2020届高三数学（理）一模试题（西安工业大学附属补习学校）

1 O x y π 6 1 π 3 2 2020 届第一次模拟考试数学（理）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分.考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷（共 60 分） 一. 选择题:(5′×12=60′) 1.已知集合  | 2 2A x x    ， 3| 1B x x       ，则 BA ( ) A. { | 0}x x  B. { | 2}x x  C. }02|{  xx D. { | 3 2}  x x 2.若1 ( )(1 )ai b i i    （ ,a b R ，i 为虚数单位），则复数 a bi 在复平面内对应的点所在的 象限为 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．已知 0.2 0.3 2log 0.2, 2 , 0.2a b c   ，则（ ) A． a b c  B． a c b  C． c a b  D．b c a  4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小 说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读 过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过 《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该 校学生总数比值的估计值为( ) A．0.7 B．0.6 C．0.8 D．0.5 5.函数      xAxf sin  RxA       22,0,0  的部分图象(如图所示)，则      3 f ( ) A. 2 1 B. 2 3 C. 2 1 D. 2 3 6.已知函数   2 2 2 2, 2 log , 2 x x xf x x x       ,若 0 Rx  ,使得   2 0 5 4f x m m  成立,则实数 m 的 取值范围为 （ ）2 A. 1 ,14      B. 11, 4     C. 12, 4     D. 1 ,13      7.已知平面向量 ,a b   满足 2, 1a b   ，且   4 3 2a b a b       ，则向量 ,a b   的夹角 为（ ） A. 6  B. 3  C. 2  D. 2 3  8.已知函数     sin 0, 0,0f x A x A          为偶函数，将  f x 图象上所有点的 横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为  g x ，若  g x 最小正周期 为 2 ，且 24g      ，则 ) ()8 3( f A. -2 B.2 C. 2 D. 2 9.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A．2 B．4 C．1 D．3 10.在等比数列{an}中,若 4 3 52 aa ， 4 5 5432  aaaa 则 ) (1111 5432  aaaa A.1 B.- 3 4 C.- 5 3 D.- 4 311.如图,在下列四个正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G 均为所在棱的中点,过 E,F,G 作正方体的截面, 则在各个正方体中,直线 BD1 与平面 EFG 不垂直的是( ). 12.已如函数      1,23 1,ln1)( xx xxxf ，若 21 xx  ，且 2)()( 21  xfxf ，则 21 xx  的取值范围是（ ） A． ,2 B． ,2 C． 2, D． 2,3 第Ⅱ卷（共 90 分） 二.填空题：(5′×4=20′) 13.已知点 F1，F2 是椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，动点 Q 在射 线 F1P 的延长线上，且| PQ  |=| 2PF  |，若| PQ  |的最小值为 1，最大值为 9，则椭圆的离心率为_ 14.设不等式组 2 0 0 0 x x y x y         ，表示的平面区域为 Ω ，在区域 Ω 内任取一点 ( , )P x y ，则 P 点的坐标 满足不等式 2 2 2x y  的概率为 . 15.在二项式 9( 2 )x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________． 16.若函数 2log , 0( ) 2 , 0x x xf x a x     有且只有一个零点，则 a 的取值范围是__________． 三.解答题:（12′×5+10′=70′） 17.在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，已知 (1 cos ) (2 cos )b C c B   . （1）求证： , ,a c b 成等差数列； （2）若 3C  ， ABC 的面积为 4 3 ，求 c . 18.如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2， ∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求二面角 A−MA1−N 的正弦值． 19.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生” 的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造 福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明 建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调 查者中关注此问题的约占 80%.现从参与调查的人群 中随机选出 200 人，并将这 200 人按年龄分组：第 1 a 0.030 0.015 0.010 频率/组距 O 15 25 35 45 55 65 年龄（岁）4 组 2515， ，第 2 组  3525， ，第 3 组 4535， ，第 4 组 5545， ，第 5 组 ]65,55[ ，得到的频率分 布直方图如图所示: （1）求 a 的值； （2）现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3 人 进行问卷调查，求在第 1 组至少被抽到1人的前提下，第 3 组被抽到 2 人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出 3 人，记关注“生态文明”的人数为 X ，求 X 的分布列与 期望. 20．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ，左、右焦点分别为 1 2,F F ， ，点 , ,P A B 在椭圆C 上，且点 ,A B 关于原点对称，直线 ,PA PB 的斜率的乘积为 1 4  . （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知直线l 经过点  2,2Q ，且与椭圆 C 交于不同的两点 ,M N ，若 16 3QM QN  ， 判 断直线l 的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 21．已知函数 xxaexf x ln)1()( 1   （a∈R，e 是自然对数的底数）． （1）设 )()( xfxg  （其中 )(xf  是 )(xf 的导数），求 )(xg 的极小值； （2）若对 ),1[ x ，都有 1)( xf 成立，求实数 a 的取值范围． 请考生在第（22）.（23）两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分. 22.[选修 4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐 标方程为  2 21 8sin 9   ，直线 l 的参数方程为 1 4 1 x t y t       （ t 为参数）． （1）求 C 与 l 的交点的直角坐标； （2）求 C 上的点到直线l 的距离的最大值． 23．[选修 4—5：不等式选讲] 已知函数   1 2 1f x x x    ． （1）求不等式   4f x ≥ 的解集； （2）若函数  y f x 图象的最低点坐标为 ,p q ，正数 a ， b 满足 2pa qb  ， 求 4 1 a b  的最小值． 3221 FF