广东2018-2019学年肇庆市高中毕业班第三次统测数学（理科）试题

肇庆市 2019 届高中毕业班第三次统一检测 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试卷号、座位号填写在答题卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上 作答，答案无效. 3.考试结束.监考人员将试卷、答题卷一并收回. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.设集合 A x | x 1 ， B x | x 2 4 ，则 A B （） A. x | x 2 B. x | 1 x 2 C. x | 1 x 2 D. x | x 2 2.已知 m 2 i 2 i 4 3 i ， m R ， i 为虚数单位，则 m 的值为（） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 3.记 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和，公差 d 2 ， a 1 ， a 3 ， a 4 成等比数列，则 S 8 （） A. -20 B. -18 C. -10 D. -8 4.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（） A. C. 1 6 3 4 B. D. 25 24 11 12 2x y 2 0 5.若 x ， y 满足约束条件 x 2 y 1 0 ，则 z x y 的取值范围是（） 3 x y 2 0 A. 2 , 2 B. , 2 C. 1, 2 D. 2 , 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（） A. 2 3 B. 3 2 C. 3 7. 化简 2 1 sin 4 A. 2 c o s 2 C. 4 s in 2 2 c o s 2 8. 已知双曲线 C ： x a 2 2 D. 4 3 2 2 co s 4 的结果是（） B. 2 s in 2 D. 2 s in 2 4 c o s 2 y b 2 2 1 的右顶点为 A ，右焦点为 F ， O 是坐标原点，过 A 且与 x 轴垂直的直线交 双曲线的渐近线于 M ， N 两点，即四边形 O M F N 是菱形，则 C 的离心率为（） A. 2 9. 设 a 1 lo g 2 1 lo g 3 B. 2 1 lo g 4 1 lo g 5 C. 3 D. 1 2 ， y x a ， x N ，当 y 取最小值时的 x 的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 下图是相关变量 x ， y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析.方案一：根据图中所有数据，得 到线性回归方程 y b1 x a 1 ，相关系数为 r1 ；方案二：剔除点 1 0 , 2 1 ，根据剩下数据得到线性回归直线 方程 y b 2 x a 2 ，相关系数为 r2 .则（） A. 0 r1 r2 1 C. 1 r1 r2 0 11. 已知函数 f x x e x m x A. 0 , e m 2 B. 0 r2 r1 1 D. 1 r2 r1 0 （ e 为自然对数的底数）在 0 , 上有两个零点，则 m 的范围是（） C. e , D. 2 e , B. 0 , 2 e 12. 如图，正方体 A B C D A1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1， P 为 A A1 的中点， M 在侧面 A A1 B 1 B 上，有下列四个命 题： ①若 D 1 M C P ，则 B C M 面积的最小值为 ②平面 A1 B D 内存在与 D 1 C 1 平行的直线； ③过 A 作平面 ，使得棱 A D ， A A1 ， D 1 C 1 在平面 的正投影的长度相等，则这样的平面 有 4 个； ④过 A 作面 与面 A1 B D 平行，则正方体 A B C D A1 B 1 C 1 D 1 在面 的正投影面积为 3 . 则上述四个命题中，真命题的个数为（） 5 10 ； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知数列 a n 满足 a 1 1 ， lg a n 1 lg a n 14.在 A B C 中， A B 3 ， B C 2 ， A C 5 1 2 ，则 a 9 ______. 7 ，则 B A B C ______. 15. x y 2 x y 的展开式中 x 3 y 3 的系数为______.（用数字填写答案） x 2 16.已知椭圆 C ： y 2 1， 直线 l ：y x 1 与椭圆 C 交于 A ，B 两点， 则过点 A ，B 且与直线 m ：x 4 3 2 相切的圆的方程为______. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 在 A B C 中， D 是 B C 上的点， A D 平分 B A C ， s in C 2 s in B . （1）求 BD CD ； （2）若 A D A C 1 ，求 B C 的长. C 18. 如图， 在三棱柱 A B C A1 B 1 C 1 中， 侧面 A B B 1 A1 是菱形， B A A1 6 0 ， 是棱 B B 1 的中点， A C B ， E F 在线段 A C 上，且 A F 2 F C . （1）证明： C B 1 / / 面 A1 E F ； （2）若 C A C B ，面 C A B 面 A B B 1 A1 ，求二面角 F A1 E A 的余弦值. 19.已知抛物线 C ： y 2 4 x 的焦点为 F ，直线 l 与抛物线 C 交于 A ， B 两点， O 是坐标原点. （1）若直线 l 过点 F 且 A B 8 ，求直线 l 的方程； （2）已知点 E 2 , 0 ，若直线 l 不与坐标轴垂直，且 A E O B E O ，证明：直线 l 过定点. 20.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标 有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. （1）若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求顾客所获的奖励额的分布 列及数学期望； （2）商场对奖励总额的预算是 60000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值为 10 元和 50 元的两种球组 成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客 所获的奖励额相对均衡.请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 21. 已知函数 f x ln x a x a R ，g x e 2x 2. （1）求 f x 的单调区间； （2）若 f x g x 在 0 , 上成立，求 a 的取值范围.