4 ， B A C ，A A1 1 2 ， 若 则球 O 的半径为（） 3 17 2 13 2 A. B. 2 1 0 C. D. 3 1 0 10. 直线 y 3 x 与椭圆 C ： x a 2 2 y b 2 2 1 a b 0 交于 A 、 B 两点，以线段 A B 为直径的圆恰好经过 椭圆的右焦点，则椭圆 C 的离心率为（） 3 2 A. B. 3 1 C. s in x 1 2 3 1 2 D. 4 2 3 11. 已知函数 f x s in 2 围是（） A. 0 , 8 1 x 2 1 2 0 ，若 f x 在区间 , 2 内没有零点，则 的取值范 B. 0 , , 1 4 8 1 5 C. 0 , 8 5 D. 0 , , 8 4 8 1 1 5 12.已知函数 f x ln x ，g x 2 m 3 x n ， x 0 , 总有 f x g x 恒成立.记 2 m 3 n 若 的最小值为 F m , n ，则 F m , n 的最大值为（） A. 1 B. 1 e C. 1 e 2 D. 1 e 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 2x y 0 y 13.若实数 x ， y 满足约束条件 x 2 y 2 0 ，则 z 的最大值为______. x y 1 0 14.一个袋子里装有大小相同的黑球和白球共 6 个，已知从袋中随机摸出 1 个球，摸到黑球的概率是 袋中随机摸出 2 个球，至少摸到 1 个白球的概率是______. 15.设偶函数 f x 满足 f x 2 4 x 0 ，则满足 f a 2 0 的实数 a 的取值范围为______. x 2 3 .现从 16.已知 A B C 中， A 6 0 ， M 为 B C 中点， A M 3 ，则 2 A B A C 的取值范围为______. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个考生都必须 作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.设数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且满足 a n （1）求数列 a n 的通项公式； （2）是否存在实数 ，使得数列 S n n 2 理由. 18.如图 1，平面四边形 A B C D 中，C D 4 ， A B A D 2 ， B A D 6 0 ， B C D 3 0 ，将 A B D 沿 ，平面 P B D 平面 B C D ， E 为 P D 中点. B D 翻折到 P B D 的位置（如图 2） n 1 2 Sn 1 0 n N * . 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明 （1）求证： P D C E ； （2）求直线 B E 与平面 P C D 所成角的正弦值. 19. 已知椭圆 x a 2 2 y b 2 2 1 a b 0 的离心率为 1 2 ，点 1, 3 在椭圆上. 2 （1）求椭圆的方程； Q （2） 过椭圆的右焦点 F 作互相垂直的两条直线 l1 ， 2 ， 直线 l 2 交直线 x 4 l 其中直线 l1 交椭圆于 P ， 两点， 于 M 点，求证：直线 O M 平分线段 P Q . 20. 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年人流量 X （年 人流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在 40 以上，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年， 超过 120 的年份有 5 年， 将年人流量在以上三段的频率作为相应段的概率， 假设各年的年人流量相互独立. （1）在未来 3 年中，设 与表示年人流量超过 120 的年数，求 的分布列及期望值； （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年人流量 X 限制，并有如下关 系： 年人流量 X 40 X 80 80 X 120 X 120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台发电机的年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 21.已知函数 f x 1 2 x m ln 1 x ，其中 m R . 2 （1）求函数 f x 的单调区间； （2）若函数 f x 存在两个极值点 x1 、 x 2 ，且 x1 x 2 ，证明： 1 4 1 2 ln 2 f x1 x2 0. （二）选考题：共 10 分；请考生在第 22、23 题中任选一题作答.答题时请写清题号并将相应信息点涂黑. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 x O y 中，直线 l 的参数方程为 x 2 y 4 3 at 3t （其中 t 为参数）.以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 A 的极坐标为 2 , s in 4 c o s . 2 ，直线 l 经过点 A .曲线 C 的极坐标方程为 6 （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）过点 P 3 , 0 作直线 l 的垂线交曲线 C 于 D 、 E 两点（ D 在 x 轴上方） ，求 1 PD 1 PE 的值. 23.[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 f x 2 x 2 5 . （1）解不等式： f x x 1 ； （2）当 m 1 时，函数 g x f x x m 的图象与 x 轴围成一个三角形，求实数 m 的取值范围.