2020届高三数学3月月考试题(解析版）

北京市 2020 届高三数学 3 月月考试题 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个 是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上． ） 1．若集合 A＝{x∈R|3x+2＞0}，B＝{x∈R|x22x3＞0}，则 A∩B＝（ A．{x∈R|x＜1} C．{ ∈ | 3 ＜＜3} → → → 2 ） 2 3 B．{ ∈ | 1＜＜ } D．{x∈R|x＞3} → → → 2．向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示．若向量 λ + 与 共线，则实数 λ＝（ ） A．2 B．1 2 4 C．1 D．2 ） 3．设曲线 C 是双曲线，则“C 的方程为 2 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 = 1”是“C 的渐近线方程为 y＝± 2x”的（ B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛 一场，胜者得 2 分，负者得 0 分，平局两人各得 1 分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比 其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ A．4 B．5 C．6 ） D．7 ） 5．若抛物线 y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于 1，则 p 的取值范围是（ A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 ） 6．已知函数 f（x）＝cos（2x+φ） 为常数）为奇函数，那么 cosφ＝（ （φ A． 2 2 B．0 C． 2 2 D．1 ） 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ 1 A．4 8．已知函数 f（x）= 值范围是（ A． （∞，1） ） B．2 2 2 1， ≤ 0 C． 7 D．2 ，若方程 f（x）＝x+a 有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取 ( 1)，＞0 B． （∞，1] C． （0，1） D．[0，+∞） 9．定义：若存在常数 k，使得对定义域 D 内的任意两个 x1，x2（x1≠x2） ，均有|f（x1）f（x2）|≤k|x1x2|成 立，则称函数 f（x）在定义域 D 上满足利普希茨条件．若函数() = ( ≥ 1)满足利普希茨条件，则 常数 k 的最小值为（ A．4 ） B．3 C．1 D． 1 2 10．在边长为 1 的正方体中，E，F，G，H 分别为 A1B1，C1D1，AB，CD 的中点，点 P 从 G 出发，沿折线 GBCH 匀速运动，点 Q 从 H 出发，沿折线 HDAG 匀速运动，且点 P 与点 Q 运动的速度相等，记 E，F， P，Q 四点为顶点的三棱锥的体积为 V，点 P 运动的路程为 x，在 0≤x≤2 时，V 与 x 的图象应为（ ） A． B． 2 C． D． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 11．代数式（1x） （1+x）5 的展开式中 x3 的系数为 ． ． 12．在复平面内，复数 z＝12i 对应的点到原点的距离是 13．已知函数若() = |4 |，0＜ ≤ 4， ，a，b，c，d 是互不相同的正数，且 f（a）＝f（b）＝f（c） 2 10 + 25，＞4. ． 2 5 ＝f（d） ，则 abcd 的取值范围是 14．已知双曲线： 程为 2 2 2 2 = 1的一条渐近线的倾斜角为 60° ，且与椭圆 + 2 = 1有相等焦距，则 C 的方 15．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝1，公差 d＝2，Sn+2Sn＝36，则 n＝ ． 16．如果对于函数 f（x）定义域内任意的两个自变量的值 x1，x2，当 x1＜x2 时，都有 f（x1）≤f（x2） ，且存 在两个不相等的自变量值 y1，y2，使得 f（y1）＝f（y2） ，就称 f（x）为定义域上的不严格的增函数． ， ≥ 1 则①() = 0， 1＜＜1，②() = ， ≤ 1 1， ≥ 1 ③() = 0， 1＜＜1，④() = 1， ≤ 1 四个函数中为不严格增函数的是 1， = ， 2 ， ＜ ≤ 2 2 ， ≥ 1 ， + 1，＜1 ，若已知函数 g（x）的定义域、值域分别为 A、B，A＝{1，2，3}， 个． BA，且 g（x）为定义域 A 上的不严格的增函数，那么这样的 g（x）有 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． ） 17． （13 分）已知{an}是各项为正数的等差数列，Sn 为其前 n 项和，且4 = ( + 1)2 ． （Ⅰ）求 a1，a2 的值及{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{ 2 }的最小值． 18．如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 ABCD⊥平面 ABE，∠AEB＝90° ，BE＝BC， F 为 CE 的中点， （1）求证：AE∥平面 BDF； 3 7 （2）求证：平面 BDF⊥平面 ACE； （3）2AE＝EB，在线段 AE 上找一点 P，使得二面角 PDBF 的余弦值为 10 10 ，求 AP 的长． 19． 分） （13 某市旅游管理部门为提升该市 26 个旅游景点的服务质量， 对该市 26 个旅游景点的交通、 安全、 环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分 0 分，最高分 100 分．每个景点总分为这五项得 分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图： 请根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）若从交通得分排名前 5 名的景点中任取 1 个，求其安全得分大于 90 分的概率； （2）若从景点总分排名前 6 名的景点中任取 3 个，记安全得分不大于 90 分的景点个数为 ξ，求随机变 量 ξ 的分布列和数学期望； （3）记该市 26 个景点的交通平均得分为1 ，安全平均得分为2 ，写出1 和2 的大小关系？（只写出结 果） 20．已知函数 f（x）= x+alnx． 1 （Ⅰ）求 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程（用含 a 的式子表示） （Ⅱ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅲ）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证明： 21． （13 分）已知椭圆 C： 2 2 ( 1 )( 2 ) 1 2 ＜ 2． 1 2 + 2 2 =1（a＞b＞0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径 的圆与直线 xy+ 6 =0 相切． 4