铁人中学 2018 级高二学年下学期月考考试数学文科试题 考试时间： 年 月 日
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铁人中学 2018 级高二学年下学期月考考试
数学文科试题
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共 60 分。）
1.在复平面内，复数 是虚数单位)对应的点位于 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．双曲线 的焦距为（ ）
A． B． C． D．
3．在回归分析中，相关指数 R2 的值越大，说明残差平方和( )
A．越大 B．越小 C．可能大也可能小 D．以上均错
4．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量 （单
位：千瓦·时）与气温 （单位：℃）之间的关系，随机选取了 天的用电量与当天气温，并制作
了以下对照表：
（单位：℃）
（单位：千瓦·时）
由表中数据得线性回归方程： ，则由此估计：当某天气温为 ℃时，当天用电量约为
（ ）
A． 千瓦·时 B． 千瓦·时 C． 千瓦·时 D． 千瓦·时
5.若抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 ( 为常数)在[－2, 2]上有最大值 3，那么此函数在[－2,2]上的最
小值是 ( )
A.－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对
7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 11，则 M 处可填入的条件为( )
A. k≥31 B. k≥15 C. k>31 D. k>15
8．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若 A，B 为两个随机事件，则 P (A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件 A，B，C 彼此互斥，则 P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件 A，B 满足 P(A)＋P(B)＝
1，则 A 与 B 是对立事件．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
（7 题图）
9.设 是函数 的导函数， 的图像如图所示，则 的图像最有可能是（ ）
ii (1
1
+
1210
22
=− yx
22 24 32 34
y
x 4
x 17 14 10 1−
y 24 34 38 64
∧∧
+−= axy 2 2
56 62 64 68
)0(22 >= ppxy 134
22
=− yx =p
2 10 7 72
mxxxf +−= 23 62)( m
)(xf ′ )(xf )(xfy ′= )(xfy =
)(xfy ′=铁人中学 2018 级高二学年下学期月考考试数学文科试题 考试时间： 年 月 日
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10．方程 表示椭圆的必要不充分条件是（ ）
A．m∈（﹣1，2） B．m∈（﹣4，2）
C．m∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2） D．m∈（﹣1，+∞）
11．在 5 件产 品中，有 3 件一等品和 2 件二等品，从中任取 2 件，以 7
10
为概率的事件是( )
A．恰有 1 件一等品
B．至少有一件一等品
C．至多有一件一等品
D．都不是一等品
12．已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点．且 ，则椭圆和
双曲线的离心率的倒数之和的最大值为
A．2 B．4 C．
D．
第Ⅱ卷 非选择题部分
二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)
13．用秦九韶算法计算多项式 f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64 当 x＝2 时的值时，v4
的值为__________．
14．设抛物线 上一点 到 轴的距离是 4，则点 到该抛物线焦点的距离是______.
15.在体积为 的球内随机取一点，则该点到球心距离不超过 的概率为__________．
16 ． 已 知 函 数 ， 若 对 任 意 两 个 不 相 等 的 正 实 数 ， ，
恒成立，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老
人，结果如下：
男 女
需要 40 30
不需要 160 270
（1）估计该地区老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性
别有关？
参考公式和数据： ．
18．已知直线 （ 为参数），曲线 （ 为参数）．
（1）设 与 相交于 ， 两点，求 ；
（2）若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线 ，
设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最大时，点 的坐标．
19.某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷 50 名使用者，然后根据这 50 名的问卷评分数据，
统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），
21( ) ln ( 0)2f x a x x a= + > 1x 2x
1 2
1 2
( ) ( ) 2f x f x
x x
− ≥− a
2 2
14 2
x y
m m
+ =+ −
1F 2F P 1 2 3F PF
π∠ =
( )
2 3
3
4 3
3
22y x= − P x P
4π
3
1
2
2
2 ( ) ,( )( )( )( )
n ad bcK n a b c da b c d a c b d
−= = + + ++ + + +
2
0( )P K k≥ 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
0k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
11 2:
3
6
x t
l
y t
= +
=
t 1
cos: sin
xC y
θ
θ
=
=
θ
l 1C A B AB
1C 1
2
3
2 2C
P 2C l P铁人中学 2018 级高二学年下学期月考考试数学文科试题 考试时间： 年 月 日
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[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求频率分布直方图中 a 的值；
（2）求这 50 名问卷评分数据的中位 数；
（3）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在[50，60）的概率．
20.已知函数 在 处的切线为 .
（1）求实数 的值；
（2）求 的单调区间.
21.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点 F 在 x 轴上，抛物线 C 上一点 到焦点 F 的距离
为 ．
1 求抛物线 C 的标准方程；
2 设点 ，过点 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，记直线 MA 与直线 MB
的斜率分别为 ， ，证明： 为定值．
22．（12 分）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在区间 上的最值；
（2）讨论 的单调性．
参考答案：
1-5 DDBAD
6-10 ABABB
11.12 CD
13. 80 14. 15. 16.
17． 【答案】（1） ；（2）在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老
年人是否需要帮助与性别有关．
解析（1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，
因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为 ．
（2）由题可得 K2 的观测值 ，
由于 9.967>6.635，
所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有
关．
18. （1） 的普通方程 ， 的普通方程 ，联立方程组
解得 与 的交点为 ， ，则
21( ) ln 12
af x a x x
+= + +
1
2a = − ( )f x 1[ , ]ee
( )f x
1
8
[1,+ )∞
( ) lnf x x x ax b= + + ( )( )1, 1f 2 2 1 0x y− − =
,a b
( )f x
( )4,P m
9
2
( )
( ) ( )2,1M − ( )2,0N
1k 2k 1 2k k+
33
8
14%
70 100% 14%500
× =
2500 (40 270 30 160) 9.967200 300 70 430k
× × − ×= ≈× × ×
l ( )3 13y x= − 1C 2 2 1x y+ = ( )
2 2
3 13
1
y x
x y
= −
+ =
l 1C ( )1,0A 1 3,2 2B
− −
3AB =铁人中学 2018 级高二学年下学期月考考试数学文科试题 考试时间： 年 月 日
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（2） 的参数方程为 （ 为参数），故点 的坐标是 ，从而点
到直线 的距离是 ，由此当 时， 取
得最大值，且最大值为 .此时，点 P 坐标为
19.(12 分)
（Ⅰ）由频率分布直方图，可得（0.004+a+0.0156+0.0232+0.0232+0.028）×10＝1，
解得 a＝0.006．
（Ⅱ）由频率分布直方图，可设中位数为 m，则有（0.004+0.006+0.0232）×10+（m﹣70）×0.028＝
0.5，
解得中位数 m＝76．
（Ⅲ）由频率分布直方图，可知在[40，50）内的人数：0.004×10×50＝2，
在[50，60）内的人数：0.006×10×50＝3．
设在[40，50）内的 2 人分别为 a1，a2，在[50，60）内的 3 人分别为 B1，B2，B3，
则从[40，60）的问卷者中随机抽取 2 人，基本事件有 10 种，分别为：
（a1，a2），（a1，B1），（a1，B2），（a1，B3），（a2，B1），
（a2，B2），（a2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），
其中 2 人评分都在[50，60）内的基本事件有（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共 3 种，
故此 2 人评分都在[50，60）的概率为 ．
20.（1）依题意可得：
又 函数 在 处的切线为 ，
解得：
（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，
当 时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；
当 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴ 的单调减区间为 的单调增区间为 .
21. Ⅰ 由题意，可设抛物线 C： ，焦点 ，则 ，解得
，
因此，抛物线 C 的标准方程为 ；
Ⅱ 证明：设过点 的直线 l： ，设点 、 ，
联立 ，消去 x，得 ，
，由韦达定理可得 ， ．
2C
1
2
3
2
x cos
y sin
θ
θ
=
=
θ P
1 3cos , sin2 2
θ θ
P
l
( )101 3 sin 1cos sin 1 22 2
2 2
θ ϕθ θ − +− −
=
( )sin 1θ ϕ− = d
10 1
4 2
+ 10 3 30— 20 20
（ ， ）
12 2 (1) 1 0 (1) 2f f− − = =即
( ) lnf x x x ax b= + +
'( ) ln 1f x x a∴ = + +
( )f x (1, (1))f 2 2 1 0x y− − = 1(1) 2f =
(1) 1 1
1(1) 2
f a
f a b
= + =∴ = +
′
=
0
1
2
a
b
= =
10x e
∈ ，
1x e
∈ + ∞ ，
( )f x 1(0, ),e
( )f x 1
e
+ ∞ ，
( ) 2 2y px= ,02
pF
94 2 2
pPF = + =
1p =
2 2y x=
( ) ( )2,0N ( )2x ty t R= + ∈ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
2 2
x ty
y x
= + =
2 2 4 0y ty− − =
0> 1 2 2y y t+ = 1 2 4y y = −
( )( )
( )1 2 1 21 2 1 2
1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 4 81 1 1 1
2 2 4 4 4 16
ty y t y yy y y yk k x x ty ty t y y t y y
+ − + −− − − −∴ + = + = + =+ + + + + + +铁人中学 2018 级高二学年下学期月考考试数学文科试题 考试时间： 年 月 日
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，
因此， 为定值 ．
22．【答案】（1） ， ；（2）见解析．
【解析】（1）当 时， ，所以 ，
因为 的定义域为 ，所以由 ，可得 ．
因为 ， ， ，
所以在 上， ， ．
（2）由题可得 ， ，
①当 ，即 时， ，所以 在 上单调递减；
②当 时， ，所以 在 上单调递增；
③当 时，由 可得 ，即 ，
由 可得 ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减．
2
max
1( ) 2 4
ef x = + min
5( ) 4f x =
1
2a = − 21( ) ln 12 4
xf x x= − + +
21 1( ) 2 2 2
x xf x x x
−′ = − + =
( )f x (0, )+∞ ( ) 0f x′ = 1x =
5(1) 4f = 2
1 3 1( ) 2 4f e e
= + 21( ) 2 4
ef e = +
1[ , ]ee
2
max
1( ) ( ) 2 4
ef x f e= = + min
5( ) (1) 4f x f= =
2( 1)( ) a x af x x
+ +′ = (0, )x∈ +∞
1 0a + ≤ 1a ≤ − ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )+∞
0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
1 0a− < < ( ) 0f x′ > 2
1
ax a
−> + 1
ax a
−> +
( ) 0f x′ < 2
1
ax a
−< + 0 1
ax a
−< < +
( )f x (0, )1
a
a
−
+ ( , )1
a
a
− +∞+
0a ≥ ( )f x (0, )+∞
1 0a− < < ( )f x (0, )1
a
a
−
+ ( , )1
a
a
− +∞+
1a ≤ − ( )f x (0, )+∞
2
2
2 8 1
4 16 2
t
t
− −= = −+
1 2k k+ 1
2
−
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